北师大版高中数学选修2-1课件第三章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线与方程小结与复习
数学选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §3 3.2
3．2 双曲线的简单性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.了解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．知识点 双曲线的性质1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的形状相同．(√)2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同．(×)3．实轴长与虚轴长相等的双曲线的离心率为 2.(√)类型一 双曲线的性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .引申探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，实半轴长a ＝m ， 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)， 离心率e ＝ca ＝m ＋n m＝1＋nm， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思与感悟 由双曲线的方程研究性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的简单性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为 y 242－x 232＝1. 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3，c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)， 离心率e ＝c a ＝54，渐近线方程为y ＝±43x .类型二 由双曲线的性质求标准方程例2 (1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.x 28－y 24＝1 D.y 28－x 24＝1 考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 B解析 由已知，得双曲线的焦点在y 轴上， 从而可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵一个顶点为(0,2)，∴a ＝2.又实轴长与虚轴长之和等于焦距的2倍， ∴2a ＋2b ＝22c . 又a 2＋b 2＝c 2，∴b 2＝4， ∴所求双曲线的方程为y 24－x 24＝1.(2)求与双曲线x 216－y 29＝1有共同的渐近线，并且经过点A (23，－3)的双曲线的方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为y ＝±34x .当所求双曲线的焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为b a ＝34，所以b ＝34a .①因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以12a 2－9b 2＝1.②联立①②得方程组无解． 当所求双曲线的焦点在y 轴上时，设所求双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为a b ＝34，所以a ＝34b .③因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以9a 2－12b 2＝1.④由③④，得a 2＝94，b 2＝4，所以所求双曲线的方程为y 294－x 24＝1.反思与感悟 (1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2 (1)求与双曲线y 24－x 23＝1有共同的渐近线，且经过点M (3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程． 考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 解 (1)设所求双曲线的方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．∵点M (3，－2)在双曲线上， ∴44－93＝λ，即λ＝－2. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)∵e ＝233，∴c a ＝233，∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.①又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，∴d ＝|ab |a 2＋b 2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)．② 解①②组成的方程组，得a 2＝3，b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.类型三 求双曲线的离心率例3 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|， 所以b 2a＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0，所以⎝⎛⎭⎫c a 2－2×ca －1＝0， 即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋ 2.反思与感悟 求双曲线离心率的三种方法 (1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca 求解．(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2求解．(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪训练3 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点A (a,0)，B (0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________． 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率 答案 2解析 如图所示，在△OAB 中，|OA |＝a ，|OB |＝b ，|OE |＝34c ， |AB |＝a 2＋b 2＝c . 因为|AB |·|OE |＝|OA |·|OB |，所以c ·34c ＝ab ，即34(a 2＋b 2)＝ab ，两边同除以a 2，得34⎝⎛⎭⎫b a 2－b a ＋34＝0， 解得b a ＝3或b a ＝33(舍去)，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.1．已知双曲线方程为x 2－8y 2＝32，则( ) A ．实轴长为42，虚轴长为2 B ．实轴长为82，虚轴长为4 C ．实轴长为2，虚轴长为4 2 D ．实轴长为4，虚轴长为8 2 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程求a ，b ，c 答案 B解析 双曲线方程x 2－8y 2＝32化为标准方程为x 232－y 24＝1，可得a ＝42，b ＝2，所以双曲线的实轴长为82，虚轴长为4.2．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±12x 的是( )A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 答案 D解析 由选项知，焦点在y 轴上的双曲线有y 24－x 2＝1与y 2－x 24＝1，而y 24－x 2＝1的渐近线方程是y ＝±2x ，y 2－x 24＝1的渐近线方程是y ＝±12x ，故选D.3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73B.54C.43D.53考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案 D解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2， ∴e ＝c a ＝53，故选D.4．设双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e ＝________.考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案52或 5 解析 当焦点在x 轴上时，b a ＝12，所以e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e ＝52；当焦点在y 轴上时，a b ＝12，所以e 2＝1＋b 2a2＝1＋4＝5，所以e ＝ 5.5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程研究其他问题答案 12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1三点共线时最小(P 在A ，F 1之间)，过AF 1的直线方程为x －3＋y 66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝11AF FF PFS S－S＝12|F 1F |·y A －12|F 1F |·y P ＝12 6.1．随着x 和y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a 与b 或b 与a 的比值，但无法确定焦点位置．2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx ＋ny ＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为x 2n 2－y 2m 2＝λ(λ≠0)求解．3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，a＞0，b ＞0)．一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．4 2 考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 C解析 将双曲线化成标准形式为x 24－y 28＝1，得2a ＝4.2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案 B解析 由e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，得⎝⎛⎭⎫b a 2＝2. 故渐近线方程为y ＝±2x ，故选B.3．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( ) A. 2 B.32 C. 3D.62考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 C解析 不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 则∠PF 1F 2是△PF 1F 2的最小内角，且为30°， ∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 30°， ∴(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ×32， 化为e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.4．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．1 考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 A解析 ∵方程表示双曲线， ∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a ＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－ax ， ∴3－a ＝32，解得a ＝－4. 5．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1考点 由双曲线的简单性质求方程 题点 已知双曲线的焦距求方程 答案 D解析 ∵等轴双曲线的一个焦点为F 1(－6,0)，∴c ＝6， ∴2a 2＝36，a 2＝18，∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的渐近线方程 答案 C解析 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12. 故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.7．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( ) A.103 B.52C.5D.343考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 D解析 设F (c,0)，则过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )， 而渐近线方程是y ＝±bax ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝－b a x ，得B ⎝⎛⎭⎫ac a －b ，－bc a －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝b a x ，得A ⎝⎛⎭⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ， AB →＝⎝⎛⎭⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2， AF →＝⎝⎛⎭⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ， 由AB →＝－3AF →，得⎝⎛⎭⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2＝－3⎝⎛⎭⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ， 则2abc a 2－b 2＝－3·bc a ＋b， 即b ＝53a ， 则c ＝a 2＋b 2＝343a ， 则e ＝c a ＝343，故选D. 二、填空题8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±x ，且经过点(2，1)，则该双曲线的方程为________．考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案 x 2－y 2＝1解析 ∵双曲线的渐近线方程是y ＝±x ，∴a ＝b ，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2， 又双曲线经过点(2，1)，代入方程可得a 2＝1，故该双曲线的方程是x 2－y 2＝1.9．已知双曲线y 2－x 2m ＝1(m ＞0)的离心率e ∈(1,2)，则m 的取值范围是________． 考点 双曲线的离心率与渐近线题点 双曲线离心率的取值范围答案 (0,3)解析 由双曲线y 2－x 2m ＝1(m ＞0)知，a ＝1，b ＝m ， 所以e ＝c a＝1＋m ，又e ∈(1,2)，所以1＜1＋m ＜2，解得0＜m ＜3.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，由F 2向双曲线C 的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若△F 1HF 2的面积为b 2，则双曲线C 的渐近线方程为________．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案 y ＝±x解析 设过F 2(c,0)与渐近线bx －ay ＝0垂直的直线为l ，则l 的方程为y ＝－a b(x －c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ bx －ay ＝0，y ＝－a b (x －c )的解即为H 点的坐标， 可得H ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c .又△F 1HF 2的面积为b 2，所以12F HF S ＝12×2c ×ab c＝b 2，解得a ＝b ， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .11．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________． 考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线离心率答案 102解析 如图，设双曲线的右焦点为M ，连接PM .∵OE ⊥PF ，∴在Rt △OEF 中，|EF |＝c 2－a 24. 又OE →＝12(OF →＋OP →)， ∴E 是PF 的中点，∴|PF |＝2|EF |＝2c 2－a 24， |PM |＝2|OE |＝a . 由双曲线的定义知，|PF |－|PM |＝2a ，∴2c 2－a 24－a ＝2a ， ∴e ＝c a ＝102. 三、解答题12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解 椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为8 3. ①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝48，b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36，b 2＝12. ∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1； ②当双曲线的焦点在y 轴上时， 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，a b ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝36. ∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1. 由①②可知，双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1. 13．已知点A (0,1)，点P 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上． (1)当|P A |最小时，求点P 的坐标；(2)过点A 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN的面积为23，求直线l 的方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其他问题解 (1)设P (x ，y )，则|P A |＝x 2＋(y －1)2 ＝2＋2y 2＋(y －1)2＝3⎝⎛⎭⎫y －132＋83， 当y ＝13时，|P A |最小， 故所求点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫±253，13. (2)由题知直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与双曲线方程联立得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，则Δ＝16(1－k 2)＞0且－41－2k2＜0，即k 2＜12. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 1－2k 2，x 1x 2＝－41－2k 2， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41－k 21－2k 2， S △OMN ＝12×1×|x 1－x 2|＝12·41－k 21－2k 2＝23， 解得k 2＝14或k 2＝23(舍去)，即k ＝±12， ∴l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.四、探究与拓展14．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2B.32C. 3D ．2考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率答案 A解析 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13， 即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ， 所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a ＝ 2. 15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)，直线l ：x ＋y ＝1，双曲线C 与直线l 有两个不同的交点A ，B ，直线l 与y 轴的交点为P .(1)求离心率e 的取值范围；(2)若P A →＝512PB →，求a 的值． 考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其他问题解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解， 消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0， 解得－2＜a ＜2且a ≠±1.又∵a ＞0，∴0＜a ＜2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0＜a ＜2且a ≠1，∴e ＞62且e ≠2， ∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62， 2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易得P (0,1)． ∵P A →＝512PB →， ∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此可得x 1＝512x 2. ∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2， x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2， 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169. 又∵a ＞0，∴a ＝1713.。
数学北师大选修2-1课件：第三章 圆锥曲线与方程 3.4.2-3.4.3
(b2+3a2)x2-6a2cx+a2(3c2-b2)=0.
设直线l2与椭圆交于点M(x1,y1),N(x2,y2).
由根与系数的关系,得
6������2������
x1+x2=������2+3������2,
x1x2=������2������(23+������23-���������2���2).
思维点拨:点A在椭圆内部,先将点M到焦点的距离转化为到相应
准线的距离,再利用数形结合的思想方法求解.
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D 答疑解惑 AYIJIEHUO
探究一
探究二
探究三
一题多解
解:由题意可知 a=4,c=2,e=12, 设点 M 到右准线的距离为|MN|,
则||������������������������||=e=12,∴|MN|=2|MF|,
思维点拨:由直线l1方程的特点,知直线l1恰好过椭圆的两个顶点,
即有a2+b2=8,把直线l2的方程代入椭圆方程,利用根与系数的关系
和弦长公式求解.
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探究一
探究二
探究三
一题多解
解:由 l1 被 C 截得的弦长为 2√2,得 a2+b2=8.①
设 l2:y=√3(x-c),代入椭圆 C 的方程并化简,得
即|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|,
当A,M,N同时在垂直于右准线的一条直线上时,|AM|+2|MF|取得
最小值,
此时
yM=yA=√3,代入1������62
+
������2
数学北师大版高中选修2-1北师大版高中数学选修2-1第三章圆锥曲线与方程第四节曲线与方程第一课时PPT课件
x=0 (0≤y≤2)
2+y2=1(x≠±1) x 则动点p的轨迹方程为:______________
课堂练习
6、已知平面上两个定点A、B之间的
比为2:1，求动点M的轨迹方程。
距离为2a，点M到A、B两点的距离之 7、 一个动点P与两个定点A、B
的距离的平方和为 122， |AB|=10, 求动点P的轨迹方程。
5.证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
（一般情况下可省略）
例题讲解
例2.证明圆心为M (3, 4), 半径等于5的圆 的方程是 x 3 ( y 4) 25, 并判断
2 2
点O(0, 0), A(1, 0), B(1, 2)是否在这个圆 上.
例题讲解
例3. 已知一条曲线在
曲线与方程
安福二中 李春艳
新课引入
y
M(x ,y )
0 0
X-y=0
y
y ax2 (a 0)
M(x0,y0)
o
x
o
x
课堂新授
曲线的方程与方程的曲线：
一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点 与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:
1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解; 2.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 那么,这个方程叫做这个曲线的方程, 这个曲线叫做这个方程的曲线
X 轴的上方，它上面
的每一点到点A（0,2） 的距离减去它到x轴的
y
A M
距离的差是2，求这条
曲线的方程。
B x
o
课堂练习
1.到F(2，0)和Y轴的距离相等的 动点的轨迹方程 是:__________________
2020_2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程知识体系课件北师大版选修2_1ppt
即 4x02＋9y20＝36.
故得|O4P|2＋|O9Q|2＝3166＝94，为定值．
专题三 直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线问题，是高考对圆锥曲线考查的重点和难 点，也是历年考查的热点，是每年高考试卷上都会出现的一个知 识点．直线与圆锥曲线问题包括两大类：(1)直线与圆锥曲线位 置关系的判定；(2)直线与圆锥曲线相交而产生的弦长问题、中 点问题、范围问题、张角问题、最值问题等．
由yx4＝2＋y2222＝x＋1，b，
消去 y 得 x2＋ 2bx＋b2－2＝0.
由 Δ＝－2b2＋8＝0，得 b＝±2.
∴切线为
y＝
2 2 x±2.
又 y＝ 22x－4 和 y＝ 22x＋2 的距离是 d1＝ y＝ 22x－2 的距离是 d2＝23 6.
∴椭圆上的点到直线 y＝ 22x－4 的最大距离是 2 6，最小距
【例 4】 已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率 e＝23 3，
过点
A(0，－b)和
B(a,0)的直线与原点的距离为
3 2.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线 y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与该双曲线交于不同的两点
C、D，且 C、D 两点都在以 A 为圆心的同一个圆上，求 m 的取
设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 x1＋x2＝1－6km3k2， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝1－2m3k2， 设 CD 中点为 P(x0，y0)，
则 x0＝x1＋2 x2＝1－3km3k2，y0＝y1＋2 y2＝1－m3k2. 依题意，知 AP⊥CD，且 A(0，－1)， 所以 kAP＝－1kCD，1－m33kkm2＋1＝－1k，
数学选修2-1北师大版：第三章圆锥曲线与方程§22.1
个帅哥帅哥的 ffff§2抛物线2． 1抛物线及其标准方程学习目标 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的观点.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中参数p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题．知识点一抛物线的定义(1) 平面内与一个定点 F 和一条定直线l(l 可是 F)距离相等的点的会合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l 叫作抛物线的准线．(2)定义的本质可概括为“一动三定” ：一个动点，设为 M；一个定点 F(抛物线的焦点 )；一条定直线 (抛物线的准线 ) ；一个定值 (即点 M 到点 F 的距离与它到定直线l 的距离之比等于1∶ 1)．知识点二抛物线的标准方程思虑抛物线的标准方程有何特色？答案(1)是对于 x， y 的二元二次方程，且只有一个二次项，一个一次项，依据平方项能够确立一次项的取值范围． (2)p 的几何意义是焦点到准线的距离．梳理因为抛物线焦点地点不一样，方程也就不一样，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0) ， y2＝－ 2px(p>0)，x2＝2py(p>0) ， x2＝－ 2py(p>0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表以下：标准方程y2＝ 2px(p>0)y2＝－ 2px( p>0)x2＝ 2py(p>0)x2＝－ 2py(p>0)图形p p p p焦点坐标2， 0－2，00，20，－2p p p p准线方程x＝－2x＝2y＝－2y＝2p 的几何焦点到准线的距离意义1．抛物线的方程都是二次函数．(× ) 2．抛物线的焦点到准线的距离是p.(√) 3．抛物线的张口方向由一次项确立．(√)种类一抛物线定义及应用例 1(1) 已知抛物线 C：y2＝ x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点， |AF|＝5x0，则 x0等于 () 4A．1B．2C．4D．8考点抛物线定义题点抛物线定义的直策应用答案A分析由题意，知抛物线的准线为1 x＝－ .45因为 |AF|＝4x0，依据抛物线的定义，得15x0＋4＝|AF |＝4x0，所以 x0＝ 1，应选 A.(2) 若点 P 到点 F(4,0) 的距离比它到直线x＋ 5＝ 0 的距离小1，则 P 点的轨迹方程是 ()A ． y2＝－ 16x B． y2＝－ 32xC． y2＝ 16x D． y2＝ 32考点抛物线定义题点抛物线定义的直策应用答案C分析∵点 P 到点 (4,0)的距离比它到直线 x＋ 5＝ 0 的距离小1，∴将直线 x＋ 5＝ 0 右移 1 个单位，得直线 x＋ 4＝ 0，即 x＝－ 4，∴点 P 到直线 x＝－ 4 的距离等于它到点(4,0)的距离．依据抛物线的定义，可知P 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x＝－ 4 为准线的抛物线．设抛物线方程为y2＝ 2px(p＞0) ，可得p2＝4，得 2p＝16，∴抛物线的标准方程为y2＝16x，即 P 点的轨迹方程为y2＝ 16x，应选 C.反省与感悟抛物线的判断方法(1) 能够看动点能否切合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线可是定点)的距离．(2)求出动点的轨迹方程，看方程能否切合抛物线的方程．追踪训练 1 (1) 抛物线 x2＝ 4y 上的点 P 到焦点的距离是10，则 P 点的坐标为 ________．考点抛物线定义题点抛物线定义的直策应用答案(6,9)或 (－ 6,9)分析设点 P(x0，y0) ，由抛物线方程x2＝ 4y，知焦点坐标为 (0,1)，准线方程为y＝－ 1，由抛物线的定义，得|PF|＝ y0＋ 1＝10，所以 y0＝ 9，代入抛物线方程得x0＝±6.2＝ 8x 的焦点为 F ，准线 l 与 x 轴的交点为 M ，点 P 在抛物线上，且 |PM| (2) 已知抛物线 C： y＝ 2|PF|，则△ PMF的面积为 ()A．4B．8C．16D．32考点抛物线定义题点抛物线定义的直策应用答案B分析以下图，可得 F(2,0)，过点 P 作 PN⊥ l ，垂足为 N.∵|PM |＝2|PF|， |PF|＝ |PN |，∴|PM |＝2|PN|，∴|PN|＝ |MN |.t2设 P 8， t ，则 |t|＝8＋ 2，解得 t＝±4，t211∴△PMF 的面积为2×|t| ·|MF |＝2×4×4＝ 8.种类二求抛物线的标准方程例 2分别求切合以下条件的抛物线的标准方程．(1)过点 (－3,2)；(2)焦点在直线 x－ 2y－ 4＝ 0上．考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解 (1) 设抛物线的标准方程为 y2＝－ 2px 或 x2＝ 2py(p＞ 0)，49又点 (－ 3,2)在抛物线上，∴ 2p＝3或 2p＝2，2429∴所求抛物线的标准方程为y ＝－3x 或 x ＝2y.(2) 当焦点在y 轴上时，已知方程x－ 2y－ 4＝ 0，令 x＝ 0，得 y＝－ 2，∴所求抛物线的焦点为 F 1(0，－ 2)，设抛物线的标准方程为x2＝－ 2py(p＞ 0)，p由2＝ 2，得 2p＝ 8，∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－ 8y；当焦点在 x 轴上时，已知 x－ 2y－4＝ 0，令 y＝ 0，得 x＝ 4，∴抛物线的焦点为 F 2(4,0)，设抛物线的标准方程为y2＝ 2px(p＞ 0)，由p2＝ 4，得 2p＝ 16，∴所求抛物线的标准方程为 y2＝ 16x.综上，所求抛物线的标准方程为x2＝－ 8y 或 y2＝ 16x.反省与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法：成立适合坐标系，利用抛物线的定义列出动点知足的条件，列出方程，进行化简，依据定义求出p，最后写出标准方程．(2)待定系数法：因为标准方程有四种形式，因此在求方程时应第一确立焦点在哪一个半轴上，从而确立方程的形式，而后再利用已知条件确立p 的值．追踪训练 2 依据以下条件分别求抛物线的标准方程．(1) 已知抛物线的准线方程是3；x＝－2(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y＝－ 3 与抛物线交于点 A， |AF |＝ 5.解 (1) 设抛物线的标准方程为y2＝ 2px(p＞ 0)．3p3其准线方程为 x＝－2，由题意有－2＝－2，故 p＝3.所以标准方程为y2＝ 6x.(2) 设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y2＝ 2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝ |AF|p＝m＋2 .又( －3) 2＝2pm，∴p＝±1 或 p＝±9，故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x 或 y2＝±18x.种类三抛物线的本质应用问题例 3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m，一小船宽4m，高 2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上升到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不可以通航？考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，成立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－ 2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－ 5)在抛物线上，故p＝85，得216x ＝－5 y.当船面双侧和抛物线接触时，船不可以通航，设此时船面宽为AA′，则A(2， y A)，2165由 2 ＝－5 y A，得y A＝－4.又知船面露出水面上的部分高为0.75m，所以h＝ |y A|＋ 0.75 ＝2(m) ．所以水面上升到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不可以通航．反省与感悟波及拱桥，地道的问题，往常需成立适合的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．追踪训练3以下图，花坛水池中央有一喷泉，水管O′ P＝ 1m，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P 距抛物线的对称轴1m，则水池的直径起码应设计多长？(精准到 1m)考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解以下图，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过原点且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－ 2py( p＞ 0)．依题意有 P(－ 1，－ 1)在此抛物线上，代入得p＝12，故抛物线方程为x2＝－ y.又 B 在抛物线上，将B(x，－ 2)代入抛物线方程得x＝2，即|AB|＝ 2，则 |O′B|＝ |O′A|＋ |AB |＝ 2＋ 1，所以水池的直径为 2(1＋ 2)m，约为 5 m，即水池的直径起码应设计为 5 m.1．抛物线y2＝x 的准线方程为 ()1111A ． x＝4B ． x＝－4C．y＝4D． y＝－4考点求抛物线的焦点坐标及准线方程题点求抛物线的准线方程答案B分析抛物线 y2＝ x 的张口向右，且p＝1，所以准线方程为x＝－1.242．以 F(1,0)为焦点的抛物线的标准方程是()2222A ． x＝ 4y B． y＝4x C． x ＝ 4yD． y ＝ 4x考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程答案D分析∵抛物线焦点为 F(1,0) ，∴可设抛物线方程为y2＝ 2px( p＞0)，p2且2＝ 1，则 p＝ 2，∴抛物线方程为y ＝ 4x.3．已知抛物线 x2＝ 4y 上的一点 M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点 M 的纵坐标是 () 1A ． 0B.2C．1D． 2考点抛物线的定义题点抛物线定义的直策应用答案C分析设 M(x M，y M )，依据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1) ，准线方程为 y＝－ 1，依据抛物线定义，得 yM ＋ 1＝ 2，解得 yM ＝ 1.4．一动圆过点 (0,1)且与定直线 l 相切，圆心在抛物线x2＝ 4y上，则 l 的方程为 ()11A ． x＝ 1B． x＝16C． y＝－ 1D． y＝－16考点抛物线的定义题点抛物线定义的直策应用答案C分析因为动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，所以动圆圆心到点(0,1) 的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y 上，且 (0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l ： y＝－ 1.5．动点 P 到直线 x＋ 4＝ 0 的距离比它到点M(2,0)的距离大 2，则点 P 的轨迹方程是 ________．考点抛物线的定义题点抛物线定义的直策应用2答案y ＝ 8x分析由题意可知，动点P 到直线 x＋ 2＝ 0 的距离与它到点M(2,0)的距离相等，利用抛物线定义求出方程为y2＝ 8x.1．焦点在 x 轴上的抛物线，其标准方程能够统设为2m， 0 ，y ＝ mx(m≠0)，此时焦点为 F4m2准线方程为 x＝－4；焦点在 y轴上的抛物线，其标准方程能够统设为x＝ my(m≠0)，此时m m焦点为 F 0，4，准线方程为 y＝－4 .2．设 M 是抛物线上一点，焦点为 F ，则线段 MF 叫作抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线 y2＝2px(p>0) 上，则依据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离能够p3．对于抛物线上的点，利用定义能够把其到焦点的距离转变为到准线的距离，也能够把其到准线的距离转变为到焦点的距离，所以能够解决相关距离的最值问题．一、选择题21．对抛物线y＝ 4x ，以下描绘正确的选项是()1B．张口向上，焦点坐标为0，16C．张口向右，焦点坐标为(1,0)1D．张口向右，焦点坐标为0，16考点求抛物线的焦点坐标及准线方程题点求抛物线的焦点坐标答案B分析由 y＝4x 2210，1，得 x＝4y，所以张口向上，焦点坐标为16.2．已知抛物线 y 2＝ 2px(p>0)的准线经过点 ( －1,1)，则该抛物线的焦点坐标为 ()A ． (－ 1,0)B ． (1,0)C ． (0，－ 1)D ． (0,1)考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程题点 求抛物线的焦点坐标答案 B分析抛物线 y 2＝ 2px(p>0) 的准线方程为 x ＝－ p ，由题设知－ p＝－ 1，即 p ＝2，故焦点坐22标为(1， 0)，应选 B.3．已知抛物线的极点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点P(m ，－ 2)到焦点的距离为 4，则 m 的值为 ( )A ． 4B ．－ 2C ．4 或－ 4D ．12 或－ 2考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直策应用答案 C分析 由题可设抛物线的标准方程为x 2＝－ 2py(p>0)，由定义知点 P 到准线的距离为4，故p222＋ 2＝ 4，∴p ＝4，∴x ＝－ 8y.将点 P 的坐标代入x ＝－ 8y ，得 m ＝ ±4.4．若动圆的圆心在抛物线y ＝ 12上，且与直线 y ＋3＝ 0 相切，则此圆恒过定点()12 xA ． (0,2)B ． (0，－ 3)C ． (0,3)D ． (0,6)考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直策应用答案 C分析直线 y ＋ 3＝ 0 是抛物线 x 2＝ 12y 的准线，由抛物线的定义，知抛物线上的点到直线y＝－ 3 的距离与到焦点 (0,3) 的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．5．已知点 P 是抛物线 2x ＝ 4y 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是点 Q ，点 A 的坐标是 (8,7)，则|PA|＋ |PQ |的最小值为 ( )A ．7B ．8C ．9D ．10 考点抛物线的定义题点 抛物线定义与其余知识联合的应用答案C分析抛物线的焦点为 F(0,1)，准线方程为y＝－ 1，依据抛物线的定义知，|PF|＝ |PM|＝ |PQ|＋1.∴|PA|＋ |PQ|＝ |PA|＋ |PM |－ 1＝ |PA|＋ |PF|－ 1≥|AF|－ 1＝82＋ 7－ 1 2－ 1＝ 10－1＝ 9.当且仅当 A， P，F 三点共线时，等号成立，则|PA|＋ |PQ|的最小值为 9.应选 C.6．假如 P1， P2，， P n是抛物线 C： y2＝ 4x 上的点，它们的横坐标挨次为x1， x2，， x n，F 是抛物线 C 的焦点，若 x1＋ x2＋＋ x n＝ 10，则 |P1F|＋ |P2F|＋＋ |P n F|等于 ()A ． n＋10B． n＋ 20C． 2n＋10D． 2n＋20考点抛物线的定义题点抛物线定义的直策应用答案A分析由抛物线的方程y2＝ 4x 可知其焦点为(1,0) ，准线为 x＝－ 1，由抛物线的定义可知 |P1F|＝x1＋1， |P2 F|＝ x2＋ 1，， |P n F|＝ x n＋ 1，所以 |P1F|＋ |P2F|＋＋ |P n F|＝ x1＋ 1＋ x2＋ 1＋＋x n＋ 1＝(x1＋x2＋＋ x n) ＋n＝ n＋ 10，应选 A.7．已知直线 l 与抛物线2＝ 8x 交于 A，B 两点，且 l 经过抛物线的焦点F，A 点的坐标为 (8,8)，y则线段 AB 的中点到准线的距离是()25 25 25A. 4B.2C.8D．25考点抛物线的定义题点抛物线定义与其余知识联合的应用答案A分析抛物线的焦点 F 坐标为 (2,0) ，直线 l 的方程为4y＝ (x－ 2)．34y＝3 x－ 2 ，1由得 B 点的坐标为，－ 2 y2＝8x，2∵抛物线的准线方程为x＝－ 2，125∴|AB|＝ |AF|＋ |BF |＝2＋ 8＋ 2＋2＝2，25∴AB 的中点到准线的距离为4 .二、填空题8．抛物线 y ＝ 2x 2 的焦点坐标为 ________．考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程题点 求抛物线的焦点坐标答案1 0，8221 11 分析 ∵抛物线 y ＝ 2x 的标准方程为x ＝ 2y ，∴p ＝ 4，故焦点坐标为0，8 .9．已知抛物线 y ＝ 2px 2(p>0)的焦点为 F ，点 P 1，1在抛物线上，过点 P 作 PQ 垂直于抛物4线的准线，垂足为点 Q ，若抛物线的准线与对称轴订交于点M ，则四边形 PQMF 的面积为________．考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案138分析由点 P 1，1在抛物线上，得p ＝1，故抛物线的标准方程为x 2＝ 4y ，焦点 F(0,1)，准48 线方程为 y ＝－ 1，1 5∴|FM |＝ 2， |PQ|＝ 1＋ 4＝4， |MQ|＝ 1，1× 513则直角梯形 PQMF 的面积为 24＋2 ×1＝ 8.2 2x＋ y＝ 1 的右极点为焦点的抛物线的标准方程为________．10．以椭圆 16 9 考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的标准方程答案y 2＝ 16x2 2分析∵椭圆的方程为xy16 ＋ 9 ＝ 1，∴右极点为 (4,0)． 设抛物线的标准方程为y 2＝ 2px(p>0)，p2则 2＝ 4，即 p ＝ 8，∴抛物线的标准方程为 y ＝16x.11．已知 P 为抛物线 y 2 ＝4x 上的随意一点， 记点 P 到 y 轴的距离为 d ，对于定点 A(4,5)，|PA|＋d 的最小值为 ________．考点抛物线的定义题点抛物线定义与其余知识联合的应用答案34－ 1分析抛物线 y2＝ 4x 的焦点为 F(1,0) ，准线 l ： x＝－ 1.由题意得 d＝ |PF |－ 1，∴|PA|＋ d≥|AF|－ 1＝4－ 1 2＋ 52－ 1＝34 －1，当且仅当 A， P，F 三点共线时，|PA|＋ d 获得最小值34－1.三、解答题12．如图，已知抛物线y2＝ 2x 的焦点为 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2) ，求 |PA|＋|PF|的最小值，并求此时P 点的坐标．考点抛物线的定义题点抛物线定义与其余知识联合的应用解将 x＝ 3 代入抛物线方程y2＝ 2x，得 y＝± 6.∵ 6＞ 2，∴A 在抛物线内部．1设抛物线上动点P 到准线 l ： x＝－2的距离为d，由抛物线的定义，知|PA|＋ |PF|＝ |PA|＋ d.当 PA⊥l 时， |PA|＋ d 最小，最小值为7 2，即|PA|＋ |PF |的最小值为7，2此时 P 点的纵坐标为2，代入 y2＝ 2x，得 x＝ 2，∴P 点的坐标为 (2,2)．13.以下图，抛物线 C 的极点为坐标原点O，焦点 F 在 y 轴上，准线 l 与圆 x2＋ y2＝ 1 相切．(1) 求抛物线 C 的方程；→(2)若点 A， B 都在抛线 C 上，且 FB＝→，求点 A 的坐标．2OA考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1) 依题意，可设抛物线2，其准线l 的方程为pC 的方程为 x ＝ 2py( p>0)y＝－ .2∵准线 l 与圆 x2＋ y2＝ 1 相切，p∴圆心(0,0) 到准线 l 的距离 d＝ 0－－2＝1，解得 p＝ 2.故抛物线 C 的方程为x2＝ 4y.(2) 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，x12＝ 4y1，①F(0,1)，则2由题意得x2＝ 4y2，②→→)，→→∵FB ＝ 2OA，∴(x2， y2－ 1)＝ 2(x1， y1)＝ (2x1,2y1)，x2＝2x1，即代入②得 4x21＝ 8y1＋ 4，y2＝ 2y1＋ 1，即 x21＝ 2y1＋ 1，又 x21＝ 4y1，所以 4y1＝ 2y1＋1，1解得 y1＝2， x1＝± 2，12，1即点 A 的坐标为2，2或－ 2.四、研究与拓展14．设抛物线C：y2＝ 2px(p＞ 0)的焦点为F，点 M 在 C 上， |MF |＝ 5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2) ，则 C 的方程为 ()A ． y 2＝ 4x 或 y 2＝8xB ． y 2＝ 2x 或 y 2＝8xC ． y 2＝ 4x 或 y 2＝16xD ． y 2＝ 2x 或 y 2＝16x 考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程答案C分析抛物线的焦点为 F p2， 0 .不如设点 M 在第一象限，pp由抛物线的定义，得M 5－ 2，2p 5－ 2.设 N 点坐标为 (0,2) ．因为圆过点 N(0,2)，所以 NF ⊥ NM ，p－ 22 p ×2p 5－ 2 即 p＝－ 1.① － 25－ 2p设 p 5－ 2 ＝t ，则①式可化为 t 2－ 4 2t ＋ 8＝0，解得 t ＝ 2 2，即 p 2－ 10p ＋ 16＝ 0，解得 p ＝ 2 或 p ＝ 8.15．已知抛物线 y 2＝2px( p ＞ 0)上的一点 M 到定点 A7，4 和焦点 F 的距离之和的最小值等2于 5，求抛物线的方程． 考点 抛物线的标准方程 题点求抛物线的方程解抛物线的准线为l ： x ＝－ p2.27 ①当点 A 在抛物线内部时，4 ＜2p ·，216即 p ＞ 7 时，过 M 作 MA ′⊥l ，垂足为 A ′，则|MF |＋ |MA |＝ |MA ′|＋ |MA|.当 A ， M ， A ′共线时，(|MF |＋ |MA |)min ＝ 5，p 7 16即 2＋ 2＝ 5，∴p ＝ 3，知足 p ＞ 7 ，∴抛物线方程为 y 2＝ 6x.27 ②当点 A 在抛物线外面时，4 ＞2p ·，216即 p ＜ 7 时， |MF |＋ |MA |≥|AF|，当 A ， M ， F 共线时取等号， |AF|＝5，7 p 2 2 即2－2 ＋ 4－0 ＝5，∴p ＝1 或 p ＝ 13(舍 )，∴抛物线方程为 y 2＝ 2x.16③当点 A 在抛物线上，即 p ＝ 7 时，联合②显然不可立．综上，抛物线方程为y 2 ＝6x 或 y 2＝ 2x.。
最新北师大版选修2-1高中数学第三章《圆锥曲线与方程》ppt本章整合课件
由题知|-2pm|=4m,所以 2p=4.
综上所述,抛物线 C 的方程为 y2=4x.
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)可得 y2-4������y-4=0,
所以
������1
+ ������2
=
4 ������
,由|AM|=2|MB|,得
y1=-2y2.
1+������
(|MA|>|MB|),
1-(1+������2������)2
∴有 y=0 或 x2-���3���2=1(y≥0).
又当∠MBA=90°时,△MAB 为等腰直角三角形,点 M(2,±3)也在曲线上, 当点 M 为线段 AB 的分点时,满足∠MBA=2∠MAB,∴y=0(-1<x<2)是 M 点 的轨迹方程.
(1)求抛物线 C 的方程; (2)当 m=1,|AM|=2|MB|时,求直线 AB 的方程.
专题一
专题二
专题三
专题四
解:(待定系数法)(1)由题意可设抛物线的方程 为 y2=2px(p>0),如图.
当线段 AB 垂直于 x 轴时,A,B 的坐标分别为
(m,2 ������),(m,-2 ������), 所以(2 ������)2=2p·m,
圆圆心的轨迹方程; (2)一动圆过定点 A(2,0),且与定圆(x+2)2+y2=4 相切,求动圆圆心的轨迹
方程.
解:(定义法)(1)设动圆的圆心为 P(x,y),定圆的圆心为 B(-3,0),则
|PA|+|PB|=8>6.
∴由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹方程是������2
数学北师大选修2-1课件：第三章 圆锥曲线与方程 3.4.1
进而通过研究方程来研究曲线的
性质. 3.掌握求曲线方程的一般方法,进
一步体会曲线与方程的关系,感受
解析几何的思想方法.
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一 二 思考辨析
一、曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件 的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的 关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,那么,这条曲线叫作 方程的曲线,这个方程叫作曲线的方程. 名师点拨“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念中包含了双重性, 即纯粹性和完备性,所谓纯粹性,即曲线上点的坐标都是这个方程 的解,所以要剔除曲线上不合题意的点;所谓完备性,即以方程的解 为坐标的点都在曲线上,所以对方程进行变形时要注意等价变形, 防止漏解.
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探究一
探究二
探究三
变式训练2证明以点C(0,3)为圆心,以2为半径的圆的方程为x2+(y3)2=4,并判断点M(√3 ,4),N(1,3+√3 ),P(0,1),Q(1,0)是否在圆上.
证明:设M'(x0,y0)是圆上的任一点,则|M'C|=2,
,
则|MP|=12|OC|=12,得方程
������-
1 2
2 +y2=14,
由圆的范围知0<x≤1.
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数学北师大选修2-1课件：第三章 圆锥曲线与方程 习题课1
A.1������62 + ���9���2=1 B.1������62 + ���1���22=1
C.���4���2 + ���3���2=1
D.���3���2
+
������2 4
=1
解析:因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
反思感悟解决直线与椭圆的位置关系问题,一般采用代数法,即 将直线方程与椭圆方程联立,通过判别式Δ的符号决定位置关系.同 时涉及弦长问题时,往往采用设而不求的办法,即设出弦端点的坐 标,利用一元二次方程根与系数的关系,结合弦长公式进行求解.
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直线与椭圆的位置关系问题 【例2】 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 思维点拨:(1)将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式Δ的符号,建 立关于m的不等式求解;(2)利用弦长公式建立关于m的函数关系式, 通过函数的最值求得m的值,从而得到直线方程.
圆方程
������2 ������2
+
������������22=1
(a>b>0)联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二
次方程,记该方程的判别式为Δ.那么:若Δ>0,则直线与椭圆相交;若
Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.
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解:把方程化成标准方程:－y 2-－x=2 1
16 25
故实半轴长a=4,虚半轴长b=3
________
∴c=√16+9=5.
∴e=－5
4
故渐进线方程为:y=±－34x
7
例2.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B求证：OA⊥OB。
证法1：将y=x-2代入y2=2x中，得(x-2)2=2x 化简得x2-6x+4=0
11
三、课堂练习
1.动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M（2，0）的距离
之差等于2，则点P的轨迹是（） D
A．直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线
2.P是双曲线x2/4-y2=1上任意一点，O为原点，则OP线
段中点Q的轨迹方程是（） B
A.x 2 y2 1 B.x2 4 y2 1 C. y2 x2 1 D.4 y 2 x 2 1
①、②式两边分别相加，得|O1P|+|O2P|=12
即
(x 3)2 y2 (x 3)2 y2 12
10
化简并整理，得3x2+4y2-108=0
即可得
x2 y2 1 36 27
所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别
为 12、6 3. 解法2：同解法1得方程 (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 12
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
北师大版高中数学选修2-1第 三章《圆锥曲线与方程》
法门高中姚连省制2作
教学目标：
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的几 何性质 2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线的 几何性质 3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线的 几何性质 4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图 形，并了解圆锥曲线的初步应用。
由一元二次方程根与系数的关系，可知
x1+x2=6,x1·x2=4 ∵y1=x1-2,y2=x2-2;
∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=x1·x2-2(x1+x2)+4
=4-12+4=-4
kOA kOB
y1 x1
y2 x2
y1 y2 x1 x2
4 4
1
∴OA⊥OB
9
例3.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切， 求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线
点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，
直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()
1
2
13
四、小结：1、本节课的重点是掌握圆锥曲
线的定义及性质在解题中的应用，要注意两个 定义的区别和联系。
2、利用圆锥曲线的定义和性质解题时，要注 意曲线之间的共性和个性。
3、利用圆锥曲线的定义和性质解题时，要加 强数形结合、化归思想的训练，以得到解题的 最佳途径。
Y
解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y), 半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。
分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0x2+y2-6x-91=0 配方，得（x+3)2+y2=4(x-3)2+y2=100
P
X
O1
O2
当⊙P与⊙O1:(x+3)2+y2=4外切时，有|O1P|=R+2①
当⊙P与⊙O2:(x-3)2+y2=100内切时，有|O2P|=10-R ②
4
4
3．和圆x2+y2=1外切，且和x轴相切的动圆圆心O的轨迹 方程是。x2=2|y|+1
12
做练习
3．过点P（0，4）与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线 有条。 3
4、直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆x2/5+y2/m=1总有公
共点，则m的取值范围是。
[1,5）
5、过点M（-2，0）的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1、P2两
离心率 e=c/a 准线方程
X轴，长轴长2a, Y轴，短轴长2b
（±c,0)
c2=a2-b2
X轴，实轴长2a, Y轴，虚轴长2b
（±c,0)
c2=a2+b2
X轴 （p/2,0)
0<e<1
e>1
e=1
x=±a2/c
x=±a2/c
x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a)x
6
二、应用举例
例1.求双曲线9y–2 16x=12 44的实半轴与虚半 轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.
五、教学反思：
14
即，动圆圆心P(x,y)到点O1（-3，0）和点O2(3,0)距离的和 是常数12，所以点P的轨迹是焦点为（-3，0）、（3，0），
长轴长等于12的椭圆。于是可求出它的标准方程。
∵2c=6,2a=12,∴c=3,a=6∴b2=36-9=27
于是得动圆圆心的轨迹方程为
x2 y2 1 36 27
这个动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为 12、6 3.
解得： x 3 5
则：y 1 5
A(3 5,1 5); B(3 5,1 5)
kOB
1 3
5 5
,
kOA
1 3
5, 5
kOB
kOA
1 3
5 1法2：同证法1得方程x2-6x+4=0
3
一、知识回顾
椭圆
圆
锥
曲 双曲线
线 抛物线
标准方程 标准方程 标准方程
几何性质
第二定义
几何性质 第二定义
综合应用 统一定义
几何性质
4
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
几何条件 标准方程
椭圆
双曲线
抛物线
与两个定点的距 与两个定点的距 与一个定点和一
离的和等于常数 离的差的绝对值 条定直线的距离
等于常数
相等
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0)
y2 2 px( p 0)
图 形
顶点坐标
（±a,0),(0,±b)
（±a,0)
（0,0)
5
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆
双曲线
抛物线
对称性 焦点坐标