时变广义线性系统的周期解
微分方程中的稳定性与周期解
微分方程中的稳定性与周期解微分方程是数学中的重要概念，用于描述许多自然界和科学问题中的变化与变化率。
在微分方程的解空间中，稳定性与周期解是两个关键概念。
本文将讨论微分方程中的稳定性与周期解，并探讨它们在不同类型微分方程中的应用。
一、稳定性稳定性是指微分方程解中的一个重要特性，它描述了系统在扰动（如初始条件的微小变化）下的行为。
稳定性分为两种类型：有界稳定和渐近稳定。
1. 有界稳定有界稳定是指当系统受到扰动时，解的变化被限制在一个有界的范围内。
换句话说，无论初始条件如何变化，解都在一定范围内波动。
这种稳定性在许多实际问题中非常重要，例如电路中的振荡器系统。
2. 渐近稳定渐近稳定是指当系统受到扰动时，解最终趋于一个稳定的平衡状态。
也就是说，随着时间的推移，解会逐渐接近一个固定的值。
这种稳定性可以帮助我们理解许多自然现象，如天体力学中的行星轨道。
二、周期解周期解是指在一定时间间隔内重复出现的解。
周期解在许多周期性现象中都有应用，例如振动系统和生物节律等。
对于一个周期解，我们需要确定它的周期和振幅。
1. 周期周期是指解重复出现的时间间隔。
在微分方程中，我们可以通过分析解的特征来确定周期。
例如，对于振动系统的微分方程，周期解对应于解的正弦或余弦波动。
2. 振幅振幅是指解在周期内变化的幅度。
在微分方程中，振幅可以通过解的极大值与极小值之间的差值来确定。
振动系统中的振幅通常与初始条件有关。
三、应用稳定性与周期解在许多科学和工程领域中都有重要的应用。
下面将介绍在不同类型微分方程中的具体应用。
1. 非线性方程非线性方程的解通常较为复杂，稳定性和周期解的分析对于理解系统行为非常重要。
例如，Lotka-Volterra方程是用于描述捕食和被捕食物种之间关系的非线性方程，通过分析方程的周期解，我们可以预测种群数量的周期性波动。
2. 线性方程线性方程的解相对较简单，但稳定性分析仍然重要。
例如，热传导方程是描述热量传输的线性方程，在稳定性分析中，我们可以确定热传导系统是否会达到热平衡状态。
数字信号处理第三版西科大课后答案第2章
第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1学习要点与重要公式2.2FT和ZT的逆变换2.3分析信号和系统的频率特性 2.4例题2.5习题与上机题解答2.1学习要点与重要公式数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换（FT）、Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。
利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这方便了对信号和系统的分析和处理。
三种变换互有联系，但又不同。
表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。
Z 变换是傅里叶变换的一种推广，单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。
离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。
离散傅里叶变换具有快速算法FFT，使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。
但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换，它将信号的时域和频域，都进行了离散化，这是它的优点。
但更有它自己的特点，只有掌握了这些特点，才能合理正确地使用DFT。
本章只学习前两种变换，离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。
2.1.1学习要点（1）傅里叶变换的正变换和逆变换定义，以及存在条件。
（2）傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。
（3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式。
（4）Z变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。
（5）Z变换的定理和性质：移位、反转、z域微分、共轭序列的Z变换、时域卷积定理、初值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。
（6）系统的传输函数和系统函数的求解。
（7）用极点分布判断系统的因果性和稳定性。
（8）零状态响应、零输入响应和稳态响应的求解。
（9）用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。
2.1.2重要公式（1）这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。
信号与系统西安邮电习题答案
信号与系统西安邮电习题答案第一次1.1画出下列各个信号的波形[式中为斜升函数]知识要点：本题主要考查阶跃函数和单位阶跃序列的性质，包括和的波形特性以及它们与普通函数结合时的波形变化特性。
解题方法： 首先考虑各信号中普通函数的波形特点，再考虑与或结合时的变化情况；若只是普通信号与阶跃信号相乘，则可利用或的性质直接画出或部分的普通函数的波形；若是普通函数与阶跃信号组合成的复合信号，则需要考虑普通函数值域及其对应的区间。
(1)解：正弦信号周期(2)解：，正弦信号周期(3)解：，正弦信号周期(4)(5)1.2画出下列各信号的波形[式中为斜升函数]知识要点：本题主要考查阶跃函数和单位阶跃序列的性质，包括和的波形特性以及它们与普通函数结合时的波形变化特性。
解题方法： 首先考虑各信号中普通函数的波形特点，再考虑与或结合时的变化情况；若只是普通信号与阶跃信号相乘，则可利用或的性质直接画出或部分的普通函数的波形；若是普通函数与阶跃信号组合成的复合信号，则需要考虑普通函数值域及其对应的区间。
(1)(2)(3)解：(4)(5)1.3写出下图所示各波形的表达式(1)解：(2)解：1.4写出下图所示各序列的闭合形式的表示式(a)解：(b)解：(课堂已讲)1.5判别下列各序列是否为周期性的，如果是，确定其周期(1)解：周期序列(2)解：，，m取3，；，，；故(3)解：，，故非周期；，，；故非周期 1.6已知信号的波形如下图所示，画出下列各函数的波形(1)(2)(3)1.7已知序列的图形如图所示，画出下列各序列的图形(1)(2)1.8信号的波形图如下所示，试画出和的波形解：由图可知：，则当时，；当时，当时，(课堂已讲)1.9已知信号的波形如图所示，分别画出和的波形解：第二次1.10计算下列各题，(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：(8)解：(课堂已讲)1.11设系统的初始状态为，激励为，各系统的全响应与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。
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图2-2
3．有一离散时间信号
（1）画出
（2）求序列 学]
使之满足
解：（1）
又 比较上述两式可得： 故如图2-3所示。
[电子科技大
图2-3
4．已知 如图2-4（a），画出
和
的波形。[北
京理工大学]
解：将 反转得 如图2-4（b）所示，将它们相加、减得 ，波形如图2-4（c）、（d）所示。
图2-4 5．已知f（t）的波形如图2-5所示，令r（t）＝tu（t）。
大学]
图1-2 解：因为：
故：
y2（t）的波形如图1-3所示。
图1-3 3．将如图1-4（a）、（b）所示的连续信号展成如下形式：
给出信号
最简单的解析表达形式。[北京航空航天大学]
图1-4
解：（a）该信号可分为两段：
和
可化简为
故
，即：
（b）该信号可分为三段： 可化简为 故
，即
4．求
的值。[北京航空航天大学2006研]
，应该与齐次解有关，即系统的特征根为－1和－3，故特征方程应为 ，即a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励 rzs（t），则
的零输入响应和零状态响应分别为rzi（t）和
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为h（t），则由线性时不变系统的叠加性 可知
由式（1）、式（2），并设
陈后金《信号与系统》（第2版）配 套模拟试题及详解
第一部分 名校考研真题 第1章 信号与系统分析导论 一、选择题
1．方程 天大学2007研] A．线性时不变 B．非线性时不变 C．线性时变 D．非线性时变 E．都不对 【答案】B
描述的系统是（ ）。[北京航空航
数字信号处理课后答案西电
1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。
解:2. 给定信号:(1)画出序列的波形，标上各序列的值;(2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列;(3)令，试画出波形;(4)令，试画出波形;(5)令，试画出波形。
解:(1)x(n)的波形如题2解图(一)所示。
(2)(3)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图(二)所示。
(4)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图(三)所示。
(5)画时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如题2解图(四)所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
(1)，A是常数;(2)。
解:(1)，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14;(2)，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
(1);(3)，为整常数;(5);(7)。
解:(1)令:输入为，输出为故该系统是时不变系统。
故该系统是线性系统。
(3)这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。
令输入为，输出为，因为故延时器是一个时不变系统。
又因为故延时器是线性系统。
(5)令:输入为，输出为，因为故系统是时不变系统。
又因为因此系统是非线性系统。
(7)令:输入为，输出为，因为故该系统是时变系统。
又因为故系统是线性系统。
6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
(1);(3);(5)。
解:(1)只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。
如果，则，因此系统是稳定系统。
(3)如果，，因此系统是稳定的。
系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.(5)系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。
如果，则，因此系统是稳定的。
7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图所示，要求画出输出输出的波形。
3.5线性时变系统状态方程的解
=G( kT) x( kT) + H( kT) u( kT) .
其中： 其中：
G( kT)
H( kT) TB( kT) .
I +TA( kT) ,
第三章 状态方程的解 3.6.2 线性时不变系统状态方程的离散化 考虑系统： 考虑系统： & x( t) = A ( t) + B ( t) , x u 其状态方程的解为： 其状态方程的解为：
第三章 状态方程的解 第一项是由初始状态引起的响应； 第一项是由初始状态引起的响应； 第二项是由控制输入引起的响应。 第二项是由控制输入引起的响应。
连续系统的时间离散化 3.6 连续系统的时间离散化
3.6.1 近似离散化 考虑系统
& x( t) = A( t) x( t) + B( t) u( t) ,
t t t0 t0
t A(τ ) d x( t ) x( t) =exp ∫ τ 0 t0
0 =exp 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x( t0 )
0
1 = 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x t ( 0)
1
第三章 状态方程的解
t 1 & 例3.5.2 x( t) = x( t) 初始值为 x( 0) .求 x( t)。 1 t
解：
t2 2 t ∫t0 A(τ ) dτ = t t2 2,
t
A( t) ∫ A(τ ) dτ = ∫ A(τ ) dτA( t) ,
线性时变系统状态方程
线性时变系统状态方程线性时变系统模型根据n 维向量时变系统状态方程，考虑如下的线性时变系统模型⎩⎨⎧+=+=)()()()()()()()()()(t u t D t x t C t y t u t B t x t A t x（1） 其中1⨯∈n R x 是系统的状态量，1⨯∈r R u 是系统的输入量，1⨯∈m R y 是系统的输出量。
n n R t A ⨯∈)(是系统矩阵，r n R t B ⨯∈)(是输入矩阵,n m R t C ⨯∈)(是输出矩阵，并且系数矩阵的元素是时间的连续函数。
下面给出本文中用到的有关线性时变系统的定义。
定义2.1.1[5]p2 线性时变系统的能观测性1),(已有系统模型假设)(t A 和)(t C 分别为2-n 和1-n 阶连续可微的，则可以得到如下方程⎩⎨⎧+==--)()()()()()(111t A t s t s t s t C t s i i i（2） 其中i ∈n ,2,1⋯ 进而定义线性时变系统能观测性矩阵[]TT n T T t S t S t S t Q )()(),()(210⋯= （3） []时当n t t t ,0∈，都是列满秩矩阵(t)Q 0，线性时变系统则为能观测的。
定义2.2.2[5]p2 矩阵指数有界性n n ij t m t M ⨯=)]([)(定义时变矩阵，n j i ⋯∈2,1,。
若在[]n t t t ,0∈时间内，ij me ˆij ij a (t)m <,其中ij a 与ij m ˆ均为常数，则称该时变矩阵在[]n t t t ,0∈内指数有界。
系统的能控和可观性是系统稳定的充分不必要条件，本文将按照定义 2.1.1和定义2.2.2并考虑实际生活中的系统在绝大部分时间可以被观测，建立范围内一致可观察的线性时变系统。
线性时变系统的特性线性时变系统顾名思义就是时变系统又拥有线性系统的特性。
我们先判断系统是否为线性的，方法为：如果输入量先经过线性运算后系统输出的值=系统输出量经过线性运算后的值假设有系统)()(t nx t y =，输入量为)(1t x 、)(2t x 和)(3t x)()()(213t bx t ax t x +=)]()([)()(2133t bx t ax n t nx t y +== (a))()()()(2121t bnx t anx t by t ay +=+ (b)若b a =那么该系统为线性系统。
具有时变时滞的广义系统的稳定性判别方法
具有时变时滞的广义系统的稳定性判别方法郑连伟;宋叔尼【摘要】针对时滞是时变的且属于一个区间的情况,研究时滞广义系统的稳定性问题.利用4个线性矩阵不等式给出了系统正则、无脉冲且渐近稳定的判别方法.把时滞区间分成两个相等的子区间,对应于每个子区间,利用适当的不等式对积分的系数进行放大,把Lyapunov-Krasovskii泛函导数的上界表示成某个参数的仿射函数.用两个线性矩阵不等式保证该导数的负定性,进而推广了文献中的凸组合方法.理论分析和数值算例表明,所得结果比现有结果具有更小的保守性.【期刊名称】《东北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(034)006【总页数】4页(P770-773)【关键词】时变时滞;广义系统;稳定性;Lyapunov-Krasovskii泛函;线性矩阵不等式【作者】郑连伟;宋叔尼【作者单位】东北大学理学院,辽宁沈阳110819;东北大学理学院,辽宁沈阳110819【正文语种】中文【中图分类】TP13广义系统又称为奇异系统、微分代数系统或隐式系统，可以用来描述电力系统、经济系统、机器人系统等诸多系统.线性时不变广义系统已得到广泛而深入的研究，许多正常系统的结论被推广到广义系统，形成了这类系统的基本理论[1].时滞普遍存在于各种类型的系统中，是导致系统不稳定和性能下降的一个主要因素.以Lyapunov方法为理论基础，以线性矩阵不等式为工具，线性时滞系统得到了广泛的研究，获得了许多有意义的结果[2-3].时滞广义系统用带有差分方程约束的时滞微分方程描述，由于这类方程可能含有脉冲解，因而对它的研究比一般的时滞系统或广义系统更加困难.稳定性问题是时滞广义系统研究的基本问题，文献[4-5]利用Lyapunov-Krasovskii泛函证明微分子系统的稳定性，再利用差分算子的稳定性或迭代方法证明代数子系统的稳定性，给出了稳定性分析的基本方法.为了降低保守性，文献[6]利用自由权矩阵方法处理Lyapunov-Krasovskii泛函导数的积分项，得到了依赖于时滞上界的稳定性条件.这些文献的时滞是常数，针对时变时滞，文献[7-9]给出了依赖于时滞区间的稳定性条件，其中文献[7]由于采用了凸组合方法，所得结果的保守性较小.本文对于时滞是时变的，而且位于一个区间内的情况，把时滞区间等分成两个子区间，对应于每个子区间，利用适当的不等式对积分的系数进行放大，把Lyapunov-Krasovskii泛函导数的上界表示成某个参数的仿射函数，用两个线性矩阵不等式表示导数的负定性，进而推广了凸组合方法，得到了保守性更小的结果.1 问题描述与预备知识考虑如下时滞广义系统：x(t)=φ(t)，t∈[-h2，0].(1)式中：x(t)∈Rn是状态向量；E是奇异矩阵，rank(E)=r<n；A，Ad∈Rn×n是常数矩阵；φ(t)是相容的初始状态向量；d(t)是可微分的时变时滞函数，在一个区间内取值，满足(2)其中：h1，h2，μ是常数.定义1 矩阵对(E，A)称为正则的，如果det(sE-A)不恒等于零；矩阵对(E，A)称为无脉冲的，如果deg(det(sE-A))=rankE；时滞广义系统(1)称为正则且无脉冲的，如果矩阵对(E，A)是正则且无脉冲的.通过状态变换系统(1)可以等价地表示成以下形式：(3)引理1[1] 系统(3)是正则且无脉冲的，当且仅当A22是可逆的.关于系统(1)解的存在性有下面的结果.引理2[10] 如果系统(1)是正则且无脉冲的，则对于相容初始条件φ(t)，系统(1)在区间(0，+∞)内存在唯一的无脉冲解.用Cn[-h2，0]表示把区间[-h2，0]映射到Rn的全体连续函数φ(s)构成的Banach 空间，其中φ(s)的范数是关于系统(3)的稳定性有下面的结果.引理3[4] 如果以下两个条件满足，则系统(3)是渐近稳定的.1) 系统(3)是正则且无脉冲的，且2) 存在连续泛函V：Cn[-h2，0]→Rn，及正数α，β，γ，使得式中：ρ(·)表示普半径；是V(xt)沿系统(3)的轨线对时间t的导数.本文基于引理3研究系统(1)的稳定性，要用到下面两个引理.引理4[11] 设R>0是正定矩阵，a，b是实数，且a≤b，向量值函数ω：[a，b]→Rn可积，则(b-a)ωT(s)Rω(s)ds.引理5 设实数h1，h2，d满足h2>d>h1≥0，h12=h2-h1，则证明利用不等式(a+b)2≥4ab可证.2 主要结果定理1 考虑系统(1).给定数量h1，h2，μ，h2>h1≥0，如果存在矩阵P及正定矩阵Q1，Q2，Q3，R1，R2，满足以下线性矩阵不等式：PE=ETPT≥0；(4)Ψ-4MTR2M-NTR2N<0；(5)(6)Ψ-MTR2M-4NTR2N<0；(7)(8)则在条件(2)下系统(1)正则、无脉冲，且是渐近稳定的.式中：(9)Ψ11=PA+ATP+Q1+Q2+Q3-ETR1E；(10)(11)其中：“*”表示矩阵的对称元素；O表示零矩阵，以下同.证明首先证明系统正则、无脉冲.把式(5)左右两边分别乘以和它的转置并舍去某些正项，可得到(12)不失一般性，可设系统(1)具有式(3)的形式，相应地P和Q1可分解成由式(4)得P21=0.利用这些矩阵分块，把式(12)的左右两边分别乘以和它的转置得到(13)所以，可逆，系统正则且无脉冲.式(13)左右两边分别乘以及其转置得到所以，利用定理中的矩阵构造Lyapunov-Krasovskii泛函：V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt).V1(xt)=xT(t)PEx(t)；V2(xt)= xT(s)Q1x(s)ds+xT(s)Q2×x(s)ds+xT(s)Q3x(s)ds；求诸Vi(xt)沿系统(1)的轨线的导数，得到2xT(t)P(Ax(t)+Adx(t-d(t)))；μ)xT(t-d(t))Q1x(t-d(t))-xT(t-h1)Q2x(t-h1)-xT(t-h2)Q3x(t-h2)；(14)记利用引理5可得记ξT(t)=[xT(t) xT(t-d(t)) xT(t-h1)xT(t-h2)].把式(15)代入式(14)并对积分应用引理4，可得(1+β)NTR2N)ξ(t).当时由式(5)和式(6)可知以下证明当时也有由引理5可得(16)把式(16)代入式(14)并对积分应用引理4，可得4βNTR2N)ξ(t).(17)当时所以由式(17)，式(7)和式(8)可知综合以上两种情况由引理3得知系统(3)是渐近稳定的，从而系统(1)是渐近稳定的.定理1对文献[7]的主要结果进行了改进.为了比较两者的保守性，下面利用定理1的表达方式列出文献[7]的主要结果.定理2[7] 如果以下线性矩阵不等式成立：PE=ETPT≥0，Ψ-2MTR2M-NTR2N<0，(19)Ψ-MTR2M-2NTR2N<0，(20)则在条件(2)下系统(1)正则、无脉冲，且是渐近稳定的.式中Ψ，M，N由式(9)～(11)给出.显然，当不等式(18)～(20)成立时，不等式(4)～(8)一定成立，这说明本文方法的保守性比文献[7]小，下面的算例也验证了这一结论.如果不限制时滞变化率的上界μ，在定理1中令Q1=0，可得不依赖时滞变化率的稳定性结果.3 数值算例例1 考虑系统(1)，其中：当μ=0.3时，对于h1的不同给定值，分别利用定理1和文献[7]的方法求出保证该系统正则、无脉冲且渐近稳定的h2的上界，结果列于表1，可见本文的方法具有较小的保守性.表1 对应于不同h1和μ=0.3的h2的允许上界Table 1 Allowable upper bound of h2 for varioush1 and μ=0.3方法h1=1h1=2h1=3h1=4h1=5文献[7]1.30142.30063.30064.30065.3006定理11.33582.33473.33474.33475.33474 结语本文研究了时滞广义系统的稳定性问题.对于时滞是时变的且位于一个区间内的广义系统，利用线性矩阵不等式给出了系统正则、无脉冲且渐近稳定的条件.对不同的时滞区间，把Lyapunov-Krasovskii泛函的导数的上界表示成某个参数的仿射函数，避免了对该上界的过分放大，因而结果具有较小的保守性.参考文献：[1] 杨冬梅，张庆灵，姚波.广义系统[M].北京：科学出版社，2004：16-26. 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有 界解 ， 则广 义 系统 （ ） 在 周 期 为 的 周期 解． １存 证 明 由于 矩 阵对 （ （） 是 强正 逆 阵 Ｐ， Ｑ，使 （ ） ３ ２ ，（ ）成 立 ，记 Ｐ ￡Ｑ 一 （）
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梁 家 荣
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ｌ ＰＥＱ — ＰＥＱ尸 Ｑ ＋ Ｐ Ｑ ≠ ０ ｔ （ ， 。 ） ｌ ，∈ ０ ＋ 。 ，
（ ３）
主 要 的 方 法 大 多采 用 极 限集 方 法 、 朴 方 法 、 函 分 拓 泛 析 法 以及 比较 法 ， 对 于 时变 广 义 系统 的周 期 解 的研 但 究 ， 方 面 由于 广 义 系 统 已不 是 传 统 的数 学 模 型 ， 一 解 的存 在 唯 一性 尚未完 全 解 决． 一方 面 由于它 不再 存 另 在类 似 于 正 常系 统 的基 解矩 阵 ， 因而 用 上述 传 统 的研 究 方 法来 处 理 时 变 广 义 系统 时 会 有 困难 ．目前 ， 于 关 广义 系统 的周 期 解 的研 究 还属 初 创 阶段 ， 定 常广 义 对 系 统 已得 到 了一 些 结 果 。 ， 对 于 时 变 广 义 系 统 的 ］但 周期 解 的研 究 尚不 多见 ． 文 利用 大 系统 分 解 法对 时 本 变广 义 系 统 的周 期存 在 性 进行 研 究 ， 到 了一 些 有 意 得
义 的结 果．
， 为 ｒ× ｒ 阶单 位 阵 ， 称矩 阵 对 （ （） 是 强 正 则 则 Ｅ， ￡ ）
定 理 １ 对 于广 义 系统 （ ）若 （ （） 是 强 正 １ ， Ｅ， ￡ ）
则 的 ， （ ＋ ） Ａ（）ｆ（ ＋ ｃ ＝ ｆ（） 系 统 （ ） ￡ 一 ￡， ｔ ｏ ） ｔ， １ 有
正如 平 面定 性 理论 中极 限环 的研 究 一样 ， 间 周 空 期 解 的研 究 是高 维 系统 定 性 理论 研 究 的重 要 方 向 ， 空 间 周 期 解 理 论 联 系 实 际 ， 物理 学 、 学 、 物 学 、 在 化 生 气
为连 续 可 微 的矩 阵 函数 ， （）Ｅ Ｒ 为 连 续 可 ／￡ ” 微 的 向量 函数 ． 定 义 如 果存 在可 逆 的常 量 阵 Ｐ， 使得 Ｑ
／ Ｉ ０１
象 学 、 济 学 ， 口学 以及 社 会 科 学 的其 它分 支应 用 经 人 十 分 广 泛． 外 ， 尔 伯 特 第 十六 问题 的没 完 全 解 决 此 希
也 使周 期 解理 论 的研 究 有 较重 要 的理论 意 义 ， 内外 国 对 正 常 系统 的周 期解 的研 究 已得 到 不 少成 果 ， 其
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广 西 科 学 Ｇｕ ｎ ｘ Ｓ ｉ ｃｓ２ ０ ，９ （ ） １ ４ １ ５ １ ８ ａ ｇ ｉ ｃ ｎ ｅ ０ ２ ｅ ３ ： ６ ～ ６ ， ６
时 变 广 义 线 性 系统 的 周 期 解
Ｔｈｅ Ｐｅ ｉ ｄｉ ｏ ｉ ｎ ｏ ｎｅ ａ ｅ ｒｏ ｃ Ｓ ｌ ｏ ｆ Ｇｅ ｒ ｌｚ ｄ ｕｔ ｉ
摘 要 利 用 大 系 统 分 解 法 ， 时 变 广 义 线 性 系 统 进 行 研 究 ， 出周 期 解 存 在 、 一 稳 定 的 充 分 条 件 和 实 例 ． 对 给 唯 关 键 词 广 义 线性 系 统 周 期 解
中图法分类号 Ｏ１ ５ １ ．２ ７
存 在 性
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｈ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｔｍ ｅ ｖ ｒａ ｅ １ ａ ｓ ｓ ｅ Ｓ ｔ ｉｄ ｂｙ ｅ ｏ ｐｏ ｉｉ ｍ ｅ ｈｏ ｓｒ ｃ ｅ ｅ ｅ ａｉ ｄ ｉ — ａ ｉｂｌ ｉ ｒ ｙ ｔ ｍ ｉ ｓｕｄ ｅ ｄ ｃ ｍ ｚ ｎｅ ｓｔｏｎ ｔ ｄ． Ｔ ｈ ｅ ｓ ｆｉｉｎｔｃ ｎ ｔｏ ｏ ｈ ｉ ｕ ｘ ｓｅ ｅ ｏ ｅ ｉ ｄｉ ｏｕｔｏ ｒ ｂｔ ｉ ｅ Ａ ｘａ ｐｌ ｓｇ ｖ ｎ ｔ ｕ ｆｃｅ ｏ ｄｉｉ ｎｓｆ ｒｔ ｅ ｕｎ ｑ ｅ ｅ ｉｔ ｎｃ ｆｐ ｒｏ ｃ ｓ ｌ ｉ ｎ ａ ｅｏ ａ ｎ ｄ． ｅ ｍ ｅ ｉ ｉ ｅ ｏ ｅ ｌｉ ｈｅ ｔ ｅ ｒ ｍ ． ｘｐ ａｎ ｔ ｈ ｏ ｅ Ｋｅ ｒ ｓ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｉ ｅ ｖ ｒａ ｅ ｌｎ ａ ｙｓｅ ，ｐ ｒｏ ｃ ｓ ｌ ｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ｅ ｅ ａｉ ｄ ｔｍ — ａ ｉｂｌ ｉ ｅ ｒ ｓ ｔ ｍ ｚ ｅ ｉｄｉ ｏ ｕ ｉ ｎ，ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｘ ｓｅ ｃ
Ｙ￡ （）一 Ｑ ｘ ｔ ， （ ） 价 于 （） 则 １ 等
（ ）一 Ａ１（ ） （ ）＋ Ａ１（ ） （ ）＋ ｆ１￡ ，（ ￡ １￡ １￡ ￡ ２￡ ２ （ ） ４）
＝
Ａ （ ） （ ）＋ Ａ２ （ ） （ ）＋ ２ ｔ Ｙ１ ｔ １ ２ ｔ Ｙ２ ｔ
（） ５