第二章(单自由度系统的振动)

问题： 问题：
u (t ) = C1u1 (t ) + C2u2 (t ) 是齐次方程的通解么
?
二阶常系数线性微分方程的解（复习） 二阶常系数线性微分方程的解（复习）
定理2（通解的结构定理）： 若 u 1 ( t ), u 2 ( t ) 是齐次方程(1)的两个线性 定理 （通解的结构定理）： 是齐次方程(1)的两个线性 (1)的两个 无关的特解， 无关的特解，则
k1k 2 /( k1 +k2 ) k1 + k 2
5. 两个弹簧相并联，其等效刚度可表示为： 两个弹簧相并联，其等效刚度可表示为：
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求下列非齐次方程的特解（上次课习题） 求下列非齐次方程的特解（上次课习题）
&& u (t ) + 4u (t ) = 3sin 2t
−4C sin 2t + 4C sin 2t = 3sin 2t (−4C + 4C ) sin 2t = 3sin 2t
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2. 对于非齐次方程： 对于非齐次方程：
&& & u (t ) + au (t ) + bu (t ) = f (t )
u* (t ) = t k (C1 cos ωt + C2 sin ωt )
其中： f (t ) = sin ω t 或 f (t ) = cos ω t 其中： 特解的形式为： 特解的形式为： 的取值为： k 的取值为： 不是特征方程的根时， ① 当 iω 不是特征方程的根时，k = 0 是特征方程的单根时， 当 iω 是特征方程的单根时，k = 1
振动系统的组成
例1：判断下列系统中，哪些弹簧是串联的，哪些弹簧是并联的。 判断下列系统中，哪些弹簧是串联的，哪些弹簧是并联的。
k1
k2
k1
m
k1
k2
J
θ
(b) (c)
k2
m
(a)
振动系统的组成
k1
J
k1
θ
k1
k2
k3
m
k2
m
k2
(e) (f)
k4
(d)
返回
单自由度系统的振动方程
k c
δs
k
m
c
②
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3. 对于非齐次方程： 对于非齐次方程：
&& & u (t ) + au (t ) + bu (t ) = f (t )
= 齐次通解
ke = ke =
的通解的结构可表示为： 的通解的结构可表示为：
非齐次通解
＋
非齐次特解
4. 两个弹簧相串联，其等效刚度可表示为： 两个弹簧相串联，其等效刚度可表示为：
为待定常数。 为待定常数。
二阶常系数线性微分方程的解（复习） 二阶常系数线性微分方程的解（复习） 课堂练习
求下列齐次方程的通解
&& & u (t ) + 2u (t ) − 3u (t ) = 0
答案：u (t ) = C1et + C2 e −3t
答案：u (t ) = e
1 − t 2
&& & u (t ) + u (t ) + u (t ) = 0
u (t ) = C sin 2t
−4C + 4C = 3
不能求出C 不能求出C
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&& u (t ) + 8u (t ) = 3sin 2t
−4C sin 2t + 8C sin 2t = 3sin 2t 4C sin 2t = 3sin 2t
u (t ) = C sin 2t
3 C= 4
u (t ) = u (t ) + u * (t )
是非齐次方程(2)的通解。 是非齐次方程(2)的通解。 (2)的通解
(2)
* 定理3： 是非齐次方程(2)的特解, (2)的特解 为对应齐次方程的通解, 定理 ：若 u ( t ) 是非齐次方程(2)的特解 u (t ) 为对应齐次方程的通解 则
非齐次通解
= 齐次通解
＋
非齐次特解
二阶常系数线性微分方程的解（复习） 二阶常系数线性微分方程的解（复习）
3.齐次微分方程通解的求法 特征根法 3.齐次微分方程通解的求法—特征根法 齐次微分方程通解的求法
&& & u (t ) + au (t ) + bu (t ) = 0
( s + as + b)e = 0
弹簧的等效刚度系数
u2 f A
k1
u1
B f
u2
ke
B
u1
f
k2
f1 = k1 (u1 − u2 ) f2 = k2 (u1 − u2 )
A
f
f = f1 + f2 = (k1 + k2 )(u1 − u2 ) f = ke (u1 − u2 )
ke = k1 + k 2
振动系统的组成
u3
f u2 k2 u3
请根据特征方程的特征根写出齐次方程的通解。 通解。
特征根 s 不相等实根 s1 ≠ s2 相等实根 s1 = s2 共轭复根 s1,2 = α ± i β
通解形式
u (t ) = C1e s1t + C2 e s2t u (t ) = e s1t (C1 + C2t ) u (t ) = eα t (C1 cos β t + C2 sin β t )
2 st 2
u (t ) = e st
( s + as + b) = 0
通解形式
s1 , s2
特征根 s 不相等实根 s1 ≠ s2 相等实根 s1 = s2 共轭复根 s1,2 = α ± i β
u (t ) = C1e s1t + C2 e s2t
u (t ) = e s1t (C1 + C2t ) u (t ) = eα t (C1 cos β t + C2 sin β t )
其中： 其中： f (t ) = sin ω t 或 f (t ) = cos ω t 特解的形式： 特解的形式：
u* (t ) = t k (C1 cos ωt + C2 sin ωt ) C1 , C2
不是特征方程的根时， ① 当 iω 不是特征方程的根时， k = 0 是特征方程的单根时， ② 当 iω 是特征方程的单根时， k = 1
当
x 较小时
F = k⋅x
弹簧的刚度系数，单位： N/m
振动系统的组成
弹簧的刚度系数的物理意义： 弹簧的刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需施加的力 对弹性元件需要说明几点： 对弹性元件需要说明几点： 通常假定弹簧是无质量的； 假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；
振动系统的组成
二阶常系数线性微分方程的解（复习） 二阶常系数线性微分方程的解（复习）
4.非齐次微分方程特解的求法 待定系数法 4.非齐次微分方程特解的求法—待定系数法 非齐次微分方程特解的求法 二阶常系数非齐次微分方程： 二阶常系数非齐次微分方程：
&& & u (t ) + au (t ) + bu (t ) = f (t )
√
第二章 单自由度系统的振动
第二章：单自由度系统的振动 第二章：
第一讲： 第一讲：
引言 振动系统的组成 单自由度系统的振动方程 二阶常系数线性微分方程的解
引言
为什么要研究单自由度系统的振动
基础。 1. 单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础。 单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础
问题2 特解是什么意思？ 问题2： 特解是什么意思？
不含任意常数的确定的微分方程的解
二阶常系数线性微分方程的解（复习） 二阶常系数线性微分方程的解（复习）
2.非齐次微分方程通解的结构 2.非齐次微分方程通解的结构 二阶常系数非齐次微分方程： 二阶常系数非齐次微分方程：
&& & 为任意常数。 u(t ) + au(t ) + bu(t ) = f (t ) a,b为任意常数。
引言
kt
k
θ
ke
m x
θ
m x
x
θ
m x
y
返回
振动系统的组成
m
简化 机床 混凝土 基础 弹性衬垫
k
c
图 将实际系统抽象为单自由度振动系统
振动系统的组成
弹性元件
k
m
m
k c
振动系统
惯性元件
阻尼元件
c
振动系统的组成
1. 弹性元件 弹性元件的意义和性质
F
f ( x)
x
F
o
线性范围
α
x
F = f ( x)
u
& k ( u + δ s ) cu
o
m
mg
f (t )
m
u
f (t )
&& & mu(t ) = −k[u(t ) + δ s ] − cu(t ) + mg + f (t )
mg = kδ s
单自由度系统振动方程的一般形式） && & mu(t ) + cu(t ) + ku(t ) = f (t )（单自由度系统振动方程的一般形式） 结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点， 结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程 时就可以不考虑系统重力的作用。多振动系统可以简化为单自由度系统，用单自由度 在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统 单自由度系统， 系统的振动理论就可以得到满意的结果。 系统的振动理论就可以得到满意的结果。 3. 单自由度系统的基本概念具有普遍意义。多自由度系统和无限自 单自由度系统的基本概念具有普遍意义。 基本概念具有普遍意义 由度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度 由度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时， 系统类似的性态。 系统类似的性态。