第03讲_常系数线性差分方程及抽样
差分方程方法
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
3 2013年7月18日
1.常系数线性齐次差分方程
(1) 特征根为单根
设差分方程(1)有 k 个单特征根 1 , 2 ,, k ， 则通解为
xn c c2 ck
9
如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略 才能使总收获量最高。
18 2013年7月18日
四、案例:最优捕鱼策略问题
2. 模型的假设 （1）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁 入与迁出； （2）各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡；
（3）所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化 的过程，成活的幼鱼在下一年初成为一龄鱼； （4）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死 亡发生于产卵之后；
a x0 x1 xn1 b ，试求函数的导数值 f ( xk )(k 1,2,, n) 。
用差商代替微商，则有
f ( xk 1 ) f ( xk ) 向前差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk 1 xk f ( xk ) f ( xk 1 ) 向后差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk xk 1
！！无捕捞时 鱼群会无限 的增长吗？？
由假设（１）和（２） ：
dxi (t ) rxi (t ), i 1, 2,3, 4; dt k t k 1, k 0,1, 2,
各龄鱼都不会无限地增长！
21
No! I don’t know!
2013年7月18日
3、模型的建立与求解
线性差分方程
线性差分方程内容提要:1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)1-4 齐次线性差分方程2 线性差分方程3 例子本文主要参考文献.由于最近需要用到一些线性差分方程，所以这里做一个复习小结.注:由于阶数为 2 或者 2 以上，处理方法毫无区别，所以我们集中火力搞定 2 阶情形，一般情形则不加证明给出结果. 但不难由 2 阶情形照搬证明过去.1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的一阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} ,式中 a_1 为实数.\bullet 显然这个方程的解为z_t =C a_1^t . C 为任意实数.1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的二阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} ,式中 a_1, a_2 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ 1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}称为齐次线性差分方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的特征方程，而它的两个根\lambda_{1},\lambda_{2} （可能有重根）叫做特征根.[特解]z_{t}=\lambda_{i}^{t} ( i=1,2 ) 为方程的特解.[证明] 由\lambda_{i}^{2}=a_{1}\lambda_{i}+a_{2} ，两边同时乘以 \lambda_{i}^{t-2} ，得\lambda_{i}^{t}=a_{1}\lambda_{i}^{t-1}+a_{2}\lambda_{i}^{t-2}因此z_{t}=\lambda_{i}^{t} （ i=1,2 ）满足原方程.1-2-1 不等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1}\ne\lambda_{2} , 那么，方程z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}.[证明] 由于\begin{array}{llll} a_{1}z_{t-1}+a_{2}z_{t-2}\\=a_{1}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-1}+C_{2}\lambda_{2}^{t-1}\right)+a_{2}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-2}+C_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\left( a_{1}\lambda_{1}^{t-1}+a_{2}\lambda_{1}^{t-2} \right)+C_{2}\left( a_{1}\lambda_{2}^{t-1}+a_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}\\=z_{t} \end{array}所以对任意的常数 C_{1},C_{2}, 我们都有z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t} 是方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2}的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值 z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}+C_{2}=z_{0}\\C_{1}\lambda_{1}+C_{2}\lambda_{2}=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 \\\lambda_{1} & \lambda_{2}\end{array}\right| \not=0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}. 1-2-2 相等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1} = \lambda_{2}= \lambda , 那么，方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_t =(C_1 +C_2t) \lambda^t .[证明] 由于 \lambda 是特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}的二重根 ,所以它也是 \lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的二重根. 把\lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的两边对 \lambda 求导，得t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-3}，因为重根求导之后仍为根，所以 \lambda 是 t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1 \right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2 \right)\lambda^{t-3} 的根，两边乘以 \lambda 得到\lambda 也是t\lambda^{t}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-1}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-2} 的根，即z_{t}=t\lambda^{t} 也是特解. 容易验证z_t=(C_1 +C_2t) \lambda^t 都是方程 z_t =a_1z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}=z_{0}\\C_{1}\lambda+C_{2}\lambda=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为 \left|\begin{array}{cccc} 1& 0 \\ \lambda & \lambda\end{array}\right|\ne0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}.1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)延续上一节的记号.\bullet (i) 若特征方程有两不等实根 \lambda_1,\lambda_2 ，那么这个方程的解为z_t =C_1 \lambda_1^t+C_2 \lambda_2^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (ii) 若特征方程有两相等实根 \lambda_1=\lambda_2 = \lambda ，那么这个方程的解为z_t =(C_1+C_2t) \lambda^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (iii) 若特征方程有两共轭复根 \lambda_1=re^{iw}, \lambda_2=re^{-iw}, 那么两个特解为z_t=r^{t}e^{iwt} ,z'_t=r^{t}e^{-iwt}，由欧拉公式有z_t=r^{t}[cos(wt)+isin(wt)],z'_t=r^{t}[cos(wt)-isin(wt)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，可以凑出新的两个特解r^{t}cos(wt)与 r^{t}sin(wt) , 因此通解为z_t =C_1r^{t}cos(wt) +C_2 r^{t}sin(wt) .1-4 齐次线性差分方程[齐次线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \t\in \mathbb{Z} \} 的齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cccccc} a_1 & a_2 &a_3&\cdots &a_{p-1} & a_p\\ 1 & 0 & 0&\cdots &0 & 0\\ 0 & 1 & 0&\cdots &0 & 0\\ \cdots &\cdots &\cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 & 0 & 0&\cdots &1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{p}=a_{1}\lambda^{p-1}+a_{2}\lambda^{p-2} +\cdots +a_p称为齐次线性差分方程 ( ) 的特征方程，而它的 p 个非零根\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{p} （可能有重根）叫做特征根.\bullet 如果 \lambda_{i} 为两两不等的实根, 那么，方程( ) 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}+\cdots +C_{p}\lambda_{p}^{t}.2 线性差分方程[线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in\mathbb{Z} \} 的线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p}+h( t). ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数而 h(t) 为t 的已知函数. 并且称方程:z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )为( )的导出齐次线性差分方程.\bullet 线性差分方程( )的解为导出齐次线性差分方程( )的通解和特解之和.3 例子[例1] (等差数列) 等差数列z_{t+1}=z_{t}+d 为一阶线性差分方程.它的导出齐次方程为 z_{t+1}=z_{t} , 特征根为 \lambda=1 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = dt , 那么全部解为 z_{t} = dt+C.[例2] z_{t}= 2 z_{t-1}+1 .它的导出齐次方程为 z_{t}=2z_{t-1} , 特征根为\lambda=2 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C2^t.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = 2^t-1 , 那么全部解为z_t=C2^t-1.。
差分方程的法
差分方程常用解法1、 常系数线性差分方程的解方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （1）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （2）为方程（1）对应的齐次方程。
如果（2）有形如n n x λ=的解，代入方程中可得： 0...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （3） 称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。
显然，如果能求出方程（3）的根，则可以得到方程（2）的解。
基本结果如下：（1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解：nk k n n n c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（3）有m 重根λ(即m 个根均为λ)，则通解中有构成项：n m m n c n c c λ)...(121----+++（3）若（3）有一对单复根 βαλi ±=，令：ϕρλi e ±=，αβϕβαρarctan,22=+=，则（2）的通解中有构成项： n c n c n nϕρϕρsin cos 21--+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（2）的通项中有构成项:n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ϕρϕρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（3）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。
通解可记为：-n x如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解： =n x -n x +*n x （4） 方程（4） 的特解可通过待定系数法来确定。
例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的m 次多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为n 的m 次多项式；如果b 是r 重特征根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（1）中确定出系数即可。
1.3 常系数线性差分方程
同一个差分方程，边界条件不同，所求的h(n)表达 式不同。即：
同一个差分方程，边界条件不同，其对应的系统 是不同的。
二、常系数线性差分方程的求解
解得：此系统不是线性系统，也不是移不变系统。 结论：常系数线性差分方程，其所对应的
系统并不一定是线性移不变的。
一些关于差分方程的结论
一个差分方程不能唯一确定一个系统 常系数线性差分方程描述的系统不一定
利用查找表实现4bit x 4bit
4bit x 4bit 乘法器
用D触发器实现延时器
1. 己知差分方程，作出系统运算结构
2. 己知系统运算结构，求差分方程表达式
例：已知某系统结构如下所示，求此系统所对应的 差分方程。
四、系统运算结构的实现
当输入x(n)=nR10(n)，求输出y(n)。
(输入和输出信号均为8件编程
课后自训
某线性移不变离散时间系统的单位抽样响应序 列h(n)=R3(n)，
1.求此系统对应的差分方程； 2.作出此系统的运算结构； 3. 分别用硬件电路和软件编程实现此系统，
当输入信号x(n)＝nR10(n)时，求出输出 信号y(n)。（输入输出信号均用8bit表示）
1.3 常系数线性差分方程
(3) y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
(使用3之前要证明此系统是线性移不变系统)
一、常系数线性差分方程的定义
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
是线性移不变的 不一定是因果的 不一定是稳定的
在今后的讨论中，通常假设常系数 线性差分方程就代表线性移不变系统， 且多数代表可实现的因果系统。
第3节 二阶常系数线性差分方程
yt 2 ayt 1 byt f (t )
对应齐次方程 yt 2 ayt 1 byt 0
(1) (2)
1.方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解 是(1)的解； 2.方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 . 定理2 设 yt 是方程(1)的一个特解,
yc (t ) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
t 而 0 ,于是有
a b 0
2
(3)
代数方程(3)称为差分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
4
a b 0
2
(3)
记
a 4b ,
2
情形1 若 0 , 则特征方程(3)有两个相异的实根
a , 1, 2 2 t t 得到方程(2)的两个特解 y1 ( t ) 1 ,y2 ( t ) 2 ,
特征方程为 2 4 4 0
解得 1， 2 , 2
t 故所求通解为 yc (C1 C2t )2
9
例3 求差分方程 yt 2 yt 1 yt 0 的通解.
解 特征方程为
2 1 0
3 0 ,
故所求通解为 yc ( t ) C1 cos t C 2 si n t 3 3
于是(2)的通解为
情形2 若 0 , 则特征方程(3)有两个相等的实根 a a t 1, 2 , 只得到方程(2)的一个特解 y1 ( t ) ( ) , 2 2
a t yc ( t ) (C1 C 2 t )( ) 2
6
情形3 若 0 , 则特征方程(3)有一对共轭复根
y t yc ( t ) y t .
3.2 一阶线性常系数差分方程及其应用
100
100
0
0
-100 0
5 10 15 20
单 调 增 趋 于 正 无 穷 大 ,r>0,x0>0
-100 0
5 10 15 20
单 调 减 趋 于 负 无 穷 大 ,r>0,x0<0
100
100
0
0
-100 0
5 10 15 20
单 调 减 趋 于 0,-1<r<0,x0>0
-100 0
5 10 15 20
subplot(4,2,k), plot(0:20,x(k ,:),'k.'), grid on axis([-1,21,-100,100]), xlabel(s{k}) end gtext('一阶差分方程 x_{k+1}=(1+r)x_k 的解的长期行为')
6
一 阶 差 分 方 程 xk+1=(1+r)xk的 解 的 长 期 行 为
解答（续） 结论 （1）在中等和较差的自然环境下，因为 1 r 0 ，经过验算得知 x0 100 b r ，所以 xk 单 调增趋于 b r ，即沙丘鹤数量将增加并趋于稳定值.
（2）在较好的自然环境下，因为 r0 且 x0 0 b r ，所以 xk 单调增趋于正无穷大，即沙丘 鹤数量将无限增长.
如果 r=0，(3.2.4)式即公差为 b 的等差数列，解为
xk x0 kb, k 0,1, 2, 如果 r≠0，(3.2.4)式的解为
xk
x0
b r
1
r
k
b, r
k
常系数线性差分方程的求解28页PPT
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是பைடு நூலகம்讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
数字信号处理第一章差分方程、抽样
2 T ( jW) DTFT [ T (t )] T
k
(W k W )
s
1 ˆ ˆa (t )] X a ( jW) DTFT [ x [ X a ( jW) * T ( jW)] 2
天津科技大学应用文理学院 13
2.频域分析 （1)冲激函数序列δT(t)的频谱
y(-1)= a-1[y(0)-δ(0)]=- a-1
……
y(n)=ay(n-1)=-an
因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)，是非因果系统。
天津科技大学应用文理学院
5
以上结果说明：
（1）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统。
（2）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条件，
1 Xˆa(jW) [X a(jW) * P(jW)] 1 2 T
X a(jW jkWs ) k
上式表明： （1）频谱产生周期延拓。 即采样信号的频谱是频率的周 期函数，其周期为Ωs。 （2）频谱的幅度是Xa(jΩ)
-W c 0
^
Xa(jW)
1
Wc Xa(jW) W
的1/T倍。
2）阶数： 差分方程的阶数是由方程y(n-k)项中的k取值
最大与最小之差确定的。 3）线性：y（n−k）和x(n −r)项都只有一次幂且不存在 相乘项。
天津科技大学应用文理学院
2
二、差分方程的求解
时域经典法：类似于解微分方程，即求齐次解和特解，
过程繁琐，应用很少，但物理概念比较清楚。
迭代法(递推法)：比较简单，且适合于计算机求解，但 不能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形 式解答）。
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实际抽样
ˆ X a ( j)
2 s s
0
s
2 s
实际抽样时，频谱包络的变 化
数字信号处理
主讲教师：沈晶
哈尔滨工程大学计算机科学与技术学院
第3讲：常系数线性差分方程与抽样
本讲内容
常系数线性差分方程
连续时间信号的抽样
常系数线性差分方程
表示形式
N k
阶数=N0
M m0 m
a yn k b xn m
k 0
求解方法 序列域（离散时域）求解法 类似于拉普 变换域求解法 拉斯变换 Z变换
连续时间信号的抽样
抽样 实际抽样 理想抽样
连续时间信号的抽样
要考虑以下两个问题 信号被抽样后其频谱将会有什么变化 在什么条件下，可从抽样数据信号中不失真地 恢复出原信号
信号的频谱
xa(t) |Xa( j )|
时域连续
－ o xp (t)
1 (a)
频域连续
o
t
－ 0
内插函数
信号的重建（抽样的恢复）
内插函数 抽样的内插恢复
实际抽样
抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度 的
矩形周期脉冲 p(t)
ˆ X a j
k
C
k
X a j jk s
实际抽样数据信号的频谱是连续信号频谱的
周期延拓，如果满足奈奎斯特抽样定理，不 会产生频谱的混叠失真，只是频谱分量的幅 度有变化，其包络是随频率增加而逐渐下降 的
n
因果系统 |a|<1系统稳定
用迭代法求解差分方程
常系数线性差分方程
yn ayn 1 xn
试求其单位样响应（初始状态为y(0)=0）
0, n 0 hn n a , n 0
非因果系统 |a|>1系统稳定
用迭代法求解差分方程
常系数线性差分方程和初始条件共同决定系
统的性能 常系数线性差分方程描述的系统
不一定是线性的、移不变的、因果的或稳定的
需要注意：只有当边界条件选的合适时，才相
当于一个因果稳定的线性移不变系统
本书中，假设常系数线性差分方程就代表线
性移不变系统，且多数代表可实现的因果系 统
系统结构图
由差分方程可得系统的结构图
差分方程
时域连续周期
(b)
0 |Xp ( jk )|
频域离散
o Tp x(nT) t o |X( ej )| 1 /T (c) － o |X( ejks)| k
时域离散
nT
频域连续周期
T o N点 xp (n)
时域离散周期
(d)
频域离散周期
o N点
n
－
o N点
s
理想抽样的抽样定理
yn b0 xn a1 yn 1
x(n) y(n)
b0 -a1
Z-1
连续时间信号的抽样
抽样（取样或采样） 就是利用周期性抽样脉冲序列 p(t)，从连续信号 xa(t)中抽取一系列的离散值，得到抽样信号（或 ˆ 称抽样数据信号）即离散时间信号，以 xa t 表示
xa t
Ω
-ΩS/2
0
ΩS/2
信号的重建（抽样的恢复）
ˆ xa t
h(t) H(j)
ya t xa t
X a j
ˆ X a j
ˆ Ya j X a jH j X a j
抽样内插公式 sin t mT T ya t xa t xa mT m t mT T
发生混叠
s /2折叠频率
h
信号的重建（抽样的恢复）
前提条件 满足奈奎斯特定理
1 T X a j , ˆ X a j 0 , S 2 S 2
方法 ˆ 将 X a j 通过理想低通滤波器 理想低通滤波器
H(jΩ) T
T, S 2 H j S 0, 2
差分方程在给定输入和给定边界（起始）条
件下，可用迭代的办法求系统的响应
边界条件 的数量
用迭代法求解差分方程
常系数线性差分方程
yn ayn 1 xn
试求其单位抽样响应（初始状态为y(-1)=0）
a n , n 0 hn 0, n 0
hn a un
信号频谱
1 最高频谱分量h 如果h> s/2 ?
抽样频率2/T 1/T
奈奎斯特抽样定理
若xa(t)是频带宽度有限的，要 想抽样后 x(n)=xa(nT) 能够 不失真地还原出原信号xa(t)， 则抽样频率必须大于或等于 两倍信号谱的最高频率 即 fs≥2fh
1 T X a j , ˆ X a j 0 , S 2 S 2
量化
ˆ xa t
连续时间信号的抽样
xa t ˆ xa t
pt
xa t
ˆ xa t
fs
1 T
ˆ xa t xa t P t
连续时间信号的抽样
xa t
冲激函数 序列
T t
0
ˆ xa t
ˆ xa t xa t T t
科学家简介
拉普拉斯 (1749～1827)
序列域求解法
经典解法 要求齐次解、特解，根据边界条件再确定待定 系数，较麻烦 迭代法 特点：只能得到数值解，不易直接得到闭合形 式解答 卷积和计算法 适用于系统起始状态为零（松弛系统）时的求 解，或说求零状态解
用迭代法求解差分方程