3.4边缘分布3.5随机变量独立性

0,
0,
2
3
1,
故与应满足的条件是 : 0, 0 且 1 .
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij pi• p• j , (i 1,2; j 1,2,3)
特别有
p12
p1•
p•2
1 9
1 3
1 9
2, 9
又 1, 得 1.
3
9
例2: 设随机变量X 和Y 相互独立,并且 X 服从 N (a,σ 2 ),Y 在 [b,b] 上服从均匀分布,求 ( X ,Y ) 的联合概率密度.
解:
fX (x)
f (x, y)d y
当 0 x 1时,
y y x
fX ( x)
f (x, y)d y
O
x
6d y x2
(1,1)
y x2
x
6( x x2 ).
当 x 0 或 x 1时,
fX ( x)
f ( x, y)d y 0.
因而得
6( x x2 ),
fX (x)
1 x2 ,
x [1,1],
0,
x [1,1];
由X 和Y 在问题中地位的对称性, 将上式中 的 x 改为 y，得到 Y 的边缘概率密度
2
fY ( y)
1 y2 ,
y [1,1],
0,
y [1,1].
如何验证对否？
从例2可见，均匀分布的边缘分布不是均匀分 布。可以证明若(X,Y)服从矩形区域 ： a≤x≤b，c≤y≤d上均匀分布，则其边缘分 布一定是均匀分布。
解: 由于X 与Y 相互独立,
所以 f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
又 fX (x)
1
e ,
(
x a )2 2σ2
x ;
2πσ
fY
(
y)
1 2b
,
b y b,
0, 其他.
得
f (x, y) 1
1
e ,
(
x a )2 2σ2
2b 2πσ
其中 x , b y b. 当 y b 时, f ( x, y) 0.
解： X与Y的可能取值都是1，2，3，4，且 Y X ,
因此当i<j时，P{X=i,Y=j}=0.
当ij时，由乘法公式，得
pij
P{ X P{ X
i,Y i}P{Y
j}
j
|
X
i}
1 4
1 i
1 4i
再由pi pij (i 1, 2,L ), p. j pij ( j 1, 2,L )
即
f
(
x,
y)
1 2b
1
2 ( xa) e 2σ2 , x , b y b
2πσ
0,
其他
例3：设 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, μ2,σ12,σ22, ρ),
求证: X与Y 独立的充要条件为 = 0。(P56例3.10)
证明：因
f (x, y)
1
e ,
1 2 (1
2
)
D,
0，(x, y) D.
当|x|＞1时,
fX
(x)
f
( x,
y)dy
0dy
0；
当-1≤x≤1时,
( 注意积分限的确定方法 )
fX
(x)
f
(x, y)dy
1 x2
0 dy
1x2 1 dy 0dy
1 x2
1 x 2
2 1 x2 .
熟练时，被积函数为零的部分可以不写。
故
2
f X ( x)
y y), 0,
0 y 1, 其他.
例4：设 ( X ,Y )
N(1,
2
,12
,
2 2
,
),
求X和Y 的边缘概率密度。
解： 由
fX
( x)
f
( x, y)dy，
得
f X (x)
1
e .
(
x 1
2
2 1
)
2
2 1
这说明：X
~
N (1,12 ) ；同理，Y
~
N
(2
,
2 2
)
。
（详细推导过程见课本P53例3.6）
ey,
y 0.
从而，对一切 x, y∈R , 均有
f (x, y)=f X(x) f Y(y). 故，X与Y是相互独立的。
例5：若(X,Y)的概率密度为
f (x, y)
问X与Y是否独立？
2, 0,
0 x y, 0 y 1, 其他.
解： fX (x)
1
2dy 2(1 x),
x
0 x 1,
若 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y)，则
X的边缘概率密度为
fX
(x)
f
(x,
y)
dy,
x
Y 的边缘概率密度为
fY ( y)
f ( x, y) dx,
y
例2：设(X,Y)服从单位圆域 x2+y2≤1上的均匀 分布，求X和Y的边缘概率密度.
解:
f
(
x,
y)
1
，(
x,
y)
0,
y y x
O
0 x 1, 其他.
(1,1)
y x2
x
当 0 y 1时,
y
(1,1)
fY ( y)
f (x, y)d x
y
y 6d x
y x
O
y x2
x
6( y y).
当 y 0 或 y 1时,
fY ( y)
f ( x, y)d x 0.
得
6( fY ( y)
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,
并且都不依赖于参数ρ.
也就是说对于不同的参数 ，得到的边缘分布是
相同的。 因此，仅由X和Y的边缘概率密度 (或边缘分布)
一般不能确定 (X,Y) 的联合概率密度函数 (或概率分 布)。
§3.5 随机变量的独立性
事件A与 B独立的定义是： 若 P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A与B相互
y
fY ( y)
2dx 2y,
0
0 y 1.
由于存在面积不为零的区域 D，使得
f (x, y) fX (x) fY ( y), (x, y) D.
故，X与Y不相互独立 。
例6: 设二维随机向量（X，Y）的分布函数为
F
x,
y
1
2
2
arctan
x 2
2
arctan
y 3
,
x ， y
判别X与Y是否独立.
解: X的边缘分布函数为
FX
x
lim
y
F
x,
y
1
2
arctan
x 2
,(
x
)
FY
y
lim
x
F
x,
y
1
2
arctan
y 3
,(
y
)
显然，对任意x, y，有
F ( x, y) FX ( x) FY ( y) .
所以，X与Y相互独立。
3
(1) 求 与 应满足的条件;
(2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
(2,3)
解: 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y X
1
1
1
6
1
2
3
p• j P{Y yj } 1 2
2 1 9
1
9
3 pi• P{ X xi }
1
1
18
3
1
3
1
18
2
3
(1)由分布律的性质知
)
2
21 2
1
( xu1 )2
e
2
2 1
1
( yu2 )2
e 2
2 2
2 1
2 2
f X (x) fY ( y).
所以，X与Y相互独立。
“” 若X和Y相互独立，则 (x, y)R2，有 f(x, y)=fX(x) fY(y).
特别地，将 x =μ1, y =μ 2 代入上式，有 f (μ1,μ2) = fX(μ1)fY(μ2)，
几乎总是成立（在平面上除去一个面积为零的集 合外，公式总成立）.（P54定理3.2） (3) X 和 Y 相互独立, 则
f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
例1:已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)
111 1
pij
6
9 18
注意:
X与Y的边缘分布函数实质上就是一维随机 变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数是 相对于 (X,Y) 的联合分布而言的。
同样地，(X, Y) 的联合分布函数 F(x, y)是 相对于 (X, Y) 的分量X和Y的分布而言的。
已知联合分布函数，求边缘分布函数的方法：
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)， FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y).
j
i
可得X和Y的联合分布律及两个边缘分布律：
Y X
1
2
3
4
pi
1
1 4
0
0
0
1 4
2
1 8
1 8
00Leabharlann 1 431 12