可展曲面及其应用
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关于微分几何中可展曲面教学的一些探讨
第 29 卷 第 8 期渊 上冤 2013 年 8 月
赤 峰 学 院 学 报渊 自 然 科 学 版 冤 Journal of Chifeng University渊 Natural Science Edition冤
Vol. 29 No.8 Aug 2013
关于微分几何中可展曲面教学的一些探讨
郭芳
渊 内蒙古师范大学 数学科学学院袁 内蒙古 呼和浩特 010022冤
解 由 于 对 任 意 琢 ∈ (- ∞ ,+∞ ) 圆 柱 面 S:
嗓 x2+y2=1 和球面 S琢:x2+y2+(z- 琢)2=1 沿着圆
x2+y2=1 相 z=琢
切袁因此袁圆柱面 S:x2+y2=1上任一点 P 都是球面族
S琢:x2+y2+(z- 琢)2=1中某个球面 S琢 上的点袁且圆柱面 S 与球面 S琢 在点 P 有相同的切平面曰反之袁对单参数 球面族 S琢:x2+y2+(z- 琢)2=1而言袁在圆柱面 S:x2+y2=1 上有一点 P琢 使得球面 S琢 与圆柱面 S 在 P琢 点有相 同的切平面袁
对 仔琢:cos琢窑 x+sin琢窑 y=1求关于参数 琢 的导数 得袁- sin窑琢 x+cos窑琢 y=0.
嗓 从方程组 cos窑琢 x+sin窑琢 y=1 中消去 琢 得包络 - sin窑琢 x+cos窑琢 y=0
面袁它就是圆柱面 S:x2+y2=1.
如图 2.
注 2.1 把 圆 柱 面 S:
摘 要院 可展曲面是直纹面的一种类型袁在理论和应用上都很重要.一般的教材中先给出可展曲面的 定义袁然后以命题的形式给出了可展曲面的诸多性质袁其中对 " 可展曲面是单参数平面族的包络 " 这一性 质学生不易理解袁总感到茫然.为了帮助学生清晰地理解可展曲面的特征性质袁本文给出了直观的例子袁并 且具体给出了三种可展曲面的切平面族袁这样处理教学内容袁学生对 " 可展曲面是单参数平面族的包络 " 这一特征性质能够有个较深的理解.
赤 峰 学 院 学 报渊 自 然 科 学 版 冤 Journal of Chifeng University渊 Natural Science Edition冤
Vol. 29 No.8 Aug 2013
关于微分几何中可展曲面教学的一些探讨
郭芳
渊 内蒙古师范大学 数学科学学院袁 内蒙古 呼和浩特 010022冤
解 由 于 对 任 意 琢 ∈ (- ∞ ,+∞ ) 圆 柱 面 S:
嗓 x2+y2=1 和球面 S琢:x2+y2+(z- 琢)2=1 沿着圆
x2+y2=1 相 z=琢
切袁因此袁圆柱面 S:x2+y2=1上任一点 P 都是球面族
S琢:x2+y2+(z- 琢)2=1中某个球面 S琢 上的点袁且圆柱面 S 与球面 S琢 在点 P 有相同的切平面曰反之袁对单参数 球面族 S琢:x2+y2+(z- 琢)2=1而言袁在圆柱面 S:x2+y2=1 上有一点 P琢 使得球面 S琢 与圆柱面 S 在 P琢 点有相 同的切平面袁
对 仔琢:cos琢窑 x+sin琢窑 y=1求关于参数 琢 的导数 得袁- sin窑琢 x+cos窑琢 y=0.
嗓 从方程组 cos窑琢 x+sin窑琢 y=1 中消去 琢 得包络 - sin窑琢 x+cos窑琢 y=0
面袁它就是圆柱面 S:x2+y2=1.
如图 2.
注 2.1 把 圆 柱 面 S:
摘 要院 可展曲面是直纹面的一种类型袁在理论和应用上都很重要.一般的教材中先给出可展曲面的 定义袁然后以命题的形式给出了可展曲面的诸多性质袁其中对 " 可展曲面是单参数平面族的包络 " 这一性 质学生不易理解袁总感到茫然.为了帮助学生清晰地理解可展曲面的特征性质袁本文给出了直观的例子袁并 且具体给出了三种可展曲面的切平面族袁这样处理教学内容袁学生对 " 可展曲面是单参数平面族的包络 " 这一特征性质能够有个较深的理解.
微分几何 §4 直纹面与可展曲面
{
}
所以
v′ v ′ v b面
例.证明正螺面
v r = {u cos v, u sin v, av + b} 不是可展曲面。
v 证明：因为 r = {u cos v, u sin v, av + b} v 可以改写成 r = {0, 0, av + b} + u {cos v,sin v, 0} v v = a ( v ) + ub ( v ) .
命题2 一个曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单 参数平面的包络 命题3 一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲 率等于0 命题4 曲面上的曲线是曲率线的充要条件是沿此曲线 的曲面法线构成可展曲面 命题5 可展曲面与平面成等距对应，可展曲面可在 平面上展开.
v 2 1 2 r = u + v, 2u 3 + uv, u 4 + u 2 v 例:证明曲面 3 3 是可展曲面。 v 1 2 2 2 3 4 证明：因为 r = u + 3 v, 2u + uv, u + 3 u v v 可以改写成 r = u 2 , 2u 3 , u 4 + v 1 , u, 2 u 2 3 3 v v = a ( u ) + vb ( u ) . v′ v′ 2 3 4 a ( u ) = {2u, 6u , 4u } , b ( u ) = 0,1, u ,
§4
直纹面与可展曲面
1、直纹面--由直线产生的曲面 生成轨迹的每条直线叫直母线 直纹面上与每条直母线相交的曲线-导线 曲线曲线 2、直纹面的方程 设导线 a = a(u) ，b(u ) 直母线单位方向向量 直纹面 r = ( u, v ) = a (u ) + vb(u ) 3、常见直纹面有柱面、或是锥面、 柱面、或是锥面、 柱面 是一条曲线的切线曲面、正螺面 是一条曲线的切线曲面、正螺面等
关于微分几何中可展曲面教学的一些探讨
这 一特征 性 质 能够有 个较 深 的理解 ．
关键词：可展 曲面； 单参数 曲面族 ； 单参数平面族 ； 包络 ； 识码 ： Ａ 文 章编 号 ： １ ６ ７ ３ — ２ ６ ０ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ８ — ０ ０ １ ５ — ０ ２
ｘ ＋ ｖ ＋ ｆ ｚ — ｃ ０ ２ ＝ １ 的包 络 ．
论断． ２ 单 参数 平面 族与 可展 曲面
解 由 于 对 任 意 仅∈ （ 一 ∞， ＋ ∞）圆 柱 面 ｓ ：
ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＝ ｌ 和 球 面ｓ ： ｘ ｚ ＋ ） ｒ ２ ＋ （ 一 ） ｚ ： １ 沿 着 圆 ｛ ＋ ｙ 相
１ 包络 的概 念
对ｓ ： ｘ ２ ＋ ｙ ＋ （ ｚ 一 仅 ） ２ － １ 求关于参数 仪的导数得 ， ２ （ ｚ 一 仅 ） ・ （ 一 １ ） ＝ Ｏ 即仅 ＝ ｚ 代人 ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＋ （ ｚ — ｃ ０ ２ ＝ １ 得包络面 ， 它就 是 圆柱 面 Ｓ ： ｘ ＋ ｙ ＝ １ 。 或 者 ， 从 特 征 线
ｘ — ｃ ｏ ｓ ｏ ０ ｃ ｏ ｓ ｏ ｔ ＋ （ ｙ — ｓ ｉ ｎ ｔ ｘ ） ｓ ｉ ｎ ｃ ｔ ＝ ０的包 络 面 ， 以此 来 直
与球面 ｓ 在点 Ｐ 有相同的切平面 ； 反之 ， 对单参数
球 面族 Ｓ ： ｘ ＋ ｙ ＋ （ ｚ 一 ０ ０ ２ ＝ １ 而言， 在 圆柱 面 Ｓ ： ｘ ＋ ｙ ｚ ＿ １ 上 有 一 点 使 得球 面 ｓ 与 圆柱 面 ｓ在 Ｐ 点 有 相
ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＝ ｌ 是单参数球 面族 ｓ ： ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＋（ Ｚ 一 仅 ） ２ － １ 的包络这
一
结 论 并 不 能 得 出 圆柱 面 Ｓ ： ｘ ｚ ＋ ｖ ２ ＿ １ 是 可 展 曲面 的
关键词：可展 曲面； 单参数 曲面族 ； 单参数平面族 ； 包络 ； 识码 ： Ａ 文 章编 号 ： １ ６ ７ ３ — ２ ６ ０ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ８ — ０ ０ １ ５ — ０ ２
ｘ ＋ ｖ ＋ ｆ ｚ — ｃ ０ ２ ＝ １ 的包 络 ．
论断． ２ 单 参数 平面 族与 可展 曲面
解 由 于 对 任 意 仅∈ （ 一 ∞， ＋ ∞）圆 柱 面 ｓ ：
ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＝ ｌ 和 球 面ｓ ： ｘ ｚ ＋ ） ｒ ２ ＋ （ 一 ） ｚ ： １ 沿 着 圆 ｛ ＋ ｙ 相
１ 包络 的概 念
对ｓ ： ｘ ２ ＋ ｙ ＋ （ ｚ 一 仅 ） ２ － １ 求关于参数 仪的导数得 ， ２ （ ｚ 一 仅 ） ・ （ 一 １ ） ＝ Ｏ 即仅 ＝ ｚ 代人 ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＋ （ ｚ — ｃ ０ ２ ＝ １ 得包络面 ， 它就 是 圆柱 面 Ｓ ： ｘ ＋ ｙ ＝ １ 。 或 者 ， 从 特 征 线
ｘ — ｃ ｏ ｓ ｏ ０ ｃ ｏ ｓ ｏ ｔ ＋ （ ｙ — ｓ ｉ ｎ ｔ ｘ ） ｓ ｉ ｎ ｃ ｔ ＝ ０的包 络 面 ， 以此 来 直
与球面 ｓ 在点 Ｐ 有相同的切平面 ； 反之 ， 对单参数
球 面族 Ｓ ： ｘ ＋ ｙ ＋ （ ｚ 一 ０ ０ ２ ＝ １ 而言， 在 圆柱 面 Ｓ ： ｘ ＋ ｙ ｚ ＿ １ 上 有 一 点 使 得球 面 ｓ 与 圆柱 面 ｓ在 Ｐ 点 有 相
ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＝ ｌ 是单参数球 面族 ｓ ： ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＋（ Ｚ 一 仅 ） ２ － １ 的包络这
一
结 论 并 不 能 得 出 圆柱 面 Ｓ ： ｘ ｚ ＋ ｖ ２ ＿ １ 是 可 展 曲面 的
曲面片的可展性能及其应用
准 确 地 给 出 了用 可 展 度 定 量 度 量 曲 面 片 可展 性 能 的概 念 和 方 法 ， 同 时给 出 了可展
度 在 不 可 展 曲 面近 似 展 开 中 的应 用 。 一 方 面 可 以在 曲 面展 开之 前估 计 近似 展 开 的 误 差 ，从 而合 理 选 择 展 开 范 围； 另 一 方 面 ，基 于 最佳 展 开 基 点 均 匀分割 曲 面 片可 展 度 的假 设 ， 实现 了近 似展 开 中最佳 展 开基 点 的选 取 。
Ｍ
厶 ０
越 小 ，边 界 形状 越 接 近 拓 扑矩 形 ，展 开误 差 越 小 。这 里 用 可 展 度 来 度 量 曲面 片 的 可 展 性 能 ，并 定 义
Ｗ ＝ Ｓ× ×口 （ ） １ 图 １ 曲面片及其划分
式 中
— — 曲面 片 面 积 ，
ｄ — 曲面 片 平 均 高 斯 曲率 ， Ｋａ＝ （Ｉ Ｎ １ — ＋）（ Ｊ 台 口 Ｎ １ ＋ ）
： ：
’
０２
，
、．ｒ
ｗ ０— ２０ ３ ０４０ ５ ０ ０ ０ ９ ０６ ７ ８ ０
２３４５６７８９ ００ｏｏ００００
ｖ ｏ事 事 。。。 ＝ 一妻 塞 一一蚤 直 一
， （ ｒ Ｏ ） Ｏ Ｕ，Ｒ＋ Ｓ ）ｉ ＝ （ Ｃ Ｓ Ｃ Ｓ （ ｒ Ｏ ｓ ：斛 ｖ Ｃ ｖ ｎＵ， ｎＵ Ｕ ０ ｒ ｉ ） ：３ 。 ｓ 图 ２ 环 面 片 可 展 度 与 误 差 曲线 比较 图
能 是不 同 的 。
１ 曲面 片 可展 性 能 的 度 量
图 １为 定 义在 矩 形 域 上 的不 可 展 曲面 片 ，展 开 时 可用 参 数 曲线 网对 其 进 行 划 分 （ 界 边 网线 长 度 分 别 为 ， ： 和 ，＾ ，然 后 由可 展棱 面 对 其 进 行 黄 换 ，再把 棱 面 作 顺 次连 续 ） １时 ， 曲面上 共 有 Ｎ， ￣ 网格 点 可 以作 ＸＮ 个 、最 大 角 展 开。当 ， ， 方 向的 网线 数 量 分别 为 Ⅳ，１和 ＋
基于边界曲线的拟可展曲面构造方法及在船体造型中的应用
第 30 卷 第 7 期 2018 年 7 月
计算机辅助设计与图形学学报
Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics
Vol.30 No.7 Jul. 2018
基于边界曲线的拟可展曲面构造方法及在船体造型中的应用
郑玉健, 伯彭波*
(哈尔滨工业大学(威海)计算机科学与技术学院 威海 264209) (pbbo@)
摘 要: 为了降低船体制造的成本, 基于可展曲面的船体造型, 提出以给定型线为边界曲线的拟可展曲面构造方法. 给定 2 条相邻的型线, 构造以给定型线为边界的拟可展曲面. 首先生成插值型值点的 B 样条曲线作为型线; 然后在型 线上寻找可展曲面的近似母线并根据这些母线构造初始直纹面; 再通过求解带可展性约束的曲面边界拟合问题, 找 到给定边界曲线附近虚拟边界之间的一个连续映射关系, 定义可展曲面上母线的位置; 最后将虚拟边界曲线的映射 关系投影到给定边界并进行插值, 得到插值给定边界曲线的拟可展曲面. 实验结果表明, 该方法可生成满足实际制 造要求的船体拟可展曲面.
关键词: 可展曲面; 船体造型; B 样条; 插值来自中图法分类号: TP391.41
DOI: 10.3724/SP.J.1089.2018.16775
Quasi-developable Surface Construction Based on Boundary Curve and Its Application in Ship Hull Design
Zheng Yujian and Bo Pengbo*
(School of Computer Science and Technology, Harbin Institute of Technology, Weihai 264209)
计算机辅助设计与图形学学报
Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics
Vol.30 No.7 Jul. 2018
基于边界曲线的拟可展曲面构造方法及在船体造型中的应用
郑玉健, 伯彭波*
(哈尔滨工业大学(威海)计算机科学与技术学院 威海 264209) (pbbo@)
摘 要: 为了降低船体制造的成本, 基于可展曲面的船体造型, 提出以给定型线为边界曲线的拟可展曲面构造方法. 给定 2 条相邻的型线, 构造以给定型线为边界的拟可展曲面. 首先生成插值型值点的 B 样条曲线作为型线; 然后在型 线上寻找可展曲面的近似母线并根据这些母线构造初始直纹面; 再通过求解带可展性约束的曲面边界拟合问题, 找 到给定边界曲线附近虚拟边界之间的一个连续映射关系, 定义可展曲面上母线的位置; 最后将虚拟边界曲线的映射 关系投影到给定边界并进行插值, 得到插值给定边界曲线的拟可展曲面. 实验结果表明, 该方法可生成满足实际制 造要求的船体拟可展曲面.
关键词: 可展曲面; 船体造型; B 样条; 插值来自中图法分类号: TP391.41
DOI: 10.3724/SP.J.1089.2018.16775
Quasi-developable Surface Construction Based on Boundary Curve and Its Application in Ship Hull Design
Zheng Yujian and Bo Pengbo*
(School of Computer Science and Technology, Harbin Institute of Technology, Weihai 264209)
11.可展曲面
§ 11 可展曲面［单参数曲面族的包络面］定义方程包络面与曲面族S入的所有曲面相切的曲面称为S入的包络面.脊线族S,中两个临近曲面的交线的极限位置称为S入的特征线，特征线的包络（如果存在）称为族S 入的脊线乍(x,y,z,Q = 0 EF(x,y,z,舄)°L.F(x,y,z,幻=0©F(x,y,z,A)=028F(x, y, z,九)2 =0［单参数平面族的包络面］定义与性质方程与图形可展曲面单参数半回族的包络面称为族的可展曲面.包络面是仝间曲线的切线所构成的曲面、锥面或柱面（图（a）,（b）,（c））单参数半回族方程为ra（入）+p（入）=0 （入为参数）其包络面满足方程组ra（九）十p（A） = 0\ra '⑴+ p'0） =0式中a（7、）为半回族的法欠量脊线平面族中两个邻近平面的脊线满足方程组父线的极限位置称为族的特征线，特ra + p = 0征线的包络（如果存在）称为族的脊」ra' + p' = 0W 1 _ W c线，它把包络面分为两叶，以脊线作[ra + p =0为曲面的“尖锐的梭边”（图（d））>1例一条空间曲线C的法面的包络面称为C的配极可展曲面，它是曲率轴（即通过曲率中心并平■行丁副法线）的轨迹.脊线的方程为........................................... ............................................ d，：式中P为曲线C的曲率半径，E为曲线C的挠率半径，P'=——d s ［空间曲线的渐开线与渐屈线］定义与性质渐开线在一条空间曲线r(s)的可展曲面上与曲线r(s)正交的曲线称为r(s)的渐开线.沿r(s)的切线上两条渐开线之间的距离保持不变(右图)渐屈线空间曲线r(s)对它的渐开线而言就是渐屈线，也就是渐开线的一族法线包络.渐屈线C i的一点M i落在C的对应点M的曲率轴上.(上贞下图)如果这族法线组成可展曲面时，则在法面上旋转一个定角，所得到的法线仍然组成一个可展曲面(右图)『=r - ' n^' tan b式中为曲率半径，为渐屈线的切线与主法线的交角。
直纹面,可展曲面,包络
．
将上式分母记为函数 λ(u, v) ，变形为
a′(u)×l(u) + v l′(u)×l(u) = λ(u, v) n(u) ．
当 v 变动而 u 保持不变时，直纹面上的点沿着
直纹运动，上式右端保持平行而使左端也保持
平行．注意，如图 3-12 所示，两个不平行向量 的线性组合不能保持平行，故可判断成立
n(2π + u, v) = − n(u, v) ． 这说明 Möbius 带实体无所谓“正”的定向．
-3-
作者：王幼宁
注意，直纹面按照准线和直母线族的自然参数化，只是其参数化的特
定形式（参见习题 4）．这种参数化具有明显的几何直观，在分析其几何 性质的过程中具有直观优势，因而得到特别注意．
为了使相关分析和运算更为简便，往往需要根据具体情况选取特定的
图 3-12
[a′(u)×l(u)]∥[l′(u)×l(u)] ．事实上，取 v1 ≠ v2 分别代入上式，得 a′(u)×l(u) + v1 l′(u)×l(u) = λ(u, v1) n(u) ， a′(u)×l(u) + v2 l′(u)×l(u) = λ(u, v2) n(u) ；
此两式作外积或相减，易得 a′(u)×l(u)∥l′(u)×l(u) ．此时，几何上看，三个 向量 a′(u) , l(u) , l′(u) 都垂直于 n(u) ，因而共面．解析推导可分两种情况讨 论如下：
l(u) ，且 l(u) 连续可微．此时，
O
(2.3) ru = a′(u) + v l′(u) ，
图 3-7
(2.4) rv = l(u) ，
(2.5) ru×rv = [a′(u) + v l′(u)]×l(u) = a′(u)×l(u) + v l′(u)×l(u) ．
微分几何 §4 直纹面与可展曲面
则
v′ a ( v ) = {0, 0, a} v′ b ( v ) = {− sin v, cos v, 0} v ′ v v′ a , b, b = a ≠ 0,
所以曲面不可展。
曲面族的包络 设有单参数曲面族：{s } : F ( x , y , z , a ) = 0 a是参数 有一阶和二阶连续偏导数，若存在曲面S，S中每 一点P是族中一个曲面 S a 上点，而且在P点有相同的 切平面；反之对族中一个曲面 S a ，在曲面S上有 一点 pa 使得两曲面在此点有相同的切平面，则S 称为曲面族的包络。
命题1.1 命题1.1 直纹面的Gauss曲率非正. 证明：对于直纹面 证明：
r r r = a (u ) + vb(u ) r, r, r ru = a + vb , rv = b, r ,, r ,, r, r ruu = a + vb , ruv = b , rvv = 0 ∴ N = 0
LN − M 2 M2 =− ≤0 K= 2 2 EG − F EG − F
K=0的直纹面就是我们要研究的可展曲面 1、定义 沿每条 定义 沿每条直母线只有一个切平面的直纹 面称为可展曲面 ⇔ 沿直母线法向量平行 ⇔ 法向量是单参数的
r r r , r r, 2、特征 r = a (u ) + vb(u )可展 ⇔ (a , b, b ) = 0
命题1 可展曲面⇔ 柱面、锥面、切线曲面
命题2 一个曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单 参数平面的包络 命题3 一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲 率等于0 命题4 曲面上的曲线是曲率线的充要条件是沿此曲线 的曲面法线构成可展曲面 命题5 可展曲面与平面成等距对应，可展曲面可在 平面上展开.
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是互相平行的.
圻
圻圻
圻圻
又对于渐近曲线的切向量 dr 有 dr·n =0.所以沿渐近曲线有r·n =
圻
圻圻 圻 圻
常量.设r0 是渐近曲线上某定点 M0 的向径，则由以上结果有r·n =r0·n ，
圻
圻
参数时，曲面
S
的
方
程
可
写
成
圻
r
（u軈
，v軃
*
）=a
+v軃
→
b
（u軈
），
它
表
示
以
*
a
为顶
点，
→
以b
（u軈
）
为
直
母
线
方
向
的
锥
面.
圻
圻
若
t≠s′ ， 则 从
*
da
（u）
圻
=（t-s′）b
圻
（u）得b
（u）=
1
*
da （u） ，作 参 数
du
t-s′ du
軃u軈=u
变换
v軃 =
v+s t-s′
，则因为
坠（u軈，v軃 ） 坠（u，v）
判定定理 2：一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的高斯曲
率恒等于零.
证 明 ：圯如 果 一 个 曲 面 为 可 展 曲 面 ， 则 沿 同 一 直 母 线 的 单 位 法 向
圻
圻
圻圻
量n 不变，即 dn =0，零向量与任意另外的向量共线，因 此 有 dn //dr .根
据 罗 德 里 格 定 理 ，沿 着 直 母 线 的 方 向 是 主 方 向 ，并 且 主 曲 率 k1=0（或 k2=0），于是 K=k1k2=0.
→→
→
→
事实上，可设柱面的方程为r =a （u）＋vb （u）， 其中b （u）为常向量；
→→
→
→
锥 面 的 方 程 为r =a （u）＋vb （u），其 中a （u）为 常 向 量 ；曲 线 的 切 线 曲 面
→→
→
→→
→→→
方程为r =a （u）＋vb （u）， 其 中a′//b′，以 上 三 种 情 况 都 有 （a′，b ，b′）＝0，
→→→
量，则称 S 是直纹面.如 果 直 纹 面 满 足 （a′，b ，b′）＝0， 则 该 直 纹 面 为 可
展曲面.
直观地说，如果沿直纹面的每条母线只有一个切平面，则该直纹
面就是可展曲面.对于可展曲面，我们有如下
定理 柱面、锥面和曲线的切线曲面是可展曲面， 反之， 可展曲
面局部地只能是柱面、锥面、或任意空间曲线的切线曲面.
【关键词】可展曲面；直纹面；应用
曲面论是经典微分几何的重要组成部分。可展曲面作为一种特殊
的直纹面，其可展性在几何学及实际工程应用中都有着极其重要的作
用， 应用可展曲面的性质对解决一系列的数学问题有着很大的帮助，
因此研究可展曲面的性质就显得十分必要了.
圻圻
圻
圻
定义 若曲面 S 有参数表示r =a （u）＋vb （u）， 其中b （u）是单位向
时，得到 v 线族，所以可展曲面可以看成是由单参数 u 的直母线族所
构成的， 即可展曲面的直母线族仅与单参数有关， 而且经过给定的
母线， 可引唯一的切平面， 因此所有切于可展曲面的切平面也只与
一个参数有关， 这就是说可展曲面在它每一点处切于它的单参数平
面族中的某一平面， 即可展曲面是这个单参数平面族的包络.
坩如果 K≡0，则 K-k1k2≡0.设 k2=0，这 时 对 应 它 的 方 向 是 渐 近 方 向也是主方向，所以这一族渐近曲线也是曲率线. 根据罗德里格定理，
圻
圻
圻
圻
沿 渐 近 曲 线 有 dn =-k2dr ，因 而 dn =0，即n =常 向 量. 这 说 明 单 位 法 向
量沿着渐近曲线保持为常向量.因此，所有渐近曲线上曲面的法线都
它是平面与平面的交线，即为直线，所以这些特征线的轨迹为直
纹面，即包络面为直纹面，下证是可展的.由于包络面沿特征线与族中
曲面相切，所以此平面是直母线所有点的公共切平面，即沿一条直母
线有同一个切平面，按可展曲面的定义，它是可展的.
圯设曲面可展. 由于直纹面的坐标曲线为直母线和与导线平行的
曲线， 所以对于可展曲面， 它的直母线就是 v 线 （u=常 数 ），当 u 变 化
≠0，故 上 式 参 数 变 换 是 容 许 的 参 数 变
换
，即
（u軈
，
v軃
）
可
作
为
曲
面
的
新
参
数
.此
时
，
曲
面
的
方
程
可
写
圻
成r
（u軈
，
v軃
圻 *
）=a
圻
（u軈）+v軃
*
da
（u軈）
圻 *
，它表示曲线a
（u軈 ） 的 切 线 曲 面 .
du軈
除定义之外，我们还可以根据以下判定定理来判别所给曲面是否
可展
圻
圻 *
令a
圻
（u）=a
圻
（u）-sb
（u），则
*
da
（u）
圻
=（t-s′）b
（u），
du
軃 圻 *
圻 *
u軈=u
若 t=s′，则a （u）是 常 向 量 （记 为a ），作 参 数 变 换
，则因为
v軃 =v+s
坠（u軈，v軃 ） ＝1≠0，故上式参数变换是容许的参数变换 ，以（u軈，v軃 ）作为新 坠（u，v）
→→
→
（1）若 λ=0，则 μ 和 ν 不能同时为 0，由上式知b //b′，于是b 具有固
定方向， 这时曲面为柱面.
（2）若 λ≠0， 令 t=- μ
，s=- ν
→
圻
→
，则a′（u）=tb （u）+sb′（u），将 S 的方
λ
λ
圻
圻
圻
圻
程改写成r （u，v）＝（a （u）-sb （u））+（v＋s）b （u），
因此柱面、锥面和曲线的切线曲面是可展曲面。
圻
圻
圻
→→
反 之 ， 设 直 纹 面 S：r （u，v）＝a （u）＋vb （u）为 可 展 曲 面 ，则 （a′，b ，
→
→→ →
b′）＝0， 即a′， b ， b′线 性 相 关 ， 于 是 存 在 不 全 为 零 的 实 函 数 λ（u），μ
→→→
（u），ν（u），使 λa′+μb +νb′=0.
判定定理 1：一个曲面为可展曲面的充分必要条件是此曲面为单
参数平面族的包络.
证 明 ：坩设 单 参 数 平 面 族 为 A（α）x+B（α）y+C（α）z+D（α）=0，则 特
征线方程为
軃F（x，y，z）＝A（α）x+B（α）y+C（α）z+D（α）=0
Fα （x，y，z）＝A′（α）x+B′（α）y+C′（α）z+D′（α）=0 .
科技信息
○高校讲坛○
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
2012 年 第 33 期
浅谈可展曲面及其应用
季伟平 卢海玲 （浙江海洋学院数理信息学院 浙江 舟山 316000）
【摘 要】可展曲面是局部微分几何曲面论中的重要组成部分，研究和应用可展曲面的相关性质对解决一系列的数学问题有着很大的帮助.本 文主要从可展曲面的定义出发， 重点阐述可展曲面的重要定理，最后初步介绍及探讨了它在工程技术领域中的应用.