第二章习题

3 3 = 3 种取法 P { X = 4 } = . 中取,有 种取法. 中取 有 10 2

1 P{X = 3} = 10
X=5时,一只球编号为 另外两只球只能从编号为 时 一只球编号为 另外两只球只能从编号为1,2,3,4的四只球 一只球编号为5,另外两只球只能从编号为 的四只球 4 6 4! 中取,有 = 中取 有 种取法. P { X = 5 } = . 种取法 =6 10 也可列表表示 2 2! 2!
14.(2) 求第 题中的随机变量的分布函数. 求第(1)题中的随机变量的分布函数 题中的随机变量的分布函数 由第(1)题的结果 的分布律为 题的结果, 解 由第 题的结果 X的分布律为 F(x)=P{X≤x} = ∑ P { X = x k } ≤
xk ≤ x
X 3 4 5 Pk 1/10 3/10 6/10
k 1 总的k-1次中的任意 次中的任意r-1次 共有 种可能,每一种可能的概率均为 总的 次中的任意 次,共有 r 1 种可能 每一种可能的概率均为
但这成功的r次试验 除最后一次必成功外 另外成功的r-1次可以是 但这成功的 次试验,除最后一次必成功外 另外成功的 次可以是 次试验 除最后一次必成功外,另外成功的 qk-rpr =(1-p)k-rpr. 故Y的分布律为 的分布律为
在区间[0,a]上任意投掷一个质点 以X表示这个质点的坐标 设 上任意投掷一个质点,以 表示这个质点的坐标 表示这个质点的坐标.设 15.在区间 在区间 上任意投掷一个质点 这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成比 这个质点落在 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成比 试求X的分布函数 例.试求 的分布函数 试求 的分布函数. 由于质点只能落在[0,a]中,故{X<0},{X>a}是不可能事件 是不可能事件, 解 由于质点只能落在 中故 是不可能事件 x P{X<0}=P{X>a}=0 X x 0 a 是不可能事件, (1)若x<0, {X≤x}是不可能事件 F(x)=P{X≤x} =0 . ≤ 是不可能事件 ≤ 若 (2)若0≤x≤a , 事件 表示"质点落在 事件A表示 质点落在[0,a]中小区间 表示" 中小区间[0,x] 若 中小区间 内", 与该小区间的长度x成比例 则 P(A)=P{0≤X≤x}与该小区间的长度 成比例 与该小区间的长度 成比例, 令 P{0≤X≤x}=kx , (0≤x≤a), 则 1=P{-∞<X<∞}=P{X<0}+P{0≤X≤a}+P{X>a}=ka, x 故 k=1/a, 从而 P{0≤X≤x}=x/a , (0≤x≤a). X 0 x a 因此 F(x)=P{X≤x} =P{X<0}+P{0≤X≤x}=x/a ≤ (3)若x>2, F(x)=P{X≤x} 若 ≤ 0 ax x X =P{X<0}+P{0≤X≤a}+P{a<X≤x} =1 ≤ F(x) 0, x<0 1 分布函数F(x)= x /a , 0≤x<a F(x)的图形如右 的图形如右, 分布函数 的图形如右 1, x≥a ≥ o a x
故P{X=0}=22/35, P{X=1}=12/35, P{X=2}=1/35 . X的分布律为 的分布律为 X Pk 0 1 2
12/35 1/35 0 1 2 X
其图形为
p
22/35
22/35 12/35 1/35
4. 进行重复独立试验 设每次试验成功的概率为 失败的概率为 进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为 设每次试验成功的概率为p,失败的概率为 q=1-p(0<p<1). (1)将试验进行到出现一次成功为止 以X表示所需的试验次数 求X 将试验进行到出现一次成功为止,以 表示所需的试验次数 表示所需的试验次数,求 将试验进行到出现一次成功为止 的分布律.(此时称 服从以p为参数的几何分布 此时称X服从以 为参数的几何分布.) 的分布律 此时称 服从以 为参数的几何分布 表示第i次试验成功的事件 次试验成功的事件,则 解 设Ai表示第 次试验成功的事件 则 P(Ai)=p, P(Ai)=1-p . 将试验进行到出现一次成功为止, 将试验进行到出现一次成功为止 所需的试验次数 X=1,2,…,k,… 次试验均未成功 第k次试验才成功 由于各次试验相 X=k时,前k-1次试验均未成功 次试验才成功,由于各次试验相 时 前 次试验均未成功,第 次试验才成功 互独立,故 互独立 故 P{X=k}=P(A1A2…Ak-1Ak)=P(A1)P(A2)…P(Ak-1)P(Ak)=(1-p)k-1p X的分布律为 P{X=k}=p(1-p)k-1 , k=1,2,… 的分布律为 (3)一篮球运动员的投篮命中率为 一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X表示他首次投中时累计 一篮球运动员的投篮命中率为 以 表示他首次投中时累计 已投篮的次数,写出 的分布律,并计算 取偶数的概率. 写出X的分布律 并计算X取偶数的概率 已投篮的次数 写出 的分布律 并计算 取偶数的概率 这是(1)中 的情况,故 的分布律为 解 这是 中p=0.45的情况 故X的分布律为 的情况 P{X=k}=0.45×(0.55)k-1 , k=1,2,… ×
2n1
X取偶数可视为所有 {X=2n} (n=1,2,…) 事件的总和 其概率为 取偶数可视为所有 事件的总和,其概率为
∞ ∞
(2)将试验进行到出现 次成功为止 以Y表示所需的试验次数 求Y 将试验进行到出现r次成功为止 表示所需的试验次数,求 将试验进行到出现 次成功为止,以 表示所需的试验次数 的分布律.(此时称 服从以r,p为参数的巴斯卡分布 此时称Y服从以 为参数的巴斯卡分布.) 的分布律 此时称 服从以 为参数的巴斯卡分布 将试验进行到出现r次成功为止 所需的试验次数Y=r,r+1,… 次成功为止, 解 将试验进行到出现 次成功为止 所需的试验次数 Y=k时,共进行了 次试验 其中成功 次,未成功 次(k≥r). 共进行了k次试验 其中成功r次 未成功 未成功k-r次 ≥ 时 共进行了 次试验,其中成功 若后r次试验成功 则前k-r次试验未成功 次试验成功,则前 次试验未成功,其概率为 若后 次试验成功 则前 次试验未成功 其概率为 P(A1A2…Ak-rAk-r+ 1…Ak)=P(A1)P(A2)…P(Ak-r)P(Ak-r+ 1)…P(Ak)=qk-rpr
5 5! = 基本事件是从5只球中同时取 只球中同时取3只 有 种取法. = 10 种取法 解 基本事件是从 只球中同时取 只,有 3 3!2! X只能取值 只能取值3,4,5. 只能取值
X=3时,一只球编号为 另外两只球编号为 时 一只球编号为 另外两只球编号为1,2,只有一种取法 一只球编号为3,另外两只球编号为 只有一种取法 只有一种取法, X=4时,一只球编号为 另外两只球只能从编号为 时 一只球编号为 另外两只球只能从编号为1,2,3的三只球 一只球编号为4,另外两只球只能从编号为 的三只球
第二章习题
1. 一袋中装有 只球 编号为 一袋中装有5只球 编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取 只,以X表示取 只球,编号为 在袋中同时取3只 以 表示取 在袋中同时取 出的3只球中的最大号码 写出随机变量X的分布律 只球中的最大号码,写出随机变量 的分布律. 出的 只球中的最大号码 写出随机变量 的分布律
k 1 r p (1 p)k r , k = r , r + 1, P{Y = k } = r 1
7. 设事件 在一次试验中发生的概率为 设事件A在一次试验中发生的概率为 当A发生不少于 次时 在一次试验中发生的概率为0.3,当 发生不少于 次时, 发生不少于3次时 指示灯发出信号.(1)进行了 次重复独立试验,求指示灯发出信号的概 进行了5次重复独立试验 指示灯发出信号 进行了 次重复独立试验 求指示灯发出信号的概 进行了7次重复独立试验 求指示灯发出信号的概率. 率;(2)进行了 次重复独立试验 求指示灯发出信号的概率 进行了 次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率 表示n次重复独立试验中事件 发生的次数, 解 设X表示 次重复独立试验中事件 发生的次数 表示 次重复独立试验中事件A发生的次数 由于事件A在一次试验中发生的概率 在一次试验中发生的概率p=0.3, 故 X~b(n,0.3) . 由于事件 在一次试验中发生的概率
k 1 2 , k = 3,4,5. P{ X = k} = X的分布律为 的分布律为 10
X
3
4
5
Pk 1/10 3/10 6/10
3. 设在 只同类型的零件中有 只是次品 在其中取 次,每次任取 设在15只同类型的零件中有 只是次品,在其中取 只同类型的零件中有2只是次品 在其中取3次 每次任取 每次任取1 作不放回抽样.以 表示取出次品的只数 表示取出次品的只数.(1)求 的分布律 的分布律;(2)画出 只,作不放回抽样 以X表示取出次品的只数 求X的分布律 画出 作不放回抽样 分布律的图形. 分布律的图形 法一:X可能取值为 可能取值为0,1,2. 解 法一 可能取值为 设事件A 表示" 次取到正 设事件 i表示"第i次取到正 13 12 11 22 品",i=1,2,3. P{X=0}=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) = =
P{X=2}=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) +P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)+P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
= 2 1 13 2 13 1 13 2 1 1 + + = 15 14 13 15 14 13 15 14 13 35 22 12 1 P{X=2} =1-P{X=0}-P{X=1} = 1 = 35 35 35