八年级上-一元二次方程的概念
一元二次方程概念
把实际问题转化为一元二次方程模型.
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
课件展示：教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识．
1．回顾一元一次方程的概念；一元一次方程中的“一元”是指？“一次”是指？
2．一元一次方程的一般形式是ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．
3．什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝－3.
A．ax2＋bx＋c＝0B．(m－3)x2－2x＝0
C．(a－1)xa2－1－x＋2＝0D．(m2＋1)x2＋2x－5＝0
2．已知b(b≠0)为方程x2＋ax－b＝0的一个根，则下列正确的是(A)
A．a＋b＝1B．a－b＝1
C．a＋b＝－1D．a－b＝－1
通过练习，可巩固和加深对新知的理解，培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力.
(2)是一元二次方程？
解：(1)当k－5＝0且k＋2≠0时，方程为一元一次方程，即k＝5.
所以当k＝5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元一次方程．
(2)当k－5≠0时，方程为一元二次方程，即k≠5.
所以当k≠5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元二次方程．
【变式训练】
1．下列方程中一定是一元二次方程的是(D)
(试一试)指出下列各方程的二次项、一次项和常数项．
①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③ ＝0.
问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？
师生共同小结(板书)：
一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
中考数学一元二次方程知识点总结
中考数学一元二次方程知识点总结知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±−=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程概念
(1) x2 10x 900 0
(2)5x2 10 x 2.2 0 (3)2x2 15 0 (4) x2 3x 0
(5) ( x 2) 3
2
(6) ( x 3)( x 3) 0
2 2、关于 x 的方程 ax 3x 2 0 是一元二次方程，则
知识点三： 一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解（根） 。
【例题】 1、已知方程 3x 9 x m 0 的一个根是 1，则 m 的值是
2
。
2、 已知 x 1 是一元二次方程 x 2mx 1 0 的一个解， 则 m 的值是
2
（
）
（A）1
（B）0
2
）
1 +4=0 x
（D）3x +(1+x) +1=0 （ （D）不等于 2 ）
2
5、 若关于 x 的方程 a(x－1)2=2x2－2 是一元二次方程， 则 a 的值是 （A）2 （B）－2 （C）0 6、已知关于 x 的方程 m 1x n 3 x p 0 ，当
2 2
时，方程为一次方程；
【变式训练】 1、已知关于 x 的方程 m 2 x
m2 2
xm 0：
（1） m 为何值时方程为一元一次方程； （2） m 为何值时方程为一元二次方程。
知识点二：
一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，•都能化 成如下形式 ax +bx+c=0（a≠0） 。 一个一元二次方程经过整理化成 ax +bx+c=0（a≠0）后，其中 ax 是二次项，a 是二次项系 数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 【温馨提示】 ① 任何一个一元二次方程经过整理都能化成一般形式，注意 a≠0 ②在确定各项的系数时必须将方程化成一般形式 ③项的系数包括它前面的符号 【例题】 1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
沪教版八年级数学-一元二次方程的复习-教师版
一元二次方程的复习知识精要1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式a x2+bx+c=0(a W0),其中a x2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3.一元二次方程的解法解法1:直接开平方法解法2:因式分解法：一般步骤：(1)将方程右边化为0(2)将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程(3)令每一个因式分别为0,得到两个一元一次方程(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解解法3:配方法：一般步骤：(1)先把二次项系数化为1:方程两边同除以二次项的系数(2)移项：把常数项移到方程右边(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为x m 2 n当的形式(4)当n>0时，用直接开平方法解变形后的方程。
解法4:公式法：一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b, c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)c b b24ac ,,(3)在b2-4ac>0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出x= ------------------ 的值，取后与出2a方程的根.4、一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw0)的根的判别式△ =b2- 4ac.当△ >0时，？方程有两个不相等的实数*H X 1= b 也 4ac , X 2=b心 4ac；当△ =0时，方程有两个相等实数根X 1=X 2=—上；当2a2a2a△ <0时，方程没有实数根. 5、二次三项式的因式分解：(1)形如ax 2+bx+c (a, b,c 都不为0)的多项式称为二次三项式。
(2)当^ = b 2-4ac>0,先用公式法求出方程ax 2+bx+c=0 (aw0)的两个实数根 x i, X 2再写出分解式ax 2+bx+c=a (x —xi) (x —x2).当^ = b 2-4ac<0,方程ax 2+bx+c=0 (aw0)没有实数根，ax 2+bx+c 在实数范围内不能分解因式。
八年级数学上册综合算式一元二次方程的解法
八年级数学上册综合算式一元二次方程的解法一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，它在实际生活中的应用十分广泛。
本文将介绍八年级数学上册综合算式中一元二次方程的解法。
一、一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数且a≠0。
方程的解即是能够使等式成立的未知数的值。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以利用因式分解的思想来解方程。
具体步骤如下：（1）将方程化简为ax^2 + bx + c = 0的形式；（2）判断方程是否可以进行因式分解，若可以，则将方程分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式为零，解得方程的解。
2. 完全平方公式法对于一些特殊形式的一元二次方程，我们可以利用完全平方公式来求解。
完全平方公式的表达式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
具体步骤如下：（1）将方程化简为ax^2 + bx + c = 0的形式；（2）计算方程中的b^2 - 4ac的值；（3）根据完全平方公式得出方程的解。
3. 直接开平方法当一元二次方程的形式为x^2 = a时，我们可以直接开平方求解。
具体步骤如下：（1）将方程化简为x^2 = a的形式；（2）对方程两边同时开平方，解得方程的解。
4. 配方法对于一些经过化简后较为复杂的一元二次方程，我们可以利用配方法来进行求解。
具体步骤如下：（1）将方程化简为ax^2 + bx + c = 0的形式；（2）通过添加一个恰当的常数d，将方程变形为ax^2 + bx + d^2 = (x + e)^2的形式；（3）确定恰当的值使得方程两边相等；（4）解得方程的解。
三、一元二次方程解的性质在解一元二次方程过程中，我们有如下性质：1. 当方程的判别式（即b^2 - 4ac）大于零时，方程有两个解；2. 当方程的判别式等于零时，方程有一个重根，即两个解相等；3. 当方程的判别式小于零时，方程没有实数解。
第二章 一元二次方程复习 讲义
龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。
2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。
一元一次方程与一元二次方程的区别与联系
一元一次方程与一元二次方程的区别与联系一元一次方程与一元二次方程是数学中常见的代数方程，它们在形式和求解方法上有着本质的区别，但同时也存在着紧密的联系。
下面我们就来探讨一下这两种方程的区别与联系。
**一、区别**1.表达形式：- 一元一次方程：其标准形式为ax + b = 0，其中a 和b 是常数，且a ≠ 0。
这类方程的最高次数为一次。
- 一元二次方程：其标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和c 是常数，且a ≠ 0。
这类方程的最高次数为二次。
2.解的性质：- 一元一次方程：它有一个且仅有一个实数解。
- 一元二次方程：它可能有零个、一个或两个实数解，这取决于判别式b^2 - 4ac 的值。
3.解的求解方法：- 一元一次方程：通常通过移项、合并同类项、化简等方法直接求解。
- 一元二次方程：解的求解相对复杂，可以使用配方法、公式法（求根公式）或者图形法（如抛物线与x 轴的交点）。
**二、联系**1.解的概念：- 两种方程都旨在寻找能够使方程左右两边相等的未知数的值，即解。
2.方程的根：- 在一元一次方程中，解即为方程的根；一元二次方程的解同样被称为根，只是可能有两个。
3.代数结构：- 一元一次方程可以视为一元二次方程在二次项系数a = 0 时的特殊情况。
也就是说，一元一次方程是脱去二次项的一元二次方程。
4.图形表示：- 在直角坐标系中，一元一次方程表示为一条直线，而一元二次方程表示为一个抛物线。
在特定条件下（如一元二次方程的a 值相同），两者在图形上有相似之处。
通过以上分析，我们可以看到一元一次方程与一元二次方程既有明显的区别，又存在着紧密的联系。
人教版初中数学一元二次方程知识点总结(含答案)
一元二次方程一、本章知识结构框图二、具体内容（一）、一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). {（3）熟练整理方程的过程3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二）、一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： $(1)开平方法：对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如n x =2的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0<n 时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ：②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0<n 时，方程无实数解。
（3）公式法：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根aac b b x 242-±-=当042>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==； 当042<-ac b 时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
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一元二次方程的概念
【知识点1】整式方程
都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程。
如之前学过的一元一次方程和我们将要学习的一元二次方程都是整式方程。
【知识点2】一元二次方程的概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
如02x 2=-，02419x 22=+-x ，0x 2=-x 等都是一元二次方程。
说明：（1）一元二次方程属于整式方程，定义中的“只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”这句话，是指对方程“整理合并”之后而言的。
（2）由一元二次方程的概念可知，只有同时满足三个条件：①方程两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，这样的方程
才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。
（3）判断一个方程是否为一元二次方程时，先观察其是否属于整式方程，再看
其合并同类项后是否符合“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”。
【知识点3】一元二次方程的一般形式
任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成0ax 3=++c bx （a ，b ，c 是常
数，0a ≠），这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中2a x ，bx ，c 分别叫
做二次项、一次项和常数项，a ，b 分别叫做二次项系数和一次项系数。
说明：（1）a ≠0是一个一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，因为
方程0a 2=++c bx x ，只有当a 0≠时才叫做一元二次方程，反之，如果明确指出
方程0a 2=++c bx x 是一元二次方程，那就隐含了0a ≠这个条件，即是说方程中
含有字母系数的2x 项，且出现“关于x 的方程”这样的语句，就要对方程中的
字母进行讨论。
（2）任何一个一元二次方程经过整理（去分母、去括号、移项，合并同类项）
都可以化成一元二次方程的一般形式，但需指出的是一元二次方程的二次项、一
次项、常数项、二次项系数、一次项系数都是针对方程的一般形式而言的，所以
即使题目没有指出先把方程化成一般形式，只要求写出方程的项和某一项系数，
解题时也要把一元二次方程化成一般形式。
（3）注意区分二次项与二次项系数，一次项与一次项系数，它们都包含前面
的符号，如023x 43=--x ，二次项为2x 4，二次项系数为4，一次项为x 3-，一
次项系数为-3，常数项为-2。
【知识点4】一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值，称为一元二次方程的
解。
（说明）一元二次方程的解类同于一元一次方程的解，通常已知方程的解代
入方程即可使等式成立。
1、一个“形似一元二次方程”的方程，当二次项系数不能判定一定不为零时，
它就不是一元二次方程。
2、一元二次方程中各项系数均是相对于一元二次方程的一般形式而言的，要确
定方程的各项系数首先应将方程化为一般形式，在写各项或各项系数时，应连同
符号在内。
3、检验一个数是否是一元二次方程的解的方法：将这个数作为未知数的值分别
代入方程的左、右两边，分别计算结果，再比较左右两边的值是否相等。
4、解决与一元二次方程有关问题时，一定要注意二次项系数0≠a 这一隐含条件。
根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点
将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与
总线段之比）视觉效果最好，已知学校礼堂舞台长20m ，你知道举行文娱汇演时
主持人应站在何处吗？
例1 下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？
①93x 22=+y ；②（3x -）(3x +)=x -2x ； ③0)1(2=--x x ）
（； ④ 02x
22=-； ⑤ 223=-y x ； ⑥ 0ax 2=+bx ，（a ，b 为已知数）； ⑦ y y 222x 32=++；
例2 当m 取何值时，方程0231m 1=-+-+x x m ）（是一元二次方程。
例3 将下列关于x 的一元二次方程化成一般形式，再写出它的二次项系数、
一次项系数及常数项。
（1）23x 62+=x （2）0)23(x 22=-+--b b a x a
例4 把下列一元二次方程化为一般式，并指出方程中的各项与各项的系数。
（1）)1(23x 42+=-x （2）)32(3x 5
5-152+=x ）（
例5 判断方程后面括号里的数是否是方程的解：
（1）x 32x 22=-，（2
1-，2）； （2）33x 22=-）（，（3，3-）
例6 已知关于x 的方程：
05)1(1(m 3m 2=+-+-+x m x ））（ （1）当m 为何值时，方程是一元二次方程？
（2）当m 为何值时，方程是一元一次方程？
1、下列方程是一元二次方程的是
① 5x 2x 12-=+； ② 22314x 2
1x x -=+； ③ 4y 29=； ④ )12)(1(2x 22+-=+x x x
2、关于x 的一元二次方程
0432m 2222=-+++m x m x ）（有一根为0，求134m 22+-m 的值。
3、已知关于x 的方程023x -2=+-+m mx 的各项系数和为5，求m 的值。
4、写出一个一元二次方程，使这个方程的一个根是-1，它的二次项系数为3，
并说明有一个根-1的一元二次方程具有什么样的特征？
5、如果2是一元二次方程02x 2=++bx 的一个根，求常数b 的值。
1、已知关于x 的方程023x 2=+-k x 的一个跟是1，求k 的值。
2、判断
3、-2、2
1-是不是一元二次方程x 43x -x 22+=的根？
3、将下列方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）
32-y 2=）（； （2）x =2x ； （3）632(2x =+-））（x ； （4）2233x 7x =+； （5）
0)2(2x =+-x ）（； （6）0)2(3)12(x =---x x x ；
4、小明测量出学校一块长方形的绿地面积是945米2，且宽比长少8米，如果
设宽为x 米，要求出长和宽的长度，可列出怎样的方程？
自我总结： 知识掌握情况： 需要加强的地方：
1、一元二次方程的一般式是
6、当k 为何值时，关于x 的方程
)1(23x 3-k 2x x x -=+-）（不是一元二次方程？
7、当m为何值时，0
+m
x
mx时一元二次方程？
+
-
)2
3(
x2=。