2015-2016年辽宁省沈阳二中高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
【全国百强校】辽宁省沈阳市第二中学2015-2016学年高二10月月考数学试题解析(解析版)
辽宁省沈阳市第二中学2015-2016学年高二10月月考数学试题第Ⅰ卷 （满分60分）一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知集合A =2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则A B =A ．(1,3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4) 【答案】C 【解析】试题分析：因为{}|13A x x =<<，所以A B =()23，. 考点：集合的交集运算.2. 设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充分、必要条件的判断.【方法点睛】本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考查线面、面面平行问题和充要条件的有关知识. 充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： ①充分不必要条件：如果p q ⇒，且p q ⇐/，则说p 是q 的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐，则说p 是q 的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐/，则说p 是q 的既不充分也不必要条件.3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅,且2,1==a b ,则向量a 与b 的夹角为 （ ） A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于平面向量,a b 满足2()=3=||+||||cos ,3a a b a a a b a a b a b ⋅⇔⋅⋅⋅<>=++,且2;1a b ==,那么代入可知向量a 与b 的夹角的余弦值为12- ，即可知向量a 与b 的夹角为32π，选C .考点：向量的数量积公式. 4. 下列不等式一定成立的是 （ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ． ),(2sin 1sin Z k k x x x ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+ 【答案】C考点：不等式的性质.5. 已知函数1x y a -=(0a >,且1a ≠)的图象恒过定点A ,若点A 在一次函数y mx n =+的图象上,其中,0m n >,则11m n+的最小值为 （ ）A ．1 BC ．2D ．4【答案】D 【解析】试题分析：根据指数函数的性质，可以求出A 点，把A 点代入一次函数y mx n =+，得出1m n +=，然后利用不等式的性质进行求解．∵函数(10x y a a -=>，且)1a ≠的图象恒过定点A ，可得()11A ， ，∵点A 在一次函数y mx n=+的图象上，∴1m n +=，所以()1111224n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ ，当且仅当1n m ==时取得等号；故选A . 【方法点睛】本试题主要考查了的指数函数和一次函数的性质及其应用，还考查的基本不等式的性质，把不等式和函数联系起来进行出题，是一种常见的题型；解决该试题的关键找到指数函数必定过()0,1 点得到已知函数过点()1,1.考点：1. 指数函数的性质；2.基本不等式. 6. 已知实数,a b 满足0404a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩,12,x x 是关于x 的方程2230x x b a -+-+=的两个实根,则不等式1201x x <<<成立的概率为（ ）A ．332B ．316 C ．532D ．916【答案】A考点：几何概型.7. 已知椭圆22221x y a b +=的左、右焦点分别为F 1、F 2,则12||2F F c =,点A 在椭圆上且2112120AF F F AF AF c ==且,则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】D 【解析】试题分析： 1120AF F F ⋅=，112 0AF F F ⋅=，∴112AF F F ⊥，2()b A c a -，， 210()b AF a=-，， 22(2)b AF c a =-，，∵212AF AF c ⋅= ，∴4222b c a b ac⎧=⎪⎨⎪=⎩，又∵222a b c =+，∴220c ac a +-= ，即210e e --=，∴e =或e = (舍负)，故答案为D . 考点：椭圆的简单性质．8. 若P 点是以A （-3，0）、B （3，0）为焦点，实轴长为52的双曲线与圆922=+yx 的一个交点，则PB PA +=（ ）A ．134B ．142C ．132D ．143【答案】C考点：双曲线的性质. 9. 设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x=+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以()()()()()2212121212113f x f x f x f x x x x x x >-⇔>-⇔>-⇔>-⇔<<.故选A .考点：1.函数的奇偶性、单调性；2.不等式的解法.10. 已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线x y C 8:2=相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点,若2FA FB =,则实数k 的值为 （ ）A ．31 B ．32 C ．32 D ．322【答案】D考点：直线与抛物线的位置关系.11. 执行如图的程序框图,若9p =,则输出的S =（）A ．910B ．718C ．89D ．25【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，本程序框图为求和运算，第1次循环：02231,S n =+=⨯；第2次循环：11,32334S n =+=⨯⨯…第8次循环：11,923910S n =+⋯+=⨯⨯此时，9n <，输出111111112...23349102105S -+-++=-==-，故选D ．考点：流程图.【思路点睛】首先根据程序框图，理解其意义，然后按照程序顺序进行执行循环，当满足跳出循环的条件时输出结果．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件1123910S +⋯+⨯⨯=的值，然后再利用裂项相消求出结果． 12. 如图,设,P Q 为ABC ∆内的两点,且2155AP AB AC =+,AQ ＝23AB ＋14AC ,则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为（ ）A ．15 B ．45 C ．14D ．13【答案】B考点：平面向量共线.【思路点睛】首先，利用向量的运算法则——平行四边形法则作出P ，利用同底的三角形的面积等于高的比求出ABP ABC 的面积的面积，然后再平行四边形法则作出Q ,同理可求出ABQ ABC 的面积的面积，再将两个式子相比，即可求出ABP 的面积与ABQ 的面积之比．第Ⅱ卷 （满分90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在ABC ∆中， 112(tan A )(tan B )++=，则2log sinC ＝_________【答案】12-考点：1.两角和的正切公式；2.对数运算.14. 已知c 是椭圆2222=1(>>0)x y a b a b +的半焦距，则b ca+的取值范围是________．【答案】(【解析】试题分析：椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边分别为b c 、，斜边为a ，由直角三角形的2个直角边之和大于斜边得：bc a +>，∴ 1b ca+>，又∵()2222222222()b c b c b c bc a a a ++++=≤=，∴1b ca+<≤ ，故选D ． 考点：椭圆的简单性质.15. 设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ,则132+++x y x 的取值范围是___________.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡11,23【解析】 试题分析：231x y x +++=,11211)1(21+++=++++x y x y x 而11++x y 表示的是区域内点与()1,1--所形成的斜率的范围，结合图像可知，]5,41[11∈++x y ，故所求为⎥⎦⎤⎢⎣⎡11,23 考点：简单的线性规划.【思路点睛】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是先将目标函数利用分离常数法将其转化为231x y x +++=112,1y x +++而11++x y 表示的是区域内点与()1,1--所形成的斜率的范围，将其构成的直线的斜率问题，求出斜率的取值范围，从而求出目标函数的取值范围． 16. 数列{}n a 中n a a a n n 23,111+==+，则n a =_______________ 【答案】)21(3251n a n n +-⨯=-考点：数列递推公式.【方法点睛】本题主要考查考生利用数列递推公式求通项公式，解决本题的一般方法是：对于形如1()(n n a pa f n +=+其中p 为常数)这种形式,()f n 当为一次多项式时，即数列的递推关系为C Bn Aa a n n ++=+1型，可化为])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式，然后在转换为等比数列来求通项.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆中,角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,a =向量(1,1)m =-,(cos cos ,sin sin n B C B C =,且m n ⊥. （Ⅰ）求A 的大小; （Ⅱ）当7sin cos()12B C π+-取得最大值时,求角B 的大小. 【答案】（Ⅰ）4π ；（Ⅱ）3π .（Ⅱ）由3,44A CB ππ==-,故73sin cos()sin cos()sin )12626B C B B B B B πππ+-=+-=+=+由3(0,)4B π∈,cos()4B C π-+最大值时,3B π=. 考点：1.向量的数量积；2.三角函数的性质.18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T .求413312n T -【答案】（Ⅰ）13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩；（Ⅱ）213nn + 【解析】试题分析：（Ⅰ）由233n n S =+可得13a =， 113(2)n n n n a S S n --=-=≥，而11133a -=≠，则考点：1.数列的递推公式；2.错位相减法求和.【方法点睛】本题主要考查了利用数列递推公式求出数列的通项公式，在解决此类问题时，一般利用11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求数列的通项公式；在数列求和时如果通项公式可换成{}n n a b ⋅，其中数列{}{},n n a b 分别是等差数列和等比数列，一般采用错位相减法进行求和.19. 如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AA '＝1，点M 、N 分别为A B '和B C ''的中点．（Ⅰ）证明：//MN 平面A ACC ''；（Ⅱ）求三棱锥A MNC '－ 的体积【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）16111226A MNC N A MC N A BC A NBC V V V V ''''－－－－＝＝＝＝.考点：1.线面平行的判定定理；2.线面垂直的判定定理；3.三棱锥的体积公式.20. 已知二次函数2()f x ax bx =+(,a b 为常数且0a ≠)满足(1)(1),f x f x -=+ 且方程()f x x =有等根.(1)求()f x 的解析式;(2)设()12()(1)g x f x x =->的反函数为1(),g x -若12(2)(32)x x g m ->-对[1,2]x ∈恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】（1）()212f x x x =-+；（2）53m -<<考点：1.待定系数法求函数解析式；2.二次函数的性质；3.反函数.21. 已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ．因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(2,A ．考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线之间的关系.【方法点睛】本题主要考查抛物线的方程，以及直线和抛物线之间的关系，在解决圆锥曲线方程时，考生一定要熟练掌握圆锥曲线的定义，这是解决此类问题的关键；在解决直线与圆锥曲线之间的关系时，需要将直线方程与圆锥曲线方程联立，然后再利用韦达定理和题中所给的信息结合解析几何进行处理.22. 已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点 (),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． （Ⅰ）求椭圆E 的离心率； （Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【答案】；（Ⅱ）221123x y +=解法二：由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2)，依题意，点A ，B 关于圆心M (-2,1)对称，且|AB |.设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=，2222244x y b +=，两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=.易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x -==-因此AB 直线方程为1(2)12y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-=所以124x x +=-，21282x x b =-.后同方法一.试题解析：（Ⅰ）过点()(,0,)0,c b 的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O到直线的距离bc d a==， 由12d c =，得2a b ==，解得离心率c a . （Ⅱ）解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1)依题意，圆心()2,1M -是线段AB的中点，且|AB |=.解法二：由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2) 依题意，点A ，B 关于圆心M (-2,1)对称，且|AB |.设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=，2222244x y b +=，两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x -==- 因此AB 直线方程为1(2)12y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-= 所以124x x +=-，21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-==由|AB |=23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 考点：1.椭圆的离心率；2.椭圆的方程.：。
【全国百强校】辽宁省沈阳市第二中学2015-2016学年高二12月月考数学(文)试题
沈阳二中2015—2016学年度上学期12月月考高二（17届）数学试题（文科）命题人：高二数学组 审校人：高二数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N = （ ） A ． (1,2) B ． [1,2) C ． (1,2] D ．[1,2]2. 复数)()2(2为虚数单位i ii z -=,则=||z （ ） A ．25B ．C ．5D ．3. 已知2log 3loga =+2log 9logb =-，3log 2c =则的大小关系是 A ． a b c =< B ．a b c => C ．a b c << D ． a b c >> （ ）4. 已知直线l 、m ，平面α，且m ⊂α，则l ∥m 是l ∥α的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 已知A 、B 、C 是圆O ： x 2＋y 2＝r 2上三点，且，则等于（ ）A ．0 B.12 C.32 D ．－326.已知数列{an }的各项均为正数，如图给出程序框图，当k ＝5时，输出的S ＝511，则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．a n ＝2n －1B ． a n ＝2nC ．a n ＝2n ＋1D ．a n ＝2n －37. 函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5 于5113，若8.已知等比数列{a n }的公比q ＝2，它的前9项的平均值等从中去掉一项a m ，剩下的8项的平均值等于14378，则m等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 9. 存在两条直线x ＝±m 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于A 、B 、C 、D 四点，若四边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为 （ ）A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)10. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为（ ）A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1}11. 若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 和M (4,4)且与l 相切的圆共有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12. 已知双曲线221916x y -=，过其右焦点F 的直线交双曲线于,P Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则MFPQ的值为 （ ）A ．53B ．56C ．54D ．58第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________． 14.已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a t＝7a t， (a 、t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、t 的值，a ＋t ＝________.15.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．16.已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分） 若函数2()sin sin cos (0)f x ax ax ax a =->的图象与直线y m =(m>0)相切，并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列。
2015-2016年辽宁省沈阳二中高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2015-2016学年辽宁省沈阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）A．B．i C．D．i3．（5分）设a=2﹣0.5，b=log20152016，c=sin1830°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c4．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣15．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．7．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8 D．49．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且c＞b＞a，若向量=（a﹣b，1），=（b﹣c，1）平行，且sinB=，则当△ABC的面积为时，B=（）A．B．2 C．4 D．2+11．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a12．（5分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在△ABC中用余弦定理解得，乙同学在Rt△ACH中解得，据此可得cos72°的值所在区间为（）A．（0.1，0.2）B．（0.2，0.3）C．（0.3，0.4）D．（0.4，0.5）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是．14．（5分）已知变量x，y满足，则的取值范围是．15．（5分）如图数表，为一组等式：某学生根据上表猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则a﹣b+c=．16．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b．，c，若f（）=﹣，b=1，c=且a＞b，求B和C．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．20．（12分）“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．（Ⅰ）试解释C（0）的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；（Ⅱ）当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？21．（12分）设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．22．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年辽宁省沈阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}【解答】解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，故C U A={y|y≤1}∴（C U A）∩B={x|0＜x＜1}故选：D．2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）A．B．i C．D．i【解答】解：复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+=1+i+=1+i+=．复数z+的虚部是：．故选：A．3．（5分）设a=2﹣0.5，b=log20152016，c=sin1830°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【解答】解：∵1＞a=2﹣0.5=，b=log20152016＞1，c=sin1830°=sin30°=，∴b＞a＞c，故选：D．4．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．5．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．【解答】解：∵等差数列{a n}，a7=9a3，∴a1+6d=9（a1+2d），∴a1=﹣d，∴==9，7．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣【解答】解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g （x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8 D．4【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥A﹣CDEF和一个三棱锥组F﹣ABC成的组合体，四棱锥A﹣CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组F﹣ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V=+=，故选：A．9．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数∴函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，A选项符合题意；B选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；C选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对．综上，A选项符合题意故选：A．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且c＞b＞a，若向量=（a﹣b，1），=（b﹣c，1）平行，且sinB=，则当△ABC的面积为时，B=（）A．B．2 C．4 D．2+【解答】解：由向量和共线知a+c=2b①，由②，由c＞b＞a知角B为锐角，③，联立①②③得b=2．故选：B．11．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x≥0时，f（x）=，得出x＜0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x 4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故选：B．12．（5分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在△ABC中用余弦定理解得，乙同学在Rt△ACH中解得，据此可得cos72°的值所在区间为（）A．（0.1，0.2）B．（0.2，0.3）C．（0.3，0.4）D．（0.4，0.5）【解答】解：根据题意可得∴构造函数﹣1∵，∴x所在区间为（0.3，0.4）即cos72°的值所在区间为（0.3，0.4）故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是﹣．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，∴cosα=﹣，又α∈（，π），∴α=，∴tanα=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知变量x，y满足，则的取值范围是[，] ．【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得==1+，表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=；故答案为：[，]15．（5分）如图数表，为一组等式：某学生根据上表猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则a﹣b+c=5．【解答】解：由题意，，∴，∴a﹣b+c=5，故答案为：516．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1] ．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F （1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），∵=λ+μ，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b．，c，若f（）=﹣，b=1，c=且a＞b，求B和C．【解答】解：（1）f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x ﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，x∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，x∈Z，则函数f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]，x∈Z；（2）∵f（B）=sin（B﹣）=﹣，∴sin（B﹣）=﹣，∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=﹣，即B=，又b=1，c=，∴由正弦定理=得：sinC==，∵C为三角形的内角，∴C=或，当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍去），则B=，C=．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（4分）因为PC⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE．…（12分）因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．【解答】（本小题满分13分）（I）解：由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3．当n=2时，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8．当n=3时，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18．所以a1=3，a2=8，a3=18为所求．…（3分）（Ⅱ）证明：因为2a n=S n+2n+1，所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立．两式相减得：2a n﹣2a n=a n+1+2．+1=2a n+2（n∈N*），即a n+1+2=2（a n+2）．…（5分）所以a n+1所以数列{a n+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（7分）（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得：a n+2=5×2n﹣1，即a n=5×2n﹣1﹣2（n∈N*）．则na n=5n•2n﹣1﹣2n（n∈N*）．…（8分）设数列{5n•2n﹣1}的前n项和为P n，则P n=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×（n﹣1）•2n﹣2+5×n•2n﹣1，所以2P n=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5（n﹣1）•2n﹣1+5n•2n，所以﹣P n=5（1+21+22+…+2n﹣1）﹣5n•2n，即P n=（5n﹣5）•2n+5（n∈N*）．…（11分）所以数列{n•a n}的前n项和T n=，整理得，T n=（5n﹣5）•2n﹣n2﹣n+5（n∈N*）．…（13分）20．（12分）“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．（Ⅰ）试解释C（0）的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；（Ⅱ）当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？【解答】解：（Ⅰ）C（0）表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元（2分）∵C（0）==4，∴k=1000；（3分）∴y=0.2x+×4=0.2x+，x≥0﹒（6分）（Ⅱ）y=0.2（x+5+）﹣1≥0.2×40﹣1=7当x+5=，即x=15时，y min=7∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元（12分）21．（12分）设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax2+bx+c．…（1分）由为偶函数，得为偶函数，显然有．…（2分）又k（﹣1）=0，所以a﹣b+c=0，即．…（3分）又因为对一切实数x恒成立，即对一切实数x，不等式恒成立．…（4分）显然，当时，不符合题意．…（5分）当时，应满足，注意到，解得．…（7分）所以．…（8分）（Ⅱ）证明：因为，所以．…（9分）要证不等式成立，即证．…（10分）因为，…（12分）所以=．所以成立．…（14分）22．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点，∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴x1∈[[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．当x∈[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在[，1）为减函数，在（1，3]上为增函数．∵，g（1）=2，g（3）=，而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）∴x2∈[[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=①当k﹣1＞0，即k＞1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0，即k＜1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，∴k≤．又∵k＜1，∴k≤．综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，]∪（1，+∞）．。
辽宁省沈阳市高二上学期期中数学试卷
辽宁省沈阳市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0]上单调递增，设a=f(3)，b=，c=f(2)，则a,b,c的大小关系是（）A . a>b>cB . a>c>bC . b>c>aD . c>b>a2. （2分）已知,，则A的值是（）A . 15B .C . ±D . 2253. （2分）(2020·蚌埠模拟) 开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种，已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，她第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率，给出以下论述：①小明同学第二天一定选择面食套餐；② ；③ ；④前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为 .其中正确的是（）A . ②④B . ①②③C . ③④D . ②③④4. （2分） (2020高二下·中山期中) 若离散型随机变量的分布列如下，则的最大值为（）X01020PA .B .C .D . 15. （2分）变量x，y满足约束条件，若z=2x-y的最大值为2，则实数m等于（）A . -2B . -1C . 1D . 26. （2分） (2016高二上·遵义期中) 下列程序执行后输出的结果是（）A . ﹣1B . 0C . 1D . 27. （2分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A . “至少有一个红球”与“都是黑球”B . “至少有一个黑球”与“都是黑球”C . “至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D . “恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”8. （2分） (2016高二上·遵义期中) 已知等差数列{an}，且a9=20，则S17=（）A . 170B . 200C . 340D . 3609. （2分） (2016高二上·遵义期中) 若椭圆x2+my2=1的离心率为，则m为（）A . 4B .D . 4 或10. （2分） (2016高二上·遵义期中) 动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A . 双曲线B . 双曲线的一支C . 两条射线D . 一条射线11. （2分） (2016高二上·遵义期中) 函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4 ，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）A . x=B . x=C . x=4D . x=212. （2分） (2016高二上·遵义期中) 偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x2 ， g（x）=ln|x|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点的个数是（）A . 1B . 2D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二下·宜昌期中) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为________．14. （1分） (2016高二上·遵义期中) 双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为________．15. （1分） (2016高二上·遵义期中) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为________16. （1分） (2016高二上·遵义期中) 点P在椭圆 =1上运动，点A、B分别在x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4上运动，则PA+PB的最大值________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2018高一下·重庆期末) 已知中，分别是角所对应的边，若，且的面积为2，（1）求角；（2）若，求的值．18. （10分）在一场垒球比赛中，其中本垒与游击手的初始位置间的距离为1，通常情况下，球速是游击手跑速的4倍．（1）若与连结本垒及游击手的直线成α角（0°＜α＜90°）的方向把球击出，角α满足什么条件下时，游击手能接到球？并判断当α=15°时，游击手有机会接到球吗？（2）试求游击手能接到球的概率．（参考数据 =3.88，sin14.5°=0.25）．19. （10分） (2016高二上·遵义期中) 如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，三角形VAB为等边三角形，AC⊥BC且 AC=BC= ，O、M分别为AB和VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求直线MC与平面VAB所成角．20. （10分） (2016高二上·遵义期中) 已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，左焦点到左顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M（1，1）的直线与椭圆C相交于A，B两点，且点M为弦AB中点，求直线AB的方程．21. （10分） (2016高二上·遵义期中) 已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn ，若Sn=2（an﹣1），（n∈N+）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（log2an+1）2﹣（log2an）2 ，若cn=anbn ，求{cn}的前n项和Tn ．22. （5分） (2016高二上·遵义期中) 如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2015高二(上)期中数学试卷答案
中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。
沈阳二中2015届高三数学上学期期中试题新人教A版文科附答案
沈阳二中2015届高三数学上学期期中试题（新人教A 版文科附答案）说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第I 卷（60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.直线023cos =++y x α的倾斜角的取值范围是（ ） A. ]65,2()2,6[ππππ B. ),65[]6,0[πππ C.]65,0[π D.]65,6[ππ 2. 已知集合2{|}M x x x =>，4{|,}2xN y y x M ==∈，则MN = ( )A ．{x ｜0＜x ＜12} B.{x ｜12＜x ＜1} C.{x ｜0＜x ＜1} D.{x ｜1＜x ＜2} 3. 下列有关命题的说法正确的是 ( ) A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件. C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++<”．4. 已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则=++1081311a a a a （ ） A. 27B.3C.1-或3D.1或275. 函数)(x f 的定义域为]1,0(，则函数)2(lg 2xx f +的定义域为 ( )A ．]4,5[-B ．)2,5[--C ． ]4,1[]2,5[ --D ．]4,1()2,5[ -- 6. 已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x ( ) A ．332-B ．332±C ．1-D ．1±7. 已知x ，y 满足记目标函数2z x y =+的最小值为1，最大值为7，则,b c的值分别为 （ ） A. -1，-2 B. -2，-1 C. 1，2 D. 1，-28．已知等比数列{}n a 满足n a ＞0，n ＝1,2，…，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当n ≥1时，2122221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+＝ （ ）A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)29.已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且函数f (x )＝1＋2sin 2x sin 2x 的最小值为b ，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜x ＜π28x 2－6bx ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ≤π4，则不等式g (x )≤1的解集为 ( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，π2 10.设 F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4: 5，则双曲线的离心率为（ ）AC ．2 D11．若曲线f (x ，y )＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f (x ，y )＝0的“自公切线”．下列方程：①x 2－y 2＝1；②y ＝x 2－|x |；③y ＝3sin x ＋4cos x ；④|x |＋1＝4－y2对应的曲线中存在“自公切线”的有 ( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④12.函数()32f x x ax bx c =+++，在定义域[]2,2x ∈-上表示的曲线过原点，且在1x =±处的切线斜率均为1-.有以下命题：①()f x 是奇函数；②若()[],f x s t 在内递减，则t s -的最大值为4；③()f x 的最大值为M ，最小值为m ，则=0M m +；④若对[]()2,2x k f x '∀∈-≤，恒成立，则k 的最大值为2.其中正确命题的个数为 （ ） A. 1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.13.. 若函数()f x 在R 上可导，()()321f x x x f '=+，则()2f x dx =⎰ .14. 若0,0,x y ≥≥且21x y +=，则223x y +的最小值为 .15.抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线16322=-y x 的右焦点重合，过点P （2,0）且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为_______16.对于实数a,b,定义运算""*：⎩⎨⎧>-≤-=*)()(22b a ab b b a ab a b a 设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是___________三、解答题：本大题共六个大题，满分70；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分） （1）已知1411)cos(,71cos -=+=βαα，且)2,0(,πβα∈，求βcos 的值； （2）已知α为第二象限角，且42sin =α，求1)2sin(2cos )4cos(+---παααπ的值.18. (本题满分12分)在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，2sin 0c A -=.(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)若2,a b c =+求的最大值．19．（本题满分12分）设数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 的前n 项和n S 满足)1(23-=n n b S 且2512,b a b a == （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式：（Ⅱ）设,n n n c a b =⋅，设n T 为{}n c 的前n 项和，求n T . 20.（本题满分12分）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率21=e ，右焦点到直线1=+b y a x 的距离721=d ，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程； （2）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A,B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求弦AB 长度的最小值。
2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)
2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3） C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）f（x）在x0处可导，a为常数，则=（）A．f′（x0）B．2af′（x0）C．af′（x0）D．04．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞5．（5分）如果执行如图所示的程序，那么输出的值k=（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）函数f（x）=2x3﹣9x2+12x﹣a恰有两个不同的零点，则a可以是（）A．3 B．4 C．6 D．77．（5分）若定义域为区间（﹣2，﹣1）的函数f（x）=log（2a﹣3）（x+2），满足f （x）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（，2）B．（2，+∞）C．（，+∞）D．（1，）8．（5分）下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．①④9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是（）A．[﹣3，33]B．[﹣15，39]C．[﹣12，42]D．[﹣15，42]10．（5分）抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．11．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）12．（5分）下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆，则m=．14．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，则不等式f （2x﹣1）＜f（3）的解为．15．（5分）已知f（x）=x3+f′（）x2﹣x，则f（x）的图象在点（，f（））处的切线斜率是．16．（5分）已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，是否存在实数k，使函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增？若存在，求出所有k值；若不存在，请说明理由．18．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．20．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A 1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．22．（12分）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D 两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3） C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]【解答】解：∵集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，∴A={x|a﹣1≤x≤a+1}B={x|x≥4或x≤1}，∵A∩B=∅，∴解得2＜a＜3，故选：B．2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，显然平行；而由两直线平行可得：a（a+1）﹣2=0，解得a=1，或a=﹣2，故不能推出“a=1”，由充要条件的定义可得：“a=1”是“直线l1：ax+2x﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）f（x）在x0处可导，a为常数，则=（）A．f′（x0）B．2af′（x0）C．af′（x0）D．0【解答】解：=2a=2af′（x0）．故选：B．4．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y，但x2＞y2不成立．D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．5．（5分）如果执行如图所示的程序，那么输出的值k=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜100，S=0+1=1，k=1满足条件S＜100，S=1+2=3，k=2满足条件S＜100，S=3+8=11，k=3满足条件S＜100，S=11+211=2059，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故选：B．6．（5分）函数f（x）=2x3﹣9x2+12x﹣a恰有两个不同的零点，则a可以是（）A．3 B．4 C．6 D．7【解答】解：∵f（x）=2x3﹣9x2+12x﹣a，∴f′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）=0，求得x=1，或x=2．在（﹣∞，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增；在（1，2）上，f′（x）＜0，f （x）单调递减；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故f（1）=5﹣a为函数f（x）的极大值；f（2）=4﹣a为函数f（x）的极小值，故当a=4，或a=5时，函数f（x）的零点有2个，故选：B．7．（5分）若定义域为区间（﹣2，﹣1）的函数f（x）=log（2a﹣3）（x+2），满足f （x）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（，2）B．（2，+∞）C．（，+∞）D．（1，）（x+2），【解答】解：∵定义域为区间（﹣2，﹣1）的函数f（x）=log（2a﹣3）∴﹣2＜x＜﹣1，0＜x+2＜1，要使f（x）＜0，则2a﹣3＞1，即a＞2，故实数a的取值范围是（2，+∞）故选：B．8．（5分）下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．①④【解答】解：根据f′（x）＞0时，f（x）递增；f′（x）＜0时，f（x）递减可得：①中函数的图象从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；②中函数的图象也是从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；所以①②可能正确．而③中函数的图象从左向右先减后增，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0，大于0；④中函数的图象从左向右先增后减后，对应的导函数也是小于0，大于0，再小于0，大于0；所以③④可能错误．故选：B．9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是（）A．[﹣3，33]B．[﹣15，39]C．[﹣12，42]D．[﹣15，42]【解答】解：a5=a1+4d，a6=a1+5d，所以1≤a1+4d≤4，2≤a1+5d≤3，S6==3（a1+a6）=6a1+15d分析可得，6a1+15d=15（a1+4d）﹣9（a1+5d），故﹣12≤S6≤42．故选：C．10．（5分）抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．【解答】解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．11．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）【解答】解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①②①②两式相乘得：⇒af（b）≤bf（a），故选A．12．（5分）下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e2【解答】解：①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（，），∵（，）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．②正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为（﹣1，0）和（1，0），且过点（）．∵点（）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．③设正六边形的边长为2，以F1F1所在直线为x轴，以F1F1的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0），且过点（1，），∵点（1，）到两个焦点（﹣2，0）和（2，0）的距离分别为2和2，∴a=﹣1，c=2，∴．所以e1=e3＞e2．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆，则m=．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆方程+y2=1的离心率为，则a=＞1，b=1，c=，∴=，解得m=．则m的值是．故答案为：．14．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，则不等式f （2x﹣1）＜f（3）的解为（﹣1，2）．【解答】解：∵在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，∴不等式f（2x﹣1）＜f（3）等价为f（|2x﹣1|）＜f（3），即|2x﹣1|＜3，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）15．（5分）已知f（x）=x3+f′（）x2﹣x，则f（x）的图象在点（，f（））处的切线斜率是﹣1．【解答】解：∵f（x）=x3+f′（）x2﹣x，∴f′（x）=3x2+2f′（）x﹣1，把x=代入得：f′（）=3×（）2+2f′（）×﹣1，解得：f′（）=﹣1，则f（x）的图象在点（，f（））处的切线斜率是﹣1，故答案为：﹣116．（5分）已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是a．【解答】解：∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x），maxf′（x）=e x+xe x=（1+x）e x，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，所以当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；当x=﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（﹣1）=a，所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥．故答案为：a≥．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，是否存在实数k，使函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增？若存在，求出所有k值；若不存在，请说明理由．【解答】解：存在∵f'（x）=4k2x3﹣2x2﹣2kx+2令f′（2）=0，得k=﹣，k=，当k=﹣时，在（1，2）上有f′（）＞0，不符题意，舍；时，f'（x）=x3﹣2x2﹣x﹣+2=（x+1）（x﹣1）（x﹣2）在（1，2）上f'（x）＜0，在（2，+∞）上f'（x）＞0即函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，所以．18．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a n}、数列{b n}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b n}的前三项，∴（2+d）2=2（4+2d）⇒d=±2．＞a n，∵a n+1∴d＞0．∴d=2，∴a n=2n﹣1（n∈N*）．由此可得b1=2，b2=4，q=2，∴b n=2n（n∈N*）．（Ⅱ），①∴．②①﹣②，得=+2（++…+）﹣，∴T n=3﹣．∴T n+﹣=3﹣≤2，∴满足条件恒成立的最小整数值为c=3．20．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解答】解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A 1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）（Ⅰ），…（4分）（1）当a=0时，f'（x）=x＞0，所以f（x）在定义域为（0，+∞）上单调递增；…（5分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=﹣2a（舍去），x2=a，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：此时，f（x）在区间（0，a）单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增；…（7分）（3）当a＜0时，令f'（x）=0，得x1=﹣2a，x2=a（舍去），当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：此时，f（x）在区间（0，﹣2a）单调递减，在区间（﹣2a，+∞）上单调递增．…（9分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a＜0时，f（x）在区间（0，﹣2a）单调递减，在区间（﹣2a，+∞）上单调递增．…（10分）（1）当﹣2a≥e，即时，f（x）在区间[1，e]单调递减，所以，；…（11分）（2）当1＜﹣2a＜e，即时，f（x）在区间（1，﹣2a）单调递减，在区间（﹣2a，e）单调递增，所以，…（12分）（3）当﹣2a≤1，即时，f（x）在区间[1，e]单调递增，所以．…（13分）22．（12分）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D 两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…（2分）代入椭圆方程得，抛物线的方程是：y2=8x…（4分）（Ⅱ）存在直线l：x±11y﹣4=0符合条件解：显然直线l不垂直于y轴，故直线l的方程可设为x=my+4，与y2=8x联立得y2﹣8my﹣32=0．设C（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=8m，y1•y2=﹣32∴=．…（6分）由直线OC的斜率为，故直线OC的方程为，与联立得，同理，所以…（8分）可得要使，只需…（10分）即121+48m2=49×121解得m=±11，所以存在直线l：x±11y﹣4=0符合条件…（12分）。
2015年辽宁省沈阳二中高二上学期数学期中试卷与解析(文科)
2014-2015学年辽宁省沈阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥02．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b33．（5分）若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=（）A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣154．（5分）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（）A．+x2=1 B．+y2=1或x2+=1C．+y2=1 D．以上均不正确5．（5分）有下列四个命题：①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③若“A∪B=B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）已知椭圆的离心率，则实数k的值为（）A．3 B．3或C．D．或7．（5分）已知命题p：“∀x∈R，|x|+x2＞0“，命题q：“a+c＞b+d“是a＞b且c ＞d的充分不必要条件”，则下列结论正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“（￢p）∧q”是真命题C．命题“p∧（﹣q）”是真命题D．命题“p∨q”是假命题8．（5分）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1的直线ℓ与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为（）A．B．1 C．D．9．（5分）已知，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a的值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知F1、F2是椭圆C：=1的两个焦点，P为椭圆C上的一点，如果△PF1F2是直角三角形，这样的点P有（）个．A．8 B．6 C．4 D．211．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）已知函数f（x）=，满足f（x）＞0的x的取值范围是．14．（5分）已知P（1，1）是直线l被椭圆=1所截得的线段的中点，则直线l的方程为．15．（5分）已知各项皆为正数的等比数列{a n}（n∈N*），满足a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n使得=4a1，则+的最小值为．16．（5分）已知F是椭圆=1，（a＞b＞0）的左焦点，B（0，b），椭圆的离心率为，D在x轴上，BD⊥BF，B，D，F三点确定的圆恰好与直线x+y+3相切则椭圆的长轴长为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2ax+3a的图象与x轴无交点；q：方程表示椭圆；若p∧q为真命题，试求实数a的取值范围．18．（12分）已知不等式＜0的解集记为p，关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a ＞0的解集记为q，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知{a n}为等比数列，a1=1，a4=64；数列{b n}的前n项和S n满足S n=（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．21．（12分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（n∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a﹣）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？22．（12分）已知圆c1：（x+1）2+y2=8，点c2（1，0），点Q在圆C1上运动，QC2的垂直平分线交QC 1于点P．（I）求动点P的轨迹W的方程；（II）过点S（0，﹣）且斜率为k的动直线l交曲线W于A、B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．2014-2015学年辽宁省沈阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，故选：C．2．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．3．（5分）若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=（）A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣15【解答】解：依题意可知a1+a2=3，a3+a4=3…a9+a10=3∴a1+a2+…+a10=5×3=15故选：A．4．（5分）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（）A．+x2=1 B．+y2=1或x2+=1C．+y2=1 D．以上均不正确【解答】解：设椭圆的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），据题意得解得∴椭圆的标准方程是故选：A．5．（5分）有下列四个命题：①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③若“A∪B=B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题为“若x、y互为倒数，则xy=1”，正确；②“相似三角形的周长相等”的否命题为“不相似三角形的周长不等”，显然错误；③∵A∪B=B，∴A⊆B，∴“A∪B=B，则A⊇B”错误，由原命题与其逆否命题同真同假，∴其逆否命题错误．故选：B．6．（5分）已知椭圆的离心率，则实数k的值为（）A．3 B．3或C．D．或【解答】解：当K＞5时，e===，K=．当0＜K＜5时，e===，K=3．综上，K=3，或．故选B．7．（5分）已知命题p：“∀x∈R，|x|+x2＞0“，命题q：“a+c＞b+d“是a＞b且c ＞d的充分不必要条件”，则下列结论正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“（￢p）∧q”是真命题C．命题“p∧（﹣q）”是真命题D．命题“p∨q”是假命题【解答】解：命题p：x=0时，不成立，“∀x∈R，|x|+x2＞0”为假命题，命题q：∵a＞b且c＞d，∴a+c＞b+d，若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b，所以a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的必要不充分条件，命题q为假命题，A、命题“p∧q”是假命题，A错误，B、命题“（￢p）∧q”是假命题，B错误，C、命题“p∧（￢q）”是假命题，C错误，D、命题“p∨q”是假命题，D正确，故选：D．8．（5分）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1的直线ℓ与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为（）A．B．1 C．D．【解答】解：∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴|AF2|+|BF2|=2|AB|，∵|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4∴3|AB|=4∴|AB|=故选：C．9．（5分）已知，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，过点（1，1）时，z=2x+y有最大值3，过点（a，a）时，z=2x+y有最小值3a，则由题意可得，3a•3=3，解得，a=，故选：B．10．（5分）已知F1、F2是椭圆C：=1的两个焦点，P为椭圆C上的一点，如果△PF1F2是直角三角形，这样的点P有（）个．A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：椭圆C：=1的a=2，b=2，c==2，由于△PF1F2是直角三角形，则若PF1⊥F1F2，则有两个，若PF2⊥F1F2，则有两个，若PF1⊥PF2，由于b=c，以F1F2为直径的圆与椭圆交于两点，则有两个，共有6个．故选：B．11．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1【解答】解：由“λ＜1”可得a n+1＞0，故可推出“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，故充分性成立．由“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”可得a n+1﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1＞0，故λ＜，故λ＜，不能推出“λ＜1”，故必要性不成立．故“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件，故选：A．12．（5分）过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵，∴，∴，∴，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）已知函数f（x）=，满足f（x）＞0的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x2﹣2x﹣3∴x2﹣2x﹣3＞0解得x＜﹣1当x＞0时，f（x）=﹣1+log4x∴﹣1+log4x＞0解得x＞4总之，（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）14．（5分）已知P（1，1）是直线l被椭圆=1所截得的线段的中点，则直线l的方程为3x+4y﹣7=0．【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==﹣=﹣=﹣．由点斜式可得l的方程3x+4y﹣7=015．（5分）已知各项皆为正数的等比数列{a n}（n∈N*），满足a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n使得=4a1，则+的最小值为．【解答】解：设各项皆为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0（n∈N*），∵a7=a6+2a5，∴=a5q+2a5，化为q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∵存在两项a m、a n使得，∴=4a 1，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6．则==≥=，当且仅当n=2m=4时取等号．∴的最小值为．故答案为：．16．（5分）已知F是椭圆=1，（a＞b＞0）的左焦点，B（0，b），椭圆的离心率为，D在x轴上，BD⊥BF，B，D，F三点确定的圆恰好与直线x+y+3相切则椭圆的长轴长为4．【解答】解：设F（﹣c，0），D（m，0）（m＞0），则由于BD⊥BF，则=﹣1，即有mc=b2，由于椭圆的离心率为，即有，可设c=t，则a=2t，b=t，m=3t，则DF的中点为（，0）即为（t，0），则B，D，F确定的圆的圆心为（t，0），半径为=2t，由于直线x+y+3与圆相切，则=2t，解得，t=1．则a=2，即有2a=4．故答案为：4三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2ax+3a的图象与x轴无交点；q：方程表示椭圆；若p∧q为真命题，试求实数a的取值范围．【解答】解：因为p∧q为真命题，所以p为真命题且q为真命题图象与x轴没有交点，△=4a2﹣12a＜0，解得0＜a＜3，q：方程表示椭圆，则解得，由上可知a的取值范围是，18．（12分）已知不等式＜0的解集记为p，关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a ＞0的解集记为q，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：由题p=（﹣∞，0）∪（1，+∞），q：（x﹣1）（x﹣a）＞0p是q的充分不必要条件，则p是q的真子集当a＞1时q=（﹣∞，1）∪（a，+∞）不合题意（舍去）当a=1时q=（﹣∞，1）∪（1，+∞）符合题意当a＜1时q=（﹣∞，a）∪（1，+∞）可得0＜a＜1综上实数a的取值范围是0＜a≤119．（12分）已知{a n}为等比数列，a1=1，a4=64；数列{b n}的前n项和S n满足S n=（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，，得q=4．∴a n=4n﹣1．∵数列{b n}的前n项和S n满足S n=，∴数列{b n}为等差数列，a1=2，a1+a2=7，∴公差d=3．∴b n=2+（n﹣1）×3=3n﹣1．（2）由（1）可得：a n b n=（3n﹣1）•4n﹣1．∴T n=2×1+5×4+8×42+…+（3n﹣4）•4n﹣2+（3n﹣1）•4n﹣1，4T n=2×4+5×42+…+（3n﹣4）•4n﹣1+（3n﹣1）•4n，∴﹣T n=2+3×4+3×42+…+3×4n﹣1﹣（3n﹣1）×4n=﹣（3n﹣1）×4n=2+（2﹣3n）•4n，∴3T n=（3n﹣2）•4n+2．②﹣①得：T n=+．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．21．（12分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（n∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a﹣）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？【解答】解：（1）由题意得：10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则（1+0.2x%）所以，所以ax≤，即a≤恒成立，因为，当且仅当，即x=500时等号成立．所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，即a的取值范围为（0，5]．22．（12分）已知圆c1：（x+1）2+y2=8，点c2（1，0），点Q在圆C1上运动，QC2的垂直平分线交QC1于点P．（I）求动点P的轨迹W的方程；（II）过点S（0，﹣）且斜率为k的动直线l交曲线W于A、B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（I）∵QC2的垂直平分线交QC1于P，∴|PQ|=|PC2|，|PC 2|+|PC1|=|PC1|+|PQ|=，∴动点P的轨迹是点C1，C2为焦点的椭圆．设这个椭圆的标准方程是，∵，∴b2=1，∴椭圆的标准方程是．（II）直线l的方程为y=kx﹣，联立直线和椭圆方程，得，∴9（1+2k2）x2﹣12kx﹣16=0，由题意知，点S（0，﹣）在直线上，动直线l交曲线W于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，假设在y轴上存在定点D（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则，，∵，∴x1x2+（y1﹣m）（y2﹣m）=x1x2+y1y2﹣m（y1+y2）+m2=（1+k2）x1x2﹣k（+m）（x1+x2）+m2+m+=﹣==0．∴，∴m=1，所以，在y轴上存在满足条件的定点D，点D的坐标为（0，1）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
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2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3） C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）f（x）在x0处可导，a为常数，则=（）A．f′（x0）B．2af′（x0）C．af′（x0）D．04．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞5．（5分）如果执行如图所示的程序，那么输出的值k=（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）函数f（x）=2x3﹣9x2+12x﹣a恰有两个不同的零点，则a可以是（）A．3 B．4 C．6 D．77．（5分）若定义域为区间（﹣2，﹣1）的函数f（x）=log（2a﹣3）（x+2），满足f（x）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（，2）B．（2，+∞）C．（，+∞）D．（1，）8．（5分）下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．①④9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是（）A．[﹣3，33]B．[﹣15，39]C．[﹣12，42]D．[﹣15，42]10．（5分）抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．11．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）12．（5分）下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆，则m=．14．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，则不等式f （2x﹣1）＜f（3）的解为．15．（5分）已知f（x）=x3+f′（）x2﹣x，则f（x）的图象在点（，f（））处的切线斜率是．16．（5分）已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，是否存在实数k，使函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增？若存在，求出所有k值；若不存在，请说明理由．18．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．20．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．22．（12分）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D 两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3） C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]【解答】解：∵集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，∴A={x|a﹣1≤x≤a+1}B={x|x≥4或x≤1}，∵A∩B=∅，∴解得2＜a＜3，故选：B．2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，显然平行；而由两直线平行可得：a（a+1）﹣2=0，解得a=1，或a=﹣2，故不能推出“a=1”，由充要条件的定义可得：“a=1”是“直线l1：ax+2x﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）f（x）在x0处可导，a为常数，则=（）A．f′（x0）B．2af′（x0）C．af′（x0）D．0【解答】解：=2a=2af′（x0）．故选：B．4．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y，但x2＞y2不成立．D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．5．（5分）如果执行如图所示的程序，那么输出的值k=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜100，S=0+1=1，k=1满足条件S＜100，S=1+2=3，k=2满足条件S＜100，S=3+8=11，k=3满足条件S＜100，S=11+211=2059，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故选：B．6．（5分）函数f（x）=2x3﹣9x2+12x﹣a恰有两个不同的零点，则a可以是（）A．3 B．4 C．6 D．7【解答】解：∵f（x）=2x3﹣9x2+12x﹣a，∴f′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）=0，求得x=1，或x=2．在（﹣∞，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增；在（1，2）上，f′（x）＜0，f （x）单调递减；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故f（1）=5﹣a为函数f（x）的极大值；f（2）=4﹣a为函数f（x）的极小值，故当a=4，或a=5时，函数f（x）的零点有2个，故选：B．7．（5分）若定义域为区间（﹣2，﹣1）的函数f（x）=log（2a﹣3）（x+2），满足f （x）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（，2）B．（2，+∞）C．（，+∞）D．（1，）（x+2），【解答】解：∵定义域为区间（﹣2，﹣1）的函数f（x）=log（2a﹣3）∴﹣2＜x＜﹣1，0＜x+2＜1，要使f（x）＜0，则2a﹣3＞1，即a＞2，故实数a的取值范围是（2，+∞）故选：B．8．（5分）下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．①④【解答】解：根据f′（x）＞0时，f（x）递增；f′（x）＜0时，f（x）递减可得：①中函数的图象从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；②中函数的图象也是从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；所以①②可能正确．而③中函数的图象从左向右先减后增，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0，大于0；④中函数的图象从左向右先增后减后，对应的导函数也是小于0，大于0，再小于0，大于0；所以③④可能错误．故选：B．9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是（）A．[﹣3，33]B．[﹣15，39]C．[﹣12，42]D．[﹣15，42]【解答】解：a5=a1+4d，a6=a1+5d，所以1≤a1+4d≤4，2≤a1+5d≤3，S6==3（a1+a6）=6a1+15d分析可得，6a1+15d=15（a1+4d）﹣9（a1+5d），故﹣12≤S6≤42．故选：C．10．（5分）抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．【解答】解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．11．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）【解答】解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①②①②两式相乘得：⇒af（b）≤bf（a），故选A．12．（5分）下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e2【解答】解：①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（，），∵（，）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．②正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为（﹣1，0）和（1，0），且过点（）．∵点（）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．③设正六边形的边长为2，以F1F1所在直线为x轴，以F1F1的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0），且过点（1，），∵点（1，）到两个焦点（﹣2，0）和（2，0）的距离分别为2和2，∴a=﹣1，c=2，∴．所以e1=e3＞e2．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆，则m=．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆方程+y2=1的离心率为，则a=＞1，b=1，c=，∴=，解得m=．则m的值是．故答案为：．14．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，则不等式f （2x﹣1）＜f（3）的解为（﹣1，2）．【解答】解：∵在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，∴不等式f（2x﹣1）＜f（3）等价为f（|2x﹣1|）＜f（3），即|2x﹣1|＜3，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）15．（5分）已知f（x）=x3+f′（）x2﹣x，则f（x）的图象在点（，f（））处的切线斜率是﹣1．【解答】解：∵f（x）=x3+f′（）x2﹣x，∴f′（x）=3x2+2f′（）x﹣1，把x=代入得：f′（）=3×（）2+2f′（）×﹣1，解得：f′（）=﹣1，则f（x）的图象在点（，f（））处的切线斜率是﹣1，故答案为：﹣116．（5分）已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是a．【解答】解：∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，f′（x）=e x+xe x=（1+x）e x，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，所以当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；当x=﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（﹣1）=a，所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥．故答案为：a≥．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，是否存在实数k，使函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增？若存在，求出所有k值；若不存在，请说明理由．【解答】解：存在∵f'（x）=4k2x3﹣2x2﹣2kx+2令f′（2）=0，得k=﹣，k=，当k=﹣时，在（1，2）上有f′（）＞0，不符题意，舍；时，f'（x）=x3﹣2x2﹣x﹣+2=（x+1）（x﹣1）（x﹣2）在（1，2）上f'（x）＜0，在（2，+∞）上f'（x）＞0即函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，所以．18．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a n+1＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设，若恒成立，求c 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a n}、数列{b n}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b n}的前三项，∴（2+d）2=2（4+2d）⇒d=±2．∵a n＞a n，+1∴d＞0．∴d=2，∴a n=2n﹣1（n∈N*）．由此可得b1=2，b2=4，q=2，∴b n=2n（n∈N*）．（Ⅱ），①∴．②①﹣②，得=+2（++…+）﹣，∴T n=3﹣．∴T n+﹣=3﹣≤2，∴满足条件恒成立的最小整数值为c=3．20．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解答】解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）（Ⅰ），…（4分）（1）当a=0时，f'（x）=x＞0，所以f（x）在定义域为（0，+∞）上单调递增；…（5分）x（0，a）a（a，+∞）f（x）﹣0+f（x）↓↑（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=﹣2a（舍去），x2=a，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：此时，f（x）在区间（0，a）单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增；…（7分）x（0，﹣2a）﹣2a（﹣2a，+∞）f（x）﹣0+f（x）↓↑（3）当a＜0时，令f'（x）=0，得x1=﹣2a，x2=a（舍去），当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：此时，f（x）在区间（0，﹣2a）单调递减，在区间（﹣2a，+∞）上单调递增．…（9分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a＜0时，f（x）在区间（0，﹣2a）单调递减，在区间（﹣2a，+∞）上单调递增．…（10分）（1）当﹣2a≥e，即时，f（x）在区间[1，e]单调递减，所以，；…（11分）（2）当1＜﹣2a＜e，即时，f（x）在区间（1，﹣2a）单调递减，在区间（﹣2a，e）单调递增，所以，…（12分）（3）当﹣2a≤1，即时，f（x）在区间[1，e]单调递增，所以．…（13分）22．（12分）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C 1于C、D 两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…（2分）代入椭圆方程得，抛物线的方程是：y2=8x…（4分）（Ⅱ）存在直线l：x±11y﹣4=0符合条件解：显然直线l不垂直于y轴，故直线l的方程可设为x=my+4，与y2=8x联立得y2﹣8my﹣32=0．设C（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=8m，y1•y2=﹣32∴=．…（6分）由直线OC的斜率为，故直线OC的方程为，与联立得，同理，所以…（8分）可得要使，只需…（10分）即121+48m2=49×121解得m=±11，所以存在直线l：x±11y﹣4=0符合条件…（12分）第21页（共21页）。