1.7.1 定积分在几何中的应用
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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A版选修2-2
排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，a f(x)dx是两
面积之差，排除B；无论什么情况C都对，故应选C.
b
【误区警示】曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积 不能均用 f(x)dx表示，要根据图形位置分不同情况选用适当
a b
的积分值表示.
【补偿训练】过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的 图形面积为 9 a3，则直线l的方程为(
【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解， 得到函数图象的交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a， b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积
函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，
即S= [f1(x)-f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
(2-x)dx.
1 2
2
(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，
(2，-1)，所以围成的图形面积为 2［(3-x2)-(-1)］dx=
2
2
(4-x2)dx. (2)√ (3)√
答案：(1)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图中阴影部分的面积是____________.
b
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y=sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为
3 2 2
3 2 2
sin xdx.(
)
1 0
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为 x3dx+
1.7定积分的简单应用(3课时)
W =
ò
b
a
F (x )dx
思考3：如图，在弹性限度内，将一弹簧 从平衡位置拉到离平衡位置xm处，那么 拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关系是 什么？ F(x)＝kx，
其中k为弹力系数.
x
思考4：如果将弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置l m处，那么克服弹力所作的功为 多少？
l
1 2 l 1 2 W = ò kxdx = kx |0 = kl (J ) 0 2 2
思考3：该图形的面积用定积分怎样表示？
y y ＝x 2 1 O C B D A 1 x y 2＝x
S =
蝌
0
1
xdx -
1 0
x dx
2
思考4：利用微积分基本定理计算，该图 形的面积等于多少？
y y ＝x 2 y 2＝x
1 O
3 2 1 0
C
B
D A 1
x
2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
问题提出
b
1 5730 p 2
t
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) òa f (x )dx = nlim å n i= 1
y
y＝f(x)
ò
O
b
a
f (x )dx
O
10
40
C 60 t(s)
思考2：汽车在[0，10]，[10，40]，[40， 60]（单位：s）三个时段内行驶的路程， 用定积分分别如何表示？
v(m/s) 30
A
1.7.1zrb定积分的简单应用zrb
解1 求两曲线的交点:
y 2x
S1 S S1 2 2
y x4
8
y2 2 x
y2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4
S=2S1 +S2 =2
2 0
2
0
8
2xdx+ ( 2x - x+4)dx
2
2
8
= 2 2xdx+ ( 2x - x+4)dx
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出 路程即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
2. 变力做功
一物体在恒力 F 单位 : N的作用下做直线运动 ,如 果物体沿着与力 F 相同的方向移动了 s (单位 : m), 则力 F所作的功为 W Fs.
2
x 和 y x 围成图形的面积.
2
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
y = x x= 0 x=1 解方程组 ⇒ 或 2 y = 0 y =1 y = x
y
y
C o O
2 y xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
y x2
S=S曲边梯形OABC -S曲边梯形OABD
A1
A2
y x3 6x
注意各积分区间上被积函数的形式．
定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0 ， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
b
s v(t )dt
a
v
v v(t )
y 2x
S1 S S1 2 2
y x4
8
y2 2 x
y2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4
S=2S1 +S2 =2
2 0
2
0
8
2xdx+ ( 2x - x+4)dx
2
2
8
= 2 2xdx+ ( 2x - x+4)dx
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出 路程即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
2. 变力做功
一物体在恒力 F 单位 : N的作用下做直线运动 ,如 果物体沿着与力 F 相同的方向移动了 s (单位 : m), 则力 F所作的功为 W Fs.
2
x 和 y x 围成图形的面积.
2
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
y = x x= 0 x=1 解方程组 ⇒ 或 2 y = 0 y =1 y = x
y
y
C o O
2 y xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
y x2
S=S曲边梯形OABC -S曲边梯形OABD
A1
A2
y x3 6x
注意各积分区间上被积函数的形式．
定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0 ， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
b
s v(t )dt
a
v
v v(t )
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
1.7.1_定积分在几何中的应用课件
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数， 并且 F ¢ (x ) = f (x ) ，则
ò
b
a
f (x )dx = F (x ) | = F (b) - F (a )
b a
.
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
形的面积
y y ＝x 2
B
O
1 x
y 2＝x
(1,1)
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
y 4 C y ＝x －4
B
A
y=
2x
O
D 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
探究（二）：直线y＝x－4与曲线
及x轴所围成图形的面积
y y ＝x －4 C 4
B
A
y=
2x
O
D 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
S =
ò
8
0
1 2xdx - 创4 2
4
归纳小结
1.定积分在几何中的应用，主要用 于求平面曲边图形的面积.解题时，一般 先要画出草图，再根据图形确定被积函 数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面 积，对于非规则曲边梯形，一般要将其 分割或补形为规则曲边梯形，再利用定 积分的和与差求面积.对于分割或补形中 的多边形的面积，可直接利用相关面积 公式求解.
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
复习巩固
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) å òa f (x )dx = nlim ? n i= 1
y
y＝f(x)
高中数学选修2-2优质课件：1.7.1 定积分在几何中的应用
2.曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A.2 解析
B.3
C.52
S＝π2
0
cos
xdx－32πcos π
xdx＝sin
π x2 0
D.4 3π 2
－sin x π 2
2
＝sin π2－sin 0－ sin 32π＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.
1234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为__3__.
1234
S＝4f(x)dx－7f(x)dx
1
4
③
S＝a[g(x)－f(x)]dx＋b[f(x)－g(x)]dx
0
a
④
A.①③ C.①④
B.②③ D.③④
1234
解析 ①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝82 2xdx－
a
0
8(2x－8)dx，③和④正确.故选 D.
4
答案 D
1234
跟踪演练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
y＝x2， y＝x2，
解 方法一 如图，由
和
y＝x
y＝2x
解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝10(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210 ＋ x2－x3321 ＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
y＝2x， x＝0， x＝2，
解析 解方程组
得
或
y＝x2， y＝0， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝2(2x－x2)dx＝ 0
x2－13x320
湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-2：1.7定积分的简单应用第1课时
§1.7.1 定积分在几何中的应用【学情分析】：在上一阶段的学习中，已经学习了利用微积分基本定理计算单个被积函数的定积分，并且已经理解定积分可以计算曲线与x轴所围面积。
本节中将继续研究多条曲线围成的封闭图形的面积问题。
学生将进一步经历到由解决简单问题到解决复杂问题的过程，这是一个研究问题的普遍方法。
学生能正确的理解定积分的几何意义，是求面积问题的基础。
但是对各种图形分割的技巧以及选择x－型区域或y－型区域计算是比较陌生的。
突破点是一定要借助图形直观，让学生清楚根据曲线的交点划分图形（分块）以及根据曲线的特点（解出变量x还是y简单）选择x－型区域或y－型区域。
【教学目标】：（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．【教学重点】：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。
（2）数形结合的思想方法【教学难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．教学环节教学活动设计意图一、例题1（1）师：我们已经看到，定积分可以用来计算曲边梯形的面积，事实上，利用定积分还可以求比较复杂的平面图形的面积。
（2）例题1 计算由曲线22,y x y x==所围图形的面积S。
1DC BA1y2=xy=x2O xy生：思考，讨论师（引导，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，画图并确定图形大致形状、引入课题的面积．师：我们把这个题目提升为一般类型：即求两条曲线所夹面积：若函数()f x 和()g x 在区间[],a b 上连续且在[],a b 上有()()f x g x ≥,那么由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所围成的有界区域面积为b[()()]d aA f x g x x =-⎰＝b()d af x x ⎰－b()d ag x x ⎰－＝A y=g(x)baOxyy=f(x)我们看到，尽管我们的证明的示意图中曲线()y f x =与()y g x =的均在x 轴上方，但是，由1.6的学习我们可以知道，曲线()y f x =或()y g x =在x 轴下方也不影响我们的证明，结论仍然是正确的。
1.7定积分的几何应用
2
2
围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组 x 0 x 1 y x 或 2 y 0 y 1 y x
y
y
y xx
2
B
2
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲 边 梯 形 OABC - S曲 边 梯 形 OABD
B(1，－ 1)． ∴围成图形 (阴影部分 )面积为
S＝
-2
1
(－ x2－ x＋ 2)dx 9 ＝ . 2
1 3 1 2 ＝ (－ x － x ＋ 2x) 3 2
9 答案： (1) 2
例 2 计算由曲线 y 围成的图形的面积.
2x
，直线 y
x 4 以及
y 2x
x 轴所
解:
两曲线的交点
2
|0 8
8
X型求解法
40 3
x 1 2 y
2
16 2 8
1 2
3
2
[( 4 y )
y ]d y
4
(4 y
44
1 2 1
2
y
2
2
1 6
x 4 y
y ) |0
1 6
3
4
4
40 3
Y型求解法
练习 1（例 2 变式题） ： 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围成的图形的面积
2π 4 A. B. 5 3 3 π C. D. 2 2 解析：选 B.由图象可知二次函数的表达式为 f(x)＝ 1－ x2，∴ S＝ 1 3 1 1 4 1 2 ＝ (1－ )－(－ 1＋ )＝ . -1 (1－ x )dx＝ (x－3x ) 3 3 3
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与x轴的交点坐标是(-1,0)，
(1,0).所求面积如图阴影所示：
所以：
2 2 1
y
S ( x 1)dx ( x 1)dx
2 1
1
x
x x ( x ) ( x) 3 3 1
3
2
3
8 . 3 1
1
5.如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
y＝2x， 由方程组 2 y ＝ x ，
4
8
8
2 2 3 x2 3 0
y 2x
1 ( x 4) 2 2 4
4
40 . 3
S1
S2
本题还有其他解法吗？
y x4
另解1：将所求平面图形的面积分割成左右两个部分.
S S1 S 2
(
4 0
4
0
2 xdx [
8 4
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
解
可得 x1＝0，x2＝2.
故所求图形的面积为
x dx＝x S＝ 2xdx －
2 2 2 22 0
0
0
1 32 4 － x 0 ＝ . 3 3
1.思想方法:数形结合及转化. 2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标，确定图形范围；(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
b
(3) S | f ( x)dx | f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
曲边形面积的求解思路
y A 0 a bX a
1
A2
b a b
曲边形
曲边梯形（三条直边，一条曲边）
面积 A=A1-A2
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b (a<b)所围成平面图形的面积S
y f ( x)
y g ( x)
y
y f ( x)
o
a
y g ( x)
b x
(2)
(1)
总结： 当 x∈[a， b]有 f(x)>g(x)时， 由直线 x＝a， x＝b(a≠b) 和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积 S＝
f x g x dx a
2 y 变形为 x 2
S ( y 4)dy
0
4
4
0
y2 dy 2
40 . 3
1．曲线 y＝x3 与直线 y＝x 所围成图形的面积等于 ( A.
1
C
)
－1
(x－x3)dx
3
x－x3)dx
C．2 (x－x )dx
1 0
4
8 0
8
2 xdx
3 2 8 0
8
4
2 xdx) ( x 4)dx
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 1 2 40 8 x | ( x 4 x) |4 . 3 2 3
y 2x
S
S
1
2
y x4
另解2：将所求平面图形的面积看成位于y轴右边 的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取 y为积分变量 还需要把函数y=x-4变形为x=y+4，函数 y 2 x
0 D．2 －1
2 4－ 2 ． 图形的面积为________
π 5 2．曲线 y＝sinx 与直线 x＝－ ，x＝ π，y＝0 所围 2 4
3． 若两曲线 y＝x2 与 y＝cx3(c＞0)围成的图形的面积
1 2 是 ，则 c＝________. 2 3
4.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的 面积. 解：如图，由x2-1=0得到抛物线
b
.
例 1 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 围成图形的面积 S.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
2 y x 解方程组 2 y x
y
得交点横坐标为x=0及x=1. 因此，所求图形的面积为
y
C o
y2 x
y x2
x
B
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
1 0
xdx x dx
2 0
1
D O
y x
A
x
2
2 32 1 x 3 1 2 1 1 x |0 |0 . 3 3 3 3 3
【总结提升】
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系)
(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限)
(3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y 围成的图形的面积.
x 4以及 x 轴所
y 2x
解:作出直线y=x-4,曲线 y 2x 的图象如图所示，所求面积为图 中阴影部分面积.
y = 2x 解方程组 y = x - 4
S2
S1
y x4
得直线y = x - 4与曲线y = 2x交点的坐标为 8,4 .
直线y=x-4与x轴交点为(4,0). 因此，所求图形的面积为
将所求平面图形的面积分割成左右两个部分.
S S1 S 2
2 2 3 x2 3
4
4
0
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
y f ( x)
S1 S2
S3
b
a
f ( x )dx S 1 S 2 S 3
我们已经看到，定积分可以用来计算平面
图形的面积，求运动物体的位移，事实上，
定积分有着广泛的应用，下面我们就一起学习
定积分的简单应用吧！
1.理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理.
2.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型 及方法. （重点、难点）
不闻不若闻之，闻之不若见之，见之不若 知之，知之不若行之，学至于行而止矣. ——荀况
探究点1 定积分在几何中的应用 类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x 轴所围成平面图形的面积S
y
y f ( x)
y
x
y f ( x)
o
a
b
oa
(2)
c
(3)
b
x
(1)
(1) S f ( x)dx
a c a c
b
(2) S f ( x)dx
a b c b a c
1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
引入1 求平面图形的面积:
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
b x
o
y f1 ( x )
b x
a
b
a
b
A a f ( x )dx
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
引入2 求运动物体的位移
(1,0).所求面积如图阴影所示：
所以：
2 2 1
y
S ( x 1)dx ( x 1)dx
2 1
1
x
x x ( x ) ( x) 3 3 1
3
2
3
8 . 3 1
1
5.如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
y＝2x， 由方程组 2 y ＝ x ，
4
8
8
2 2 3 x2 3 0
y 2x
1 ( x 4) 2 2 4
4
40 . 3
S1
S2
本题还有其他解法吗？
y x4
另解1：将所求平面图形的面积分割成左右两个部分.
S S1 S 2
(
4 0
4
0
2 xdx [
8 4
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
解
可得 x1＝0，x2＝2.
故所求图形的面积为
x dx＝x S＝ 2xdx －
2 2 2 22 0
0
0
1 32 4 － x 0 ＝ . 3 3
1.思想方法:数形结合及转化. 2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标，确定图形范围；(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
b
(3) S | f ( x)dx | f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
曲边形面积的求解思路
y A 0 a bX a
1
A2
b a b
曲边形
曲边梯形（三条直边，一条曲边）
面积 A=A1-A2
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b (a<b)所围成平面图形的面积S
y f ( x)
y g ( x)
y
y f ( x)
o
a
y g ( x)
b x
(2)
(1)
总结： 当 x∈[a， b]有 f(x)>g(x)时， 由直线 x＝a， x＝b(a≠b) 和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积 S＝
f x g x dx a
2 y 变形为 x 2
S ( y 4)dy
0
4
4
0
y2 dy 2
40 . 3
1．曲线 y＝x3 与直线 y＝x 所围成图形的面积等于 ( A.
1
C
)
－1
(x－x3)dx
3
x－x3)dx
C．2 (x－x )dx
1 0
4
8 0
8
2 xdx
3 2 8 0
8
4
2 xdx) ( x 4)dx
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 1 2 40 8 x | ( x 4 x) |4 . 3 2 3
y 2x
S
S
1
2
y x4
另解2：将所求平面图形的面积看成位于y轴右边 的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取 y为积分变量 还需要把函数y=x-4变形为x=y+4，函数 y 2 x
0 D．2 －1
2 4－ 2 ． 图形的面积为________
π 5 2．曲线 y＝sinx 与直线 x＝－ ，x＝ π，y＝0 所围 2 4
3． 若两曲线 y＝x2 与 y＝cx3(c＞0)围成的图形的面积
1 2 是 ，则 c＝________. 2 3
4.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的 面积. 解：如图，由x2-1=0得到抛物线
b
.
例 1 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 围成图形的面积 S.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
2 y x 解方程组 2 y x
y
得交点横坐标为x=0及x=1. 因此，所求图形的面积为
y
C o
y2 x
y x2
x
B
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
1 0
xdx x dx
2 0
1
D O
y x
A
x
2
2 32 1 x 3 1 2 1 1 x |0 |0 . 3 3 3 3 3
【总结提升】
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系)
(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限)
(3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y 围成的图形的面积.
x 4以及 x 轴所
y 2x
解:作出直线y=x-4,曲线 y 2x 的图象如图所示，所求面积为图 中阴影部分面积.
y = 2x 解方程组 y = x - 4
S2
S1
y x4
得直线y = x - 4与曲线y = 2x交点的坐标为 8,4 .
直线y=x-4与x轴交点为(4,0). 因此，所求图形的面积为
将所求平面图形的面积分割成左右两个部分.
S S1 S 2
2 2 3 x2 3
4
4
0
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
y f ( x)
S1 S2
S3
b
a
f ( x )dx S 1 S 2 S 3
我们已经看到，定积分可以用来计算平面
图形的面积，求运动物体的位移，事实上，
定积分有着广泛的应用，下面我们就一起学习
定积分的简单应用吧！
1.理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理.
2.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型 及方法. （重点、难点）
不闻不若闻之，闻之不若见之，见之不若 知之，知之不若行之，学至于行而止矣. ——荀况
探究点1 定积分在几何中的应用 类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x 轴所围成平面图形的面积S
y
y f ( x)
y
x
y f ( x)
o
a
b
oa
(2)
c
(3)
b
x
(1)
(1) S f ( x)dx
a c a c
b
(2) S f ( x)dx
a b c b a c
1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
引入1 求平面图形的面积:
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
b x
o
y f1 ( x )
b x
a
b
a
b
A a f ( x )dx
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
引入2 求运动物体的位移