正交轨线在电场中的应用烟台大学数学与信息
直线与圆曲线正交方法一介绍课件
直线与圆曲线正交方法一采用数值计算的方法，通过计 算直线与圆曲线的交点，判断直线与圆曲线是否正交。
工程设计中的应用
1
3
道路设计：确定道 路与圆曲线的交点， 保证道路的平顺性
铁路设计：确定铁 路与圆曲线的交点， 保证铁路的平顺性
桥梁设计：确定桥 梁与圆曲线的交点， 保证桥梁的稳定性
2
建筑设计：确定建 筑与圆曲线的交点， 保证建筑的美观性
4
教学实践中的应用
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
直线与圆曲线 正交方法一在 几何图形分析 中的应用
直线与圆曲线 正交方法一在 工程设计中的 应用
直线与圆曲线 正交方法 正交方法一在 计算机图形学 中的应用
科研工作中的应用
工程设计：在工程设计中，直线 与圆曲线正交方法一可以用来确 定曲线与直线的交点，从而进行
精确的工程计算。
01
地理信息系统：在地理信息系统 中，直线与圆曲线正交方法一可 以用来确定地图上的曲线与直线 的交点，从而提高地图的精确度。
03
正交方法可以应用于各种类型的直线与圆曲线， 如直线与圆、直线与椭圆、直线与抛物线等。
正交方法具有较高的计算效率，可以快速求解 直线与圆曲线的交点。
正交方法的应用
01 直线与圆曲线正交方法一用 于解决直线与圆曲线的相交 问题
02 正交方法一可以应用于各种 工程领域，如建筑、机械、 电子等
03 正交方法一可以帮助设计师 和工程师更准确地设计直线 与圆曲线的相交部分
演讲人
目录
01. 直线与圆曲线正交方法一概 述
人教版高中物理必修第三册精品课件 第9章 静电场及其应用 二非点电荷电场强度的求解、电场线和轨迹问题
场线,虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹,a、b、c是轨迹上
的三个点,则( A C )
A.粒子一定带正电
B.粒子一定是从a点运动到b点
C.粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度
D.若粒子由a点运动到b点,则速度始终减小
解析 粒子做曲线运动时,合力的方向指向运动轨迹的凹侧,可知粒子受力方
向与电场方向一致,粒子带正电,故 A 正确。只知道曲线运动轨迹不能判断
运动方向,所以粒子运动方向无法确定,故 B 错误。由于 c 点电场线比 b 点电
场线密,则 c 点电场强度大于 b 点电场强度,在电场中根据
a=
=
可知,粒
子在 c 点的加速度大于在 b 点的加速度,故 C 正确。粒子由 a 点运动到 b 点
过程中,粒子所受静电力方向与速度方向所成的角由钝角逐渐减小为锐角,静
偿
为求解新模型与补充条件的差值问题。如采用补偿法将有缺口的带电
法
圆环补全为圆环,或将半球面补全为球面,从而将问题化难为易
应用体验
【例1】 (2023安徽安庆宿松中学校考)如图所示,空间存在水平向右的匀
强电场,电场强度大小为E,一个四分之一圆环形、粗细均匀的绝缘细棒AB
上均匀分布有正电荷,O为圆环的圆心,OB与电场线平行。将四分之一圆环
绕O点在圆环所在的平面内沿顺时针转过45°,这时O点的电场强度大小为
2E,则圆环上电荷在O点产生的电场强度大小为( D )
1
A. E
2
B.E
C.
3
E
2
D. 3E
解析 把圆环分割成无数段等长的小圆弧,每段小圆弧可以看作带相等电荷
量的点电荷,这些小圆弧关于 O 点和 AB 弧中点的连线对称, 根据电场的叠
电子测量技术课后习题答案林占江版
第11章 智能仪器
11.1 P310 11.2 P311 11.3 P314 11.4 P316
12.1 P319 12.2 P321 12.3 P325 12.4 P333 12.5 P336 12.6 P338
第12章 虚拟仪器
13.1 P339 13.2 P341 13.3 P342 13.4 P346 13.5 P347 13.6 P349
习题解答
第1章绪论
1.1 答：电子测量是以电子技术理论为依据，以电子测量仪 器和设备为手段，以电量和非电量为测量对象的测量过程。 属于电子测量的是（2）、（3）。
1.2 答：见1.2节与1.3节。 1.3 答：主基准、副基准和工作基准。
第2章 测量误差分析与数据处理
2.1 绝对误差：0.05V 修正值：-0.05V 实际相对误差：1.01% 示值相对误差：1.00% 电压表应定为0.5级
第6章 频域测量
7.1 P236 7.2 P237 7.3 P238 7.4 P241 7.5 P243 7.6 P246 7.7 P249 7.8 P265
第7章 逻辑分析仪
8.1 P270 8.2 P272 8.3 P272 8.4 P274 8.5 P275 8.6 P276 8.7 P277
2.2 15V,2.5级 2.3 ±10% 2.4 绝对误差：-0.2mA；修正值：0.2mA
实际相对误差：0.25% 0.5级
2:.5 14.8V,40.8%
2.6 1.15V,0.99V;23%,19.8% 2.7 5%,0.42dB 2.8 200k,266.7k,25% 2.9 200k,199.973k,0.014% 2.10 微差法、替代法、零示法
第13章 自动测试系统
平面向量的投影和正交投影
平面向量的投影和正交投影在数学中，平面向量是一个具有大小和方向的量。
它可以在二维平面中表示为箭头或者有向线段。
平面向量的投影和正交投影是在向量分析中常被使用的概念，下面将对这两者进行详细描述。
一、平面向量的投影平面向量的投影是指将一个向量映射到另一个向量上的过程。
具体来说，给定向量A和向量B，我们希望求解A在B方向上的投影，即A在B方向上的分量。
假设A的向量表示为(Ax, Ay)，B的向量表示为(Bx, By)，则A在B方向上的投影（记作projB A）可以通过下面的公式计算得出：projB A = (A ∙ B) / ∥B∥² × B其中，∙表示向量的点积操作，∥B∥表示向量B的模长。
通过上述计算，我们得到A在B方向上的投影。
二、平面向量的正交投影平面向量的正交投影是指将一个向量投影到另一向量的垂直方向上。
具体来说，给定向量A和向量B，我们希望求解A在B方向上的正交投影，即A在B方向上的垂直分量。
假设A的向量表示为(Ax, Ay)，B 的向量表示为(Bx, By)，我们可以通过以下步骤计算A在B方向上的正交投影（记作orthB A）：1. 计算A在B方向的投影projB A。
2. 计算A与projB A的差向量diff = A - projB A。
3. 得到A在B方向上的正交投影orthB A = A - diff。
通过上述三个步骤，我们得到A在B方向上的正交投影。
三、应用举例平面向量的投影和正交投影在许多实际问题中都有广泛的应用。
例如，在几何学中，我们可以利用投影和正交投影来计算平面上两个向量之间的夹角，以及向量在平面上的投影长度。
在物理学中，我们可以利用投影和正交投影来分析物体在斜坡上滑动的运动轨迹。
在计算机图形学中，我们可以利用投影和正交投影来进行三维场景的透视投影和阴影计算。
总结：平面向量的投影和正交投影是向量分析的重要概念。
投影是将一个向量映射到另一个向量的过程，而正交投影是将一个向量投影到另一向量的垂直方向上。
一种基于三轴正交接收线圈的磁感应透地通信方案
第 55 卷第 3 期2024 年 3 月中南大学学报(自然科学版)Journal of Central South University (Science and Technology)V ol.55 No.3Mar. 2024一种基于三轴正交接收线圈的磁感应透地通信方案王羿帆，杨维，戴蒙天(北京交通大学 电子信息工程学院，北京，100044)摘要：为提高磁感应透地通信系统的灵活性和覆盖范围，提出了一种新型透地通信方案，该方案采用单轴空气线圈作为地面发射机天线，用3个相同参数的空气线圈作为接收机天线。
首先，对通信信号进行空间分集接收，使通信系统的井下接收机能够以任意姿态地摆放于巷道之中，并能实现更广范围的信号覆盖；其次，为消除因接收线圈间近场耦合作用而产生的信号干扰，将接收机3个天线设置成共用1个圆心且两两相互正交的空间结构；最后，以远距离通信场景下收发线圈间的弱耦合情况为依据，建立一套与接收方案相对应的等效电路模型，并搭建仿真实验平台，分析提出的方案的通信性能。
研究结果表明：三轴正交磁感应透地通信接收方案的信号接收强度可达到同等通信距离下理想信号强度的57.7%以上，接收功率可达到最优接收功率的33.33%以上。
本文提出的方案解决了单轴线圈接收方案中的通信盲区问题，且有效提高了远距离磁感应透地通信系统的覆盖范围和对应急救援场景的适应性。
关键词：透地通信；磁感应；远距离；应急通信中图分类号：TD65.5 文献标志码：A 开放科学(资源服务)标识码(OSID)文章编号：1672-7207（2024）03-0973-09A magnetic induction through-the-earth communication schemebased on three-axis orthogonal receiving coilWANG Yifan, YANG Wei, DAI Mengtian(School of Electronics and Information Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)Abstract: In order to improve the flexibility and coverage of the magnetic induction through-the-earth (TTE) communication system, a new TTE communication scheme was proposed. The scheme uses a single axis air coil as the ground transmitter antenna and three air coils with the same parameters as the receiving antenna. Firstly, the communication signal was received by space diversity, so that the underground receiver of the system can be placed in the tunnel in any posture and achieve a wider range of signal coverage. Secondly, in order to eliminate the signal interference caused by the near-field coupling between the receiving coils, the three antennas of thereceiver were set to a spatial structure with a common center and orthogonal to each other. Finally, based on the收稿日期： 2023 −08 −30； 修回日期： 2023 −11 −20基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(62071032) (Project(62071032) supported by the National Natural ScienceFoundation of China)通信作者：杨维，博士，教授，从事无线通信与无线安全监测技术研究；E-mail ：**************.cnDOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2024.03.012引用格式： 王羿帆, 杨维, 戴蒙天. 一种基于三轴正交接收线圈的磁感应透地通信方案[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2024, 55(3): 973−981.Citation: WANG Yifan, YANG Wei, DAI Mengtian. A magnetic induction through-the-earth communication scheme based on three-axis orthogonal receiving coil[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2024, 55(3): 973−981.第 55 卷中南大学学报(自然科学版)weak coupling between the transmitting and receiving coils in the long-distance communication scenario, a set of equivalent circuit models corresponding to the receiving scheme were established. A simulation experiment platform was built to analyze the communication performance of the proposed scheme. The results show that the signal receiving strength of the three-axis orthogonal magnetic induction TTE communication receiving scheme can reach more than 57.7% of the ideal signal strength under the same communication distance, and the receiving power can reach more than 33.33% of the optimal receiving power. The scheme proposed in this paper solves the problem of communication blind area in the single-axis coil receiving scheme, and effectively improves the coverage of the long-distance magnetic induction TTE communication system and the adaptability to emergency rescue scenarios.Key words: through-the-earth communication; magnetic induction; long-distance; emergency communication煤炭是我国能源结构中十分重要的一环，但我国近95%的煤矿需要进行井下开采[1]。
【课件】全程复习广西专用广西专用高考物理一轮复习113带电粒子在复合场中的运动课件新人教版精编版
④（2分） ⑤（2分）
（3）射入磁场时入射速度v′=4v，带电粒子在匀强磁场中做匀
速圆周运动，设轨道半径为r，由牛顿第二定律有
qvB m v2 r
又有qE=qvB=ma 由②⑤⑥⑦得 r 3R（1分）
3
带电粒子偏转情况如图,
⑥（2分） ⑦（1分）
由几何知识 sin R ,sin 3 , ，
2.磁流体发电机和电磁流量计原理 （1）根据左手定则，可以确定正、负粒子的偏转方向，从而确 定正、负极或电势高低. （2）电势差稳定时， q U qvB. 由此可计算磁流体发电机最大
d
电势差U=Bdv； 电磁流量计流量 Q Sv dU .
4B
（2012·南宁模拟）一带正电的粒子以速度v0垂直飞入如图所 示的电场和磁场共有的区域，B、E及v0三者方向如图所示，已 知粒子在运动过程中所受的重力恰与电场力平衡，则带电粒子 在运动过程中（ ）
带电粒子在复合场中运动情况分析 【例证1】（2012·杭州模拟）在长方形abcd 区域内有正交的电磁场，ab bc L，一带电粒
2
子从ad的中点垂直于电场和磁场方向射入， 恰沿直线从bc边的中点P射出，若撤去磁场， 则粒子从c点射出；若撤去电场，则粒子将 （重力不计）（ ）
A.从b点射出 B.从b、P间某点射出 C.从a点射出 D.从a、b间某点射出 【解题指南】解答本题应把握以下三点： （1）由带电粒子在复合场中能沿直线运动可确定电场力和洛伦 兹力平衡. （2）由带电粒子在电场中运动，从c点射出，找出粒子在磁场 中运动时求解半径的条件. （3）根据带电粒子在磁场中运动半径，判断粒子的射出点.
【变式备选】如图所示的装置，左半部分为速度选择器，右半 部分为匀强的偏转电场.一束同位素离子流从狭缝S1射入速度选 择器，能够沿直线通过速度选择器并从狭缝S2射出的离子，又 沿着与电场垂直的方向，立即进入场强大小为E的偏转电场，最 后打在照相底片D上.已知同位素离子的电荷量为q （q＞0）， 速度选择器内部存在着相互垂直的场强大小为E0的匀强电场和 磁感应强度大小为B0的匀强磁场，照相底片D与狭缝S1、S2连线 平行且距离为L，忽略重力的影响.
轨道面交线Figintersec...
国内图书分类号：V412.4国际图书分类号：629工学硕士学位论文空间碎片轨道预报筛选策略研究硕 士 研究生：尚树喜导师：赵阳教授申请学位级别：工学硕士学科、专业：人机与环境工程所在单位：航天工程系答辩日期：2006年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index：V412.4U.D.C.: 629Dissertation for the Master Degree in Engineering.ORBIT PREDICTION AND FILTRATION STRATEGIES OF SPACE DEBRISCandidate：Shang ShuxiSupervisor：Prof. Zhao YangAcademic Degree Applied for：Master of Engineering Specialty：Ergonomics and Environment Date of Oral Examination：June, 2006University：Harbin Institute of Technology哈尔滨工业大学工学硕士学位论文摘要空间碎片碰撞预警分析在保障在轨航天器运行安全有着重要的意义，随着在轨碎片的逐年增多，对空间碎片进行相关分析变得越来越重要。
本文针对空间碎片碰撞预警分析中有关轨道筛选策略和轨道预报计算方法内容进行研究，所获得的研究成果将直接应用于上海航天局的“基于网络的空间环境预报数据库”中的碎片环境子系统。
本文在分析、建立轨道摄动计算模型的基础上，首先采用基于轨道远、近地点特征对大量编目在册的空间碎片进行初步几何静态筛选，然后根据碎片与目标轨道面的相对位置特点把碎片分为异面与准共面两种情况以进行动态筛选，在筛选过程中考虑到预报时限长度和轨道摄动影响，引入了轨道摄动中具有积累效应的长期项以满足危险时间点的捕捉要求，利用了长期项摄动变化线性的特点导出了碎片与目标异面情况下各自过交线的时间序列成准等差数列的规律性和准共面情况下类似的规律性，从而显著地提高了前期轨道筛选的计算效率；最后对剩余危险碎片和目标飞行器利用SXP4轨道预报模型在前期轨道筛选的基础上以各个危险探测时间点为预报的时间起点，并根据预报计算结果，分析目标和碎片在该时间点的运动趋势是相互远离还是相互接近，推出预计最小相对距离发生时刻相对此刻的时间长度，得到其随时间变化的局部最小相对距离以及危险距离发生的时刻和相对速度，这是一个采用变时间步长、快速逼近最小相对距离的过程。
人教版高中数学B版目录
人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。
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正交轨线在电场中的应用
专题摘要：给出正交轨线的概念及求已知曲线族的正交轨线的方法。
指出带正电荷的电场中，电力线与等势面中的任意曲线都正交，证明了带电量为q 的正电荷激发出电场的电力线为一族从q 出发的射线族时，等势面为以q 为中心的同心圆族。
求曲线或曲线族，使得它与已知曲线族的每一条曲线都相交成给定的角度。
这样的曲线或曲线族称为已知曲线族的等角轨线。
当给定的角为直角时，等角轨线就称为正交轨线。
等角轨线在天文，气象，电磁场中有着成功的应用。
设在xoy 平面上，给定一个曲线族0),,(=C y x L ϕ：，求这样的曲线l ，使得l 与L 中每一
)(1x y y =，则 )(1x y 和)(1
x y '条曲线的交角都是定角α（如图1所示）。
设l 的方程为与曲线L 及其切线的斜率y '有如下关系：
当2πα≠时，k tg y y y y ==''+'-'α1
1
1， 或
1
1
1y k k y y '+-'=
' （1） 当2
π
α=
时，
1
1
y y '-
='， （2） 由于在交点处，)()(1x y x y =，所以， x ，y ，y '应满足某微分方程
0),,(='y y x F ， （3）
现在求微分方程（3）的表达式。
设)(x y y =为L 中的任一条曲线，则存在相应的C ，使得
0)),(,(≡C x y x ϕ， （4）
上式对x 求导，得
0)()),(,()),(,(≡''+'x y C x y x C x y x y x ϕϕ， （5）
联立方程式（4）、（5）并消去常数C ，可得关于)(),(,x y x y x '满足的关系式0),,(='y y x F 。
该关系式称为曲线族L 的微分方程。
于是，等角轨线)2
(π
α≠
的微分方程为
0)1,,(1
1
1='+-'y k k y y x F ， （6）
正交轨线的微分方程为
0)1
,,(1
1='-
y y x F 。
（7） 为了避免符号的麻烦，可将上两方程中的1y 换成y 表示，只要我们明确它是所求的
等角轨线的方程即可。
在电场中，电势相等的点所构成的曲面称为等势面。
电荷q 在等势面上运动，电场力对电荷不作功，即q 0=⋅dl E ，由于电荷q 、电场强度E 和位移dl 均不为零，因此上式
成立的条件是电场强度E 必须与dl 垂直，即某点大电场强
度E 与该点的等势面垂直（如
图2所示）。
假定有一带电量为q 的正电荷，在电荷周围激发出一个电场，电场线为一族从q 出发的射线（如图3所示，图为通过点电荷q 的平面图）。
通过以上论述，该电场的等势面应为等势面上任意一点的切平面都与
电场线垂直。
当从q 点出发的射线束为Cx y =时，等势面就是与射线束正交的轨线。
对直线族Cx y =求导得C y ='， 将y C '=代入到直线族Cx y =中得微分方程
x
y
dx dy =， （8） 当2
π
α=
时，利用（7）式得正交轨线的微分方程为
y
x dx dy -=， 或
0=+ydy xdx ，
从而得正交轨线是同心圆族：C y x =+22。
通过以上讨论我们知道，当带电量为q 的正电荷激发出电场的电场线为一族从q 出发的射线族时，等势面为以q 为中心的同心圆族。