4：环同态

任意环R都有两个显然的理想：N={0}和N=R，称为平凡理 想。
结论6.7.1
任意体R只有平凡理想。
证明：任取R的理想N，若N={0}，则得证。否则， 往证N=R。 因N{0}，故存在a∈N，且a0。于是有a的逆元素 a-1∈R。由N为理想知，有a-1 a∈N，即R中的 1∈N。从而对R中任意元素x，都有x = 1x∈N。 因此，RN。故N=R。 理想子环在环论中的地位，与正规子群在群论中 的地位相当。
结论6.7.2 设R是有壹的交换环,a∈R,则 aR={ar|r∈R}是R的理想，而且包含a。 证明：（1）aR非空，因为0=a0∈aR，a=a1∈aR。 (2)若x∈aR，y∈aR，则存在r1，r2∈R，使得 x=ar1，y=ar2，故 x-y = a（r1-r2） ∈aR。
(3) 若z∈aR，r∈R，则存在r3∈R，使得z = ar3 ， 故zr = a r3 r = a（r3 r） ∈aR， rz = ra r3 = a（r r3） ∈aR。。 因此，aR是含a的理想。
定理6.7.9
任意域F是有壹的交换的单纯环。
证明：取F的任意理想N≠（0），则有a∈N,a≠0, 于是有a-1∈F。因为N是F的理想,故aa-1∈N， 即1∈N，因此，对于任意的χ∈F，有χ=1χ∈N ，即FN。但自然NF，所以N=F。总之，F为单 纯环。 定理6.7.10 设R是有壹的交换环，N是R的理想。 于是，R∕N是一个域，必要而且只要N是一个极 大理想。
证明：（1）至（3）在群的讨论中已证，这不过 是加法群R模加法子群N的合同性。 这里（4）是说,若a+N = b+N，c+N = d+N，则 a±c+N = b±d+N。 事实上，a±c+N = a+N±（c+N） = b+N±（d+N）= b±d+N。 现证（5），因为a ≡ b，c≡d，故a = b+n1， c = d+n2，n1∈N，n2∈N。 于是ac =bd+ bn2 + n1d + n1n2.但N是一个理想,故 bn2∈N,n1d∈N,n1n2∈N,因而bn2+n1d+n1n2∈N， 故ac≡bd，于是（5）得证，这其实是乘法的同 态性。
设σ是R到R′上的同态映射，R′的零0′的逆映 象σ-1(0′)叫σ的核。 定理6.7.3同态映射σ的核N是R的一个理想.设a′ 是R′的任意元素,则a′的逆映象 σ-1(a′)={a∈R∣σ(a)=a′}是N的一个剩余类。
证明： 因为σ是R的加法群到R′的加法群上面的 一个同态映射,所以σ的核N=σ-1(0′)是R的一 个子群,且a′的逆映象σ-1（a′）是模N的一个 剩余类。现在再证N做成理想，即证：若 a∈N,х∈R,则aх∈N,χa∈N, 事实上σ(aχ)=σ(a)σ(χ)=0′σ(χ)=0′, 故aχ∈N,同样可证χa∈N。
定理6.7.5 若σ是环R到R′上的一个同态映射， 其核为N，则R′与R∕N同构： R′ R∕N。 证明：设a′是R′的任意元素，则σ-1（a′）是N 的一个剩余类A。规定R′的a′和这个R∕N的A对 应。这样，我们规定了R′到R∕N上的一个一对 一映射τ， τ：a′ A 我们证明τ是一个同构对应，即证明：若a′， b′∈R′，则 τ（a′+b′）=τ（a′）+τ（b′）， τ（a′b′）=τ（a′）τ（b′）。
至此，我们已将数论中的合同概念推广到任意的 环上，而且还引进了剩余环的概念。完全和群论 中的事实相对应，现在我们有： 定理6.7.6 设环R同态于R′： R～R′ 于是R与N之间的子环与R′的子环一一对应，大环 对应大环，小环对应小环，理想对应理想。
6.7.4
单纯环与极大理想
由定理6.7.6知，若R′与{0′}间无理想，则R与N 间也无理想。 定义6.7.6 一个环R叫做一个单纯环，如果R除自 己和{0}外没有别的理想。 例6.7.4 设R是模5的整数环,R={0,1,2,3,4}。任 取R的理想N,则从加法角度看,N一定是R的子群， 故由Lagrange定理，|N|│|R|。而|R|=5，所以 |N|只能为1或5，亦即， N 或为（0）,或为R,因此,R是单纯环。
例6.7.2设R为实数域上的二
a 0 阶正方矩阵环，形如 0 0 的所有元素组成的子集为N，
则N为R的子环，但不是R的理想。
1 0 1 0 比如，取x= ∈R，a= ∈N， 1 0 0 0
则
1 0 1 0 1 0 xa = = N。 1 0 0 0 1 0
同样，我们要问：对于R的任意理想N，是否有一 个环R′而且有R到R′的一个同态映射σ使N刚好 就是σ的核呢？ 答案也是肯定的。 由群中已证的结果，模N的所有剩余类按照剩余类 的加法作成一个加法群,就是R对于N的商群R∕N, 规定σ（a）=a+N，即 σ：a → a+N， 这样规定的σ便是群R到群R∕N上的一个同态映 射，其核为N。
如果把R的同态的环看作R的缩影，则定理6.7.5说 明只要取R的所有理想N而作R∕N,便得到R的所有 可能的缩影.作剩余环R∕N时，我们取剩余类为 元素而规定剩余类的加法和乘法，但也可以采取 下面的说法：不改变R的加法和乘法而改变R中元 素的相等，把互相合同的元素加以等置，这些等 置后得出元素作成环R∕N.这种说法更合于“缩 影”的意思,代数系统的意义不在于其元素是什 么，而在于元素间有什么样的关系，换句话说， 在于系统的构造，R∕N的意义在于它的算法，在 于R到它上的同态映射，至于它的元素说是剩余 类也可，说是由R中元素等置也可，说是和N的剩 余类一一对应的一些抽象元素也未尝不可。
6.7.2
环 中 合 同 关 系
定义6.7.3 设R是一个环，N是一理想。对于a， b∈R，如果a-b=n∈N，或a=b+n，n∈N， 则称a和b模N合同，记为a≡b （mod N）。 这不过是加法群R中模加法子群N的合同关系。所 以可将R分为N的陪集，N的一个陪集叫N的一个剩 余类。若a是R的任意元素，则包含a的剩余类可 以写成a+N的形式，a和b在同一剩余类，当且仅 当a和b模N合同 。
为了回答上面的问题,我们规定剩余类的一种乘法 ,以使σ成为环R到系统R∕N上的同态映射。设A ，B是N的两个剩余类，任取a∈A，b∈B，规定包 含ab的剩余类C = ab+N为A，B的积：C=AB， ab+N=（a+N）（b+N）。 由定理6.7.1之（5），若另取a′∈A，b′∈B， 则包含a′b′的剩余类和包含ab的剩余类是一样 的,可见上面的乘法规定由A，B完全确定，与a，b 的选择无关。由σ的定义,σ（a）=a+N,σ（b） =b+N，σ（ab）= ab+N，但由上面的剩余类乘法 的定义，ab+N =（a+N）（b+N），故σ（ab） =σ（a）σ（b）。所以，σ是环R到运算系统 R∕N上的一个同态映射。 由定理6.7.2,R∕N是一个环,这样，我们便得到：
定义6.7.7 环R的一个理想N说是一个极大理想， 如果N R，而R与N之间没有别的理想。 例6.7.5 设R是模12的整数环,R={0,1,2,…,11}. 设N1=6R={0，6}，则N1是主理想，但非极大理想， 因为有R的理想N2=2R={0,2,4,6,8,10}, 且N1N2 R。N2是R的极大理想。 若取N3=3R={0，3，6，9},则N3也是R的极大理想。
定义6.7.5 若σ是环R到系统R′上的一个一对一 的同态映射，则称σ是R到R′上的一个同构映射 或同构对应。若R到R′上有一个同构映射,则称R 与R′同构,记为RR′。 象群同态一样，我们有以下一些事实。
定理6.7.2 设R是一个环,S是一个有加法和乘法 的运算系统.若σ是R到S中的一个同态映射,则R 的映象R′=σ（R）也是一个环,σ（0）就是R′ 的零0′,σ(-a)=-σ（a）。若R有壹而R′不只 有一个元素,则R′有壹而且σ（1）就是R′的壹 1′;若a∈R有逆,则σ（a）在R′中有逆而且 σ(a-1)就是σ(a)-1。
定理6.7.4 按照剩余类的加法和乘法，R对于理 想N的所有剩余类的集合R∕N是一个环， 规定σ（a）= a+N，则σ是R到R∕N上的一个同态 映射，其核为N。 R∕N叫做R对于N的剩余环，前面定理6.7.1中 （4），（5）所说的加法和乘法的同态性，其实 是说剩余环R∕N中的加法和乘法运算可由剩余类 中的任意元素来确定，剩余类的运算与其中元素 的特殊选择无关。剩余环R∕N有了这加法和乘法 两种运算，就与环R同态。
§6.7 6.7.1 理想
环
同
态
定义6.7.1 设R是一个环，R的一个子集N说是R的 一个理想子环，简称理想，如果 （1） N非空； （2） 若a∈N，b∈N，则a-b∈N; （3） 若a∈N,х∈R,则aх∈N,хa∈N。 从定义即可看出，理想一定是子环，但子环未必 是理想。 例6.7.1 设I为整数环I,mI是I的子环，且是I的 理想。因为 mI非空；若a∈mI，b∈mI， 则a-b∈mI; 若a∈mI,x∈I,则aх∈mI,хa∈mI.
事实上,若τ(a′)=A,τ(b′)=B,即σ-1(a′)=A =a+N,σ-1(b′)=B=b+N，其中a∈A，b∈B，则因 σ(a+b)=a′+ b′,σ（ab）= a′b′, 故σ-1（a′+b′）= a+b+N， σ-1（a′b′）= ab+N， 即σ-1（a′+b′）= A+B，σ-1（a′b′）= AB。 于是 τ(a′+b′)=A+B=τ(a′)+τ(b′)， τ(a′b′）=AB=τ（a′）τ（b′）。 故τ是R′到R∕N上的一个同构对应。
定义6.7.2 设R是有壹的交换环，a∈R,则aR称为 由a生成的主理想，记为（a）。 显然(0)={0},(1)=R。 而(a)=aR可以说是包含a的所有“倍元素”的子环 ，例如在整数环I中,mI就是m的所有倍数作成的 理想。 结论6.7.3 环R的主理想（a）是R中包含a的理想 中最小（在集合包含关系下）的理想。 证明:设N是R中包含a的任一理想,往证(a)N。 任取x∈(a),即x∈aR,则存在r∈R,使得x=ar。由 a∈N,r∈R,N是理想知,ar∈N,即x∈N。 所以（a）N。