2020年高考理科数学之高频考点解密25 概率(解析版)

解密25概率考点1 古典概型题组一古典概型的概率求解调研1 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为A．112B．19C．16D．14【答案】B【解析】将先后两次的点数记为有序数实数对(x,y )，则共有6×6=36个基本事件， 其中点数之和为大于8的偶数有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共4个， 则满足条件的概率为41369=． 故选B ．调研2 从装有大小、材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率为 A ．23 B ．12 C ．25D ．13【答案】C【解析】记3个红球分别为a,b,c ，3个黑球分别为x,y,z ，则随机取出两个小球共有26C 15=种可能，其中两个小球同色共有6种可能：ab,ac,bc,xy,xz,yz ， 根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为615=25， 故选C ．调研3 有4张卡片（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为 A ．12 B ．35 C ．13D ．56【答案】A【解析】有4张卡片（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则基本事件总数为24C 6=，取出的2张卡片中含有红色卡片包含的基本事件数为1113C C =3， 所以取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为3162=． 故选A ．☆技巧点拨☆在选择题或者填空题中利用枚举计数的方法考查古典概型，或结合排列、组合计数的方法考查古典概型，在解答题中常和概率、统计的其他知识结合考查古典概型和概率的性质.题组二用随机模拟估计概率调研4 规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.根据以往经验，某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生0到9之间的随机整数，用0,1表示该次投掷未在8 环以上，用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在8 环以上，经随机模拟试验产生了如下20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683031 257 393 527 556 488 730 113 537 989据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】由所给数据可知，20组数据中有3组191，031，113不是优秀，其余17组是优秀，所以可以拿到优秀的概率为17 20，故选D．调研5 袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A ．19 B ．318 C ．29D ．518【答案】C【解析】因为随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：021，001，031，130，共4个基本事件， 根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为418=29， 故选C.考点2 几何概型题组一 几何概型的概率求解调研1 有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于l 的概率为 A ．13 B ．23 C ．34D ．14【答案】B【解析】设点P 到点O 的距离小于1的概率为P 1，由几何概型，得P 1＝322π13π12V V ⨯⨯⨯半球圆柱＝＝13， 故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23. 故选B.调研2 在区间[－π6，π2]上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是A ．12B ．34C ．38D ．58【答案】B【解析】由sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[1，2]，得22≤sin(x ＋π4)≤1，因为x ∈[－π6，π2]，所以在区间[－π6，π2]内，满足sin(x ＋π4)∈[22，1]的x ∈[0，π2]，故所求的概率为π2－0π2－(－π6)＝34.故选B ．【名师点睛】与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．调研3 ABC △中，AB =4,AC =6,AB ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,在线段AC 上任取一点P ，则PAB △的面积小于4√3的概率是 A ．12 B ．13 C ．23D ．35【答案】C【解析】由AB =4,AC =6,AB ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12得24cosA =12，1cos sin 2A A ∴∴=＝，则1sin 2ABC S AB AC A ⋅==△ ∴PAB △的面积小于23=． 故选C ．【名师点睛】与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．调研4 某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为______________． 【答案】16【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟， 所以等待时间不多于10分钟的概率为101606P ==． 调研5 一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为______________．【答案】π14 -【解析】由题意，以四个顶点为圆心，1为半径作圆，得到四个14的圆的面积为π，又由边长为2的正方形的面积为4S=，根据面积比的几何概型可得概率为4ππ144 p-==-.题组二随机模拟的应用调研6 下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载.若图中大正方形ABCD的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域随机投掷n个点，有m个点落在中间的圆内，由此可估计π的近似值为A．254mnB．4mnC．425mnD．25mn【答案】D【解析】Q小正方形的边长为2，∴圆的半径为1，圆的面积为π，又Q大正方形的边长为5，∴正方形的面积为25，由几何概型的概率计算公式可得π25,π25m mn n≈≈，故选D．☆技巧点拨☆几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时要注意分清是面积型、长度型，还是角度型.考点3 随机变量及其分布题组一离散型随机变量的分布列、均值与方差调研1 已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为 A ．3200 B ．3400 C ．3500D ．3600【答案】C【解析】设检测的机器的台数为x ,则x 的所有可能取值为2,3,4.则()()()()()1131223332222553A C A C A A 1332,3,4123,A 10A 105P x P x P x P x P x +========-=-==+ 所以Ex =2×110+3×310+4×35=3.5，所以所需的检测费用的均值为1000×3.5=3500.故选C ．调研2 已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则()E ξ=A ．145B ．135 C ．73D ．83【答案】A【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122()i i E p p p ξξξξ=++++L L 可求得数学期望．【解析】ξ的可能取值为2,3,4，2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故339(2)5525P ξ==⨯=；3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球或各取出一个白球，故322312(3)555525P ξ==⨯+⨯=；4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故224(4)5525P ξ==⨯=，所以912414()2342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=． 故选A ．调研3 已知随机变量X 的分布列如下表：若EX =2，则a =______________；DX =______________． 【答案】0；52【解析】由题得11111,.3644b b +++=∴= 所以111123423464EX a =⨯+⨯+⨯+⨯=，解得a =0. 所以()()()()22221111502223242.34642DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= 调研4 在创建“全国文明卫生城”过程中,某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.（1）由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分Z 服从正态分布N(μ,210),μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示),请用正态分布的知识求P(36<Z ≤79.5); （2）在（1）的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案: (ⅰ)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费; (ⅱ)每次获赠送的随机话费和对应的概率为:现有市民甲要参加此次问卷调查,记X (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X 的分布列与数学期望. 参考数据与公式：√210≈14.5,若X ∼N(μ,σ2),则①P(μ−σ<X ≤μ≤σ)=0.6827;②P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9545； ③P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)=0.9973.【解析】（1）E (Z )=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65.故μ=65,又√210=14.5,∴P(50.5<Z ≤79.5)≈0.6827,P(36<Z ≤94)≈0.9545. ∴(3694)(50.579.5)(3650.5)0.13592P Z P Z P Z <≤-<≤<≤≈=.综上,P(36<Z ≤79.5)=P(36<Z ≤50.5)+P(50.5<Z ≤79.5)≈0.1359+0.6827=0.8186. （2）易知P(Z <μ)=P(Z ≥μ)=12. 获赠话费X 的可能取值为20,40,60,80.()13320248P X ==⨯=；()1113313402424432P X ==⨯+⨯⨯=；()13111336024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=；()11118024432P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为:∴()313312040608037.58321632E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 题组二 超几何分布调研 5 甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223,228]（单位：mm ）内的零件为一等品，其余为二等品，测量甲乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：（1）从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率； （2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）12；（2）65. 【解析】（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品； 乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率4565110102P ⨯+⨯==⨯.（2）X 可取0，1，2，3．0346310C C 1(0)C 6P X ===，1246310C C 1(1)C 2P X ===，2146310C C 3(2)C 10P X ===，3046310C C 1(3)C 30P X ===.X 的分布列为∴随机变量X 的期望()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 调研6 央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，它创新性地利用现代传媒手段实现了诗词娱乐化，用健康的娱乐化方式实现了“扩群”，体现了国人精神中对于优秀传统文化的呼唤与眷恋．在某市组织的诗词大赛中，某中学高中组与初中组成绩卓著．组委会进入该中学随机抽取了100名学生进行调查，将学生对诗词知识的掌握情况分为优秀、良好、一般三个等级，其中达到优秀等级的学生有70名． （1）若该中学共有8000名学生，试估计该中学的学生中达到优秀等级的学生人数；（2）若抽取的达到优秀等级的70名学生中，高中生有40名，初中生有30名，利用分层抽样的方法从中抽取7名学生，然后从这7名学生中随机抽取3名学生代表该市参加比赛，记这3名学生中高中生的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．【解析】（1）因为所抽取的100名学生中，达到优秀等级的有70名，所以优秀率为70710010=． 故该中学的学生中达到优秀等级的学生人数约为78000560010⨯=． （2）从达到优秀等级的70名学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生， 则高中生有4名，初中生有3名，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P X ===，()124337C C 121C 35P X ===，()214337C C 182C 35P X ===，()3437C 43C 35P X ===，所以X 的分布列为所以()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 调研7 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：（1）若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考， 方案1：不分类卖出，单价为20元/kg ． 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】（1）96625；（2）第一种方案；（3）分布列见解析，6()5E X =． 【分析】（1）计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价进行比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X 服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个X 取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果．【解析】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则201()1005P A ==， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~(4,)5X B ， 所以恰好抽到2个礼品果的概率为22244196(2)C ()()55625P X ===， （2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为134216548848()1618222420.61010101010E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯==， 因为()20E ξ>，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个， 现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则36310C 1(0)C 6P X ===；2164310C C 1(1)C 2P X ===； 1264310C C 3(2)C 10P X ===；34310C 1(3)C 30P X ===，所以X 的分布列如下：所以()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【名师点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率． 题组三 二项分布及其应用调研8 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 A ．13 B ．25 C ．23D ．45【答案】A【解析】设甲获得冠军为事件A ,比赛进行了三局为事件B , 则P (AB )=1223118C ()=4464⨯⨯， P (A )=221233154C 44464⎛⎫⎛⎫+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()1(|).3P AB P B A P A ==故选A.调研9 已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，则n ，p 分别等于A ．n =45，p =23 B ．n =45，p =13 C ．n =90，p =13D ．n =90，p =23【答案】C【解析】随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==， 根据二项分布的期望公式以及二项分布的方差公式可得，()30,120np np p =-=， 解得1,903p n ==，故选C ． 调研10 抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球（2个红色，3个黄色，其余为白色），抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖.有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是 A ．6，0.4 B ．18，14.4 C ．30，10D ．30，20【答案】D【解析】由题可得中奖概率为23115153+=，而中奖人数服从二项分布， 故这90人中中奖人数的期望值为19030,3⨯=方差为1190(1)20.33⨯⨯-=故选D.调研11 为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值(单位：分贝)进行了50天的监测，得到如下统计表：（1）根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组的中点值作代表).（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：(i)求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.(ii)学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X ，求X 的分布列和方差D(X).【解析】（1）由数据可知5615846012622064866561.850x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.（2）(i)由题意，“出现重度噪音污染”的概率为110，“出现轻度噪音污染”的概率为110，设事件A 为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”，则2235111()C ()()101010000P A ==. (ii)由题意1~(3,)10X B ，则3319()C ()(),0,1,2,31010k k kP X k k -===.故分布列为()(1)0.27D X np p =-=.调研12 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有40人，不超过100km /h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有20人，不超过100km /h 的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5％的把握认为平均车速超过100km /h 的人与性别有关．（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km /h 的车辆数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望． 参考数据与公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n =a +b +c +d .【答案】（1）表格见解析，有关；（2）65. 【解析】（1）完成列联表如下：因为2K 的观测值k =100×(40×25−15×20)260×40×55×45≈8.429>7.879，所以有99.5％的把握认为平均车速超过100km h ⁄与性别有关；（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km h ⁄的车辆的概率为4021005=． X 可取的值是0，1，2，3，2(3,)5X B ~，有：()003323270C ()()55125P X ===，()112323541C ()()55125P X ===， ()221323362C ()()55125P X ===，()33032383C ()()55125P X ===， 则X 的分布列为()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 题组四 正态分布调研13 若ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，且(01)0.4P ξ<<=，则(02)P ξ<<=A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.2【答案】B【解析】由正态分布的图象和性质得(02)2(01)20.40.8P P ξξ<<=<<=⨯=． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查正态分布的图象和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．调研14 已知随机变量ξ服从正态分布N (1,1)，若p (ξ>−1)=0.9772，则P (−1<ξ<3)= A ．0.6827 B ．0.8522 C ．0.9544D ．0.9772【答案】C【解析】因为随机变量ξ服从正态分布N (1,1)，所以其图象关于直线1x =对称， 因为(1)0.9772P ξ>-=，所以(1)10.97720.0228P ξ≤-=-=，所以(1)(3)0.0228P P ξξ≤-=≥=，所以(13)10.022820.9544P ξ-<<=-⨯=. 故选C.调研15 某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)=0.3，试估计该班学生的数学成绩在110分以上的人数为 A ．20 B ．10 C ．14D ．21 【答案】A【解析】由数学成绩服从正态分布N(100,102)，且P(90≤ξ≤100)=0.3， 得12(90100)(110)0.22P P ξξ-≤≤≥==，所以估计该班学生的数学成绩在110分以上的人数为0.2×100=20.调研16 在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X~N(85 ， 9)，若已知P(80<X ≤85)=0.35，则从哈尔滨市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于90的概率为 A ．0.85 B ．0.65 C ．0.35D ．0.15【答案】D【解析】∵X ∼N (85,9),P (80<X ≤85)=0.35，∴P (85<X <90)=0.35， ∴P (X >90)=12×(1−0.35−0.35)=0.15，故选D ．调研17 随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，则μ=______________. 【答案】4【解析】∵ (ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，∴P (ξ>6)=1−0.2−0.6=0.2， 即P (ξ<2)=P (ζ>6)，∴μ=2+62=4.调研18 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量X （单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立. （1）求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，的概率；（2）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)230270X ∈，时，没有影响；当[)270.310X ∈时，经济损失为10万元；当[)310,350X ∈时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案： 方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由. 【解析】（1）由题得12703100.254P X ≤≤==（），设在未来3年里，河流的污水排放量[)270310X ∈，的年数为Y设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量[)270,310X ∈”为事件A ，则()()()01P A P Y P Y ==+=∴在未来3年里，至多1年污水排放量[)270,310X ∈的概率为2732. （2）方案二好，理由如下：由题得()2302700.74P X ≤≤=，()3103500.01P X ≤≤=.用123,,S S S 分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则1 3.8S =万元.2S 的分布列为：()220.99620.01 2.6E S =⨯+⨯=（万元）.3S 的分布列为：()300.74100.25600.01 3.1E S =⨯+⨯+⨯=（万元）.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.☆技巧点拨☆随机变量及其分布若以小题形式考查，则试题难度不大，多为容易题或中档题，重点考查正态分布知识，有时也考查离散型随机变量的分布列与期望知识．若以解答题形式考查，部分新课标地区有加大题目难度的趋势，但大部分还是中等难度.1．（重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考卷三）如图，过正方形ABCD 的顶点A 在BAD ∠内任意作射线AP ，则该射线与正方形的交点位于边BC 上的概率为A ．15 B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】本题符合角度型几何概率，故所求概率451902P ︒==︒，故选D ． 【名师点睛】几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．2．（湖北省鄂州市颚南高中2019-2020学年高三上学期10月月考）1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值．请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于(0)a a >，向此平面任投一根长度为()l l a <的针，已知此针与其中一条线相交的概率是p ，则圆周率π的近似值为A ．2pal B ．2al pC ．2l paD ．2pa l【答案】C【解析】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是2l P a=π， 所以2lpaπ=，故选C ． 【名师点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目．3．（广东省深圳市宝安区2019-2020学年高三上学期期中）如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【思路分析】计算出正方形的面积，根据几何概型的原理可求得结果．【解析】正方形二维码的面积为339⨯=∴黑色部分的面积为1089484951089-⨯=，故选B ．4．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试）随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6D ．0.7【答案】B【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付， 则()()()()P A B P A P B P AB =++U ，因为()()0.45,0.15P A P AB ==，所以()0.4P B =． 故选B ．5．（2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考）已知随机变量ξ满足下列分布列，当(0,1)p ∈且不断增大时，A ．()E ξ增大，()D ξ增大B ．()E ξ减小，()D ξ减小C ．()E ξ增大，()D ξ先增大后减小 D ．()E ξ增大，()D ξ先减小后增大 【答案】C【思路分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断． 【解析】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ， 易得()2()21()p D p E p ξξ==-，，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小． 故选C ．【名师点睛】本题考查二项分布的期望、方差．理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键．6．（甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高三9月月考）从装有颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()D X =A ．85B ．65 C ．45D ．25【答案】B【思路分析】由题意知，X ～B （5，33m +），由()E X ＝533m ⨯=+3，知X ～B （5，35），由此能求出D （X ）．【解析】由题意知，X ～B （5，33m +）， ∴()E X ＝533m ⨯=+3，解得m ＝2，∴X ～B （5，35）， ∴D （X ）＝535⨯⨯（135-）65=．故选B ．【名师点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．7．（江西省吉安市吉州区吉安市白鹭洲中学2019-2020学年高三上学期11月月考）已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(14)0.85P ξ-<<=，则(05)P ξ<<=A ．0.15B ．0.30C ．0.70D ．0.85【答案】D【解析】(05)(04)(45)(04)(10)P P P P P ξξξξξ<<=<<+≤<=<<+-<≤(14)0.85P ξ=-<<=．故选D ．【名师点睛】本题考查正态分布，掌握正态分布中概率的性质是解题基础．设2(,)N ξμσ:，则()()(0)P m P m m μξμμξμ-<<=<<+>．8．（湖北省襄阳市第四中学2029-2020学年高三9月联考）如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O 为圆心，阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是A ．116 B ．1124C ．1324D ．516【答案】B【思路分析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率，由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果．【解析】图①小球落在阴影部分的概率为212241341462P π⋅-ππ⋅=⋅=⋅， 图②小球落在阴影部分的概率为213P =， ∴至少有一个小球停在阴影部分的概率为3113111(1)(1)11632424--⨯-=-=． 故选B ．【名师点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式的应用．9．（2020年四川省内江市威远中学高三上学期第一次月考）设随机变量ξ~B(2，p)，η~B(4，p)，若P(ξ≥1)=59，则P(η≥2)的值为 A ．1127B ．3281C ．6581D ．1681【答案】A【思路分析】利用二项分布概率计算公式结合条件P (ξ≥1)=59计算出p ，然后再利用二项分布概率公式计算出P (η≥2)．【解析】由于ξ~B(2，p)，则P (ξ≥1)=1−P (ξ=0)=1−(1−p )2=59，∴p =13，所以，η~B (4，13)，因此，P (η≥2)=1−P (η=0)−P (η=1)=1−(23)4−C 41⋅13⋅(23)3=1127， 故选A ．【名师点睛】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题．10．（山东省烟台市第一中学2019-2020学年高三上学期第一次联考）首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为111,,234，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是 A ．2324B ．524C ．1124D ．124【答案】C【思路分析】由已知得三家企业中恰有1家购买该机床设备分三种情况：只是甲企业购买，只是乙企业购买或只是丙企业购买，设出每一个企业购买设备所表示的事件，并求其对立事件的概率，根据互斥事件的和事件的概率等于各事件概率的和求解得出答案．【解析】设“甲企业购买该机床设备”为事件A ，“乙企业购买该机床设备”为事件B ，“丙企业购买该机床设备”为事件C ，则()12P A =，()13P B =，()14P C =， 则()()111122P A P A =-=-=，()()121133P B P B =-=-=，()()131144P C P C =-=-=，设“三家企业中恰有1家购买该机床设备”为事件D ， 则12311312111()()()()23423423424P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C ．【名师点睛】本题以实际问题为背景考查互斥事件的和事件的概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题．11．（浙江省湖州、衢州、丽水三地市2019-2020学年高三上学期期中）已知随机变量,X Y 的分布列如下：。