工程电磁场导论矢量分析与场论.ppt62页PPT
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2020/11/12
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教育部电子信息与电气学科教学指导委员会 基础课教学指导分委员会
《电磁场》课程教学基本要求
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电磁学三大实验定律： 库仑定律， 安培定律， 法拉第定律。
Reaction Field
提升力
Magnetic Force
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Levitation Force (mN): Theory 45.72 Lorentz 42.04 Maxwell Str 44.60 Virt Work 44.73
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2-D Magnetostatics (2-D静磁场)
电场强度E (V/m) － 8000 8000 200/f 200/f 67 67 67/f1/2 14 9.85f1/2 28
磁场强度H (A/m)
7000 7000/f2 900/f 0.9/f
1.13 1.13 0.17/f 0.17/f1/2 0.036 0.026f1/2 0.073
磁感应强度B (μT) 9000 9000/f2 1100/f 1.1/f 1.4 1.4 0.21/f
雷达
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电磁波暗室（无反射）
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电场脉冲模拟器
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开阔地试验
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磁悬浮分析
工程电磁场导论矢量分析与场论
Ax Bx AyBy Az Bz
柱坐标：
A
B
A B
A B
Az Bz
球坐标： A B Ar Br A B A B
8
（一）矢量分析
C
五、矢量的乘法：
（2）矢量积、叉积：
A
①
大小：
|
C A B C | ABsin(
A,
c1
c2
G
G dl 0 c1
G dl 0 c2
G dl G dl 0
c1 c2
c
27
（二）场 论
5、高斯散度定理: 斯托克斯定理：
SA dS V AdV
LA dl S A dS
28
6、亥姆霍兹定理 ① 矢量场和源的关系
y
矢量场中某点的散度为标量，是点的空间位置的函数。
17
通量的物理意义：
以流体为例，若
Sv dS 0
Sv dS 0
Sv dS 0
每秒有净流量流出， 每秒有净流量流
包面内有正源
入，包面内有负
源
每秒流入包面和流出包面 的净流量相等，包面内无 源，或正源与负源相等
v 0
A
Ay = A sin A
Az = Az
0
Az
A 2 = Ax 2+ Ay 2
A
e
tg A = Ay / Ax y Az = Az
x
e
0 A < + 0 A < 2 -< Az < +4
（一）矢量分析
第一章矢量分析与场论-ppt课件
坐标元
1.8 微分元 恣意元 微分元是矢量微、积分的根底。
坐标元
坐标线元
坐标平面元dσ
坐标体元dv
dx 直 dy
dz dρ
dx= dx ex
dy= dz=
ey dy ez
dρ= dz eρ
dφ= dρ ej
dddσσσ=假yx ==设: xd=σc,z =
yd=σc,ρ = zdd=σσc,φz ==
A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C
A·(B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B)
‖
‖
‖ Ax Ay Az
[ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz
Cx Cy Cz
假设 B=C 那么 A·B = A ·C及A×B = A ×C 成立 B C 假设 A·B = A ·C及A×B = A ×C 那么 B=C不一定成立
er(90°s,iφn+θ9c0o°sφ)·ez ez sinθ sinφ
cosθ
ex
= sin(θ+90°) cosφ
sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°)
ey
sin90° cos(φ+90°) sin90° sin(φ+90°) cos90°
ez sinθ cosφ
sinθ sinφ
因此：ex = 1/√2er-1/√2eφ ， ey = 1/√2er+1/√2eφ , ez = － eθ
∴ A = 3√2er －2 eθ +√2 eφ ②对于点(√2,√2,2) ： sinθ = sinφ= cosθ= cosφ=1/√2
电磁场理论第1章：矢量与场论
上式可用下行列式帮助记忆:
ey y Ay
ez z Az
A x Ax
第一章 矢量分析
可以证明，有下列恒等式：
( A B ) A B ( A ) A A ( A B ) B A A B ( ) 0 A ( A ) 2 A
性质:
( A B) A B (A) A A
第一章 矢量分析
2 2 2 ( e x ey e z ) 2 2 2 2 x y z x y z
R R R . R 1 R 3 R R
R为空间两点(x,y,z) 与(x’,y’,z’)的距离
第一章 矢量分析
例1 矢量r=xex+yey+zez， r x 2 y 2 z 2
证明：
r r r . r
证：
因为
r r r r e x e y e z x y z r x x 2 2 2 x y z 2 2 2 x x r x y z
A Ax (t )e x Ay (t )e y Az (t )e z
其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。
同一矢量在不同坐标系下有不同的表达式！（见后）
第一章 矢量分析
1.1.2 标量场和矢量场
如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的 一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换 句话说， 在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。
2
定义：
记为
2 2 2 2 2 2 2 x y z 2 A 2 Axe x 2 Ay e y 2 Az e z
电磁场与电磁波理论-矢量分析与场论
1-23
《电磁场与电磁波理论》
2.矢量加法和减法
♥ 直角坐标系中矢量加法和减法
第1章 矢量分析与场论
◘ 只有矢量和矢量之间才能进行相加减。
（1.1.24） （1.1.25）
1-24
《电磁场与电磁波理论》
3.矢量的标量积和矢量积
第1章 矢量分析与场论
矢量的标量积 矢量的矢量积 “右手法则”和“右手螺旋法则” 标量积和矢量积的特点 标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
1. 标量场的方向导数
第1章 矢量分析与场论
♥ 方向导数——空间某一点的标量场沿某一方向的变化率定 义为该标量场在该点沿该方向的方向导数，即
（1.2.1）
其中
1-38
《电磁场与电磁波理论》
1. 标量场的方向导数
♥ 根据求导法则，方向导数可以表示成
第1章 矢量分析与场论
◘ 方向余弦 ◘ 该方向上的单位矢量
矢量的大小 矢量的方向的单位矢量
（1.1.4）
1-13
《电磁场与电磁波理论》
♥ 矢量的方向余弦
2.矢量表示法
第1章 矢量分析与场论
——矢量与三个坐标轴之间的夹角。
♥ 矢量的方向的单位矢量
（1.1.5）
◘ 一般情况下均采用矢量的方向的单位矢量（方向余弦）来 表示矢量的方向，只有需要时，才需要用到矢量与坐标轴 的夹角。
♥ 若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于 零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。
♥ 若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂 直；
♥ 若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。
1-31
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
工程电磁场导论 矢量分析汇总
或 ( x, y) const
思考
图0.1.1 等高线
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？
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第 零 章
矢 量 分 析
矢量场--矢量线 其方程为：
线上每一点处的切线方向都与矢量场在该点的方向相同
A dl 0
在直角坐标系下：
二维场
三维场
Ay Ax dx dy
图0.1.2 矢量线
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第 零 章
矢 量 分 析
4、斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem ) dΓ ( A) en dS
第 零 章
矢 量 分 析
第0章 矢量分析
Vector Analysis
标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度
矢量场的环量与旋度
亥姆霍兹定理
电磁场的特殊形式
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下 页
第 零 章
矢 量 分 析
正交坐标系-直角坐标系
OM ex x e y y ez z A
返 回
上 页
下 页
第 零 章
返 回 上 页 下 页
第 零 章
矢 量 分 析
例 0.2.1 试证明在点电荷q产生的静电场中，电 位函数的负梯度等于电场强度 E 。
，
第 零 章
矢 量 分 析
例 0.2.2 电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的 等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数； 指向电位增加的方向。
图0.2.2 电位场的梯度
2
e r sin drd e rdrd
第 零 章
矢 量 分 析
元体积
dV (rd )dr (r sin d ) r sin drd d
工程电磁场—矢量分析
工程电磁场
5） C • Atdt C • Atdt
（ C ：常矢量）
6） C Atdt C Atdt
（ C ：常矢量）
（1．1 结束）
13
工程电磁场
1.2 场的基本概念和可视化
14
工程电磁场
1．场的基本概念
“场“：物理量 空间 空间每一点 对应物理量一个值 标量场 如温度、能量、电位等 矢量场 如速度、力、电场、磁场等
• 23
• 0 2 3 32
3
2020/5/2
43
工程电磁场 3．梯度的定义与计算公式
哪个方向 u 的变化率（方向导数）最大？
最大变化率（方向 导数）是多少？ 在直角坐标系中， 标量函数的方向导数为
梯度：回答 这两个问题
u u cos u cos u cos
l x
y
z
cos , cos, cos 为 l 的方向余弦
等值线的例子
23
工程电磁场
3．矢量场的矢量线
矢量场用矢量线来表示 矢量线上一点切线方向 与该点场矢量方向相同 矢量线稀密反映矢量大小
24
工程电磁场
根据矢量线的定义，在矢量线上任一点的切向 矢量元dl与矢量场平行，即：
Adl 0
• 在直角坐标系中有
AA xexAyeyA zez dldxexdyeydzez
grad(u v
)
1 v2
(vgradu
ugradv)
2020/5/2
50
工程电磁场
6） gradf (u) f (u)gradu
公式 6）的证明：
gradf
(u)
f x
ex
f y
ey
大学 电磁场理论 完整 课件 第2讲 矢量分析
电磁场理论讲稿第2讲矢量分析电子信息工程学院矢量分析与广义坐标系①内容A.矢量，单位矢量，位置矢量，矢量代数运算；②广义坐标系A.矢量线元，矢量面元，标量体元标量、标量场与单位矢量标量场（空间位置和时间的函数）：),(t rφ矢量场(空间位置和时间的函数)：),(t r A 标量（大小）:f 矢量(大小＋方向):a单位矢量：ii i =ˆA AA⋅=ˆ矢量的分量z z y y x x A i A i A iA ˆˆˆ++=222zy x A A A A ++= 2220ˆˆˆzy x z z y y x x A A A A i A i A i A ++++=位置矢量（矢径）xyzP(x,y,z)rz i y ix i r z y x ˆˆˆ++= P 点相对于O 点的位置x yzP(x,y,z)r'r R P 点相对于P’点的位置)'(ˆ)'(ˆ)'(ˆz z i y y i x x i z y x -+-+-='r r R-=P(x’,y’,z’)矢量代数运算式均为矢量C B A,,()C A B A C B A B A B A A B B A C B A C B A A B B A ⋅+⋅=+⋅=⋅⋅=⋅=⋅++=+++=+)(.4,,cos .3)()(.2.1θθ()nB A nB A B A ˆ)0(,,,ˆsin .5πθθθ≤≤=⋅⋅⋅=⨯垂直于B A ,所在平面，并与成右手螺旋关系。
B A⨯AB B A ⨯-=⨯.6矢量代数运算式zy x zyxz y x z z y y x x z z y y x x B B B A A A i i iB A B i B i B i B A i A i A iA ˆˆˆˆˆˆ,ˆˆˆ.8=⨯++=++=CB A BC A C B A CB AC B A C B A C B A B A C A C B C B A)()()(.12)()(.11)()(.10)()()(.9⋅-⋅=⨯⨯⨯⨯≠⨯⨯⋅≠⋅⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅CA B A C B A⨯+⨯=+⨯)(.7广义正交坐标系①直角坐标系②柱坐标系③球坐标系④……u 3u 2u 1ˆi 2ˆi3ˆi11c u =),,(321c c c P 坐标面33c u =坐标面22c u =坐标面广义正交坐标系特点①三个坐标单位矢量相互垂直②空间任何一点都可用过这点的三个坐标面确定③坐标变量、坐标面、坐标线、单位矢量关系④为右手螺旋关系⑤坐标变量的量纲不一定为长度量纲：其中, 为长度量纲⑥坐标单位矢量不一定为常矢量321ˆ,ˆ,ˆi i i 321ˆ,ˆ,ˆi i i321,,u u u s c r r z y x ,,,,i i i ˆ,ˆ,ˆˆˆˆˆ,,,i i i i直角坐标系zxyY=4坐标面X=2坐标面Z=3坐标面X=2Y=4Z=3xiˆyiˆziˆP柱坐标系=ϕ4πϕ=0=c r Z=1.5Pcri ˆϕi ˆzi ˆ坐标面4πϕ=Z=1.5坐标面坐标面2=c r球坐标系坐标面坐标面坐标面2πϕ=z xy 0=ϕθπ=0θ=Psr i ˆϕi ˆϑi ˆ4=s r 6πθ=0=ϕ广义坐标系u 3u 2u 1ˆi 2ˆi 3ˆi 11c u =),,(321c c c P 坐标面33c u =坐标面22c u =坐标面广义坐标系位置矢量广义坐标系?位置矢量（矢径）：直角坐标系：柱坐标系：球坐标系：z i y i x ir z y x ˆˆˆ++= zi r i r z c r c ˆˆ+= sr r i r sˆ= xyzP(x,y,z)rcr矢量线元332211321ˆˆˆds i ds i ds i s d s d s d s d ++=++= s d ds i :在i i ˆ上的投影，量纲为长度量纲。