线性代数B-3.2 向量组的线性组合s

，， 都为n维向量，k , l为实数，0为零向量.
n
二、 向量组的线性组合
向量组：若干个同维数的列向量（或行向量）所 组成的集合. 例： 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn
aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a a a mj mn m1 m 2
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 , 构成一个n m矩阵
, m ,
A ( 1 , 2 ,, m )
mT ,
m个n维行向量所组成 的向量组 1T , 2T , 构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
补充例 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求出表示 式 解 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b) 因为
线性方程组2.1可表示为向量形式：
a1 x1 a2 x2 ... an xn .
(2.3)
方程组是否有解就相当于是否存在一组数k1 k2 kn使 得下列线性关系式成立：
k1a1 k2a2 ... knan .
二、 向量组的线性组合
定义4 设A a1 a2 am是一向量组 对任意一组实数k1 k2 km表达式 k1a1k2a2 kmam称为向量组A的一个线性组合 其中k1 k2 km 称为这个线性组合的系数(也叫做权重) 定义5 对于向量组A a1 a2 am以及向量 ,如果存在一组实 数1,2 , m使得 1a12a2 mam 则称向量 是向量组A的线性组合, 或称向量 能由向量组A线性表示(线性表出)
一、 n 维向量的概念
在空间直角坐标系中 点P(x y z)与3维向量r(x y z)T之间 有一一对应的关系 我们把3维向量的全体所组成的集合 R3{ r | r(x y z)T x y zR} 叫做三维向量空间 把n维向量的全体所组成的集合
n
R x x x1 , , xn , x1 , , xn R

aT (a1 , a2 ,
, an ).
一、
n 维向量的概念
定义1 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组，称为n维向量
注意：
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量. 2．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量. 3．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算.
例3 零向量是任何一组向量的线性组合. 因为
o 0
1
0 2 0 s .
例4 向量组 1 , 2 , s 中的任一向量 j (1 j s ) 都是此向量组的线性组合. 因为 j 0 1 1 j 0 s .
向量组：若干个同维数的列向量（或行向量）所 组成的集合.
由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
二、 向量组的线性组合
m个方程 n个未知数的线性方程组
a1 j b1 a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 b a a21x1 a22x2 a2n xn b2 (2.1) 2j 2 , (2.2) 令 a (j 1,2,...,n), j a x a x a x b bm mn n m m1 1 m2 2 amj
例如
(1 2i ,2,3， , n)
第1个分量 第n个分量
n维复向量
一、
n 维向量的概念
2、 n维向量的表示方法 n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵, 通常用 a , b, , 等表示，如： 黑体粗体 a 1 与数量区别 a2 a . an n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵， T 通常用 aT , bT , T , 等表示，如：
1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 r 0 1 2 1 B ~ 2 1 4 3 0 0 0 0 2 3 0 1 0 0 0 0 所以r(A)r(B) 因此向量b能由 向量组a1 a2 a3线性表示
由上列行最简形 可得方程 a1 x1+ a2 x2 + a3 x3 b的通解为
3 2 3c 2 x c 2 1 2c 1 1 0 c 从而得表示式 ba1 x1+ a2 x2 + a3 x3 (3c2)a1(2c1)a2ca3 其中c可任意取值
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
二、 向量组的线性组合
向量组：若干个同维数的列向量（或行向量）所 组成的集合.
也可以看做矩阵A (aij )
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
问题是:解向量和等号右端的向量之间有没有内在联系? 如果有的话,是怎么样的一种联系呢?
§3.2 向量组及其线性组合
一、 n 维向量的概念 二、 向量组的线性组合 三、 向量组间的线性表示
一、
n 维向量的概念
1、 n维向量的定义 顺序不同的数a1 a2 an是不同的向量
定义1 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组，称为n维 向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个 分量 分量全为实数的向量，称为实向量， 分量全为复数的向量，称为复向量.
a1 负向量 a 2 向量 a 的负向量 a ． an
, n. （同型，维数相同的行或列向量,对应分量相等）
一、 n 维向量的概念
3．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算. 零向量与非零向量
分量全为0的向量，称为零向量.
分量不全为0的向量，称为非零向量.
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
T m
mn
又有m个n维行向量
T 2
T 1
T iT m向 Nhomakorabea组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
二、 向量组的线性组合
由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
T ( a , a , , a ) 都是 例2 任何一个 n 维向量 1 2 n n 维向量组 1 (1,0,,0)T , 2 (0,1,0,,0)T , n (0,0,,0,1)T 的线性组合. 因为 a1 1 a2 2 an n .
线性代数
§3.2 向量组及其线性组合
胡凤珠
前面我们学习了矩阵的初等变换，并学习了利用矩阵 的初等变换解线性方程组.
x1 8 0 8 x 3 2 c 2 c 2 3 ，其中c为任意常数. 1 0 x3 c 0 2 x4 2
T 例5 判断向量 1 (4,3,1,11) 是否为向量组
1 (1,2,1,5) , 2 ( 2,1,1,1)
T
T
的线性组合. 若是, 写出表示式.
解 设 k11 k2 2 1 , 对矩阵 (1 2 施以初等行变换:
2 4 1 3 2 1 1 1 1 5 1 11
线性方程组可以表示为矩阵方程，矩阵又可以表示为向量组， 故线性方程组可以表示为向量形式，线性方程组与增广矩阵的 列向量组之间也是一一对应的关系。
p77 矩阵A的列向量组和行向量组都是只含有有限个向量 的向量组，而线性方程组Amn x 0，的全部解在r(A)n时是 一个含有无限多个n维列向量的向量组.
向量 能否由向量组1 , 2 ,..., m线性表示的问题 等价于 线性方程组1 x1 2 x2 ... m xm 是否有解？
二、 向量组的线性组合
向量 能否由向量组1 , 2 ,..., m线性表示的问题 等价于 线性方程组1 x1 2 x2 ... m xm 是否有解？ a11 x1 a12 x2 ... a1m xm b1 a1 j b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2m m 2 b a2 j 2 令 a j (j 1,2,...,m), , (2.4) .......................................... a bt t j at1 x1 at 2 x2 ... atm xm bt
向量的线性运算 ——加法与数乘 a1 b1 ka1 a b ka 2 2 2 ab , ka . a b n n ka n
a1 b1 a b 2 2 设a ,b , k R, 则 an bn
一、 n 维向量的概念
3．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算.
a1 b1 a b 2 2 设a ,b , k R, 则 an bn 向量的相等 a b ai bi , i 1, 2,

有解，则非齐次线性方程组2.4的系数矩阵和增广矩阵的秩相等！
定理1 向量 能由向量组A a1 a2 am线性表示的充要条 件是矩阵A(a1 a2 am)与矩阵B(a1 a2 am )的秩相等 即r(A)r(B)