弹性力学基础

弹性力学知识基础

上述6个方程称几何方程
u v w
唯一确定
{ε }
{f}
但
{ε }
不唯一确定
原因：刚体位移不能确定。
第三节物理方程
当材料是均匀、连续、各向同性，应力与应变成正比（小变形）,即广义虎克定律
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )] E ε y = [σ y − µ (σ z + σ x )] E ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )] E = τ xy G , γ yz = τ yz G , γ zx = τ zx G
T
（1-2）
2、平衡微分方程、
∂σ x τ yx τ zx + + + ∂y ∂z ∂x ∂ σ y τ xy τ zy + + + ∂x ∂z ∂y ∂ σ z + τ yz + τ xz + ∂y ∂x ∂z
F F F
Vx
=0 =0 =0
Vy
Vz
反映了物体内的应力场所须满足的静力关系，或者应力分量的关系。
（1-9）
γ xy
其中： E
G
弹性模量切变模量泊松比
µ
G = E [2(1 + µ )]
解（1-9）式, 得物理方程：
{σ } = [D]{ε }
{σ } = σ xσ yσ zτ xyτ yzτ zx
T
（1-10）
{ε } = ε xε yε zγ xyγ yzγ zx
a、正应力虚功：正应力虚位移虚功 b、切应力虚功
x方向

弹性力学课件

研究对象
弹性力学的研究对象主要是弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复到原来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间距离的变化是微小的，且这种变化不影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限制，如支撑、连接等，这些约束条件对弹性体的变形和内力分布产生影响。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分析。利用弹性力学理论求解无限大平板在均布载荷作用下的应力分布，并讨论平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过解析法或数值法求解圆柱体在内压作用下的应力分布，并讨论不同材料属性和几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为，加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为。

复合材料力学-各向异性弹性力学基础

弹性模量
复合材料的弹性模量取决于增强相和基体相的弹性模量以及它们之间的界面结合强度。
强度和韧性
复合材料的强度和韧性取决于增强相的分布、数量和尺寸，以及它们与基体相之间的界面结合强度。
04
复合材料的各向异性弹性力学分析
复合材料的弹性常数
弹性常数是复合材料在受到外力作用时表现出的刚度特性，描述了复合材料的应力与应变之间的关系。
与单一材料的应力-应变关系不同，复合材料的应力-应变关系通常是非线性的，因为它们由多种材料组成，且各组分材料的性质和排列方式可能不同。
复合材料的应力-应变关系需要通过实验测定，因为它们的数值取决于复合材料的微观结构和组成。
复合材料的本构方程
本构方程是描述复合材料在受到外力作用时如何响应的数学模型，即描述了复合材料在不同外力作用下的应力和应变的变化关系。
各向异性材料的分类
按来源分类
天然各向异性材料（如木材、骨骼等）、人造各向异性材料（如复合材料、玻璃纤维增强塑料等）。
按结构分类
晶体各向异性材料、纤维增强各向异性材料、织物增强各向异性材料等。
按对称性分类
单轴各向异性材料、正交各向异性材料、各项同性材料等。
各向异性弹性力学的基本方程
01
汽车零部件
复合材料还用于制造汽车中的各种零部件，如刹车片、气瓶和油箱等，以提高其耐久性和安全性。
汽车轻量化
复合材料的轻质特性使其成为汽车轻量化的理想选择，有助于提高车辆的燃油效率和动力性能。
建筑领域的应用
建筑结构加固
复合材料可以用于加固建筑结构，提高其承载能力和耐久性，如桥梁、大坝和高层建筑等。
未来研究方向
进一步深入研究复合材料的各向异性性质，探索其在不同环境和载荷条件下的行为和性能。

基本变量
基本方程
受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元dxdydz中，基于位移、应变和应力这三大类变量，可以建立以下三
大类方程
平衡方程：外力和内力之间的平衡关系几何方程：描述的是位移和应变之间关系物理方程：应力和应变之间的关系
基本变量的指标表达
自由指标：每项中只出现一次的下标。如哑指标：在表达式的每一项中重复出现的下标。 Einstein求和约定：哑指标意味着求和。张量：能够用指标表示的物理量，并且该物理量能够满
本章主要内容
2.1变形体的描述、变量定义、分量表达和指标记法
2.2弹性体的基本假设 2.3平面问题的基本力学方程
2.4空间问题的基本力学方程
2.5弹性问题中的能量表达 2.6特殊问题的讨论（两大类平面问题）
本章要点
变形体的三大类基本变量变形体的三大类基本方程及两类边界条件
3 2 1 3 3 3 3 4 5
1
2
6
有了以上的移动规则的下标对应关系，就可以按照
同一规则来处理更为复杂的问题。
ij Dijkl kl i, j, k , l 1,2
D11 D pq D21 D31 D12 D22 D32 D13 D1111 D D23 2211 D33 D1211
后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的
尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这
变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不
留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。

弹性力学基础汇总

一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。

应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。

3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ∆，变形后的长度为'l ∆，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ∆∆-∆=→∆'lim 0ε。

即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。

弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ∆和s l ∆为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。

应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。

关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。

4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。

设V ∆为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ∆，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=∆∆=→∆F f 0lim。

表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。

设S ∆为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ∆，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=∆∆=→∆F s 0lim 。

第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1

W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题满足条件： 1）几何条件厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。（1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元（2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变）任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是量纲为一的量。可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡

弹性力学理论基础

2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 2）应力物体受外力作用后，在其内部将要产生应力。六面体称为微元体：从物体中取出一个无限小的平行六面体，它的棱边平行于坐标轴。将微元体每一个面上的应力分解成为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行，并称为该面的三个应力分量
2.1 基本假设和基本概念
1）分析各点的位移
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 2）求正应变
根据弹性力学的基本假设，限定位移是微小的。
正应变的定义有：
u dx
x
dx
u dx x
dx
u x
同理：
y
PB2 PB
PB
v y
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 3）求剪应变
在弹性力学里假想把物体分成无限多个微小六面体(在物体边界处可能是微小四面体)，称为微元体。
考虑任一微元体的平衡(或运动)，可写出一组平衡(或运动)微分方程及边界条件。
2.1 基本假设和基本概念
（3）弹性力学问题求解的基本方法弹性力学问题都是超静定的，必须同时再考虑微元体
的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相应地称为几何方程和物理方程。平衡(或运动)方程、几何方程和物理方程以及边界条件称为弹性力学的基本方程。
2 x
x 2
dx 2
略去二阶及二阶以上的微量后：
x
x
x
dx
同样设左面的剪应力是 xy
右面的剪应力将是
xy
xy x
dx
2.2 弹性力学的基本方程
（1）平衡方程
各个面上所受的应力可以假设为均匀分
布，并作用在对应面的中心。六面体所受的体力，也可假设为均匀分布，并作用在它的体积的中心。

弹性力学基础

2-1 弹性力学简介
弹性力学进入发展阶段
而后，世界各国的一批学者相继进入弹性力学研究领域，使弹性力学进入发展阶段。 �1856年，圣维南（ A.J.Saint-Venant）建立了柱体扭转和弯曲的基本理论； �1862年，艾瑞（G.B.Airy）发表了关于弹性力学的平面理论； �1881年，赫兹（H.Hertz）建立了接触应力理论； �1898年，基尔霍夫 (G.R.Kirchoff )建立了平板理论， G.R.Kirchoff) �1930年，苏联人发展了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。 �另一个理论上的重要成果是建立了各种能量原理，并且提出了一系列基于 )，乐这些能量原理的近似计算方法。许多科学家，像拉格朗日 (grange grange) )，铁木辛柯(S.P.Timoshenko )做出了贡献。甫(A.E.H.Love A.E.H.Love) S.P.Timoshenko) �中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝伦，胡海昌等在弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了重要贡献。
2-1 弹性力学简介
3、研究的方法：有较大的区别
�相同点：
�静力学：脱离体力的平衡 �几何学：位移和应变的关系 �物理学：应力和应变的关系
2-1 弹性力学简介
�不同点：材料力学：对应变或应力情况作某些假定材料力学是对构件的整个截面来建立静力学、几何学和物理学条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。弹性力学 : 对应变或应力情况不作假定，弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。