第九章因次分析和模型试验课件
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研究生入学考试相似性原理和因次分析PPT课件
作业
•
10-3、10-8 、10-11
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第9章 相似原理与量纲分析
9.1 相似理论基础 9.2 相似准则 9.3 模型实验 9.4 量纲分析法
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流体力学的研究方法
理论研究方法：从物理概念出发进行数学 分析，建立起反映流体运动的各物理量之 间关系的微分方程式，并根据初始条件和 边界条件对微分方程求解，得到各量之间 规律性关系。
想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？ 答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。
第10页/共29页
9.2 相似准则
问题的提出： 在用模型实验模拟原型系统流动时，
如何保证模型系统的流动与原型系统 相似？
问题解决方法：建立相似准则
相似准则是流动相似的充分必要条件
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建立相似准则的途径：
v pz t p
v px
v pz x p
vpy
v pz y p
vpz
v pz z p
1
= -gp p
p p z p
p p
2 v pz x p 2
2vpz y p2
2vpz z p2
模型系统
（模型)：
m-表示模型
vmz tm
vmx
vmz xm
vmy
vmz ym
vmz
vmz zm
Cl
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9.1.4 动力相似
动力相似概念：
指两个几何相似、运动相似的流动系统中，对应点处
作用相同性质的力F，其方向相同，大小成一定比例，
且比例常数对两个流场中任意对应点都不变。
动力相似条件：
Fp Fm
Cf
•
10-3、10-8 、10-11
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第9章 相似原理与量纲分析
9.1 相似理论基础 9.2 相似准则 9.3 模型实验 9.4 量纲分析法
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流体力学的研究方法
理论研究方法：从物理概念出发进行数学 分析，建立起反映流体运动的各物理量之 间关系的微分方程式，并根据初始条件和 边界条件对微分方程求解，得到各量之间 规律性关系。
想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？ 答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。
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9.2 相似准则
问题的提出： 在用模型实验模拟原型系统流动时，
如何保证模型系统的流动与原型系统 相似？
问题解决方法：建立相似准则
相似准则是流动相似的充分必要条件
第11页/共29页
建立相似准则的途径：
v pz t p
v px
v pz x p
vpy
v pz y p
vpz
v pz z p
1
= -gp p
p p z p
p p
2 v pz x p 2
2vpz y p2
2vpz z p2
模型系统
（模型)：
m-表示模型
vmz tm
vmx
vmz xm
vmy
vmz ym
vmz
vmz zm
Cl
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9.1.4 动力相似
动力相似概念：
指两个几何相似、运动相似的流动系统中，对应点处
作用相同性质的力F，其方向相同，大小成一定比例，
且比例常数对两个流场中任意对应点都不变。
动力相似条件：
Fp Fm
Cf
模型试验二因次和三因次
模型试验二因次和三因次在科学研究和工业生产中，模型试验是一种常见的用来模拟和预测真实世界现象的方法。
模型试验通过模拟影响真实世界系统的两个或多个因素，来研究这些因素对系统的影响以及如何相互作用。
模型试验二因次和三因次分别模拟两个和三个因素，对于复杂系统的研究具有重要的实际意义。
1.二因次模型试验二因次是指模拟两个因素（因素1和因素2）对系统的影响以及它们的交互作用。
在进行二因次模型试验时，通常需要考虑以下步骤：（1）确定研究因素：明确要研究的是哪些因素，这些因素对系统有何影响。
（2）设计实验方案：根据研究因素设计实验方案，包括每个因素的多个水平以及它们的组合方式。
（3）实施实验：根据实验方案进行实验，并记录每个组合下的系统响应。
（4）数据分析：对实验结果进行分析，包括各因素对系统的影响以及它们之间的交互作用。
（5）模型构建与验证：基于实验结果构建数学模型，并对模型进行验证，以描述因素与系统响应之间的关系。
二因次模型试验的结果可以用来预测两个因素对系统的影响，同时也可以研究它们之间的交互作用。
这种交互作用可能表现为协同、拮抗或相加等，取决于具体的研究系统和因素。
2.三因次模型试验三因次是指模拟三个因素（因素1、因素2和因素3）对系统的影响以及它们的交互作用。
与二因次类似，进行三因次模型试验也需要考虑以下步骤：（1）确定研究因素：明确要研究的是哪些因素，这些因素对系统有何影响。
（2）设计实验方案：根据研究因素设计实验方案，包括每个因素的多个水平以及它们的组合方式。
由于有三个因素，需要考虑更多的组合和水平。
（3）实施实验：根据实验方案进行实验，并记录每个组合下的系统响应。
（4）数据分析：对实验结果进行分析，包括各因素对系统的影响以及它们之间的交互作用。
由于有三个因素，数据分析可能更为复杂。
（5）模型构建与验证：基于实验结果构建数学模型，并对模型进行验证，以描述因素与系统响应之间的关系。
由于有三个因素，模型构建可能更为复杂。
流体力学第九章 相似理论[精]
![流体力学第九章 相似理论[精]](https://img.taocdn.com/s3/m/e5081f5943323968001c9262.png)
Re大：表示粘性作用小， Re小：表示粘性作用大。 对于理想流体ν →0，此时Re→∞
（２）佛劳德数 (Froude number) Fr v
gl
惯性力 质量力
v2 l
/g
v2 gl
Fr 2
反应重力（质量力）对流体的作用,Fr相等 表示现象的重力作用相似。
与重力有关的现象由Fr决定，例如波浪运动和舰 船的兴波阻力等，都和Fr密切相关。
实际问题中，先保证佛劳德数相似，进行试验， 然后进行修正。
§９-４ 因次分析法与Π 定理 几个基本概念： • 因次（或量纲）：物理量测量单位的种类 • 基本量纲：是所研究现象中最重要的而且是量
纲独立的量。 在不可压流体力学中，通常有:
长度[L], 质量[M], 时间[T], 其余可由这三个基本量纲导出(见p179.)
v tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
无因次的流体动力系数Ｃｐ由下式定义：
CP
P
1 2
v2S
（9-4）
其中Ｐ为流体作用力，ρ，ｖ和Ｓ分别为选定 的作为特征量的流体密度、速度和面积 。
下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等
CP
1 2
Pp
pvp2
一、物理现象相似
如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征 量的比值在所有对应点上保持常数（无量纲数 dimensionless number ），则这两个物理现象称为相 似的。
二、流动现象相似
相似性包括三方面：
1. 几何相似 2. 运动相似 3. 动力相似
1.几何相似: 对CF Pm
因次分析与定理课件
域。
线性变换可以通过矩阵运算来实 现，通过研究线性变换的性质和 行为，可以进一步了解其对应的
矩阵表示。
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，它 通过最小化预测值与实际观测值之间 的平方误差和来估计最佳参数。
通过最小二乘法，可以找到最佳拟合 数据的参数，使得预测值与实际观测 值之间的误差最小化。
在因次分析中，最小二乘法常用于估 计模型参数和进行预测。
拓展应用领域
随着理论的不断完善和应 用需求的增加，因次分析 将逐渐拓展到其他领域， 如经济学、社会学等。
提高数据分析能力
未来将进一步提高数据处 理和分析的技术水平，以 便更好地挖掘数据中的信 息和规律。
与其他领域的交叉研究
与机器学习的结合
通过结合机器学习算法，利用因次分析对数据进行降维处理，提 高数据分析和处理的效率。
因次分析的基本思想是通过分析系统内各要素之间的因果关系、相关关系和序关系，来揭示系统的内在结构和 本质特征。
因次分析的历史与发展
因次分析的思想起源于古希腊哲学家亚里士 多德，他提出了“因”、“果”、“本原” 等概念，奠定了因次分析的基础。
19世纪中叶，英国数学家布尔和德国数学家 弗雷格等人发展了因次分析的理论和方法， 将其应用于数学、逻辑学和哲学等领域。
总结词
化学反应模拟是因次分析在化学领域的应用，有助于理解化 学反应的机理和过程。
详细描述
在化学反应模拟中，因次分析可以帮助确定反应过程中的关 键因素和影响反应速率的主要变量，从而简化复杂的化学反 应网络。此外，因次分析还可以用于优化化学反应条件和提 高产物的选择性。
在生物系统模拟中的应用
总结词
生物系统模拟是因次分析在生命科学领 域的应用，有助于揭示生物系统的复杂 性和动态性。
线性变换可以通过矩阵运算来实 现，通过研究线性变换的性质和 行为，可以进一步了解其对应的
矩阵表示。
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，它 通过最小化预测值与实际观测值之间 的平方误差和来估计最佳参数。
通过最小二乘法，可以找到最佳拟合 数据的参数，使得预测值与实际观测 值之间的误差最小化。
在因次分析中，最小二乘法常用于估 计模型参数和进行预测。
拓展应用领域
随着理论的不断完善和应 用需求的增加，因次分析 将逐渐拓展到其他领域， 如经济学、社会学等。
提高数据分析能力
未来将进一步提高数据处 理和分析的技术水平，以 便更好地挖掘数据中的信 息和规律。
与其他领域的交叉研究
与机器学习的结合
通过结合机器学习算法，利用因次分析对数据进行降维处理，提 高数据分析和处理的效率。
因次分析的基本思想是通过分析系统内各要素之间的因果关系、相关关系和序关系，来揭示系统的内在结构和 本质特征。
因次分析的历史与发展
因次分析的思想起源于古希腊哲学家亚里士 多德，他提出了“因”、“果”、“本原” 等概念，奠定了因次分析的基础。
19世纪中叶，英国数学家布尔和德国数学家 弗雷格等人发展了因次分析的理论和方法， 将其应用于数学、逻辑学和哲学等领域。
总结词
化学反应模拟是因次分析在化学领域的应用，有助于理解化 学反应的机理和过程。
详细描述
在化学反应模拟中，因次分析可以帮助确定反应过程中的关 键因素和影响反应速率的主要变量，从而简化复杂的化学反 应网络。此外，因次分析还可以用于优化化学反应条件和提 高产物的选择性。
在生物系统模拟中的应用
总结词
生物系统模拟是因次分析在生命科学领 域的应用，有助于揭示生物系统的复杂 性和动态性。
流体力学 - 相似理论
μ , 密度 ρ 有关，试用Π定理导出推力的关系式。
解：将该流动问题所涉及的物理量共有 n=6, 由下列关系式描述：
T = f ( D,U , ρ, n, μ )
取基本量 ρ,U, D，可组成余下的n-p=3 个无量纲数Π1 ，Π2和Π3的组合。
Π1 = T ρ aU b Dc = MLT −2 (ML−3 )a (LT −1 )b (L)c = M L T 1+a 1−3a+b+c −2−b
⎧1 + a = 0 ⎨⎪−1 − 3a + b + c = 0 ⎪⎩−1 − b = 0
a = −1, b = −2, c = −2
a = −1, b = −1, c = −1
所以两个无量纲数分别为：
Π1
=
R ρU 2 D2
，
Π2
=
μ ρUD
球体在流体中运动的五个物理量通常由函数式： R = f (U , D, ρ , μ ) 来描述，但是 R 与
当雷诺数达到一定数值时，阻力系数几乎不随雷诺数而变化，这一阻力系数不随雷诺 数而变的区域称为自动模拟区，所对应的雷诺数称为自模雷诺数。不同形状的物体，所对应 的雷诺数也不同。
二、重点、难点 重点：
1. 相似的概念。 2. 量纲分析法，Π定理，以及应用。 3. 相似准则数的物理意义。 4. 相似准则数的应用，自动模拟的概念。
第九章 相似理论
一、内容小结
研究流体力学问题主要有两条不同的途径，一是利用数学分析方法寻求流体运动规 律，建立基本方程并设法求解这些方程；二是通过实验研究的方法寻求流体运动各物理量之 间的规律性关系。而实验研究由可分为直接实验和模型试验研究，直接实验得出的结果只能 适用于特定的实验条件，或者只能推广到完全相同于实验条件的问题中。显然，直接实验方 法研究流体力学问题具有非常大的局限性。而基于相似原理的模型试验研究方法已经被证实 在相似条件下具有推广意义。本章内容就是介绍指导模型试验、实验数据的分析整理的有关 内容。 1. 流动的力学相似
河工模型试验
f(x,y,x,w)=0
没有办法时才采用
从作用力的一般表达式出发，导出比尺关系式（根据动力相 似条件）
河工模型试验的理论基础-相似论原理
相似条件：两个现象只要满足了这些条件，他们一定是相似
的，即保证两个现象相似的必要和充分条件，但 实际上是很难做到的，为此，我们只研究最低限 度情况下必须遵守哪些条件就可以判断原型和模 型相似 1. 模型与原型相似的相似条件 条件一：与原型相似的模型的一系列模型中的任何一个，在几 何形态上都必须与原型相似，为同一的物理方程式所 描述。 条件二：选取确定的几何比尺，规定确定的相似的单值条件。 条件三：表达单值条件的物理量必须受到比尺关系式的约束 （相似指示数＝1） 2. 必要和充分条件的论证
1lut或常数ltu12lgu或常数glufr2或或或12up1vul122uu常数2upeu常数vulre常数22uu弗汝德相似律欧拉相似律雷诺相似律紊动比尺相似惯性力重力压力惯性力惯性力粘滞力惯性力紊动剪力位变惯性力时变惯性力水流连续律河工模型试验的理论基础相似论原理?推求比尺关系式的其它方法?除幂函数以外其它方程式只要是合理的都可以推导出来?因次分析法fxyxw0?没有办法时才采用?从作用力的一般表达式出发导出比尺关系式根据动力相似条件河工模型试验的理论基础相似论原理?相似条件
河工模型试验的理论基础－相似论原理
相似论原理
相似现象的相似特征
范畴：物质系统是机械运动相似
不仅是静态相似，也是动态相似 不仅是形式相似，也是内容相似
(1)几何相似 (2)动态相似 (3)动力相似
三个相似特征
河工模型试验的理论基础－相似论原理
几何相似
没有办法时才采用
从作用力的一般表达式出发，导出比尺关系式（根据动力相 似条件）
河工模型试验的理论基础-相似论原理
相似条件：两个现象只要满足了这些条件，他们一定是相似
的，即保证两个现象相似的必要和充分条件，但 实际上是很难做到的，为此，我们只研究最低限 度情况下必须遵守哪些条件就可以判断原型和模 型相似 1. 模型与原型相似的相似条件 条件一：与原型相似的模型的一系列模型中的任何一个，在几 何形态上都必须与原型相似，为同一的物理方程式所 描述。 条件二：选取确定的几何比尺，规定确定的相似的单值条件。 条件三：表达单值条件的物理量必须受到比尺关系式的约束 （相似指示数＝1） 2. 必要和充分条件的论证
1lut或常数ltu12lgu或常数glufr2或或或12up1vul122uu常数2upeu常数vulre常数22uu弗汝德相似律欧拉相似律雷诺相似律紊动比尺相似惯性力重力压力惯性力惯性力粘滞力惯性力紊动剪力位变惯性力时变惯性力水流连续律河工模型试验的理论基础相似论原理?推求比尺关系式的其它方法?除幂函数以外其它方程式只要是合理的都可以推导出来?因次分析法fxyxw0?没有办法时才采用?从作用力的一般表达式出发导出比尺关系式根据动力相似条件河工模型试验的理论基础相似论原理?相似条件
河工模型试验的理论基础－相似论原理
相似论原理
相似现象的相似特征
范畴：物质系统是机械运动相似
不仅是静态相似，也是动态相似 不仅是形式相似，也是内容相似
(1)几何相似 (2)动态相似 (3)动力相似
三个相似特征
河工模型试验的理论基础－相似论原理
几何相似
【精品课件】相似原理和因次分析
kl
1 20
vm50m/s
所以： vp 2.5m/s
返回
2）设模型比例尺为1:100，符合重力相似准则， 如果模型流量为100 cm3/s ，则原型流量为多 少 cm3/s ?
A：0.01 C：10
B：1000 D：10000
答案: c
【例】 如图所示，为防止当通过油池底部的管道向外输油时， 因池内油深太小，形成油面的旋涡将空气吸入输油管。需要通 过模型实验确定油面开始出现旋涡的最小油深 hmin 。已知输油管 内径 d=250mm，油的流量 qv=0.14m3/s，运动粘度 7.510 5 m2 s 。 倘若选取的长度比例尺 C1 1 5，为了保证流动相似，模型输出管 的内径、模型内液体的流量和运动粘度应等于多少？在模型上 测得 h'min 50mm ，油池的最小油深 hmin 应等于多少？
力比例系数： 也可写成：
kF
Fm Fp
C
k F k m k a ( k k l3 )k l( k t 2 ) k k l2 k v 2
综上所述：
➢在做模型试验时，要想使两个流动相似必须在几何
相似、运动相似和动力相似三个方面都得到满足。
➢实际应用中，并不能用定义来检验流动是否相似，
因为通常原型的流动是未知的。
长度比例系数：
kl
lm lp
C
面积比例系数：
kA
Am Ap
kl2
体积比例系数：
kV
Vm Vp
kl3
模模型型流流动动用用下下标标
mm表表示示
原原型型流流动动用用下下标标pp
表表示示
2.运动相似（时间相似）
运动相似是指：模型与原型的流场中所有对应点上 对应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比 例相等，即它们速度场相似。
相似理论与量纲分析
• 在无粘性圆柱绕流中
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
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常用变量的分组
因次分析法
目的——便于实验、容易了解问题的实质 π定理（白金汉法）——任何一个物理过程，如包
括n个物理量，涉及到m个基本因次，则这个物理 过程就可由（n-m）个无因次量所表达的关系式来 描述。 基本因次：(对国际单位制) M——质量、L——长度、T——时间。
π理论建立方程式的步骤如下：
解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则
Q vA vl 2 Q vl2
佛劳德准则： v l
Q
5 2 l
Qp Qm5l 2 300 205 2 537000L / s 537m3 / s
F ma v2l 2
F 2vl2
gd 0 T0
v02Te
浮力与重力之差（有效 惯性力
重力）
阿基米德准数——温差、浓差射流的轴线弯曲的相似准数
模型律的选择
雷诺准则——管流、水面下的潜艇运动、输油管道、飞 机在空中的低速飞行以及隧洞中的有压流动等，粘性力 起主要作用;
佛汝德准则——闸孔出流、堰上出流、水面船舶运动以 及明渠流动等，重力起主要作用;
FPP FIP FPm FIm
改成
FPP FPm FIP FIm
FP l 2
FI l 2v2
pp pm
P
v
2 P
m vm2
Eu p Eu m , Eu 1
无因次数
Eu
p
v 2
p
v 2
欧拉数——压力的相似准数
（4）柯西准则——弹性力是主要的力
此时
v
8 6.5
1.23
例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20℃、 压强为1at的静止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中 作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风 洞中空气速度应为多少？
解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则
υ相同
vpl p vmlm
vm
vp
lp lm
300 20 1
6000km/ h
难以实现，要改变实验条件
（2）改用水
水 1.007 10 6 m2 / s 空气 15.7 10 6 m2 / s
vpl p vmlm
p m
vm
vp
l pm lm p
201.007106 300 115.7 106
4.什么是无量纲？
5.因次分析（量纲分析）方法——白金汉π理论的基本步骤？？
6.国际单位制中的长度L,时间T，质量M，为基本量纲（因次），和工程单位制 中的力F，长度L，时间T为为基本量纲（因次），白金汉π理论因次分析后的结 果是一样的。
a0
c 0 ——运动学量
a0
——动力学量
因次的和谐性—— 任何物理方程每一项的因次都是相等的
区别于经验公式
无量纲的物理量
abc0
如
dim Re dim vd
LT 1 L L2T 1
M
0 L0T
0
1
无量纲物理量的意义： （1）客观性； （2）不受运动规模的影响； （3）清楚反映问题实质（如一个系列一条曲线）； （4）可进行超越函数的运算
比尺 雷诺准则
λυ≠1
λl λυλl-1 λυ2λl-3 λυλl
弗劳德准则
λl λl1/2 λl0 λl5/2
名称
时间比尺λt 力的比尺λF 压强比尺λp 功能比尺λW 功率比尺λN
λυ=1
λl2 λρ λl-2λρ λlλρ λl-1λρ
比尺 雷诺准则
λυ≠1
λυ-1λl2 λυ2λρ λυ2λl-2λρ λυ2λlλρ λυ3λl-1λρ
k l dd
p f Re, k l v2 l v2
dd
d2
f Re, k
d
（2）雷利法 有关物理量少于5个
f q1, q2 , q3, q4 0
3个基本量，只有一个π项
小结：变量的选取——对物理过程有一定程度 的理解是非常重要的
v d a2 b2 c2
3
l
v d a3 b3 c3
4
k
v d a4 b4 c4
d.决定各π项的基本量的指数
1：dim p dim v d a1 b1 c1 ML1T 2 LT 1 a1 L b1 ML3 c1
比较两边系数 M 1 c1 L 1 a1 b1 3c1 T 2 a1
快速方法：直接平衡分子与分母的因次
相似性原理
1.力学相似
（1）几何相似——模型和原型的几何形状相似。原型中任何长 度尺寸和模型中相对应长度尺寸的比值处处相等，对应角相等。
lp lm
dp dm
l
p m
λl——长度比尺
Ap Am
l
2 p
lm2
l2
Vp Vm
l
3 p
l
FEP FIP FEm FIm
改成
FIP FIm FEP FEm
FE El 2 FI l 2v2
E——弹性模量
P
v
2 p
mvm2
Ep
Em
（*）
Cap Cam , Ca 1
无因次数
v 2
Ca E
柯西数——弹性力的相似准数
将 a
E
气体
代入（*）式，得
3 m
3l
几何相似只有一个长度比尺，几何相似是力学 相似的前提
（2）运动相似——模型和原型流场中的相应点上存 在的同名速度都成一定的比值，且方向相同。
λv——速度比尺 时间比尺 加速度比尺
vp vm
up um
v
t
tp tm
lp lm
vp vm
l v
a
v t
v2 l
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验 的目的
（3）动力相似模型和原型流场中的相应点上存在的 同名力都成一定的比值，且方向相同。即模型和原型 的矢量图相似。
Fp Fm
F
F P G T
λF——力的比尺
达朗伯定理： FT FG FP FE FI 0 动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
4．把基本变量和其它变量组成数，并找出这些数。 5．把结果代入函数关系式。
例：求有压管流压强损失的表达式 解：步骤
a.找出物理过程中有关的物理量，n 7 组成v 0
b.选取基本量
常取：几何学量d，运动学量v，动力学量ρ m=3
基本量独立条件：指数行列式不等于零
1．选择与流动现象有关的物理变量（此为最关键的 一步）。
2．写成函数关系式。如 f (V , D, , , H, p) 0 3．选择基本变量（注意三条原则，即：基本变量与 基本因次相对应；选择重要的基本变量；不能有任 意两个基本变量的因次是完全一样的）。通常，管 流中选D、v、ρ三个作基本变量为多；明渠流中则 选H、v、 ρ为多。
高为10/5=2m，风口直径为0.6/5=0.12m 原型是空气υp=15.7×10-6m2/s Re vd 3107 属阻力平方区（自模区）
因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区 （Re=50000）
Re
vm 0.12 15.7 106
50000
vm
6.5m / s
（1）雷诺准则——粘性力是主要的力
FTP FIP
FTm
FIm
改成
FIP FIm
FTP
FTm
FT
A dv
dy
lv
lv
FI ma l 2v2
v pl p vmlm
p
m
(Re) p Re m , Re 1
无因次数 Re vl
雷诺数——粘性力的相似准数
（1）同种介质（υp=υm）
Re：vpl p vmlm
v
1
l
Fr（gp=gm）：
v
2 p
vm2
lp lm
v l
1
l
l
l 1 失去模型实验的价值
（2）不同介质（υp≠υm）
Re：vplp vmlm
p m
v
l
Fr：
3
l2
v l
vP vm aP am
Map Mam , Ma 1
无因次数
Mv a
马赫数——弹性力的相似准数
（5）其它准数
W v2l
表惯面性张力力
韦伯数——表面张力的相似准数
Sr
l
v
vt l
时位变变惯惯性性力力
斯特洛哈尔数——脉动角频率的相似准数
Ar
弗劳德准则
λl1/2 λl3λρ λlλρ λl4λρ λl7/2λρ
思考题：
一、因次分析（量纲分析）
1.量纲是物理量的单位种类，用代表物理量的符号的大写来表示。
2.水力学的基本量纲（因次）常采用长度L,时间量纲T，质量量纲M作为基本量 纲（3个基本量纲）。
3.基本物理量是物理现象中的彼此独立的量，如长度l，流速v，等等。
因次分析和模型实验
因次分析——白金汉π理论 相似的基本概念 相似准则
重力和粘性力同时作用下的相似
因次分析