等腰直角三角形-学案

学习过程一、复习预习二、知识讲解考点/易错点1等腰直角三角形特有（1）两底角等于45°。

（2）两腰相等。

考点/易错点2等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。

高：顶点到对边垂足的连线。

角平分线；顶点到两边距离相等的点所构成的直线。

中位线：任意两边中点的连线。

考点/易错点3等腰直角三角形常见题型1、多垂直、锐角相等2、通过三线合一构造全等3、利用垂直与等腰构造全等三、例题精析【例题1】【题干】△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, D为BC 上一点,过B，C做BE⊥AD, CF⊥AD 求证: BE=EF+CF【答案】∵BE⊥AD,∠BAC=90°∴∠EBA=∠CAF易证: △EBA≌△FAC∴AE=FC, BE=AF∴BE=EF+CF【解析】直角三角形中，两锐角互余；结合三角形全等很容易得证【例题2】【题干】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是BC边上中线，∠ABF=∠CAE，求证：EF∥AC【答案】Rt△ABC中，AD为中线∴BD=AD，∠ABD=∠DAC=45°又∵∠ABF=∠CAE∴∠DBF=∠DAE∴易证：△DBF≌△DAE∴DE=DF，∴∠FED=∠C=45°∴EF∥AC【解析】通过三线合一构造全等【例题3】【题干】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD F平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E求证：BD=2CE【答案】证：∵BD平分∠ABC，且CE⊥BE∴延长CE、BA交于F易证：△FBE≌△CBE∴FE=CE，△ABD≌△ACF∴BD=CF=2CE【解析】利用垂直与等腰构造全等【例题4】【题干】如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=﹣x上运动，当线段AB最短时，点B 的坐标为（）A、（0，0）B、（，﹣）C、（，﹣）D、（﹣，）【答案】解：过A点作垂直于直线y=﹣x的垂线AB，∵点B在直线y=﹣x上运动，∴∠AOB=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，则OC=BC=．作图可知B在x下方，y的右方．∴横坐标正，纵坐标为负．所以当线段AB最短时，点B的坐标为（，﹣）．故选B．【解析】线段AB最短，说明AB此时为点A到y=﹣x的距离．过A点作垂直于直线y=﹣x 的垂线AB，由题意可知：△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，有OC=BC=，故可确定出点B的坐标．【例题5】【题干】△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，其初始位置如图所示，若△AEF绕A点顺时针旋转，则BE与CF大小关系为（）A、BE＞CFB、BE=CFC、BE＜CFD、无法确定【答案】解：连接BE、CF∵△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∴BA=BC，∠BAC=∠FAE，AF=AE，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．故选B．【解析】连接BE、CF，证明△BAE≌△CAF即可得到结论．【例题6】【题干】下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有10 个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有28 个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有50 个．【答案】解答：解：第一空 4 （正方形边长为1，直角边长为1的等腰三角形有4个）；第二空4×2+2=10 （每个正方形都有4个边长为1的等腰直角三角形，还有2个直角边长为的就是以2为斜边）第三空4×4+2×4+4=28 （4个小正方形就是4×4，而相邻的两个小正方形都有2个直角边为的等腰直角三角形，这样相邻的有4对所以是2×4，然后再加上4个直角边长为2的）第四空4×6+2×7+4×2+4=50（正方形边长为1，直角边长为1的等腰三角形有4×6个小正方形，7对相邻的两个小正方形，4对直角边为2的大正方形，4个直角边长为的斜边为．【解析】分析：根据正方形的性质，知图1中，连接2条对角线，可以有4个以格点为顶点的等腰直角三角形；图2中，连接每个正方形的2条对角线，在图1的基础上，则共有4×2+2=10（个）以格点为顶点的等腰直角三角形；图3中，在图1和图2的基础上，则共有10×2+8=28（个）以格点为顶点的等腰直角三角形；图4中，在图2和图3的基础上，分解为几个（2）（3）的图形，然后观察形状不是（2）（3）的四边形中是否存在满足条件的三角形，利用勾股定理的逆定理即可作出判断．四、课堂运用【基础】1.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）A、40°B、45°C、50°D、60°分析：先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD=DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC=45°．解答：解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠BEA=∠ADC=90°．∵∠FBD+∠BFD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE∴∠FBD=∠FAE∵∠BDF=∠ADC=90°，BF=AC∴△BDF≌△ADC（ASA）∴BD=AD∴∠ABC=∠BAD=45°故选B．2.用两个全等的等腰直角三角形拼下列图形：①等腰三角形；②等边三角形；③正方形；④等腰梯形．一定可以拼成的图形有（）A、①③B、②④C、②③D、①④分析：可以将两个直角三角形拼拼，即可得到可以拼成等腰三角形与正方形．解答：解：①如图：∵∠B=∠B′=45°，∴可以拼成等腰三角形；③如图：，∴可以拼成正方形；∴一定可以拼成的图形有①③．故选A．3.如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，则△DBE的周长等于（）A、10cmB、8cmC、12cmD、9cm分析：根据角平分线性质求出CD=DE，根据勾股定理求出AC=AE=AB，求出BD+DE=AE，即可求出答案．解答：解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由勾股定理得：AC=，AE=，∴AE=AC=BC，∴DE+BD=CD+BE=BC，∵AC=BC，∴BD+DE=AC=AE，∴△BDE的周长是BD+DE+BE=AE+BE=AB=10．故选A．【巩固】1.如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（）A、2cmB、4cmC、6cmD、8cm分析：易得易拉罐进入水杯部分为等腰直角三角形，底边长为8，可得底边上的高．让10减去底边上的高即为水深．解答：解：∵易拉罐进入水杯部分为等腰直角三角形，而斜边与圆水杯底相等为8cm．∴P点到杯口距离为4 cm．∴水深为10﹣4=6cm．故选C．2.如下图，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，则下列结论不正确的是（）A、AC=AEB、CD=DEC、CD=DBD、AB=AC+CD分析：根据角平分线性质求出CD=DE，根据勾股定理求出AC=AE，根据三角形的内角和定理求出∠B=∠BDE，推出BE=DE=CD，即可推出AB=AC+CD．解答：解：B、∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，故本选项错误；A、由勾股定理得：AC=，AE=，∴AC=AE，故本选项错误；D、∵∠B=45°，DE⊥AB，∴∠BDE=180°﹣90°﹣45°=45°=∠B，∴BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；C、∵CD=DE，BD＞DE，∴BD＞CD，故本选项正确；故选C．3. 如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1= ．分析：重叠部分为等腰直角三角形，设B1C=2x，则B1C边上的高为x，根据重叠部分的面积列方程求x，再求BB1．解答：解：设B1C=2x，根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B1C边上的高为x，∴×x×2x=2，解得x=（舍去负值），∴B1C=2，∴BB1=BC﹣B1C=．故答案为．4.如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为厘米．分析：先设第①个等腰直角三角形的斜边是x，第②个的等腰直角三角形的斜边是x，那么第③个等腰直角三角形的斜边是2x，从而有第n个等腰直角三角形的斜边是（）n﹣1x，根据题意可得（）9﹣1x=16，解即可．解答：解：设第①个等腰直角三角形斜边长是x，根据题意得：（）9﹣1x=16，∴16x=16，∴x=．【拔高】1.以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出（）A、2个B、4个C、6个D、8个分析：利用等腰直角三角形的性质来作图，要注意分不同的直角顶点来讨论．解答：解：此题应分三种情况：①以AB为腰，点A为直角顶点；可作△ABC1、△ABC2，两个等腰直角三角形；②以AB为腰，点B为直角顶点；可作△BAC3、△BAC4，两个等腰直角三角形；③以AB为底，点C为直角顶点；可作△ABC5、△ABC6，两个等腰直角三角形；综上可知，可作6个等腰直角三角形，故选C．2.己知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，其中∠H、∠E、∠F是直角，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（）A、1B、2C、D、分析：在直角△ABC中，∠C=90°，AB2=AC2+BC2，即可求证：阴影部分面积△ACH和△BCF的面积之和为△ABE的面积，即阴影部分面积为2倍的△ABE的面积，根据此等量关系即可求解．解答：解：在直角△ABC中，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2，根据等腰直角三角形面积计算方法，△AEB的面积为×=，△AHC的面积为×=，△BCF的面积为×=，∴阴影部分面积为（AB2+AC2+BC2）=AB2，∵AB=3，∴阴影部分面积为×32=，故选C．3.如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n= ．分析：本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出S n的表达式．解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S1==2﹣1；根据勾股定理，得：AB=，则S2=1=20；A1B1=2，则S3=21，依此类推，发现：S n=2n﹣2．4.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．分析：依次、反复运用勾股定理计算，根据计算结果即可得到结论．解答：解：根据勾股定理，第1个等腰直角三角形的斜边长是，第2个等腰直角三角形的斜边长是2=（）2，第3个等腰直角三角形的斜边长是2=（）3，第n个等腰直角三角形的斜边长是（）n．课程小结等腰直角三角形的判定与性质的灵活应用课后作业【基础】1.在△ABC中，BC：AC：AB=1：1：，则△ABC是（）A、等腰三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形分析：根据题意设出三边分别为k、k、k，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又有BC、AC边相等，所以三角形为等腰直角三角形．解答：解：设BC、AC、AB分别为k，k，k，∵k2+k2=（k）2，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，又BC=AC，∴△ABC是等腰直角三角形．故选D．2.等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A、30°B、45°C、60°D、90°分析：根据等腰直角三角形的定义可知其顶角为90°，然后可根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出其底角的度数．解答：解：等腰直角三角形一个底角的度数=（180°﹣90°）÷2=45°．故选B．3.等腰直角三角形的底角为45 度．分析：根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理解答．解答：解：∵∠C=90°，AC=AB∴∠A=∠B=45°．4.等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是．分析：题中没有指明该边是直角边不是斜边，则应该分情况进行分析．解答：解：（1）当1cm是斜边，则其高就是斜边1的一半是cm；（2）当其直角边是1cm时，根据勾股定理得其斜边是cm，再根据其高是斜边的一半得高是cm；所以它斜边上的高是cm或cm．【巩固】1.如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45度．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（）A、10cmB、20cmC、30cmD、35cm分析：由题可知，进入容器中的三角形ABC可看作是一个斜边为40的等腰直角三角形，所以在此三角形中斜边上的高应该为20，因此若使高为55容器中的水面与圆桶相接触，由此可以求出水深．解答：解：如图，依题意得△ABC是一个斜边为40的等腰直角三角形，∴此三角形中斜边上的高应该为20，∴水深至少应为55﹣20=35cm．故选D．2. 如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于度．分析：根据等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质，判定等腰直角三角形．解答：解：根据等腰三角形底边上的高也是底边上的中线和顶角的角平分线可知，高把原等腰直角三角形分成两个等腰直角三角形，顶角也就平分成两个45°，故顶角是90°，故填90．3.等腰直角三角形的一边长为2cm，则它的周长为4+2或2+2 ．分析：在等腰直角三角形中，已知了一边的长，但未明确此边是底还是腰，因此要分类讨论．解答：解：当底边长为2cm时，腰长是cm，则周长是2+2（cm）；当腰长为2cm时，底边是2cm，因而周长是：4+（cm）．因此这个等腰直角三角形的周长为4+2或2+2（cm）．4.等腰直角三角形的一条直角边为1cm，则它的斜边上的高为cm．考点：等腰直角三角形。