第十五章 运筹学课件层次分析法

0.467 0.155 ′ ′ e2 = 0.565 , e2 = 3.014, e2 = 0.184 0.661 1.991 0.471 0.156 ′ ′ e3 = 0.559 , e3 = 3.018, e3 = 0.185 1.998 0.659 0.473 0.156 ′ ′ e4 = 0.561 , e4 = 3.028, e4 = 0.185 0.659 1.994
定义一致性比率 CR = CI/RI
选择旅游地" "选择旅游地"中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根λ=5.073
准则层对目标的成对比较阵 准则层对目标的成对比较阵
1 2 A = 1/ 4 1/ 3 1/ 3 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1 3 5 1 / 3 1 1
i =1
对权重系数的量化过程
(1)成对比较 ) 中任取x 比较它们对于y贡献 从 x1,x2,…xn中任取 i与xj比较它们对于 贡献 重要程度)的大小,按照以下标度给x 赋值: (重要程度)的大小,按照以下标度给 i/xj赋值: xi/xj=1,认为"xi与xj重要程度相同" 重要程度相同" ,认为" xi/xj=3,认为"xi比xj重要程度略大" 3,认为" 重要程度略大" xi/xj=5,认为"xi比xj重要程度大" 重要程度大" ,认为" xi/xj=7,认为"xi比xj重要程度大很多" 重要程度大很多" ,认为" xi/xj=9,认为"xi比xj重要程度绝对大" 重要程度绝对大" ,认为" 当比值为2, , , 时认为介于前后中间状态. 当比值为 ,4,6,8 时认为介于前后中间状态.
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1
3 成对比较阵 5 A~成对比较阵 1 / 3 是正互反阵 A是正互反阵 1 1
要由A确定 要由 确定C1,… , Cn对O的权向量 确定 的权向量
成对比较阵和权向量 成对比较的不一致情况
1 A= 2
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 权向量(特征向量) 一致性指标 CI = 5 .073 5 = 0 .018 5 1 查表) 随机一致性指标 RI=1.12 (查表 查表 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1 一致性比率 通过一致 性检验
1/ 2 1
4 7
a12 =1/ 2 (C1 : C2 )
a13 = 4 (C1 : C3 )
一致比较
不一致
a23 = 8 (C2 : C3 )
w1 w1 w w2 1 w2 w2 w2 A = w1 wn wn w2 w1 w1 wn w2 wn wn wn
(2)建立逆对称矩阵 ) 建立n阶方阵 阶方阵A 由xi/xj建立 阶方阵 (3) 迭代 按下列方法求向量迭代序列: 按下列方法求向量迭代序列: e0=( 1/n 1/n … 1/n)T e'k=Aek-1 || e'k||为Aek-1 的n个分量之和 为 个分量之和 ek= e'k / || e'k|| , k=1,2, … 数列{ 是收敛的,记其极限为e.且 数列{ ek}是收敛的,记其极限为 且 记e=(a1 a2 … an) 于是取权重系数w 于是取权重系数 i=ai
允许不一致,但要确定不一致的允许范围 允许不一致, 考察完全一致的情况
W ( = 1) w1 , w2 , wn
令aij = wi / w j
w = ( w1 , w2 , wn )T ~ 权向量
成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 满足 aij ajk = aik , i, j, k =1,2,, n 的正互反阵A称一致阵, 的正互反阵 称一致阵,如 一致阵 性质
对于不一致(但在允许范围内) 对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A, 比较阵 ,建议用对应于最大特征根λ 的特征向量作为权向量w 的特征向量作为权向量 ,即
Aw = λ w
成对比较阵和权向量 比较尺度a 比较尺度 ij
Saaty等人提出 等人提出1~9尺度 尺度——aij 取值 等人提出 尺度 1,2,… , 9及其互反数 及其互反数1,1/2, … , 1/9 及其互反数
1 B1 = 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
…Cn
…Bn … λn … wn(3)
最大特征根 λ1 权向量 w1(3)
λ2
w2(3)
层对第2层 (2)考虑第 层对第 层 )考虑第3层对第 由1–9尺度得 尺度得
2 5 1 1 1 3 1 8 1 1 3 B1 = 1 2 1 2 B2 = 3 1 1 3 B3 = 2 1 3 1 5 1 2 1 8 3 1 1 3 1 3 1
w1 w 1 w2 A = w1 wn w1
w1 w2 w w w w
2 n
A的秩为 ,A的唯一非零特征根为 的秩为1, 的唯一非零特征根为 的唯一非零特征根为n 的秩为 A的任一列向量是对应于 的特征向量 的任一列向量是对应于n 的任一列向量是对应于 A的归一化特征向量可作为权向量 的归一化特征向量可作为权向量
便于定性到定量的转化: 便于定性到定量的转化:
尺度
a ij
1 相同
2
3 稍强
4
5 强
6
7
8
9 绝对强
Ci : C j的重要性
明显强
aij = 1,1/2, ,…1/9 ~ Ci : C j 的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过 个 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 等 种比较尺度对若干实例构造成对比较 算出权向量,与实际对比发现, 尺度较优. 阵,算出权向量,与实际对比发现, 1~9尺度较优. 尺度较优
层次分析法简介
一,层次分析法基本原理
分解 实际问题 多个因素 建立 层次结构
确定
诸因素的相 对重要性
计算 权向量
判断 综合决策
二,层次分析法基本步骤
一,确定权系数 为对应各因素的决策变量. 设x1,x2,…xn为对应各因素的决策变量. 其线性组合: 其线性组合: y=w1x2+w2x2+ …+wnx 是综合评判函数. 是综合评判函数. w1,w2, … wn是权重系数,其满足: 是权重系数,其满足: n wi≥0 , ∑ wi = 1
例1:评价影视作品
在电视节上评价影视作品,用以下三个 在电视节上评价影视作品, 评价指标: 评价指标: x1表示教育性 x2表示艺术性 x3表示娱乐性 有一名专家经成对,赋值: 有一名专家经成对,赋值: x1/x2=1 x1/x3=1 /5 x2/x3=1/3
于是得到逆对称矩阵
1 A = 1 5
一致性检验
对A确定不一致的允许范围 确定不一致的允许范围
已知: 阶一致阵的唯一非零特征根为n 已知:n 阶一致阵的唯一非零特征根为 可证: 可证:n 阶正互反阵最大特征根λ ≥n, 且λ =n时为一致阵 时为一致阵 定义一致性指标: 定义一致性指标 CI =
λ n CI 越大,不一致越严重 越大,
1 3 1 e0 = 3 1 3
1 1 3
1 5 1 3 1
0.733 ′ e1 = Ae0 = 0.788 3
′ e1 = 4.511
0.733 0.162 1 e1 = 0.788 = 0.172 4.511 3 0.665
由于 4=e3 ,迭代经过 次中止,权系数是 由于e 迭代经过4次中止 迭代经过 次中止, w1=0.156, w2=0.185, w3=0.659 相应的综合评价公式是 Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3 如果用同样的分制来给作品的三个指 标评分, 标评分,由以上公式算出的便是作品综 合评分y. 合评分 .
层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量 元素之间两两对比, 元素之间两两对比,对比采用相对尺度
设要比较各准则C 对目标O的重要性 设要比较各准则 1,C2,… , Cn对目标 的重要性
Ci : Cj aij
选 择 旅 游 地
1 2 A = 1/ 4 1/ 3 1/ 3
1 A = ( aij ) n×n , aij > 0, a ji = aij
层次分析法简介
层次分析法是萨蒂(saaty) 等人 世纪 层次分析法是萨蒂( 等人20世纪 70年代提出的一种决策方法.它是将半 年代提出的一种决策方法. 年代提出的一种决策方法 定性, 定性,半定量问题转化为定量问题的有 效途径,它将各种因素层次化,并逐层 效途径,它将各种因素层次化, 比较多种关联因素, 比较多种关联因素,为分析和预测事物 的发展提供可的定量依据. 的发展提供可的定量依据. 层次分析法在决策工作中有广泛的应用. 层次分析法在决策工作中有广泛的应用. 主要用于确定综合评价的权重系数. 主要用于确定综合评价的权重系数.层 次分析法所用数学工具主要是矩阵运算. 次分析法所用数学工具主要是矩阵运算.
例2. 选择旅游地
如何在3个目的地中按照景色,费用, 如何在3个目的地中按照景色,费用,居 住条件等因素选择. 住条件等因素选择.
目标层 O(选择旅游地 选择旅游地) 选择旅游地
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层