第二章 离散时间傅立叶变换(DTFT)
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣
§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列 于是
X (e ) =
jω ∞ n = −∞
x ( n)
a>0 0
1 2 3 45
x ( n) = a n u ( n)
− jω n
a <1
n − jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
π
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于是，我们得到一对变换关系：
X ( e ) = DTFT { x ( n )} =
jω − jω n x ( n ) e -------DTFT变换式 ∑ ∞
n = −∞
π
1 jω jω jωn x(n) = IDTFT{X (e )} = X ( e ) e dω -------DTFT反变换式 ∫ 2π −π
5、奇、偶、虚、实性 设
DTFT x ( n ) = x r ( n ) + jx i ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω ) = X R ( ω) + jX I ( ω)
= X ( e jω ) e jϕ ( ω )
当x(n)是实序列，即 则
x(n) = x* (n)
X ( e jω ) = X * ( e − jω )
ω
0
π
2π
ω
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DTFT x ( n ) ← ⎯ ⎯→ X ( e jω ) 例题：设
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓
z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)
m 0
bm x (n m )
k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述 用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]
X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2
实验2离散时间傅里叶变换
电 子 科 技 大 学实 验 报 告学生：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换二、实验目的：熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。
三、实验容：1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换(a) ()(0.5)()n x n u n =(b) (){1,2,3,4,5}x n =2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。
3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。
4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。
5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求：(a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ；(b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论；(c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。
四、实验原理：1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义：2．周期性：()j X e ϖ是周期为2π的函数(2)()()j j X e X e ϖϖπ+=3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ϖ是共轭对称函数。
*()()Re[()]Re[()]Im[()]Im[()]()()()()j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ-----===-=∠=-∠4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+5．时移[()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---==6．频移00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-=7．反转（翻褶）[()]()j F x n X e ω--=五、实验器材（设备、元器件）：PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1六、实验步骤：本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
第二章离散时间傅立叶变换DTFT
jX I (e j ) FT[xo (n)] xo (n)e jn n
即序列对称、反对称分解，频域作实部、虚部的分解
证明
由：
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
有：
FT [ xe
(n)]
1 2
[X
(e
j
)
X
* (e
j
)]
X
R
(e
j
)
FT[xo (n)]
RN (n)e jn e jn
nn01 e jN 1 Nhomakorabeae je (e jN / 2 jN / 2 e jN / 2 ) e j / 2 (e j / 2 e j / 2 )
e j(N 1) / 2 sin( N / 2) sin( / 2)
| X (e j ) | sin(N / 2) sin( / 2)
n
2
内容：时域、频域能量守恒。 即信号时域的总能量等于频域的总能量。
X (e j ) 2 称为能量谱密度
证明：
2
x(n) x(n)x*(n)
x*(n)[ 1
X (e j )e jnd)]
n
n
n
2
1 X (e j ) x (n)e jnd
2
n
1 X (e j ) X *(e j )d
[x(n)
x(n)]
例 x(n)=anu(n); 0<a<1; 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。
解: 序列x(n)
共轭对称部分xe(n)
共轭反对称部分xo(n)
2.3 周期序列的离散傅立叶级数 及傅立叶变换
2.1离散时间序列的傅里叶变换DTFT
jω
n = −∞ π
−
∑ x ( n )e
∫ π X (e
jω
∞
− jωn
)e
jωn
dω
2、时移与频移性 4、时域卷积定理 6、帕斯维尔定理 8、周期性
DTFT的周期性
由序列的傅里叶变换公式：
X ( e jω ) =
n取整数，可以把频率分成两部分 ω → ω + 2πM
n = −∞
∑ x(n)e − jωn
-28-
序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分 x(n) = xe (n) + xo (n)
傅里叶变换
= X ( e jω ) DTFT = [ x ( n )] DTFT [ xe ( n ) + xo ( n )] = DTFT [ xe ( n )] + DTFT [ xo ( n )] =
n = −∞
∞ *
( )
( )
( ) ( )
DTFT性质应用举例
例2.1.7
P38
-19-
时域卷积定理
设 则
y (n ) = x(n ) * h(n )
Y (e jω )=X (e jω )H (e jω )
该定理说明，两序列卷积的DTFT，服从相乘的 关系。对于线性时不变系统输出的DTFT等于输 。 入信号的 DTFT乘以单位脉冲响应DTFT。因此 求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算， 也可以在频域求出输出的DTFT，再作逆DTFT 求出输出信号。
由上式表明,共轭对称序列的实部确实是偶 函数,虚部是奇函数。
-25-
一般序列 分解为 其中
= x ( n ) xe ( n ) + xo (n )
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j
DTFT频谱特点：时域离散，频域连续，
以2π 为周期。
例2.2.1 设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT。
解:
X (e j )
n
e
RN (n)e jn e jn
n 0
N 1
1 e j N 1 e j
(e e ) j / 2 j / 2 j N / 2 e (e e )
n
即序列实、虚部分解，频域作共轭对称与反对称的分解
（2）若序列x(n)分成共轭对称分量xe(n)与共轭反对
称分量x0(n）之和
x(n)=xe(n)+xo(n)
则
X(ejω )=XR(ejω )+jXI(ejω )
其中
X R (e j ) FT [ xe (n)]
j
n
X(ejω )=Xe(ejω )=X*(e-jω )
因此实序列的FT的实部是偶函数， 虚部是奇函数， 用公式表示为：
XR(ejω )=XR(e-jω )
XI(ejω )=-XI(e-jω )
|X(ejw)|－－－－幅度是w的偶函数 arg[X(ejw)]－－－－相角是w的奇函数
x(n)为实序列： x(n)=xe(n)+xo(n)
j
n
x ( n )e
j n
n
x ( n )e
j ( 2 M ) n
因此：X(ejω )以2π 为周期 其中， 0，2π ，4π … π ，3π ，5π … 对应直流分量 对于信号的最高频分量
对信号频谱只需分析－π ～π 之间或0～2 π 之间
2、线性性质
（4）对序列x(n)的X(ejω )
X(ejω )=Xe(ejω )+Xo(ejω ) Xe(ejω )=X*e(e-jω )
j
Xo(ejω )=-X*o(e-jω )
1 j j X e ( e ) [ X ( e ) X (e )] 2 1 j j j X o (e ) [ X (e ) X (e )] 2
j n0
j
时域移位， 频域有相移
X (e j )
FT [e j0n x(n)] X (e j ( 0 ) )
时域调制 频域移位
4、指数加权，线性加权
e j DTFT [a n x(n)] X ( ) a
d DTFT [nx(n)] j [ X (e j )] d
1 xe (n ) [ x(n ) x ( n )] 2 1 xo (n ) [ x (n ) x ( n )] 2
1 xe (n) [ x(n) x(n)] 2 1 xo (n) [ x(n) x(n)] 2
例
x(n)=anu(n); 0<a<1; 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。
yy=angle(x);
subplot(313); plot(w,yy) xlabel('w'); ylabel('相位')
for n=0:3
x=x+exp(-j*w*n); end
例：令因果性指数序列为x(n)=anu(n)，写出其傅立
叶变换，并讨论其收敛性。 解：此序列的傅立叶变换为：
X (e )
e
j ( N 1) / 2
j N / 2
j N / 2
j N / 2
sin( N / 2) sin( / 2)
sin( N / 2) | X (e ) | sin( / 2)
j
( N 1) sin( N / 2) arg[ X (e )] arg[ ] 2 sin( / 2)
1 有： xe ( n ) [ x ( n ) x ( n )] 2 1 xo (n ) [ x (n ) x ( n )] 2
任意序列x(n)
x(n) xe (n) xo (n)
xe (n) xe (n)xo (n) Fra bibliotek xo (n)
1 xe (n ) [ x(n ) x ( n )] 2 1 xo (n ) [ x (n ) x ( n )] 2
对称性： （1）若序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)
x(n)=xr(n)+jxi(n)
则
X(ejω )=Xe(ejω )+Xo(ejω )
其中
X e (e j ) FT [ xr (n)]
n
证明略
xr (n)e j n
X o (e j ) FT [ jxi (n)] j xr (n)e j n
1 FT [ xe (n)] [ X (e j ) X *(e j )] X R (e j ) 2 1 FT [ xo (n)] [ X (e j ) X *(e j )] jX I (e j ) 2
有：
（3）实因果序列的对称性 若x(n)是实序列， 则其FT只有共轭对称部Xe(ejω )， 共轭反对称部分为零。
CTFT
连续时间非周期信号的傅里叶变换对
X ( j) x(t )e jt dt
1 x(t ) 2
X ( j)e
j t
d
特点：时域连续，频域连续
2.2
2.2.1
离散时间傅立叶变换的定义及性质
离散时间傅立叶变换定义
（DTFT)
1、正变换： X (e j ) DTFT [ x(n)]
1 Y (e ) X (e j )* H (e j ) 2
j
7、帕斯瓦尔定理（Parseval）
2
n
1 x ( n) 2
x (e ) d
j
2
内容：时域、频域能量守恒。 即信号时域的总能量等于频域的总能量。
X (e ) 称为能量谱密度
j
2
证明：
n
) X (e ) d
*
1 2
X (e j ) d
2
8、 DTFT的对称性 概念： （1）共轭对称序列： 若满足下式： xe(n)=x*e(-n) 则称xe(n)为共轭对称序列。 将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n) 共轭对称序列的性质：实部是偶函数， 将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到 虚部是奇函数。 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n) 对比上面两公式， 左边相等， 因此得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)
5、时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 时域卷积， 频域乘法
则
证明：
Y(ejω )=X(ejω )·H(ejω )
y ( n)
j
m
x ( m) h( n m)
Y (e ) FT [ y ( n)]
n
[
x( m) h( n m)]e j n
（2）共轭反对称序列： 若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。 共轭反对称序列的性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数。
例：共轭对称序列 共轭反对称序列 5－j －5＋j 4－j －4＋j 0 0 4＋j 4＋j 5＋j 5＋j
（3）对任意序列x(n) 一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， x(n)=xe(n)+xo(n) 由 x*(-n)=xe(n)-xo(n)
第二章 时域离散信号与系统的频域分析 学习内容：
• 离散时间傅立叶变换的定义
• DTFT的主要性质
• 周期序列的离散傅立叶变换 • 时域离散信号的FT和模拟信号的FT之间的关系 • 离散系统的频域特性
学习重点、难点：
•序列的傅立叶变换及其基本性质的应用 •周期序列的傅立叶变换
知识回顾
2.1 连续时间信号和系统的频域分析
j
n
a u ( n )e
n
j n
a n e j n
n 0
(ae
n 0
j n
)
1 j 1 ae
| ae
j
| 1
|a|<1
|a|<1时，anu(n)的傅立叶变换存在。
2.2.2
1、FT的周期性
序列傅立叶变换的性质
X (e )
1、连续时间周期信号
x (t ) Fn
CTFS
连续时间周期信号的傅里叶级数对
1 Fn T0 x(t )
T0 / 2
T0 / 2
x(t )e jn0t dt
n
Fn e jn0 t
特点：时域连续，频域离散
2、连续时间非周期信号
x(t ) X ( j)
~
一、 x ( n ) 的离散傅立叶级数（DFS）
x(n) ak e
k 0
~
N 1
j
2 kn N
激函数，FT也存在。
3、序列的幅度谱与相位谱
• • 频谱用实部和虚部表示
X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )
频谱用幅度和相位表示
X (e ) | X (e ) | e
j j jarg[X (e j )]
X ( )e j ( )
– 幅度特性 – 相位特性
m
令k=n-m
Y (e j )
k