几何分形Brown运动的外汇期权定价
分数布朗运动环境中交换期权的定价模型
分数布朗运动环境中交换期权的定价模型
布朗运动环境下交换期权定价模型：
一、简介
1、什么是布朗运动：布朗运动是一种在投资市场上具有概率性的运动环境，它可以解释货币市场上证券价格的变化。
2、什么是交换期权：交换期权是指受益人同另一个相关实体签订的期权合约，可以为受益人带来期限内受益权。
二、布朗运动模型
1、正态模型：主要用来描述证券价格的波动情况，如：投资组合的收益，货币市场的利率变化，外汇市场的汇率波动等，都属于正态模型。
2、风险平价法：采取的投资策略定价的主要方法之一，它的核心内容是针对该投资策略，将其成交均价和所有期权进行比较，从而最大化获取投资收益。
三、交换期权定价模型
1、模型表示：交换期权定价模型可以表示为C(t, x)，其中t为时间，x为期次，C 为此期权的定价。
2、期权价值：交换期权定价模型的期权价值由以下因素决定：a)时间价值：当期权到期时，受益人实际获得的利益；b)红利价值：持有期权的受益人所能获得的额外收益；c)可能性价值：持有期权的受益人可能得到的利益总和。
3、期权价格：交换期权定价模型更多地关注受益人在期权持有期间能够得到的收益，在决定期权价格时，还要考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格。
四、结论
交换期权在布朗运动环境下的定价模型，通过时间价值、红利价值和可能性价值来描述期权价值，并考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格，为投资者在布朗运动环境下获取最大收益提供了一种参考模型。
5.3.7期权定价_PDE推导讲义
5.第五章金融工程在交易策略设计中的应用第三节期权产品的定价原理5.3.7期权定价_PDE推导一、Black-Scholes期权定价PDE推导在风险中性下股票S t 的动态过程为：dS t=rS t dt+σS t dW t股票价格服从的上述模型称之为几何布朗运动模型（GBM），股票价格的解析式为：S t=S0exp((r−σ22)t+σW t)二、BS微分方程推导在几何布朗运动的框架下，股票的价格为：ΔS=μSΔt+σSΔW对于任意衍生品，如果其价格f依赖于标的资产的价格和时间，即：f (S,t )。
则根据ITO公式可以得到Δf=(ðfðSμS+ðfðt+12ð2fð2Sσ2S2)Δt+ðfðSσSΔW我们构造如下的投资组合：一份期权的空头 + δ份标的资产该投资组合在期初的价值为：Π=−f+δ⋅S通过带入f 的表达式，Π的动态变化过程可以表示为：ΔΠ=−Δf+δΔS=−(ðfðSμS+ðfðt+12ð2fð2Sσ2S2)Δt−ðfðSσSΔW+δ(μSΔt+σSΔW)=−(ðfðSμS+ðfðt+12ð2fð2Sσ2S2+δμS)Δt+(δ−ðfðS)σSΔW为了使得投资组合Π是无风险的，只需要消除唯一的随机因素ΔW。
因此，我们选取δ=ðf ðS这时，我们可以得到：ΔΠ=−(ðfðt +12ð2fð2Sσ2S2)Δt现在Π变成了无风险的资产了，能够获得的收益率只能是无风险利率。
由此，我们有：ΔΠ=−(ðfðt+12ð2fð2Sσ2S2)Δt=rΠΔt=r(−f+ðfðSS)Δt整理后，我们有：ðf ðt +12ð2fð2Sσ2S2+ðfðSS=rf该方程就是: Black-Scholes-Merton方程。
分形布朗运动下有交易成本的外汇期权定价
分 形 布 朗 运 动 最 初 是 由 Ｋｏｍｏ ｏ ｏ ｌ ｇ ｒ ｖ于 １ ４ ９０
年 在 Ｈｉ ｅｔ 间 框 架 中定 义 和研 究 的 ， 命 名 为 ｌ ｒ空 ｂ 并
“ ｅ ｅ 螺线 ” Ｍａ ｄ ｌｒ ｔ Ｖａ ｓｌ 于 １ ６ Ｗｉｎ ｒ ． ｎ ｅｂ ｏ 和 ｎ Ｎｅｓ ６ ９８ 年首 次 提 出“ 分形 布 朗 运 动” 一 名 称 ， 给 出 了分 这 并 形布 朗运 动 的构 造． 定 义 １ 设 Ｈ ∈ （ ， ）， ０ １ 具有 Ｈｕ ｓ 参数 Ｈ 的 ｒｔ 分形 布 朗运 动 是 一 个 满 足 下 列 条 件 的 Ｇａ ｓｉ ｕ ｓ ｎ过 ａ
２ 分 形 布 朗运 动及 相 关数 学 知 识
２ １ 分 形 布 朗 运 动 简 介 ．
一
ｌ
。
） ＢＨ（ｉ ） Ｂｕ㈨ｉ ・ ◇（ ｔ１ 一 ＋ ｔ
这 里 Ａ 一 ｔ １一 ｔ ｔ 汁 ，◇代 表 Ｗｉ ｃ ｋ积 分 ． Ｈｕ和
￣ ｓｎ ａ＿ ｋ ｅ ｄ ｌ¨证 明 了 在 此 积 分 框 架 下 ， 于 Ｈｕｓ 参 】 对 ｒｔ
ｇｎ ｅ 假 定 汇率服从 几何 布 朗运动 ， 解 出 了相 应 的 求
１ 引 言
外 汇期 权是 一 种 货 币买 卖 的合 约 ， 权持 有 者 期 有权 利 而不需 负有 义务在 合 同规 定 的未来 某一特 定 时刻 或某 一特 定时 刻前 以约定 的汇率 用一 定数量 的
形外 汇市 场 下欧式 外 汇期权 的定 价公 式 ； 文献 Ｅ ３ ｓ 给
２ ２ 分 形 布 朗 运 动 的 随 机 计 算 ．
由于当 Ｈ ≠ １ ２时 分 形 布 朗 运 动 既不 是 马尔 ／ 科夫 过程 也不是 半 鞅 ， 以不 能 采 用 相关 的 随机 计 所
价格遵循分数Brown运动的指数期权保险精算定价
价格遵循分数Brown运动的指数期权保险精算定价张敏;刘邵容【期刊名称】《石家庄学院学报》【年(卷),期】2014(000)006【摘要】讨论了指数期权中指数价格遵循分数Brown运动时的期权定价问题，并假设利率为常数的情况下，利用保险精算原理和价格过程的实际概率测度，得到了欧式指数看涨和看跌期权的定价公式。
%Using physical probabilistic measure of price process and the principle of fair premium,this paper deals with pricing formula of index options under the assumption that index options price process driven by fractional Brownian motion. The pricing formula of foreign option is obtained.【总页数】3页(P5-7)【作者】张敏;刘邵容【作者单位】南华大学数理学院，湖南衡阳 421001;南华大学数理学院，湖南衡阳 421001【正文语种】中文【中图分类】F830;O211.6【相关文献】1.分数布朗运动环境下再装期权的保险精算定价 [J], 何永红;薛红;王晓东2.分数布朗运动环境中混合期权的保险精算定价 [J], 廖芳芳;王剑君3.股票价格服从分式Brown运动的股票期权保险精算定价 [J], 颜飞;邹捷中4.分数布朗运动下的欧式期权的保险精算定价法 [J], 陈飞跃;杨蓉5.股票价格服从分数Brown运动的期权保险精算定价 [J], 唐湘晋;张保华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
期权定价中的若干模型研究
现代经济信息期权定价中的若干模型研究朱 洪 安徽三联学院基础部摘要：在几何布朗运动和分数布朗运动环境下，分别就经典Black-Scholes欧式期权、几何平均亚式期权和带交易费用的亚式期权三种定价模型展开讨论，给出相应模型的资产价格具备的偏微分方程，同时借助边界条件给出模型求解结果。
关键词：期权定价；分数布朗；混合分数布朗；股票价格中图分类号：O211.6；F830.9 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2018)007-0306-02引言在竞争激烈的市场竞争中，风险无处不在，人们总是希望自己承担的风险越小越好，而实际上金融市场瞬息万变，人们则承受着资产价格波动的痛苦。
为了能够更好地掌控市场价格风波，期权的概念由此产生。
期权是一种买卖双方签订的合约，持有人在某一特定日期或者该日期之前的任意时间以某一固定价格出售或购买资产的权利。
根据执行时间的不同，分美式期权和欧式期权，美式期权指期权在到期日前的任意时间或者到期日当天都能执行，而欧式期权只能在到期日当天才可以执行。
随着金融交易市场的发展，金融机构为能够达到交易者的需求和自身发展的需要，提出了奇异期权，而亚式期权则是奇异期权的一种形式，亚式期权为减少价格变动带来的影响，在到期日的收益情况，依赖于期权整个有效期时间内的资产所出现的平均价格。
目前，文献[1-2]分别在分数布朗运动和混合分数布朗运动环境下对几何平均彩虹亚式期权和几何平均亚式期权定价进行研究。
下面将简单介绍期权定价中的几种模型。
一、几何布朗运动下的Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ欧式期权定价Black-Scholes模型[3]的提出很好地解决了经济学的很多难题，模型中将期权和资产合在一起构造投资组合，同时采用无风险对冲原理，最后解出期权价格的函数表达式。
此解析式就是在无套利情况下的欧式看涨期权的价格。
具体模型如下：假设金融产品价值V(S t,t)满足方程其中，S t为t时刻的股票价格，r为无风险利率，为市场波动率。
几何分数布朗运动下的商品互换期权定价公式
几何分数布朗运动下的商品互换期权定价公式
王体标
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2006(0)S1
【摘要】在市场是完全的并且无套利的环境下,假定期权价格服从几何分数布朗运动的基础上,得出了商品互换的定价公式及其互换期权的精确定价公式.
【总页数】3页(P193-195)
【关键词】互换期权;几何分数布朗运动;等价鞅测度
【作者】王体标
【作者单位】华中科技大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】F224;F830.9
【相关文献】
1.分数布朗运动环境下幂型支付的期权定价公式 [J], 何成洁;沈明轩;杜雪樵
2.分数布朗运动下随机利率情形的欧式期权定价公式 [J], 张超;张寄洲
3.分数布朗运动下红利亚式期权定价公式 [J], 王志明;徐娟
4.多维分数布朗运动环境下再装期权定价公式 [J], 赵佃立;
5.随机利率下股票价格服从几何分数布朗运动的幂期权定价 [J], 王嘉展;刘丽霞因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
分数布朗运动在期权定价中的应用研究
分数布朗运动在期权定价中的应用研究分数布朗运动（fractional Brownian motion，FBM）因其在自回归和非平稳时间序列建模中的广泛应用而日益受到关注。
随着金融市场的日益复杂和风险的不断增加，分数布朗运动在金融领域中的应用也愈发重要。
在期权定价中，分数布朗运动的使用可以帮助金融从业者更准确地评估期权价值，降低风险。
本文将对分数布朗运动在期权定价中的应用进行研究探讨，主要从以下几个方面进行分析：一、分数布朗运动简介分数布朗运动是一种非平稳的随机过程，它是布朗运动的一种扩展形式。
与标准布朗运动不同的是，分数布朗运动的Hurst指数（Hurst exponent）不等于0.5，而是一个介于0和1之间的分数。
Hurst指数的值越大，即越接近1，分数布朗运动的长期相关性就越强。
在金融领域，分数布朗运动经常被用来建模资产价格，它可以捕捉市场中的长期依赖性和自相似性。
二、期权定价的基本原理期权定价是金融工具中的一种核心领域，它主要用来计算期权的合理价格。
期权定价的基本原理是基于期权的内在价值和时间价值。
内在价值是指期权当前的实际价值，即如果现在就行权，期权所能够给持有人带来的收益。
时间价值是指期权所含有的未来时间的价值，包括行权前能够在市场上实现的收益、市场风险以及其他因素。
三、分数布朗运动在期权定价中的应用1.基于分数布朗运动的期权定价模型分数布朗运动适用于各种金融产品的定价和风险度量。
基于分数布朗运动的期权定价模型是一种基于复合泊松过程和Hurst指数的模型，可以通过计算分数布朗运动的变差（variance）来获取期权价格。
分数布朗运动可以更好地描述市场中自相关性和自相似性的现象，从而更好地展现出实际市场的特征。
利用分数布朗运动进行期权定价可以更准确地预测期权价格，从而为金融从业者提供更准确的风险度量方式。
2.基于分数布朗运动的期权风险度量期权风险度量是评价期权风险的一种方法。
分数布朗运动模型可以提供更有效的风险度量方法，因为它可以更好地描述长期相关性和自相似性。
几何分数布朗运动的再装期权定价
即 普 的 朗 动 本 假 告＜ 为 通 布 运 ．文 设 Ｈ
由于分数 布 朗运 动既不 是 马 氏过 程 ， 又不是 鞅 ， 所 以 不 能 用 通 常 的 随 机 积 分 来 分 析 ，Ｈｕ 和
假 设再 装 股 票 期 权 的 价 格 过 程 为 ｛ （） ｔ Ｓ ￡ ： ≥ ０ ， 行价格 为 Ｋ， ）执 到期 日为 丁， 再装 日 Ｔ （ Ｏ≤ Ｔ ≤ Ｔ） 且只装 一 次． 据再装 期权 的定 义 ， ， 根 在再装 日
［ 关键词］几何分数布朗运动 ； 再装期权 ；Ｅ ｓｈ ｒ ｓｃ ｅ 变换 ； 期权定价
［ 图分 类 号 ］Ｆ ３． 。Ｏ １ ． 中 ８ ０ ９ ２ １６ ［ 献标识码］ 文 ：Ａ
近 年来 ， 司为 了 吸 引 和激 励 股 票 的 执行 者 而 公 引入 了一系列 的非 传 统 期 权 ， 装 期权 就是 其 中 的 再
两种情 况下 的再装 期 权 定 价 公式 ， 给 出 了数 值 计 并
Ｅ Ｂ （ Ｂ （） 一 妻（ ｔ Ｉ 一Ｉ 一５ ） （ Ｈ ￡ Ｈ ５） ） Ｊ ｌ Ｉ ｓⅢ ｔ Ｉ ，
且 ＢＨ ￡ （）的分 布 函数为
Ｐ‘ ＢＨ‘’≤ ｚ 一 １ 。
算 的结 果． 文将 考虑 股 票 价 格 服从 几何 分 数 布 朗 本
其 中 ， 标 的资产 的 瞬时收 益率 和波 动率 ， （） 为 Ｂ ￡ 表示 定义 在 完 备 概 率 测 度 空 间 （ Ｆ， ， Ｐ）上 的 标 准 分数 布 朗运动 ，
ＢＨ Ｏ （ ）一 ０ ＢＨ ￡ 一 Ｂ ， （） Ｈ（）＝ Ｎ（ ，Ｉ — ＳＩ ） ０ ｔ ，
） （ ｓ 丁 ） Ｋ． ＋ 若 （ ＞ 若 Ｓ Ｔ ） Ｋ． （１≤
（ ） １
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年首 次提 出了保 险精算 法 ， 方法 在没 有无 套 利 、 该 完 备均衡 的 市场 假 设 以 及 股 票 价 格 运 动 假 设 的 前 提 下 ， 出了期 权 的精确 定 价公 式 ， 给 并且 证 明 了股票 价 格在 遵 循 几 何 Ｂ ｏ ｒｗｎ运 动 时 ， 险 精 算 定 价 和 保
（ ∈ ［ ，＂）外 汇 价格 过 程 Ｑ（） ［ ，］产生期 望 ￡ ０７ ， １ ￡ 在 ０￡
收益率为 Ｉ （）ｓ ｓｄ 且满足 ｌ ｆ
１ 外 汇 期 权 保 险精 算 定 价 模 型
考 虑 连续 时 间的 金 融 市 场 只有 两 种 资 产 ： 种 一
Ｑ …（ …／ ｏ ） 、 ｄ Ｊ ｓ 胁ｓ ． ’
其 中 ： ， 非 负常数 ， 为 为外 汇期 权 的 收益率 ， 为
外 汇 价格 的波 动 率 ； 和 ｒ ｒ 为常 数 ， 别 为 国外 和 分
国 内 的无 风 险利 率 ；ｗ （）０≤ ｔ Ｔ｝ ｛ ￡： ≤ 为概率 空 间
（ ， Ｐ）上 标 准 的 布 朗 运 动 ，而 （ Ｆ， Ｆ， ， Ｐ）为
画股票价格过程 的理想工具． 在实证研究 中发现股票价格运 动具有 自相似性 、 长期相依性 等特性 ， 这些 特性 而 又是几何分形 Ｂ ｏ ｒｗｎ运动所具备 的， 这使得几何 分形 Ｂ ｏ ｎ运 动 比几何 Ｂ ｏ ｒｗ ｒｗｎ运 动更能准 确刻 画股 票价格
波 动 规 律 ， 此 讨 论 了遵 循 几 何 分 形 Ｂ ｏ 因 ｒｗｎ运 动 时 的 期 权 定 价 问 题 ， 假 设 利 率 为 常 数 情 况 下 ， 用 保 险 精 并 利 算 原 理 和价 格 过 程 的 实 际 概 率 测 度 ， 到 了 欧 式 外 汇 看 涨 和 看跌 期 权 的定 价 公 式 ． 得
［ 关键词］保 险精算 ； 汇期权 ； 权定价 ；几何 分形 Ｂ ｏ 运 动 外 期 ｒｗｎ
［ 图 分 类 号 ］Ｆ ３ 。 ２ １ ６ 中 ８ ０ ０ １ ． ［ 献标识码］ Ａ 文 ：
实证 研究 发现 ， 何 Ｂ ｏ 几 ｒｗｎ运 动不 是 刻 画 股 票
备 概 率空 间 （ Ｆ， 上 的 随机 过 程 ， Ｆ ， ＞ ０ 是 ， Ｐ） ｛ ｔ ） 由 Ｑ（）生成 的 旷 代 数 （ ￡ 信息 流 ） Ｑ（ ）一 Ｑ是 大 于 ， ０
维普资讯
第２ １卷 第 ６期
ＶＯ ． ｏ ６ Ｉ ２ｌ Ｎ ．
湖 北 工 业 大 学 学
报
２０ ０ ６年 １ 月 ２
Ｄｅ ． ０６ ｃ ２０
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｂ ｉ ｉ ｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｆ Ｈｕ ｅ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｎ ｌｇ Ｕｎ
零 的常数 ． 假设 风 险资 产外 汇 价格 过 程 为 ｛ ￡ ： ＞ ０ ， Ｑ（） ｔ ｝
价格 的理 想工 具． 一些 股票 价 格波 动具 有 自相 似性 、
长期 相依 性 等 特 征 ＿ ． ｏ ｅ． ． １ ９ ） 定 股 １ Ｒ ｇ ｒ Ｌ Ｃ（ ９ ７ ［ 假 ］ ２
［ 文章编号］１０ —４ ８ （ ０ ６ １—０ ５０ ０ ３ ６ ４ ２ ０ ）２０ ７ —３
几何分形 Ｂ ｏ ｒｗｎ运 动 的外 汇 期 权 定 价
张 敏 ，李 昶 ，何 穗
（ 中师 范 大 学数 学 与 统 计 学 学 院 ，湖 北 武 汉 ４ ０ ７ ） 华 ３ ０ ９
［ 摘
要］在传 统期 权定价 中， 一般考虑股票 价格 遵循 几何 Ｂ ｏ ｒｗｎ运 动 ， 但实际 上几何 Ｂ ｏ ｎ运 动并 不是刻 ｒｗ
．
票价 格服 从几 何分 形 Ｂ ｏ ｒｗｎ运动 ， 利用 无 风 险 证 券
和该 类股 票构 造 了 一 个 自融 资 的无 风 险套 利 机 会 ，
以此 说 明价 格 服 从 几 何 分 形 Ｂ ｏ ｒｗｎ运 动 的资 产 的 期权 ， 能用无 套 利定 价理 论 来定 价． 了解决 上 述 不 为
问题 ， ｇ ｎ ｌ ｔＴｉａ Ｈｖｉ ｙ ｂ ｒ － 于 １ ９ Ｍｏ ｅ ｓＢａ ， ｎ ｉ Ｒ ｄ ｅｇ３ ｄ ｄ ９８
国外无 风 险债 券 的价 格 过 程 为 ｛ ： ＞ ０ ， 内无 彤 ｔ ）国 风 险债券 价 格过 程 为 ｛ ｔ ０ 分 别满 足 ： Ｂ ：＞ ）
市场无 上 述假 设 和 国 内外 无 风险 利率 为 常数 的条 件 下， 将保 险精算 思 想运 用 到外 汇期 权定 价 中 ， 出 了 给 外汇 价格 在 服 从 几 何 分 形 Ｂ ｏ ｒｗｎ运 动 时 的外 汇 看 ｔ Ｔ） Ｗ ￡： ≤ 生成 的 旷 代 数 （ 息流 ） 信 ． 定义 ｌ 假设 ｆｔ为 ｔ ｌ ） （ 时刻 Ｑ（） ￡ 的瞬 时收益 率
一 ｅ ｐ ｘ
定 义 ２ 设 Ｃ（ Ｔ） Ｐ（ Ｔ）分 别 表 示 外 汇 价格 为 ａ， ， ａ， Ｑ（） 敲定 价 格 为 ａ 到期 日为 Ｔ的外 汇看 涨 和看跌 ￡、 、
是无 风 险资产 （ 债券 ） 在 ｔ 如 ， 时刻具 有无 风 险利 率 ｒ
’
ｆ
的无 风险 资产 ； 一种 为风 险 资产 （ 外 汇 ）， 时 刻 另 如 ｔ 的价 格用 Ｑ（）表示 ， 虑 时间 区 间［ ， ３ ０表 示 现 ￡ 考 ０Ｔ ， 在， Ｔ表 示到期 日，Ｑ（） ｔ ０ 是一 个 定义 在某 完 ｛ ￡：＞ ）
Ｂａ ｋＳ ｈ ｌｓ 价完 全 一致 ． ｌｃ — ｃ ｏｅ 定 由于 无 上 述 市 场 经 济 假设 ， 因此它 对一 般 的现 实市 场都 有效 ． 文在 金 融 本
ｄ Ｂ［： ＢｆＳ ｔＢ ｒ ｄ ， ｆ一 １ Ｂ ， ｆ— ｅ 卜 ； －‘ ｄ ￣一 Ｂ（Ｓ ｔＢ Ｂ ｒ ｄ ， 年一 １ Ｂ ， ｅ— ｅ 卜” 一‘ ．