2017年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

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广东省揭阳2017届高三上学期第一次时期考试数学文试题Word版含答案

揭阳一中高三数学（文）上学期时期1考试（命题人：方少萍审题人：杨敏）一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．已知集合{0,1,2,3}A =，1{|2,}k B n n k A -==∈，那么A B =（）A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{1}D ．{3}2．已知复数142iz i i+=-，那么复数z 的模为（）A ．4B ． 5C ．6D ．73．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>0，命题q ：∀x ∈R ，x <x ，那么以下说法中正确的选项是（）A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(¬q )是真命题D ．命题p ∨(¬q )是假命题4．设抛物线2:4C y x =的核心为F ，准线l 与x 轴的交点为R ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q ，假设QRF ∆的面积为2，那么点P 的坐标为（） A ．（1，2）或（1，－2） B ．（1，4）或（1，－4） C ．（1，2） D ．（1，4）5．某几何体的三视图如图(其中俯视图中的圆弧是半圆)，那么该几何体的表面积为（）A ．92＋14πB ．82＋14πC ．92＋24πD ．82＋24π6．函数311log (2),1()3,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，那么3(7)(log 12)f f -+=（）A ．8B ．15C ．7D ．167．某程序框图如下图，该程序运行后输出的k 的值是（）A ．3B ．4C ．5D ．68．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，那么（） A ．()y f x =在(0,)2π上单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在(0,)2π上单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π上单调递减，其图象关于直线2x π=对称 9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S n =2a n －4（n ∈N *），那么a n =（） A ．2n +1B ．2nC ．2n －1D ．2n －210．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，那么（）A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 11．πsin 22cos 2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值是（）A ．－3B ．－32C ．32D ．312．已知函数()y f x =的概念域为R ，当x <0时，()1f x >，且对任意的实数x 、y ∈R ，等式()()()f x f y f x y =+恒成立．假设数列{a n }知足a 1=f (0)，且11()(2)n n f a f a +=--(*)n N ∈，那么a 2021的值为（）A ．4029B ．3029C ．2249D ．2209二、填空题：此题共4小题，每题5分．13．已知向量(,1)a x x =-，(1,2)b =，且a //b ，那么x = ___________ ．14．设曲线x e x f xsin )(=在（0,0)处的切线与直线x +my +l=0平行，那么m = _____ ． 15. 假设x ，y 知足约束条件2022020x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≤≤≥，则3z x y =+的最大值为．16．假设偶函数(),y f x x R =∈，知足(2)()f x f x +=-，且当[0,2]x ∈时，2()2f x x =-，那么方程()sin ||f x x =在[－10，10]内的根的个数为 ___________ ．三、解答题：解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．17．（本小题总分值12分）在ΔABC 中，a ，b ，c 别离为内角A ，B ，C 的对边，且sin sin().3a Bb A π=-+（1）求A ；（2）若ΔABC 的面积234S c =，求sin C 的值．18．(本小题总分值12分）为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n 名学生的物理成绩（百分制）作为样本，按成绩分成 5组： [50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90，100]，频率散布直方图如下图，成绩落在[70,80)中的人数为20．（1）求a 和n 的值；（2）设成绩在80分以上（含80分)为优秀，已知样本中成绩落在[50,80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80,100]中的男、女生人数比为3：2，请完成下面的2×2列联表，并判定是不是有95%的把握以为物理成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=19．（本小题总分值12分）如下图，在四棱锥P －ABCD 中，底面A BCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，假设E ，F 别离为PC ，BD 的中点．（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（3）求四棱锥P －ABCD 的体积．20．(本小题总分值12分)已知圆心为C 的圆，知足以下条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，圆C 与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13．（1）求圆C 的标准方程；（2）设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ．是不是存在如此的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？若是存在，求出l 的方程；假设不存在请说明理由．21．(本小题总分值12分) 已知函数21()(22)(21)ln .2f x x a x a x =-+++ （1）假设曲线()y f x =在点(2, f (2))处的切线的斜率小于0，求f (x )的单调区间；（2）对任意的a ∈[32，52]，函数g (x )=f (x )－λx 在区间[1，2]上为增函数，求λ的取值范围．请考生在（22）～（24）题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分． 22．（本小题总分值10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E ．（1）过E 做O 的切线，交AC 与点D ，证明：D 是AC 的中点；（2）假设3CE AO =，求ACB ∠的大小．23．（本小题总分值10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线1:3x t l y t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆221:(3)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立直角坐标系．（1）求圆1C 的极坐标方程，直线1l 的极坐标方程；（2）设1l 与1C 的交点为,M N ，求1C MN ∆的面积．24．（本小题总分值10分）选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |.（1）假设不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；（2）在(1)的条件下，假设f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．P(K 2≥k)0．50 0．05 0．025 0．005k0．4553．841 5． 024 7．879（第22题图）揭阳一中高三数学（文）上学期时期1考试参考答案14．－ 1 15. 103BBCAA CBDAD CA 13．－1 16．10 ∵sin sin()3a Bb A π=-+，17．解：（1）∴由正弦定理得sin sin sin sin()3A B B A π=-+，即sin sin()3A A π=-+，亦即13sin (sin cos )22A A A =-+，化简得3tan 3A =- ∵(0,)A π∈，∴56A π=． ……………………（6分）（2）由（1）已得56A π=，那么1sin 2A =，由2311sin 424S c bc A bc ===，得3b c =， ∴22222252cos (3)23cos76a b c bc A c c c c c π=+-=+-=，那么7a c =，由正弦定理得sin 7sin 14c A C a ==． ……………………（12分） 18．解： (1)连接EF ，AC ，∵四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形且点F 为对角线BD 的中点， ∴对角线AC 通过F 点，又点E 为PC 的中点，∴EF 为△PAC 的中位线，∴EF ∥PA ．又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD ．……………………（4分） (2)∵底面ABCD 是边长为a 的正方形，∴CD ⊥AD ，又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴CD ⊥平面PAD ．又CD ⊂平面PCD ，∴平面PDC ⊥平面PAD ． ……………………（8分） (3)过点P 作AD 的垂线PG ，垂足为点G ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊂平面PAD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，即PG 为四棱锥P －ABCD 的高，又PA ＝PD ＝22AD 且AD ＝a ，∴PG ＝a2． ∴V 四棱锥P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PG ＝13×a 2×a 2＝16a 3． ……………………（12分）19．解：（1）由10a =1－(0．005+0．01+0．015+0．02)×10=0．5得 a =0．05，则n =20100.05⨯= 40．． ……………………（5分）（2）优秀的男生为6人，女生为4人；不优秀的男生为10人，女生为20人．因此2×2列联表如下表：则2240(620410) 2.222 3.84116241030K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，因此没有95%的把握以为物理成绩优秀与性别有关．…………（12分）20．解： (1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋42＝r ，a 2＋3＝r ，解得a ＝1或a ＝138，又S ＝πr 2＜13，∴a ＝1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4．………………………………（5分） (2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不知足题意．……………………（6分）当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x －12＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0．∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0，解得k ＜1－263或k ＞1＋263． ………………………………（8分）x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2， OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，那么－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，解得k ＝34 ………………（11分）显然k ＝34 ∉ (－∞，1－263)∪(1＋263，＋∞)，假设不成立，∴不存在如此的直线l ． ………………………………（12分）[来源:Z#xx#]男生女生合计优秀 6 4 10 不优秀 10 20 30 合计16244021．解：（1）21(21)(1)()(22)(0)a x a x f x x a x x x+---'=-++=> 若曲线()y f x =在点(2, f (2))处的切线的斜率小于0，则1(2)02f a '=-+<，即12a >， ∴2a +1>1 那么令()0f x '>，解得0<x <1或x >2a +1；令()0f x '<，解得1<x <2a +1．∴()f x 的单调递增区间为(0,1)，(2a +1,+∞)，单调递减区间为(1，2a +1) ．…（5分）（2）∵()()g x f x xλ=-在区间[1，2]上为增函数，∴()0g x '≥对任意的a ∈[32，52]，x ∈[1，2]恒成立，∴221()(22)0a g x x a x xλ+'=-+++≥，化简可得32(22)(21)0x a x a x λ-++++≥，即232(22)20x x a x x x λ-+-++≥，其中a ∈[32，52] ……………（7分）∵x ∈[1，2]，∴2220x x -≤，∴只需2325(22)202x x x x x λ-+-++≥ 即32760x x x λ-++≥对任意x ∈[1，2]恒成立．令32()76h x x x x λ=-++，x ∈[1，2]，则2()31460h x x x '=-+<在[1，2]上恒成立， ∴32()76h x x x x λ=-++在区间[1，2]上为减函数，∴min ()(2)80h x h λ==-≥，解得8λ≥． ……………………………（12分） 22.（1）证明：连接,OE AE ，∵AC 是O 的切线，DE 也是O 的切线，∴弦切角CAE DEA ∠=∠，∴ADE ∆是等腰三角形，AD DE =， ∵AB 是O 的直径，∴090AEB CEA ∠==∠．∴D 是AEC ∆的外心，即是AC 的中点．………………………………（5分）（2）解：不妨设AO =1，那么CE =3 在ABC ∆中，22sin 3AO ACB CE BE BE ∠==++………① 在ABE ∆中，cos 22BE BE EBA AO ∠==，即sin 2BEACB ∠=………② 联立①②，解得1sin sin -22ACB ACB ∠=∠=或（舍）， ∴锐角030ACB ∠=． ………………………………（10分）23．解：（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入1C 展开整理得：223cos 4sin 60ρρθρθ--+=，∴圆1C 的极坐标方程为：223cos 4sin 60ρρθρθ--+=．∵直线1l 的方程消参得3yx=，又∵tan y xθ=， ∴直线1l 的极坐标方程为tan 3,3πθθ==即（R ρ∈）……（5分）（2）∵直线1l 的一般方程为30x y -=，∴圆心C 1（3，2）到直线1l 的距离为|332|1231•-=+，｜MN ｜=2121()32-=，∴11133224C MN S ∆=⨯⨯=． ……………………………………（10分） 24 ．解：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，因此⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. …………………………………（5分）(2) 解法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.因此当x<－3时，g(x)>5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x>2时，g(x)>5.综上可得，g(x)的最小值为5.又f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，因此m的取值范围为(－∞，5]．…………………………………（10分）解法二：当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．因为|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)因此g(x)的最小值为5.又f(x)＋f(x＋5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立，因此m的取值范围为(－∞，5]．…………………………………（10分）。

广东汕头金山中学2017级高三第一学期期中考试文科数学试题及答案评分标准(12页)

广东汕头金山中学2017级高三第一学期期中考试文科数学试题文科数学一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)⒈已知全集，集合，，那么集合等于（）A. ]3,1[- B.C. )1,2[--D. )4,2[-⒉已知命题，则为（）A. B. C. D.⒊“函数f （x ）＝－x 2＋2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是( )A. 32<≤mB.2521≤≤m C. 31<≤m D. 252≤≤m 4. 已知⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)0()0(2)(2x x x xx f ，则[()]1f f x ≥的解集是( )A.(,-∞B. )+∞C.(,1][42,)-∞-+∞ D.(,[4,)-∞+∞⒌将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B.在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减D ．在区间[,]63ππ-上单调递增⒍函数x x x 2)(y 3-=图象大致是（）A ．B ．C ．D ．⒎若,5sin 2cos -=+a a 则)tan(a -π=（）U =R {}|23A x x =-≤≤{}|14B x x x =<->或)(B C A U {}|34x x x 或≤≥2:,240P x R x x ∀∈-+≤P ⌝2,240x R x x ∀∈-+≥2000,240x R x x ∃∈-+>2,240x R x x ∀∉-+≤2000,240x R x x ∃∉-+>A ．2- B. 21- C ．21D ． 2⒏若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且y x z +=的最大值为9，则实数m =（） A.2- B. 1- C. 1 D.2 9．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E ，F ，且，则下列结论中错误的是（）A. B. 三棱锥ABF E -的体积为定值 C. D.异面直线所成的角为定值10. 如右图,树顶A 离地面m 8.4,树上另一点B 离地面m 4.2，在离地面的m 6.1C 处看此树,则离此树多少m 时看A ,B 的视角最大( )A. B. 2 C. D.11. 已知曲线,x (:3a ax x f C +-=）若过点A(1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（） A.83 B. 1 C. 89 D. 81512. 已知函数()()sin (0),24f x x x ππωϕωϕ=+>≤=-，4π=x 和分别是函数)(x f 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在)24,12(ππ-单调，则ω的最大值为（）A. 3B. 5C. 7D. 91111ABCD A B C D -11BD 2EF =AC BE ⊥//EF ABCD 平面,AEBF二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13. 已知直线02=--by ax 与曲线2x y =在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 的值为 14. 函数],0[,cos sin )(π∈+=x x x x f 的值域为 15. 设函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，若)20(56)(παα<<=f ，则=+)6(παf16. 已知 10≤≤x ，若1213≤-ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，53cos =B .（1）求CC AA sin cos sin cos +的值；（2）若△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长．18. （本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率. 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD AB=2CD ，∠BAD=90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB （1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若AD=CD=2，求点P 到平面ADE 的距离．20. （本小题满分12分）如图，椭圆C ：22221(0)x y ab a b +=>>A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，且QA PA ⊥,求证：直线l 过定点.21. （本小题满分12分）已知函数,2)]1(2[)(ax a e e x f x x ++-=（e 为自然对数的底数，且1≤a ）. ⑴讨论)(x f 的单调性； ⑵)若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围.请考生从第22、23两题中任选一题作答。

广东省汕头市金山中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

广东省汕头市金山中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，则N∩∁U M为（）A．{c，e} B．{a，c} C．{d，e} D．{a，e}2．（5分）“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥03．（5分）设函数f（x）=xlnx，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=为f（x）的极大值点D．x=为f（x）的极小值点4．（5分）若tanα＞0，则（）A．s inα＞0 B．c osα＞0 C．s in2α＞0 D．cos2α＞05．（5分）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．C．（0，2）D．6．（5分）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）8．（5分）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③9．（5分）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=x a+1（a∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪（a，b]，其中0＜a＜b，且f （x）在[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和是（）A．﹣5 B．9C．﹣5或9 D．以上不对二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11-13题）11．（5分）函数f（x）=的定义域是．12．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．13．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．（几何证明选讲选做题）15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=．三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，且¬p 是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．18．（14分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．20．（14分）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）（n∈N*）在函数f（x）=2x的图象上．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n}2（n∈N*）的前n项和S n．21．（14分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数．（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x02+3x0）成立．试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，则N∩∁U M为（）A．{c，e} B．{a，c} C．{d，e} D．{a，e}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据全集U及M求出M的补集，找出N与M补集的交集即可．解答：解：∵全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，∴∁U M={b，c，e}，则N∩∁U M={c，e}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0考点：的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称的否定是特称即可得到结论．解答：解：根据全称的否定是特称，则“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，故选：C．点评：本题主要考查含有量词的的否定，比较基础．3．（5分）设函数f（x）=xlnx，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=为f（x）的极大值点D．x=为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极小值．解答：解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得x=∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴x=时，函数取得极小值﹣，故选D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极小值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4．（5分）若tanα＞0，则（）A．s inα＞0 B．c osα＞0 C．s in2α＞0 D．cos2α＞0考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．解答：解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．5．（5分）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．C．（0，2）D．考点：函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由函数是单调减函数，则有a﹣2＜0，且注意2（a﹣2）≤．解答：解：∵函数是R上的单调减函数，∴∴故选B点评：本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况．6．（5分）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出．解答：解：由5d=10，可得，∴cd=lgb=log5b=a．故选：B．点评：本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：构建函数F（x）=f（x）﹣（2x+4），由f（﹣1）=2得出F（﹣1）的值，求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．解答：解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选：A点评：本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题．8．（5分）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象；函数奇偶性的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：由已知中函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，我们易判断出函数在区间（0，+∞）上的形状，再根据函数奇偶性的性质，我们根据“奇×偶=奇”，可以判断出函数y=f （x）•g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案．解答：解：∵函数f（x）=4﹣x2，是定义在R上偶函数g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，故函数y=f（x）•g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故A，C不正确又∵函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，故当0＜x＜1时，y=f（x）•g（x）＜0；当1＜x＜2时，y=f（x）•g（x）＞0；当x＞2时，y=f（x）•g（x）＜0；故D不正确故选B点评：本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质，在判断函数的图象时，分析函数的单调性，奇偶性，特殊点是最常用的方法．10．（5分）设函数f（x）=x a+1（a∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪（a，b]，其中0＜a＜b，且f （x）在[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和是（）A．﹣5 B．9C．﹣5或9 D．以上不对考点：函数的最值及其几何意义．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：先根据函数f（x）=xα+1得f（x）﹣1=xα，由题意知函数y=xα，或是奇函数或是偶函数，再根据奇（偶）函数的图象特征，利用函数y=xα在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，根据图象的对称性可得y=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的情况，从而得出答案．解答：解：令g（x）=xα，定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，则∵函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，∴g（x）=xα在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，若g（x）=xα是偶函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为5，最小值为2，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为6，最小值为3，最大值与最小值的和9；若g（x）=xα是奇函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣2，最小值为﹣5，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣1，最小值为﹣4，最大值与最小值的和﹣5；∴f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9．故选：C．点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键．二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11-13题）11．（5分）函数f（x）=的定义域是（0，3）∪（3，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，建立条件关系即可得到结论．解答：解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x＞0且x≠3，故函数的定义域为（0，3）∪（3，+∞）故答案为：（0，3）∪（3，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．12．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．解答：解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f （x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．点评：本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．13．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为（0，）．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中的函数图象可得f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则，解不等式可得正实数a的取值范围．解答：解：由已知可得：a＞0，且f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则，解得a＜，故正实数a的取值范围为：（0，），故答案为：（0，）点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案．解答：解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，即y=2x2．由ρcosθ=1，得x=1．联立，解得：．∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．（几何证明选讲选做题）15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：证明△CDF∽△AEF，可求．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，EB=2AE，∴AB∥CD，CD=3AE，∴△CDF∽△AEF，∴==3．故答案为：3．点评：本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，且¬p 是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＞0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（a，3a），故p成立有x∈（a，3a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，故q成立有x∈[﹣2，3]，若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（a，3a）⊊[﹣2，3]，解得，﹣2≤a≤1又a＞0，所以0＜a≤1，故a的取值范围为：0＜a≤1．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．17．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．18．（14分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．点评：本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．解答：解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又A到平面PBC的距离．点评：本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（14分）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）（n∈N*）在函数f（x）=2x的图象上．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n}2（n∈N*）的前n项和S n．考点：数列与函数的综合；数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）先由（Ⅰ）求得a n，b n，再利用错位相减求数列{a n b n2}的前n项和S n．解答：（1）证明：由已知得，b n=2an＞0，当n≥1时，==2an+1﹣an=2d，∴数列{b n}为首项是2a1，公比为2d的等比数列；（2）解：f′（x）=2x ln2∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y﹣2a2=2a2ln2（x﹣a2），∵在x轴上的截距为2﹣，∴a2﹣=2﹣，∴a2=2，∴d=a2﹣a1=1，a n=n，b n=2n，a n b n2=n4n，∴T n=1•4+2•42+3•43+…+（n﹣1）•4n﹣1+n•4n，4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，∴T n﹣4T n=4+42+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=，∴T n=．点评：本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题．21．（14分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数．（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x02+3x0）成立．试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．考点：函数奇偶性的判断；函数恒成立问题；不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围．（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．解答：（1）证明：∵f（x）=e x+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），∴f（x）是R上的偶函数；（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2，即x=ln2时等号成立，∴m≤；（3）令g（x）=e x+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=e x﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，①当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，②当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而a e﹣1＞e a﹣1，②当a=e时，a e﹣1=e a﹣1，③当a∈（e，+∞），e）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e ﹣1）lna，从而a e﹣1＜e a﹣1．点评：本题考查函数奇偶性的判断、最值以及恒成立问题的处理方法，关键是借助于导数解答本题．。

广东省揭阳一中、金山中学2017届高三上学期期中联考文数试卷及答案

广东省揭阳一中、汕头金山中学2017届高三上学期期中联考数学（文科）本试卷共4页，共23题，满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2．非选择题必须用黑色字迹的铅笔或签字笔作答。

3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{}0≥=x x B ，且A B A = ，则集合A 可能是（）A.{}2,1 B.{}1≤x x C.{}1,0,1- D.R 2.复数iiz +=1的共轭复数在复平面上对应的点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量,a b 满足()5a a b ⋅+=，且2a =，1b =，则向量a 与b夹角的余弦值为（）A.23 B.23- C.21 D.21- 4.执行如图所示的程序框图，如输入的a 值为1，则输出的k 值为（）A.1B.2C.3D.45.在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日.”由此推断，该女子到第十日时，大约已经完成三十日织布总量的（） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88%6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A.32πB.3πC.92πD.916π7.为了得到x y 2cos =，只需要将)32sin(π+=x y 作如下变换（）A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位8.若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，则直线a y x =+扫过A 中的那部分区域的面积为（） A.1 B.32 C. 34 D. 749. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（）A ．81πB ．128πC ．144πD ．288π10. 焦点在x 轴上的椭圆方程为)0(12222＞＞b a by a x =+,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（） A.41 B.31 C.21 D.32则关于x 的方程(),()f x a a R =∈实根个 11.已知函数数不可能为（）A.2B.3C.4D.512.函数()sin(2)(,0)2f x A x A πθθ=+≤＞部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数B.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数C.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数()52log 1,(1)()(2)2,(1x x f x x x ⎧-⎪=⎨--+≥⎪⎩＜）第II 卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481,720]的人数为． 14.已知110,0,lg 2lg8lg 2,3x yx y x y>>+=+则的最小值是_______. 15.已知抛物线)0(22＞p px y =上一点),1(m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a=_______.16.设函数x x x f 1)(2+=，x e x x g =)(，对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分。

广东省汕头市高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

2017年潮师高级中学期中测试理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分.（1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤<（2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（4）已知cos 1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 (A)13 (B) 3 (C)13- (D) 3- （5）已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<=(A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D) 0.16 （6）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D）220n +（8）等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则'(0)f =（）A ．62 B ．92 C ．122 D ．152(9)若0＜m ＜1，则( )A ．log m (1＋m )＞log m (1－m )B ．log m (1＋m )＞0C ．1－m ＞(1＋m )2D ．(1－m )0.3＞(1－m)0.5（10）已知边长为的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（）A ．25πB ．26πC ．27πD ．28π（11）设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为( ) .(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 8（12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A ）8+ （B ）8+（C ）2+ （D ）1224++二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是．（14） ()422x x --的展开式中，3x 的系数为．（用数字填写答案）（15）已知AD 是ABC ∆的中线，(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，0120,2A AB AC ∠=⋅=-，则||AD 的最小值是 .（16）已知函数()211,1,42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()()22xg x f x =-的零点个数为个三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =.（Ⅰ）求AD 的长；（Ⅱ）求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n (n ∈N *)都成立的最小正整数m .（19）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[)45,75内的产品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．（20）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB -（21）（本小题满分12分）已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值；（Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.请考生在第23、24题中任选一题做答，做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x = （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集；（Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．2017年潮师高级中学期中测试理科数学试题答案及评分参考一．选择题（1）D （2）D（3）C（4）A （5）B （6）B （7）A （8）C （9）D（10）D（11）D（12）A二．填空题（13）43（14） 40- （15）1（16）2三．解答题（17）(Ⅰ) 解法一：在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以cos CD CDB BD ∠=52x =．………………………………………………………2分在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯ ………4分因为CDB ADC ∠+∠=π，所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，即22255252x x x+-=-⨯⨯．………………………………………………………5分解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分解法二：在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以BC所以cos BC CBD BD ∠==．……………………………………………2分在△ABC 中，因为3AB x =，BC =AC =由余弦定理得2222cos 2AB BC AC CBA AB BC +-∠==⨯⨯．…………4分=2．………………………………………………5分解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分所以cos 2BC CBD BD ∠==，从而1sin 2CBD ∠=．…………………………10分所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=12分解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC =．………………8分因为AC =ABC 为等腰三角形．因为cos BC CBD BD ∠==30CBD ∠=．……………………………10分所以△ABC 底边AB 上的高12h BC == 所以12ABC S AB h ∆=⨯⨯115224=⨯⨯=．……………………………………………12分【18】[自主解答] (1)设函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(x )＝6x －2，得a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x .又因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上，所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝12⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－17)＋⎝⎛⎭⎫17－113＋…＋⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1]＝12(1－16n ＋1)．因此，要使12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1<m 20(n ∈N *)恒成立，则m 需满足12≤m20即可，则m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.（19）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．（（20）（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面 BD ⊂平面A B C D ，所以1A O B D ⊥．………………1分因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．………………2分因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1ACO 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1ACO （Ⅱ）解法一：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分因为12AB AA ==，60BAD ∠=，所以1OB OD ==，OA OC ==11OA ==．………………6分则()1,0,0B ，()C ，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==设平面1OBB 的法向量为n 因为()1,0,0OB =，1OB =所以0,0.x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n 同理可求得平面1OCB 所以cos ,<>==n m 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，所以二面角1B OB C --的余弦值为解法二：由（Ⅰ）知平面1ACO ⊥连接11AC 与11B D 交于点1O ，连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ，所以11CAAC 为平行四边形．因为O ，1O 分别是AC ，11AC ………………………10分所以11OAO C 为平行四边形．且111OC OA ==．因为平面1ACO 平面11BB D D 1OO =，过点C 作1C H O O⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥．所以CKH ∠是二面角1B O B C --的平面角的补角．……………………………6分在1Rt OCO ∆中，1122O C OC CH OO ⨯===．………………………………7分在1OCB ∆中，因为1AO ⊥11A B，所以1OB ==因为11A B CD =，11//A B CD ，所以11B C A D ===．因为22211B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分所以11CB OC CK OB ===⨯9分所以KH =．…………………………………………………10分所以cos 4KH CKH CK∠==11分所以二面角1B OB C --的余弦值为412分（21）（Ⅰ）解：因为+3()e x m f x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.……………………………………………………………1分因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.…………………………………………………2分（Ⅱ）证法一：因为+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分以下给出二种思路证明1e ln(1)20x x +-+->．思路1：设()()1eln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+．所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.………………………………8分因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分思路2：先证明1e 2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分设()1e2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增．所以()()10h x h ≥-=．所以1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分所以要证明1e ln(1)20x x +-+->，只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分下面证明()ln 10x x -+≥．设()()ln 1p x x x =-+，则()1111xp x x x '=-=++．当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增．所以()()00p x p ≥=．所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分由于取等号的条件不同，所以1e ln(1)20x x +-+->．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分（若考生先放缩()ln 1x +，或e x、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！）（22）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短，所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行．即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分因为()220011x y +-=，解得0x =或0x = 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分所以点D 到直线l的距离为d =2s i n 3ϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．………………………………8分因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分此时D 322⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．……………………………10分（23）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解；②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分（Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+-()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =--=0<．当x <<()f x x x =+-2x =£+-=+当x ≥()f x x x =++= 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =+--x x ≤+==当且仅当x所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a =. 思路1：令()g a =所以()21g a =+2212≤++=．=12a =时等号成立．所以()max g a =⎡⎤⎣⎦所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ= 02θπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当4θπ=时等号成立．所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y ＃＃．问题转化为在221x y +=()01,01x y ＃＃的条件下，求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z此时2x y ==．所以b 的取值范围为)∞．…………………………………………………10分。

2017-2018学年度汕头市金山中高三期中考试试卷答案精

2017-2018学年度汕头市金山中学高三文科数学期中考试参考答案ACDBB CBBAD CA 25 288π17. [解] (1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2.2分因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4. 即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *).5分(2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，所以a n b n ＝(2n －1)2n ，7分则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.12分18.解析：【答案】没有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.所以没有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．19．（1）证明：取PD 的中点N ，连接,AN MN ，则1//,2MN CD MN CD =，又1//,2AB CD AB CD =，所以//,MN AB MN AB =，则四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ，又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ，AN PCD ⊆面∴平面PAD ⊥平面PCD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，因为AN ⊥平面PCD ， ∴,AN PD AN CD ⊥⊥.由ED EA =即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ∆为等边三角形， ∴060PDA ∠=，又0150EDC ∠=，∴090CDA ∠=，∴CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面,PAD CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD .PO AD PAD ABCD ⊥=⋂面面 PO PAD ⊂面所以PO ABCD ⊥面所以PO P ABCD -是锥的高.//AB CD ，∴PCD ∠为直线PC 与AB 所成的角，由（1）可得090PDC ∠=，∴1tan 2PD PCD CD ∠==，∴2CD PD =，则.其他方法酌情给分 20．解析：（Ⅰ）由点P ⎛ ⎝⎭在椭圆上得， 221314a b +=①c e a ==又所以② 由①②得2223,4,1c a b ===，故椭圆C 的标准方程为2214x y +=()()1122:=2,,,,.II l x l y kx P x y Q x y ⊥-（）当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得 ()224116120.k x kx +-+=1=2OPQ S d PQ ∆⋅=244,0,.4444,20.1OPQ t t t S t t tt t k t OPQ ∆=>==+++≥==∆>∆则因为当且仅当，即的面积最大值为 21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()21ln a x f x x -=′，因为()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-，所以()()11,ln110,1f a a f b ==⎧⎪⎨=+=⎪⎩′，解得1a =，0b =. 所以()ln xf x x=.所以()21ln xf x x -=′. 令()0f x =′，得x e =，当0x e <<时，()0f x >′，()f x 单调递增；当x e >时，()0f x <′，()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞. （Ⅱ）当()()()1212f x f x x x =≠时，122x x e +>. 证明如下：因为x e >时()f x 单调递减，且()ln 0xf x x=>，又()10f =，当1x e <<时，()f x 单调递增，且()0f x >.若()()()1212f x f x x x =≠，则12,x x 必都大于1，且必有一个小于e ，一个大于. 不防设121x e x <<<，当22x e ≥时，必有122x x e +>.当22e x e <<时，()()()()()22122222ln 2ln 222e x x f x f e x f x f e x x e x ---=--=--，设()()ln 2ln 2e x x g x x e x -=--，2e x e <<，则()()()221ln 21ln 2e x x g x x e x -+--=--′ ()()()()2222241ln ln 222e e x x x x ex x x e x ----++=-()()(){}()2222241ln 2ln 2e e x x x x e e x e x ⎡⎤--+---+⎣⎦=-.因为2e x e <<，所以()()2220,e x e e--∈.故()222ln 0x e e ⎡⎤---+>⎣⎦.又()()41ln 0e e x x -->，所以()0g x >′.所以()f x 在区间(),2e e 内单调递增.e所以()()110g x g e e e>=-=. 所以()()122f x f e x >-.因为11x e <<，22e x e <<，所以202e x e <-<，又因为()f x 在区间()0,e 内单调递增，所以122x e x >-，即122x x e +>.综上，当()()()1212f x f x x x =≠时，122x x e +>.22．（1）22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）14.解析：(1)直线l 的参数方程为126{16x tcos y tsin ππ=+=+,即122{ 112x y t=+=+ (t 为参数)由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，∴22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)把12{ 112x y t=+=+代入22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 得t 2＋12t －14＝0，|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14.考点：1.参数方程的应用；2.极坐标方程与直角坐标方程的转化. 23.解：(1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时，f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时，f (x )＝2x ＋1＞1，得x ＞0，即0＜x ＜1；当x ≥1时，f (x )＝3＞1，即x ≥1．综上，不等式f (x )＞1的解集为(0，＋∞)．(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，由(1)可知f (x )max ＝3(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －1)|＝3，得f (x )max ＝3)，即|1－2m |≤7，解得－3≤m ≤4．故实数m 的取值范围为[－3,4]．。

数学---广东省揭阳一中、汕头金山中学联考2017届高三上学期期中数学(文)

广东省揭阳一中、汕头金山中学联考2017届高三上学期期中数学（文）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间为120分钟．一、选择题(共10小题，每题5分，共50分)1．知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i互为共轭复数，则(a＋b i)2＝()A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i2．“m＝1”是“复数z＝(1＋m i)(1＋i) (m∈R，i为虚数单位)为纯虚数”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根4．在用数学归纳法证明凸n边形内角和定理时，第一步应验证()A．n＝1时成立B．n＝2时成立C．时n＝3成立D．n＝4时成立5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(x)＋ln x，则f′()e＝()A．1 B．－1 C．－e－1 D．－e6．若a＝2⎰x2dx，b＝20⎰x3dx，c＝20⎰sin xdx，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<b B．a<b<cC．c<b<a D．c<a<b7．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A．2 2 B．4 2C．2 D．48．已知f(x)＝x3－6x3＋9x－abc，a<b<c且f()a＝f()b＝f(c)，现给出如下结论：①f()0f()1>0；②f()0f()1<0；③f()0f()3>0；④f()0f()3<0其中正确结论的序号是()A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a >－1eD ．a <－1e10．定义在(0，π2)上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )<f ′(x )tan x 成立，则( )A.3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ()1<2f ⎝⎛⎭⎫π6sin 1 C.2f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π4D.3f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π3二、填空题(每题5分，共25分)11．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．12．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ·b ＝________.13．已知函数y ＝f (x )在定义域(－32，3)上可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )，则不等式xf ′(x )≤0的解集是________．14．若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x ，x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．15．若关于x 的不等式(2ax －1)ln x ≥0对任意x ∈(0，＋∞)的恒成立，则实数a 的值为________．三、解答题(共56分) 16．(本小题满分12分)已知z ∈C ，且满足||z 2＋(z ＋z )i ＝5＋2i. (1)求z ；(2)若m ∈R ，w ＝z i ＋m ，求证：||w ≥1.17．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x －1－x .(1)求函数f (x )的最小值；(2)设g (x )＝12x 2，求y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象的公共点个数．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln ()2x ＋1＋bx ＋1.(1)若函数y ＝f (x )在x ＝1处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与直线2x ＋y －3＝0平行，求a 的值；(2)若b ＝12，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．19．(本小题满分12分)在数列{}a n 与{}b n 中，a 1＝1，b 1＝4，，数列{}a n 的前n 项和S n 满足nS n ＋1－()n ＋3S n ＝0,2a n ＋1为b n 与b n ＋1的等比中项，n ∈N *. (1)求a 2，b 2的值；(2)猜想数列{}a n 与{}b n 的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝ 0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．(3)若直线x ＝－t (0＜t ＜1把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．21．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝ln x ＋kx ，k ∈R .(1)k ＝1时函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≥2＋1－ex恒成立，求实数k 的取值范围；(3)设g (x )＝xf (x )－k ，若对任意的两个实数x 1，x 2满足0<x 1<x 2，总存在x 0>0，使得g ′()x 0＝g ()x 1－g ()x 2x 1－x 2成立，证明：x 0>x 1.参考答案一、选择题1．D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.D 8.C 9.A 10.D 二、填空题11．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 12.－44 13.[]0，1∪(－32，－12] 14.(0,1)∪()2，3 15.12三、解答题16．【解析】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则||z 2＝a 2＋b 2，(z ＋z )i ＝2a i由a 2＋b 2＋2a i ＝5＋2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝52a ＝2 4分解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－25分 ∴z ＝1＋2i 或z ＝1－2i 6分 (2)当z ＝1＋2i 时，||w ＝||z i ＋m ＝|| 1＋2i i ＋m ＝||－2＋i ＋m ＝ m －2 2＋1≥1 8分当z ＝1－2i 时，||w ＝||z i ＋m ＝|| 1－2i i ＋m ＝||2＋i ＋m ＝ m ＋2 2＋1≥1 10分∴||w ≥1 12分 17．【解析】 (1)f ′(x )＝e x －1＝0∴x ＝0，f (x )在(－∞,0)上单调减，(0，＋∞)在上单调增∴f (x )min ＝f ()0＝0 (6分) (2)e x －1－x ＝12x 2令h (x )＝e x －1－x －12x 2∴h ′(x )＝e x －1－x由(1)问结论知h ′(x )≥0恒成立所以h (x )在R 上单调增，又因为 h ()0＝0∴y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有一个公共点． (12分) 18．【解析】 (1)函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，f ′(x )＝2bx ＋2a ＋b2x ＋1，由题意可得⎩⎨⎧f ′()1＝0f ′()0＝－2解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝1所以a ＝－32. (4分)(2)若b ＝12，则f (x )＝a ln(2x ＋1)＋12x ＋1，所以f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2，1° 令f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2>0，由函数定义域可知，4x ＋2>0，所以2x ＋4a ＋1>0，①当a ≥0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； ②当a <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－2a －12，＋∞，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． (8分) 2° 令f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2<0，即2x ＋4a ＋1<0，①当a ≥0时，不等式f ′(x )<0无解；②当a <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，－2a －12，f ′(x )<0，函数f ′(x )单调递减．综上，当a ≥0时，函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，＋∞为增函数；当a <0时，函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－2a －12，＋∞为增函数；在区间⎝⎛⎭⎫－12，－2a －12为减函数． (12分)19．【解析】 (Ⅰ)由题设有a 1＋a 2－4a 1＝0，a 1＝1，解得a 2＝3.由题设又有4a 22＝b 1b 2，b 1＝4，解得b 2＝9. (2分)(Ⅱ)由题设nS n ＋1－()n ＋3S n ＝0，a 1＝1，b 1＝4，及a 2＝3，b 2＝9，进一步可得a 3＝6，b 3＝16，a 4＝10，b 4＝25，猜想a n ＝n ()n ＋12，b n ＝()n ＋12，n ∈N *. (4分)先证a n ＝n ()n ＋12，n ∈N *当n ＝1时，a 1＝1×()1＋12，等式成立．当n ≥2时用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝2 时，a 2＝2×()2＋12，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即a k ＝k ()k ＋12，k ≥2.由题设，kS k ＋1＝()k ＋3S k ，① (k －1)S k ＝()k ＋2S k －1.②①的两边分别减去②的两边，整理得ka k ＋1＝()k ＋2a k ，从而a k ＋1＝k ＋2k a k ＝k ＋2k ·k ()k ＋12＝()k ＋1[()k ＋1＋1]2.这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知，等式a n ＝n ()n ＋12，对任何的n ≥2成立．综上所述，等式a n ＝n ()n ＋12对任何的n ∈N *都成立． (8分)再用数学归纳法证明b n ＝()n ＋12，n ∈N *. (1)当n ＝1时，b 1＝()1＋12，等式成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，即b k ＝()k ＋12，那么b k ＝4a k ＋12b k ＝()k ＋12()k ＝22()k ＋12＝[()k ＋1＋1]2. 这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知，等式b n ＝()n ＋12对任何的n ∈N *都成立． (12分) 20．【解析】 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，又已知f ′(x )＝2x ＋2 ∴a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c又方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1. (4分) (2)依题意，有所求面积＝1-⎰(x 2＋2x ＋1)dx ＝(13x 3＋x 2＋x )|01-＝13. (8分)(3)依题意，有1t --⎰(x 2＋2x ＋1)dx ＝0t-⎰(x 2＋2x ＋1)dx ，∴(13x 3＋x 2＋x )|1t --＝(13x 3＋x 2＋x )|0t -，－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t,2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，于是t ＝1－132. (13分)21．【解析】 (1)当k ＝1时，函数f (x )＝ln x ＋1x ()x >0，则f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2.当f ′(x )<0时，0<x <1，当f ′(x )>0时，x >1，则函数f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞). 4分 (2)f (x )≥2＋1－ex恒成立，即ln x ＋kx ≥2＋1－e x 恒成立，整理得k ≥2x －x ln x ＋1－e 恒成立．设h (x )＝2x －x ln x ＋1－e ，则h ′(x )＝1－ln x ，令h ′(x )＝0，得x ＝e. 当x ∈()0，e 时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增，当x ∈()e ，＋∞时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减，因此当x ＝e 时，h (x )取得最大值1，因而k ≥1. 8分 (3)g (x )＝xf (x )－k ＝x ln x ，g ′(x )＝ln x ＋1. 因为对任意的x 1，x 2(0<x 1<x 2)总存在x 0>0，使得g ′()x 0＝g ()x 1－g ()x 2x 1－x 2成立，所以ln x 0＋1＝g ()x 1－g ()x 2x 1－x 2，即ln x 0＋1＝x 1ln x 1－x 2ln x 2x 1－x 2，即ln x 0－ln x 1＝x 1ln x 1－x 2ln x 2x 1－x 2－1－ln x 1＝x 1ln x 1－x 2ln x 2－x 1＋x 2x 1－x 2＝ln x 1x 2＋1－x 1x 2x 1x 2－1. 12分设φ()t ＝ln t ＋1－t ，其中0<t <1，则φ′()t ＝1t －1>0，因而φ()t 在区间(0,1)上单调递增φ()t <φ()1＝0，又x 1x 2－1<0.所以ln x 0－ln x 1>0，即x 0>x 1. 14分。

2017届广东省揭阳一中、潮州金山中学高三上学期暑假联考地理试题及答案

图 1 揭阳一中、潮州金山中学2017届高三上学期暑假联考文综地理试题一、选择题：（本大题共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将答案涂在答题卡上。

）1. 某日我国一中学学习小组于当地正午前后持续测量该校旗杆影子，并记录了影子的长度和方向（旗杆的长度已知），利用该记录数据一定能推导出A ．日出的时间B ．正午太阳高度C ．当地的经度D ．当地的纬度月平均气温（℃）日最低日最高 26 40 20 34 24 30 19 29 1929图 2A ．纬度B ．地形C ．大气环流D ．海陆位置3. 读图2（我国某地的地理要素日变化曲线图），纵轴起始点为0，图中曲线最不可能是A.太阳辐射日变化曲线B.地面辐射日变化曲线C.气温日变化曲线D.受雾影响的能见度曲线4. 径流系数是指一定汇水面积内径流量与降水量的比值。

城市化可能会提高区域径流系数，原因是A ．雨岛效应，降水增加B ．热岛效应，蒸发加强C ．硬地增加，下渗减弱D ．绿地减少，蒸腾减弱5. 有关山的形成,下面说法正确的是A.岩层断裂错位上升形成断块山B.板块运动地块隆起形成向斜山C.岩层受侵蚀弯曲形成褶皱山D.岩浆侵入，冷却堆积形成火山6.青藏高原东部和南部高原边缘为森林地带，向西北依次为高寒草甸、高寒草原和高寒荒漠。

产生这种分异的主要因素是A．热量 B．光照 C．地形 D．降水量7.图3为我国某地河流实测径流量和降水量。

图中反映了该河流8月中旬的一次降水量与径流量的变化过程，最大降水量与最大径流量之间有一个时间差，近年观测发现这个时间差逐年变大，这可能是由于①水土流失日益严重②流域内植树种草，植被覆盖率提高③全球气候变暖④退耕还沼，退耕还湖效果显著A．①②B．②③C．③④D．②④图 3图 58. 读图4我国某城市总人口的逐日变化示意图（2008年11月28日～2009年3月8日）,引起春节期间下图城市人口巨大变化的最主要原因是 A ．洪涝灾害B ．疾病传播C ．旅行度假D ．民工返乡图5示意1972~2011年我国西北地区某流域不同朝向冰川面积的变化(单位:km)。

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2016-2017学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设复数z=+（1+i）2，则复数z的共轭复数的模为（）A．B．1 C．2 D．2．（5分）已知全集U=R，若集合A={y|y=3﹣2﹣x}，B={x|≤0}，则A∩∁U B=（）A．（﹣∞，0）∪[2，3）B．（﹣∞，0]∪（2，3）C．[0，2） D．[0，3）3．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件4．（5分）在公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且a7=b7，则log2（b5b9）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．15．（5分）执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）A．6 B．7 C．8 D．96．（5分）已知某几何体的三视图如图表所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知k∈Z，=（k，1），=（2，4），若||≤，则∠B是直角的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知2sinα+cosα=0，则sin2α﹣3cos2α﹣sin2α=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣29．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．48πB．12πC．4πD．32π10．（5分）已知f（x）=3x+2xf′（1），则曲线f（x）在x=0处的切线在x轴上的截距为（）A．1 B．5ln3 C．﹣5ln3 D．11．（5分）已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=a n（a n+1）（n∈N*），则m=++…+的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．312．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）的图象上关于y轴对称的点至少有5对，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在（）16的二项展开式的17个项中，整式的个数是．14．（5分）已知Ω为xOy平面内的一个区域，p：点（a，b）∈；q：点（a，b）∈Ω．如果p是q的充分条件，那么区域Ω的面积的最小值是．15．（5分）已知双曲线：=1，（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y=（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则双曲线的离心率为．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A+sin2B+sin2C=2sinAsinBsinC，且a=2，则△ABC的外接圆半径R=．三.解答题（第17-21为必做题，第22，23题为选做题，共70分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足（1﹣q）S n+qa n=1，且q（q﹣1）≠0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．18．（12分）为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．（12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点，F是CE的中点．（1）证明：BF∥平面ACD；（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；（3）求点G到平面BCE的距离．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点分别为、，点P在椭圆C上，满足|PF 1|=7|PF2|，tan∠F1PF2=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R（1）若f（x）在P（x0，y0）（x∈[））处的切线方程为y=﹣2，求实数a的值；（2）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，f′（x）是函数f（x）的导函数，证明：f′（）＜0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．2016-2017学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设复数z=+（1+i）2，则复数z的共轭复数的模为（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：z=+（1+i）2=+2i=1﹣i+2i=1+i，=1﹣i，．故选：A．2．（5分）已知全集U=R，若集合A={y|y=3﹣2﹣x}，B={x|≤0}，则A∩∁U B=（）A．（﹣∞，0）∪[2，3）B．（﹣∞，0]∪（2，3）C．[0，2） D．[0，3）【解答】解：由2﹣x＞0得y=3﹣2﹣x＜3，则A={y|y=3﹣2﹣x}=（﹣∞，3），由得，解得0＜x≤2，则B=（0，2]，又U=R，则∁U B=（﹣∞，0]∪（2，+∞），所以A∩∁U B=（﹣∞，0]∪（2，3），故选：B．3．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件【解答】解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，m=0时不成立；B．命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”，正确；C．“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，因此不正确．故选：B．4．（5分）在公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且a7=b7，则log2（b5b9）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．1【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵2a3﹣a72+2a11=0，∴4a7﹣a72=0，解得a7=4．∴b7=4．∴log2（b5b9）===4．故选：B．5．（5分）执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：模拟执行程序框图，可得．解得：n=7．故当p=7时，n=7＜p，不成立，退出循环，输出S的值为．故选：B．6．（5分）已知某几何体的三视图如图表所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图，可得几何体的直观图如下图所示：它有四棱锥F﹣ABCD与三棱锥F﹣ABE组成，故体积V=×4×4×4+××2×4×4=，故选：C．7．（5分）已知k∈Z，=（k，1），=（2，4），若||≤，则∠B是直角的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由丨丨≤，k∈Z知，k2+1≤17，∴k∈{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，由=（k，1），=﹣=（2﹣k，3），且⊥，∴•=k（2﹣k）+3=0，解得k=﹣1，3，∴∠ABC是直角的概率为P=．故选：C．8．（5分）已知2sinα+cosα=0，则sin2α﹣3cos2α﹣sin2α=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣2【解答】解：∵已知2sinα+cosα=0，∴tanα=﹣，则sin2α﹣3cos2α﹣sin2α====﹣，故选：A．9．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．48πB．12πC．4πD．32π【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×（）2=12π故选：B．10．（5分）已知f（x）=3x+2xf′（1），则曲线f（x）在x=0处的切线在x轴上的截距为（）A．1 B．5ln3 C．﹣5ln3 D．【解答】解：由题意知，f（x）=3x+2xf′（1），∴f′（x）=（ln3）•3x+2f′（1），令x=1代入上式得，f′（1）=（ln3）•3+2f′（1），解得f′（1）=﹣3ln3，∴f（x）=3x﹣6（ln3）x，f′（x）=（ln3）•3x﹣6ln3，∴f（0）=1，f′（0）=ln3﹣6ln3=﹣5ln3，则在x=0处的切线方程是y﹣1=﹣5ln3（x﹣0），即y=﹣5（ln3）x+1，令y=0代入得，x=，∴曲线f（x）在x=0处的切线在x轴上的截距为：，故选：D．11．（5分）已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=a n（a n+1）（n∈N*），则m=++…+的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由a n=a n（a n+1）（n∈N*）得出：=﹣，+1所以=﹣，所以m=++…+=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=3﹣．因为a n=a n（a n+1）（n∈N*），+1﹣a n=a n2≥0，所以a n+1而a2=a12+a1=+=，a3=a22+a2=+=＜1．a4=a32+a3=×+=×＞1，所以＜1．由m=3﹣知0＜m＜3，所以m的整数部分为2．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）的图象上关于y轴对称的点至少有5对，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0∵x＞0时，f（x）=sin（x）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣x）﹣1=﹣sin（x）﹣1，则若f（x）=sin（x）﹣1，（x＞0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（x）﹣1=f（x），即y=﹣sin（x）﹣1，x＜0，设g（x）=﹣sin（x）﹣1，x＜0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（x）﹣1，x＜0与f（x）=log a（﹣x），x＜0的图象至少有5个交点，则0＜a＜1且满足g（﹣7）＜f（﹣7），即﹣2＜log a7，即log a7＞log a a﹣2，则7＜，解得0＜a＜，故选：D．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在（）16的二项展开式的17个项中，整式的个数是3．=，【解答】解：展开式的通项为：T r+1由题意，r=6，8，10，故答案为3．14．（5分）已知Ω为xOy平面内的一个区域，p：点（a，b）∈；q：点（a，b）∈Ω．如果p是q的充分条件，那么区域Ω的面积的最小值是2．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若p是q的充分条件，则区域Ω的面积的最小值即为△ABC的面积，由得，即B（1，3），又A（0，6），C（0，2），则△ABC的面积S=，故答案为：215．（5分）已知双曲线：=1，（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y=（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则双曲线的离心率为1．【解答】解：∵直线y=（x+c）过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF1F2=60°，∠MF2F1=30°．∴∠F1MF2=90°，即F1M⊥F2M．∴|MF1|=|F1F2|=c，|MF2|=|F1F2|sin600=c，由双曲线的定义有：|MF2|﹣|MF1|=c﹣c=2a，∴离心率e===+1．故答案为：1．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A+sin2B+sin2C=2sinAsinBsinC，且a=2，则△ABC的外接圆半径R=．【解答】解：由正弦定理可化sin2A+sin2B+sin2C=2sinAsinBsinC为a2+b2+c2=2absinC，再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，代入上式可得2（a2+b2）=2absinC+2abcosC，∴2（a2+b2）=4ab（sinC+cosC）=4absin（C+），∴a2+b2=2absin（C+）≤2ab，又由基本不等式可得a2+b2≥2ab，∴a2+b2=2ab，∴（a﹣b）2=0且sin（C+）=1，∴a=b且C=，∴△ABC为正三角形，由正弦定理可得2R===，解得R=故答案为：三.解答题（第17-21为必做题，第22，23题为选做题，共70分）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足（1﹣q）S n+qa n=1，且q（q﹣1）≠0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，由（1﹣q）S1+qa1=1，a1=1．当n≥2时，由（1﹣q）S n+qa n=1，得（1﹣q）S n﹣1+qa n﹣1=1，两式相减得：（1﹣q）a n+qa n﹣qa n﹣1=0，即a n=qa n﹣1，又q（q﹣1）≠0，所以{a n}是以1为首项，q为公比的等比数列，故a n=q n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S n=，又S3+S6=2S9，得+=，化简得a3+a6=2a9，两边同除以q得a2+a5=2a8．故a2，a8，a5成等差数列．18．（12分）为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】解：（1）甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，共有25种抽法，其中只有一个优秀成绩，共有12种抽法，∴其中只有一个优秀成绩的概率为；（2）ξ=0，1，2，3，则P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列∴Eξ=0×+1×+2×+3×=1.219．（12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点，F是CE的中点．（1）证明：BF∥平面ACD；（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；（3）求点G到平面BCE的距离．【解答】（1）证明：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），B （2，0，1），E（0，0，2），C（1，，0），F（，，1），∴=（，，0）又∵=（0，0，2）为平面ACD的一个法向量且•=0∴BF∥平面ACD；…（4分）（2）解：设平面BCE的法向量为=（x，y，z），则⊥，且⊥，由=（1，，1），=（﹣1，，2）得，不妨设y=，则=（1，，2）又∵=（0，0，2）为平面ACD的一个法向量∴所求角θ满足cosθ=∴平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小为；…（8分）（3）解：由已知G点坐标为（1，0，0），∴=（﹣1，0，﹣1），由（2）平面BCE的法向量为=（1，，2）∴所求距离d=||=．…（12分）20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点分别为、，点P在椭圆C上，满足|PF 1|=7|PF2|，tan∠F1PF2=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）∵tan∠F1PF2=4．∴cos∠F1PF2=．设|PF1|=m，|PF2|=n，∵|PF1|=7|PF2|，∴m=7n．联立，解得a=2，m=，n=．∴b2=a2﹣c2=1，故所求C的方程为．（II）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=﹣16（m2﹣4k2﹣1）＞0，得4k2+1＞m2，①又，设D，E中点为M（x0，y0），M，∵k AM k=﹣1，得②，将②代入①得，化简得20k4+k2﹣1＞0⇒（4k2+1）（5k2﹣1）＞0，解得或∴存在直线l，使得|AD|=|AE|，此时k的取值范围为．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R（1）若f（x）在P（x0，y0）（x∈[））处的切线方程为y=﹣2，求实数a的值；（2）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，f′（x）是函数f（x）的导函数，证明：f′（）＜0．【解答】解：（1）依题意有lnx0+﹣ax0=﹣2，+2x0﹣a=0，…（2分）消去a得lnx0﹣+1=0，x0∈[，+∞），…（3分）h（t）=lnt﹣t2+1，t∈[，+∞），显然h（1）=0，且h′（t）=﹣2t=≤0，故lnx 0﹣+1=0当且仅当x0=1，…（4分）所以a=+2x0=3…（5分）（2）x1，x2是函数f（x）的两个零点有f（x1）=lnx1+﹣ax1=0，f（x2）=lnx2+﹣ax2=0，相减得a=+x1+x2，…（5分）∵f′（）=﹣…（6分）所以要证明f′（）＜0，只需证明﹣＜0，（0＜x1＜x2），即证明＞lnx1﹣lnx2，即证明＞ln（*）…（9分）令=t∈（0，1），则g（x）=（1+t）lnt﹣2t+2，则g′（t）=lnt+﹣1，g″（t）=﹣＜0，∴g′（t）在（0，1）递减，g′（t）＞g′（1）=2＞0，∴g（t）在（0，1）递增，g（t）＜g（1）=0，所以（*）成立，即f′（）＜0．…（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故实数x 的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数定义域 R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数名称定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。