解析几何二模后复习建议

解析几何二模后复习几点想法北方交大附中邹明武纵观各区一模二模试题，解析几何在几何条件代数化上总体都不难，上手都比较容易，大多数计算上比较难，个别题目如果几何条件挖掘的深入，计算量会降低很多，另外是设直线或设点带入两类试题基本相当。

让学生明确：一般情况下：直线与二次曲线有两个交点，且需要两个交点坐标参与运算，一般设直线可行；如果直线与二次曲线有两个交点，不过只用其中一个交点的左边参与运算，一般设点更合适。

讲清算理的同时重在落实基本步骤和计算的准确性。

对于相对较弱的同学可适当从文科解析几何入手，以增强自信心。

一、北京近6年试题及考察知识点------知己知彼2009——2014北京五年高考平面解析几何专题分析二、解析几何解答题常用知识点：--------------准备工作做好1、弦长公式：A BAB x=-=（,a'∆指AB直线与二次曲线联立消去y的二次项系数与根的判别式）2、()200ax bx c a++=≠1）0∆>(有两不相等实根的前提条件)2）122b x x a +=-，12c x x a= 3、中点公式，点到直线距离：d =4、直线的两种设法：1）()00y y k x x -=- （不含垂直x 轴的直线） 2）()00x x n y y -=- （不含垂直y 轴的直线）5、形如：22a tb tc S at bt c'''++=++的最值求法汇总： 1）导数方法；2）2a t b t c S bt c '''++=+或()22a tb tc S bt c '''++=+ 技巧：换元：u b tc =+ 3）222a tb tc et fS d at bt c at bt c '''+++==+++++ 技巧：换元：u e tf=+三、解析几何核心思想：几何图形代数化-------基本思想四、几种常见几何条件转化------------- 技术手段和方向1、等腰三角形、垂直平分线； ---------找中点----利用斜率负倒数----注意直线分类2、直角；在以谁为直径的圆上的点 ---------向量点乘为零或斜率负倒数3、平行四边形、菱形 、矩形 --------先平四-----再转化成1、24、共线三点线段长之比 ------转化成斜率相等或向量共线或点在直线上5、过定点 ------设直线y kx m =+找,k m 关系或先猜点再证 注意：向量的工具性（尤其是证明三点共线，两直线平行或垂直）五、解析几何一般步骤： --------------具体可操作的手段和措施--------拿分的手段先判断是设直线还是直接设点坐标 如设直线：1、特殊直线（斜率不存在或斜率为0）2、设直线y kx m =+ （如过点在X 轴）x my d =+ （如过点在Y 轴上）3、代入二次曲线4、计算∆，根系关系5、几何条件代数化6、根据根系关系代入5中7、得出结论作答 六、几个教学案例例1、海淀：（19）（本小题满分13分） 注意解后反思------弄清来源与变式拓展已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>过点(0,1)-，且离心率e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）是否存在菱形ABCD ，同时满足下列三个条件：①点A 在直线2y =上；②点B ，C ，D 在椭圆M 上； ③直线BD 的斜率等于1.如果存在，求出A 点坐标；如果不存在，说明理由. 方法1：（Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： …………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t . ……………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分 由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==. ………………11分 因为 四边形ABCD 为菱形， 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ……………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………13分 所以 不存在满足题意的菱形ABCD . 方法2：常规方法： 不存在满足题意的菱形 假设存在满足题意的菱形 设直线:BD y x m =+ (),2A t2233y x mx y =+⎧⎨+=⎩ 2246330x mx m ++-= ()223616330m m ∆=-->解得：()2,2m ∈- 设()()1122,,,B x y D x y1232x x m +=-设,B D 中点为E ，则3,44m E m ⎛⎫- ⎪⎝⎭因四边形ABCD 为菱形 故AE BD ⊥故：24134AE m k m t -=-=--122t m =--因四边形ABCD 为菱形 故E 为AC 中点 故：2,22m C m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()2223232m m ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭解得：262,7m m ==不符合()2,2m ∈- 故不符合题意。

解后反思：1、题目变式：①点A 在直线2y =上；中改成：y d =，试求d 的取值范围，使其存在菱形2、题目中实际在解答时，方法1只用到平行四边形性质，故题目中条件可以降低为平行四边形；此时方法2就不可用了。

3、追述原型题目：13北京高考19题 19. (本小题共14分)已知A 、B 、C 是椭圆W ：2214x y +=上的三个点，O 是坐标原点. (I)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积. (II)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 补充：设点方法 4、将19题改造成新题：变式1、已知椭圆W ：22221x y a b += ()0a b >>，椭圆离心率2e =，且椭圆过点1,2P ⎛ ⎝⎭，1）求椭圆的方程；2）已知点10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当三个点,,B C D 在椭圆W 上时，判断四边形ABCD 是否可能为菱形，若存在，请写出直线BD 的方程，若不存在，请说明理由.BD 直线方程为：34y =-或14y =或 58y =+变式2、已知椭圆W：22221x ya b+=()0a b>>，椭圆离心率2e=，且椭圆过点1,2P⎛⎝⎭，1）求椭圆的方程；2）直线l交椭圆于点,A B两点，O为坐标原点，若OA OB⊥，请问是否存在一个定圆C，直线l和圆C相切时，若存在，求出圆C的方程，若不存在，并说明理由.1）2214xy+=2）存在：2245x y+=定点问题------先猜后证思想例2、已知椭圆22:14xW y+=，O为坐标原点，点C为椭圆的下顶点，直线l与椭圆W交于异于点C的不同两点,A B1）若以AB为直径的圆恰好过点C，求证直线l必过定点，并求出定点坐标解：方法1①当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意。

（2ACBπ∠<不符合）yxOBAC（方法2）()()(),,,0A m nB m n m-≠2210CA CB m n=+->2A C Bπ∠<不符合（教师提醒：C点改在()()2,0,2,0-均有）（故分类讨论很有必要性）②当直线l的斜率存在时，设l：y kx m=+（1m≠-）2244y kx mx y=+⎧⎨+=⎩得()22214844k x kmx m+++-=()()22226441444k m k m∆=-+-()2244416m k=---（小技巧）()2216410k m =+->故：2241m k <+-------------①设()()1122,,,A x y B x y则有：122814kmx x k +=-+ 21224414m x x k-=+ 因为 AB 为直径的圆恰好过点C 故 CA CB ⊥ 即有0C A C B = ()()1122,1,10x y x y ++=()()1212110x x kx m kx m +++++=()()()()221212110k x x km k x x m ++++++=()()()()222214481014k mkm km k m k +--+++=+222222222222444488428140m k m k k m k m m k m m k m k -+---++++++=25230m m +-=直线l 为：35y kx =+ 故过定点：30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭方法2：1） 当直线l 的斜率存在且0k =时，设直线0y y = 由对称性可知ADC ∆为等腰直角三角形，()00,A x y有：001x y =+ 结合220014x y += 解答：035y =2 2244x ny m x y =+⎧⎨+=⎩ ()2224240n y m n y m +++-=()()22224444m n nm ∆=-+-()2244164m n =--- ()221640n m =-+>即 224m n <+ -------------- -- ------① 设()()1122,,,A x y B x y则有：12224mny y n +=-+ 212244m y y n-=+ 因为 AB 为直径的圆恰好过点C故 CA CB ⊥ 即有0C A C B= ()()1122,1,10x y x y ++=()()1212110x x y y +++=()()()()1212110ny m ny m y y +++++=()()()2212121110n y y mn y y m++++++=()()2222242111044m mn n mn m n n --+++++=++ ()()()()2222221422140n mm n mn m n +---+++=22222222224422440m m n n m n mn m m n n -+---++++=225230m mn n --=()()530m n m n +-=35m n =-或m n = 符合- ------①式当35m n =-时，直线l ：35x n y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 过点30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭当m n =时，直线l ：()1x n y =+ 过点()0,1-与C 重合，舍去（也可在设直线方程时，交代m n ≠）结合1） 综上所述直线l 过定点30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭方法3：由椭圆的对称性可知，如果直线l 过定点，则此定点必然在y 轴上，设为()00,D y1) 0y y =由对称性可知ADC ∆为等腰直角三角形，()00,A x y 有：001x y =+ 结合220014x y += 解答：035y = 故直线若存在定点必然是30,5D ⎛⎫ ⎪⎝⎭2）当直线l 斜率不存在时显然不符合题意3）当直线l 斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为：35y kx =+223544y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得 ()222464140525k k x x ++-= 显然 0∆>设()()1122,,,A x y B x y 则有：()12224514k x x k +=-+ ()122642514x x k -=+ 故 CA CB ⊥ 即有0C A C B= ()()1122,1,1CA CB x y x y =++12128855x x kx kx ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()21212864155k k x x x x =++++()()222642486411425552514k k k k k -+-++=+分子22264641926425602525252525k k k =---++=故CA CB ⊥ 即AB 为直径的圆恰好过点C 符合题意问题：已知椭圆22:14x W y +=，O 为坐标原点，点C 为椭圆的下顶点，直线l 与椭圆W 交于异于点C 的不同两点,A B 变式1、若直线l 过点30,5D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证AC BC ⊥ 简单模仿：注意分类讨论；变式2、若直线l 过点30,5D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求ACB ∠的度数 （定值问题）先猜后证：1）利用斜率为0时，求出90ACB ∠=；2）一般情况下利用0CA CB =得证； 变式3、若直线l 过点30,5D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：以AB 为直径的圆恒过点C 与变式1类似变式4、若直线l 过点30,5D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以AB 为直径的圆是否过一定点，若有求出定点坐标。