3.2.2复数代数形式的乘除运算
复数代数形式的乘除运算课件
即
-2 = 4( + 2),
3 + 8 = -2.
解得
= -2,
或 = -4,
= -1,
= 2.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(2)∵f(z)=2z+-3i,∴f(+i)=2(+i)+( + i)-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.
1
例 3 设 z 是虚数,ω=z+ 是实数,且-1<ω<2,
(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围;
1-
(2)设 u=1+,求证:u 为纯虚数.
1
思路分析:(1)按常规解法,设 z=x+yi(x,y∈R),化简 ω=z+ ,找出实部、
虚部可以列出等量关系式求解;(2)证明 u 为纯虚数,可按定义证明实部
为零,虚部不为零,或证明 u+=0,且 u≠0.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(1)解:∵z 是虚数,
∴可设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0.
1
-i
1
∴ω=z+ =x+yi++i =x+yi+2 +2=x+2 +2 + - 2 +2 i.
∵ω 是实数且 y≠0,∴y-2 +2 =0.∴x2+y2=1,即|z|=1.此时 ω=2x.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
(2)共轭复数的性质
①z·
=|z|2=||2;②||=|z|;③z+=2a,z-=2bi;④1 ± 2 = 1 ±
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
+
������������2������+-���������������2��� i(c+di≠0).
名师点拨复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直
接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将两复数的商写成分式,
然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).
【做一做 3】 计算:24+-33ii.
集.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
一题多解(变)——复数的综合问题
典例
(1)已知复数
z=(1-
3+i 3i)2
,
������是
z
的共轭复数,则
z·������等于(
)
A.1
B.1
4
2
C.1
D.2
(2)已知复数 z 满足|z|= 5,且(1-2i)z 是实数,求������.
3 4
−
4i ,∴z·������
=
14.
法二:∵z=(1-3+3ii)2,
3.实数范围内整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对 复数z,z1,z2和自然数n,m,有:
zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=������1������ ·������2������ .
课前篇自主预习
【做一做1】 (1)(4-i)(3+2i)=
.
(2)(-3+2i)2=
=0×504+i2 016=1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟利用i幂值的周期性解题的技巧 1.熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时, 相应的幂值分别为1,i,-1,-i. 2.对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.
第三章3.2.2复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算 课时目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3．理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝________________.2．复数乘法的运算律对任意z 1、23交换律 z 1·z 2＝____________ 结合律 (z 1·z 2)·z 3＝__________乘法对加法的分配律 z 1(z 2＋z 3)＝____________3．设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则z ＝___________叫z 的共轭复数．若b ≠0，则z 叫虚数z 的________虚数，且z ＋z ＝______，z －z ＝________，两共轭复数在复平面内所对应点关于________对称．4．a ＋b i c ＋d i＝_____________________________. 5．设i 为虚数单位，则i 1＝______，i 2＝______，i 3＝_______，i 4＝______.一、选择题1．复数i 3(1＋i)2等于( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i2．已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．33．设i 是虚数单位，则i 3(i ＋1)i －1等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i4．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝5，y ＝1C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝15．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z 等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i二、填空题 6．已知复数z ＝1＋i ，则2z－z ＝________. 7．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．8．若21－i＝a ＋b i (a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ＋b ＝________.三、解答题9．计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i.10．已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y 的值．能力提升11．复数z ＝i 1＋i在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，求这个实根以及实数k 的值．1．复数的乘法与多项式乘法是类似的，在所得结果中把i 2换成－1.2．复数除法的实质是“分母实数化”，一般可以分子分母同乘以分母的共轭复数．3．解决复数问题时，可以将问题转化为复数的实虚部满足的条件，即实数化思想．3．2.2 复数代数形式的乘除运算答案知识梳理1．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i2．3．a －b i 共轭 2a 2b i x 轴4．ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (c ＋d i ≠0) 5．i －1 －i 1作业设计1．A [i 3(1＋i)2＝i 3·2i ＝2i 4＝2，选A.]2．B [∵a ＋2i i＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1. ∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.]3．A [∵i ＋1i －1＝(1＋i )2－(1－i )(1＋i )＝2i －2＝－i ， ∴i 3(i ＋1)i －1＝i 3·(－i)＝－i 4＝－1.] 4．D [x －2＝3x ，y ＝－(－1)，即x ＝－1，y ＝1.]5．D [设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ， 依题意2x ＝4且x 2＋y 2＝8，解之得x ＝2，y ＝±2.∴z z ＝z 2z ·z ＝(2±2i )28＝±i.] 6．－2i解析 2z －z ＝21＋i －1－i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－1－i ＝－2i.7．2解析 方法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i 13＝2i ，∴|z |＝2. 方法二 由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i 2－3i. 则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋32＝2. 8．2解析 由21－i＝a ＋b i ，得2＝(a ＋b i)·(1－i)， ∴2＝a ＋b ＋(b －a )i ，(a ，b ∈R )，由复数相等的定义，知a ＋b ＝2.9．解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.(3)方法一 原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.方法二 (技巧解法)原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )i (3－2i )i＝i 6＋(2＋3i )i 2＋3i＝－1＋i. 10．解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i.又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－i ，y ＝1＋i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i ，y ＝－1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1－i ，y ＝－1＋i. 11．A [∵z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ， ∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．]12．解 设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝02x 0＋k ＝0， 解得⎩⎨⎧ x 0＝2k ＝－22或⎩⎨⎧ x 0＝－2k ＝22， ∴方程的实根为x ＝2或x ＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第三章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
z2 · z1 z1· z2＝________ z1 ( z2 · z3 ) (z 1 · z2)· z3＝________
1 z2 ＋ z1 z3 z1(z2＋z3)＝z ________
栏 目 链 接
基 础 梳 理
例：(1) (2＋i)i＝__________________； (2)(1－2i)(3＋i)＝________________.
解析：(1)原式＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
3 3 3 1 (2)原式＝－ － ＋4－4i(1＋i) 4 4 3 1 ＝－ ＋ i(1＋i) 2 2 3 1 1 3 ＝－ － ＋ － i 2 2 2 2
栏 目 链 接
1＋ 3 1－ 3 ＝－ ＋ i. 2 2
－2＋3i －2＋3i1－2i (3)原式＝ ＝ 1＋2i 1＋2i1－2i －2＋6＋3＋4i 4 7 ＝ ＝ ＋ i. 5 5 12＋22 5－29 5 i 5－29 5 i7＋3 5 i (4)原式＝ ＝ 7－3 5 i 7－3 5 i7＋3 5 i 35＋29×15＋15 5－29×7 5i 470－188 5 i ＝ ＝ 2 2 94 7 ＋3 5 ＝5－2 5 i.
2 2 2 2
栏 目 链 接
基 础 梳 理
例：i＋2 的共轭复数是( A．2＋i C．－2＋i
答案：B
)
B．2－i D．－2－i
栏 目 链 接
＋ 2
4 ． i
4n ＋ 1
4n i － 1 － i 1 ＝ ______________ ， i
＝
i －1 －i 1 ， ____________
i －1 －i 1， i4n ＋ 3 ＝ ____________
3.2.2复数代数形式的乘除运算
容易得到，对任意z1,z2,z3 C,有 (z1 z2) z3= z1 (z2 z3) z1 (z2+z3) = z1z2+z1z3 （同学们课后证明）
1.计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).
解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=(11-2i)(-2+i) =-20+15i. 2. 计算:(1) (3+4i)(3-4i); 解:(1) (3+4i)(3-4i) (2) (1+i)2
2、复数乘法满足交换律、结合律的证明
设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i. (1)因为 z1 z2=(a1+b1i)(a2+b2i) =(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,
所以
z2 z1= (a2+b2i)(a1+b1i) =(a2a1-b2b1)+(a2b1+b2a1)i, z1 z2=z2 z1
探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规 定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数 除法的法则. 复数除法的法则是:
( a bi ) ( c di ) ac bd c d
2 2
bc ad c d
2 2
i ( c di 0 ).
方法:在进行复数除法运算时,通常先把 a bi 的形式,再把分子与 ( a bi ) ( c di ) 写成
(2) (1+i)2
=32-(4i)2
=9-(-16)
=1+2i+i2
=1+2i-1
=25.
3.2.2复数代数形式的乘除运算(1)
∴ z z 2a R
∴ z 1 是实数. z
2.设 z 为复数,且| z || z 1 | 1，求 | z 1 | 的值.
解：设 z a bi(a，b R) z 1 (a 1) bi，且| z || z 1| 1
a2 (a
b2 1)2
1 b2
1
a2
a2
b2 b2
1 2a
⑵z1·z2是一个怎样的数？
解：⑴作图
y
y
y
⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi
(a,b)
o
x
(a,-b)
(0,b)
则z1·z2=(a+bi)(a-bi)
o
x
o
x
(a,o)
(0,-b)
=a2-abi+abi-bi2
z1=a+bi
z1=bi
z1=a
=a2+b2
得出结论：在复平面内，共
轭复数z1 ,z2 所对应的点
解方程组,得
a
1 2
0
b2
3 4
| z 1|| (a 1) bi | (a 1)2 b2 ( 1 1)2 3 3 24
注：一般地，欲求一个复数，通常先设出复数的代数 形式 a＋bi（a，b∈R），而后利用已知条件列出关于 a，b 的方程组，求解出 a，b，也即求得了这个复数，在这里， 方程的思想方法得到了充分运用.
(
12 212
23 232i
2
i1)2
4
(3i
2
1 2
2
3
4
23 i) 2
2
( 10; 3 i)( 1 3 i) ( 1)2 ( 3 i)2
3.2.2复数代数形式的乘除运算(学、教案)
3. 2.2复数代数形式的乘除运算（学案）预习目标： 1.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念2.掌握复数的代数形式的乘、除运算。
预习内容：1.虚数单位i :----------------------------------2. i 与－1的关系: ---------------------------------------3. i 的周期性：----------------------------------------------------4.复数的定义------------------------------------------------------------ 3. 复数的代数形式: -------------------------------------------------------------------4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：-------------------------- --5. 两个复数相等的定义：-------------------------------------------------6. 复平面、实轴、虚轴：-------------------------------------------------------8．复数z 1与z 2的和的定义：-----------------------------9. 复数z 1与z 2的差的定义：----------------------------------------- 10. 复数的加法运算满足交换律: ------------------------------------ 11. 复数的加法运算满足结合律:-----------------------------------------------------提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
原创3：3.2.2复数的乘除运算
记法：复数 = + 的共轭复数记作
z
= −
z
口答：说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3
(2-3)
⑵z= -6
( 6)
⑶z= 3
(3)
注意：⑴当虚部不为0时的共轭复数称为共轭虚数
⑵实数的共轭复数是它本身
思考：若z1 ,z2是共轭复数，那么
⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
分母实数化
+ = +
2、复数乘法满足交换律、结合律的证明
设 = + , = + , = + .
(1)因为 ∙ = ( + )( + )
= ( − ) + ( + ),
(事实上可以把它推广到 ∈ .）
1
1 i
1 i
2
i;
i.
② (1 i ) 2i; i;
i
1 i
1 i
2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把
换成－1，然后实、虚部分别合并.
3 除法：先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母
的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即
化简等.
z1 1 i , z 2 2 i
（2）已知
求
+
,
,
-4
∙
8+6
（3）
1 ± 2 = ±2
1
=−
1+
=
1−
1−
= −
1+
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高中数学选修2-2
3.2.2 复数代数形式的乘除运算（导学案）
温宿县第一中学热汗古丽·热依木
【学习目标】
1.
理解并掌握复数代数形式的乘、除的运算法则、运算律. 2. 深刻理解复数除法是其乘法的逆运算.
【学习重点】
复数代数形式的乘除的运算法则、运算律.
【学习难点】
复数除法的运算法则.
【学习指导】 由复数的几何意义，可用向量表示函数，复数的乘法运算类比于多项式的乘法运算。
【课堂练习】
知识点一：复数代数形式的乘法运算。
计算（学生独立完成）：
(1)(12＋32i)(4i －6)； （2）i(5-7i); （3） (1-2i)(3+4i)(-2+i)
【知识梳理】
(1)复数的乘法法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝
.
(2)复数乘法的运算律对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有
【知识拓展】
(1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝____.
知识点二：共轭复数
当两个复数的 ， 时，这两个复数叫做互为 ，z 的共轭复数用z 表示.即z ＝a ＋bi ，则 ＝ . 探究：类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝＋3
＋2－
2＋2，你能写出复数的除法法则吗？
(2)计算：已知i 是虚数单位，则复数=（ ）
（3）若复数z ＝21－i
，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ）
注意： (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 (2)常用公式
①首先将除式写为分式；
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.
①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i
＝－i.。