中考复习3“函数及其图像”过关检测演练
中考数学总复习第三单元函数及其图像 训练二次函数与一元二次方程及不等式练习
1 课时训练(十五) 二次函数与一元二次方程及不等式 (限时:30分钟)
|夯实基础| 1.[2020·无锡梁溪区初三模拟] 已知m,n(m( )
A.a C.a2.如图K15-1,已知顶点为(-3,-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,-4).则下列结论中错误的是 ( )
图K15-1 A.b2>4ac B.ax2+bx+c≥-6 C.若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则m>n D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1 3.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是( )
A.x<-4或x>2 B.-4≤x≤2 C.x≤-4或x≥2 D.-44.若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点,则a的值为 . 5.函数y=x2+2x+1,当y=0时,x= ;当16.关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间(不包括-1和0),则a的取值范围是 . 2
7.[2020·乐山] 已知关于x的一元二次方程mx2+(1-5m)x-5=0(m≠0). (1)求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根; (2)若抛物线y=mx2+(1-5m)x-5与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且|x1-x2|=6,求m的值; (3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在(2)中的抛物线上(点P,Q不重合),求代数式4a2-n2+8n的值.
8.[2020·北京] 在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B
向右平移5个单位长度,得到点C. (1)求点C的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图像,求a的取值范围.
中考数学复习第三单元函数及其图象单元测试
单元测试(三)范围:函数及其图象限时:45分钟满分:100分一、选择题(每小题5分,共30分)1.在平面直角坐标系中,若点A(a,-b)在第一象限内,则点B(a,b)所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若三点(1,4),(2,7),(a,10)在同一直线上,则a的值等于 ()A.-1B.0C.3D.43.在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2C.当x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到4.如图D3-1,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C的坐标分别是(0,3),(3,0),∠ACB=90°,AC=2BC,函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B,则k的值为()图D3-1A.92B.9 C.278D.2745.甲、乙两辆摩托车同时分别从相距20 km的A,B两地出发,相向而行.图D3-2中l1,l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系.则下列说法错误的是 ()图D3-2A.乙摩托车的速度较快B.经过0.3 h甲摩托车行驶到A,B两地的中点C.经过0.25 h两摩托车相遇D.当乙摩托车到达A地时,甲摩托车距离A地503km6.如图D3-3,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=-12.结合图象分析下列结论:①abc>0;②3a+c>0;③当x<0时,y 随x 的增大而增大;④一元二次方程cx 2+bx+a=0的两根分别为x 1=-13,x 2=12;⑤b 2-4ac 4a<0;⑥若m ,n (m<n )为方程a (x+3)·(x -2)+3=0的两个根,则m<-3,n>2,其中正确的结论有( )图D3-3A .3个B .4个C .5个D .6个二、 填空题(每小题5分,共20分)7.将点A (1,-3)沿x 轴向左平移3个单位长度,再沿y 轴向上平移5个单位长度后得到的点A'的坐标为 .8.如图D3-4,已知直线y=kx+b 过A (-1,2),B (-2,0)两点,则0≤kx+b ≤-2x 的解集为 .图D3-49.如图D3-5,点A ,C 分别是正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=4x 的图象的交点,过A 点作AD ⊥x 轴于点D ,过C 点作CB ⊥x 轴于点B ,则四边形ABCD 的面积为 .图D3-510.已知抛物线y=ax 2+4ax+4a+1(a ≠0)过点A (m ,3),B (n ,3)两点,若线段AB 的长不大于4,则代数式a 2+a+1的最小值是 . 三、 解答题(共50分)11.(15分)如图D3-6,一次函数y=kx+b与反比例函数y=4的图象交于A(m,4),B(2,n)两点,与坐标轴分别交于xM,N两点.(1)求一次函数的解析式;>0中x的取值范围;(2)根据图象直接写出kx+b-4x(3)求△AOB的面积.图D3-612.(15分)某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:售价x(元/件) 50 60 80周销售量y(件) 100 80 40周销售利润w(元) 1000 1600 1600注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);②该商品进价是元/件;当售价是元/件时,周销售利润最大,最大利润是元;(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.13.(20分)如图D3-7,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A,D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PE∥x轴交直线l于点E,作PF∥y轴交直线l于点F,求PE+PF 的最大值;(3)设M为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N,C,M,P为顶点的四边形为平行四边形.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图D3-7【参考答案】1.D2.C [解析]设直线的解析式为y=kx +b (k ≠0),把(1,4),(2,7)的坐标代入y=kx +b ,得{4=k +b,7=2k +b,解得{k =3,b =1,∴直线的解析式为y=3x +1,把C (a ,10)代入y=3x +1中,得a=3,故选C .3.C [解析]根据二次函数的性质进行判断,由二次函数y=(x -2)2+1,得它的顶点坐标是(2,1),对称轴为直线x=2,当x=2时,函数的最小值是1,图象开口向上,当x ≥2时,y 的值随x 值的增大而增大,当x<2时,y 的值随x值的增大而减小,可由y=x 2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,所以选项C 是错误的, 故选C .4.D [解析]过B 作BD ⊥x 轴,垂足为D. ∵A ,C 的坐标分别为(0,3),(3,0), ∴OA=OC=3,∠ACO=45°,∴AC=3√2. ∵AC=2BC ,∴BC=3√22. ∵∠ACB=90°,∴∠BCD=45°,∴BD=CD=32,∴点B 的坐标为92,32.∵函数y=kx (k>0,x>0)的图象经过点B , ∴k=92×32=274,故选D .5.C [解析]由图可知,甲行驶完全程需要0.6 h,乙行驶完全程需要0.5 h,所以乙摩托车的速度较快,A 选项正确;∵甲摩托车匀速行驶,且行驶完全程需要0.6 h,∴经过0.3 h 甲摩托车行驶到A ,B 两地的中点,B 选项正确; 设两车相遇的时间为t h,根据题意,得20t 0.6+20t0.5=20,解得t=311,所以经过311 h 两摩托车相遇,C 选项错误; 当乙摩托车到达A 地时,甲摩托车距离A 地200.6×0.5=503(km),D 选项正确.6.C [解析]①由图象可知a<0,b<0,c>0, ∴abc>0,故①正确; ②由于对称轴是直线x=-12, ∴a=b.∵图象与x 轴的一个交点是(-3,0),∴另一个交点是(2,0), 把(2,0)代入解析式可得4a +2b +c=0, ∴6a +c=0,∴3a +c=-3a ,∵a<0,∴-3a>0,∴3a +c>0,故②正确;③由图象可知当-12<x<0时,y 随x 的增大而减小,∴当x<0时,y 随x 的增大而增大是错误的;④一元二次方程ax 2+bx +c=0的两根为x 1=-3,x 2=2,∴一元二次方程cx 2+bx +a=0的两根分别为x 1=-13,x 2=12,正确; ⑤由图象顶点的纵坐标大于0可知,4ac -b 24a>0,∴b 2-4ac 4a<0,正确;⑥若m ,n (m<n )为方程a (x +3)(x -2)+3=0的两个根,则a (x +3)(x -2)=-3,由图象可知,当y=-3时,m<-3,n>2,⑥正确,综上,正确的结论有5个, 故选C . 7.(-2,2)8.-2≤x ≤-1 [解析]如图,直线OA 的解析式为y=-2x ,当-2≤x ≤-1时,0≤kx +b ≤-2x.9.8 [解析]由{y =x,y =4x ,得{x =2,y =2或{x =-2,y =-2,,∴A 的坐标为(2,2),C 的坐标为(-2,-2).∵AD ⊥x 轴于点D ,CB ⊥x 轴于点B ,∴B (-2,0),D (2,0),∴BD=4,AD=2, ∴四边形ABCD 的面积=12AD ·BD ×2=8.10.74 [解析]∵抛物线y=ax 2+4ax +4a +1(a ≠0)过点A (m ,3),B (n ,3)两点, ∴m+n 2=-4a2a =-2.∵线段AB 的长不大于4,∴4a +1≥3,∴a ≥12, ∴a 2+a +1的最小值为:122+12+1=74.11.解:(1)∵点A 在反比例函数y=4x 图象上, ∴4m =4,解得m=1, ∴点A 的坐标为(1,4).又∵点B 也在反比例函数y=4x图象上,∴42=n ,解得n=2,∴点B 的坐标为(2,2). ∵点A ,B 在y=kx +b 的图象上, ∴{k +b =4,2k +b =2,,解得{k =-2,b =6, ∴一次函数的解析式为y=-2x +6.(2)根据图象得:kx +b -4x >0时,x 的取值范围为x<0或1<x<2. (3)∵直线y=-2x +6与x 轴的交点为N , ∴点N 的坐标为(3,0),∴S △AOB =S △AON -S △BON =12×3×4-12×3×2=3.12.解:(1)①设y 与x 的函数关系式为y=kx +b ,依题意,有{50k +b =100,60k +b =80,解得{k =-2,b =200,∴y 与x 的函数关系式是y=-2x +200.②设进价为t 元/件,由题意,1000=100×(50-t ),解得t=40,∴进价为40元/件;周销售利润w=(x -40)y=(x -40)(-2x +200)=-2(x -70)2+1800,故当售价是70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1800元.故答案为40,70,1800.(2)依题意有,w=(-2x +200)(x -40-m )=-2x 2+(2m +280)x -8000-200m=-2x -m+14022+12m 2-60m +1800.∵m>0,∴对称轴x=m+1402>70,∵-2<0,∴抛物线开口向下, ∵x ≤65,∴w 随x 的增大而增大,∴当x=65时,w 有最大值(-2×65+200)(65-40-m ), ∴(-2×65+200)(65-40-m )=1400, ∴m=5.13.[分析] (1)将点A ,D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式,即可求解; (2)设出P 点坐标,用参数表示PE ,PF 的长,利用二次函数求最值的方法.求解; (3)分NC 是平行四边形的一条边或NC 是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可. 解:(1)将点A ,D 的坐标代入y=kx +n 得: {-k +n =0,5k +n =-6,解得:{k =-1,n =-1, 故直线l 的表达式为y=-x -1. 将点A ,D 的坐标代入抛物线表达式,得{-1-b +c =0,-25+5b +c =-6, 解得{b =3,c =4. 故抛物线的表达式为:y=-x 2+3x +4. (2)∵直线l 的表达式为y=-x -1,∴C (0,-1),则直线l 与x 轴的夹角为45°,即∠OAC=45°, ∵PE ∥x 轴,∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF ∥y 轴,∴∠EPF=90°,∴∠EFP=45°.则PE=PF.设点P 坐标为(x ,-x 2+3x +4), 则点F (x ,-x -1),∴PE +PF=2PF=2(-x 2+3x +4+x +1)=-2(x -2)2+18, ∵-2<0,∴当x=2时,PE +PF 有最大值,其最大值为18. (3)由题意知N (0,4),C (0,-1),∴NC=5,①当NC 是平行四边形的一条边时,有NC ∥PM ,NC=PM. 设点P 坐标为(x ,-x 2+3x +4),则点M 的坐标为(x ,-x -1), ∴|y M -y P |=5,即|-x 2+3x +4+x +1|=5, 解得x=2±√14或x=0或x=4(舍去x=0),则点M 坐标为(2+√14,-3-√14)或(2-√14,-3+√14)或(4,-5); ②当NC 是平行四边形的对角线时,线段NC 与PM 互相平分. 由题意,NC 的中点坐标为0,32,设点P 坐标为(m ,-m 2+3m +4), 则点M (n',-n'-1), ∴0=m+n'2,32=-m 2+3m+4-n'-12,解得:n'=0或-4(舍去n'=0), 故点M (-4,3).综上所述,存在点M ,使得以N ,C ,M ,P 为顶点的四边形为平行四边形,点M 的坐标分别为: (2+√14,-3-√14),(2-√14,-3+√14),(4,-5),(-4,3).。
中考复习专题三：函数及其图像：01一次函数与反比例函数(含答案)
ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则 S ABCD
．
试卷第 4 页，总 10 页
24．如图所示，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 30 方向，距离灯塔 4 海里的 A 处，该 海轮沿南偏东 30 方向航行 __________ 海里后，到达位于灯塔 P 的正东方向的 B 处 .
25 ．如图，已知直线
21．某练习本每个 0.5 元，买 x 个练习本付费 y 元，则 y 与 x 的函数关系式是 __________.
22．已知点 A（ a，2）在一次函数 y=x+1 的图象上，则 a=
．
23．如图，点 A 是反比例函数 y 2 （ x 0 ）的图象上任意一点， AB∥x 轴交反比例函 x
数y
3 的图象于点 B，以 AB为边作 x
1
5． A( 2, y1) ， B( 1, y2) 两点在反比例函数 y
图像上，则（
x
）
A． y1 y2 B ． y1 y2 C ． y1 y2 D ．无法确定
6． 已知点（ -4 ， y1 ），（ 2， y2 ）都在直线 y
1 x 2 上，则 y1 、 y2 大小关系是
2
试卷第 1 页，总 10 页
OC能大致表示大明在
停止运行（即静止）的自动扶梯上行走去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间关系的
是（ ）
试卷第 2 页，总 10 页
1k 12．在反比例函数 y= x 的图象的任一支上， y 都随 x 的增大而增大，则 k 的值可以
是（ ）
A．﹣ 1 B ． 0 C ． 1 D ． 2 13．一次函数 y=（ m— 1） x+m2 的图象过点（ 0， 4），且 y 随 x 的增大而增大，则 m的值
中考数学总复习 第三章 函数及其图象综合测试题
函数及其图象一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知点M (－2，5 )在反比例函数y ＝k x的图象上，则下列各点一定在该反比例函数的图象上的是(C) A. (5，2 ) B. (2，5 )C. (2，－5 )D. (－5，－2)2．二次函数y ＝－x 2＋2x －5的图象的对称轴是(D) A. 直线x ＝－2 B. 直线x ＝2 C. 直线x ＝－1 D. 直线x ＝13．反比例函数y ＝－1x的图象上有两个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，其中x 1<0<x 2，则y 1与y 2的大小关系是(B)A. y 1＜y 2B. y 1＞y 2C. y 1＝y 2D. 以上都有可能4．如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是(C)A. y ＝(x －1)2＋2B. y ＝(x ＋1)2＋2C. y ＝x 2＋1D. y ＝x 2＋3(第5题图)5．已知函数y ＝(x －m )(x －n )(其中m ＜n )的图象如图所示，则一次函数y ＝mx ＋n 与反比例函数y ＝m ＋nx的图象可能是(C)(第6题图)6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，有下列说法：①a >0；②b >0；③c <0；④b 2－4ac >0，其中正确的个数是(B)A. 1B. 2C. 3D. 4(第7题图)7．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＋2的图象如图所示，顶点为(－1，0)，下列结论：①abc ＜0；②b 2－4ac ＝0；③a ＞2；④4a －2b ＋c ＞0.其中正确结论的个数是(B) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48．如图，矩形ABCD 的顶点A 在第一象限，AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，且对角线的交点与原点O 重合．在边AB 从小于AD 到大于AD 的变化过程中，若矩形ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点A 的反比例函数y ＝kx(k ≠0)中k 的值的变化情况是(C) A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大后减小D. 先减小后增大(第8题图) (第9题图)9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac －b 2＜0；②4a ＋c ＜2b ；③3b ＋2c ＜0；④m (am ＋b )＋b ＜a (m ≠－1)．其中正确结论的个数是(B) A. 4 B. 3 C. 2 D. 110．如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k ＞0，x ＞0)交于点A ，将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线y ＝kx(k ＞0，x ＞0)交于点B .若OA ＝3BC ，则k 的值为(D)(第10题图)A. 3B. 6C. 94D. 92二、填空题(每小题4分，共24分)11．在一次函数y ＝kx ＋2中，若y 随x 的增大而增大，则它的图象不经过第__四__象限．12．将抛物线y ＝x 2＋3先左平移动2个单位，再向下平移7个单位后得到一个新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是y ＝(x ＋2)2－4(用顶点式表示)．13．已知反比例函数y ＝k x(k 为常数，k ≠0)的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k 的值为1(答案不唯一)__．14．已知二次函数y ＝()x －2a 2＋()a －1(a 为常数)，当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当a ＝－1，a ＝0，a ＝1，a ＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的表达式是y ＝12x －1．(第14题图) (第15题图)15．一次越野跑中，当小明跑了1600 m 时，小刚跑了1400 m ，小明、小刚在此后所跑的路程y (m)与时间t (s)之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为2200m.16．如图，在Rt △ABO 中，∠AOB ＝90°，点A 在第一象限，点B 在第四象限，且AO ∶BO ＝1∶2，若点A (x 0，y 0)的坐标x 0，y 0满足y 0＝1x 0，则点B (x ，y )的坐标x ，y 所满足的关系式为y ＝－2x．(第16题图)三、解答题(本题有8小题，共66分)17．(本题6分)如图，一次函数y ＝12x －2与反比例函数y ＝kx的图象交于点A ，且点A 的纵坐标为1.(第17题图)(1)求反比例函数的表达式．(2)根据图象写出当x ＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．解：(1)点A 在直线y ＝12x －2上，∴1＝12x －2，解得x ＝6.把点(6，1)的坐标代入y ＝k x，得m ＝6³1＝6.∴y ＝6x.(2)由图象得，当x ＞6时，一次函数的值大于反比例函数的值．18．(本题6分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的对称轴是直线x ＝1.(1)求证：2a ＋b ＝0；(2)若关于x 的方程ax 2＋bx －8的一个根为4，求方程的另一个根．解：(1)证明：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的对称轴是直线x ＝1， ∴－b2a＝1.∴2a ＋b ＝0.(2)设关于x 的方程ax 2＋bx －8的另一个根为x 2，∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，∴x 2和4关于直线x ＝1对称，即1－x 2＝4－1，解得x 2＝－2. ∴方程的另一个根为－2.19．(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，双曲线y ＝m x和直线y ＝kx ＋b 交于A ，B 两点，点A 的坐标为(－3，2)，BC ⊥y 轴于点C ，且OC ＝6BC .(第19题图)(1)求双曲线和直线的函数表达式． (2)直接写出不等式m x＞kx ＋b 的解集． 解：(1)∵点A (－3，2)在双曲线y ＝m x上， ∴2＝m－3，解得m ＝－6. ∴双曲线的函数表达式为y ＝－6x.∵点B 在双曲线y ＝－6x上，且OC ＝6BC ，设点B 的坐标为(a ，－6a )，∴－6a ＝－6a，解得a ＝±1(负值舍去)，∴点B 的坐标为(1，－6)． ∵直线y ＝kx ＋b 过点A ，B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－3k ＋b ，－6＝k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4.∴直线的函数表达式为y ＝－2x －4.(2)根据图象得：不等式m x＞kx ＋b 的解集为－3＜x ＜0或x ＞1.20．(本题8分)已知某市2013年企业用水量x (吨)与该月应交的水费y (元)之间的函数关系如图．(第20题图)(1)当x ≥50时，求y 关于x 的函数表达式．(2)若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量．(3)为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x 超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收x20元．若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．解：(1)设y 关于x 的函数表达式y ＝kx ＋b .∵直线y ＝kx ＋b 经过点(50，200)，(60，260)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝200，60k ＋b ＝260，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝－100. ∴y 关于x 的函数表达式是y ＝6x －100. (2)由图可知，当y ＝620时，x ＞50， ∴6x －100＝620，解得x ＝120.答：该企业2013年10月份的用水量为120吨．(3)由题意，得6x －100＋x20(x －80)＝600，化简，得x 2＋40x －14000＝0，解得x 1＝100，x 2＝－140(不合题意，舍去)． 答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨．21．(本题8分)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．解：根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.需分类讨论： (1)n ＝8时，易得A (－6，0)如解图①，∵抛物线经过点A ，C ，且与x 轴交点A ，B 在原点的两侧， ∴抛物线开口向下，则a ＜0. ∵AB ＝16，且A (－6，0)，∴B (10，0)，而A ，B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，又∵a ＜0， ∴x ＞2.(第21题图解)(2)n ＝－8时，易得A (6，0)，如解图②，∵抛物线过A ，C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧， ∴抛物线开口向上，则a ＞0. ∵AB ＝16，且A (6，0)，∴B (－10，0)，而A ，B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，又∵a ＞0， ∴x ＜－2.22．(本题8分)如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E (4，n )在边AB 上，反比例函数y ＝k x (k ≠0)在第一象限内的图象经过点D ，E ，且tan ∠BOA ＝12.(第22题图)(1)求边AB 的长．(2)求反比例函数的表达式和n 的值．(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x 轴，y 轴正半轴交于点H ，G ，求线段OG 的长． 解：(1)∵点E (4，n )在边AB 上，∴OA ＝4.在Rt △AOB 中，∵tan ∠BOA ＝12，∴AB ＝OA ²tan ∠BOA ＝4³12＝2.(2)根据(1)，可得点B 的坐标为(4，2)． ∵点D 为OB 的中点，∴点D (2，1)， ∴k2＝1，解得k ＝2， ∴反比例函数的表达式为y ＝2x.又∵点E (4，n )在反比例函数图象上， ∴24＝n ，解得n ＝12. (3)如解图，设点F (a ，2)，∵反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，∴2a＝2，解得a ＝1，∴CF＝1.(第22题图解)连结FG ，设OG ＝t ，则OG ＝FG ＝t ，CG ＝2－t ，在Rt △CGF 中，GF 2＝CF 2＋CG 2，即t 2＝(2－t )2＋12，解得t ＝54，∴OG ＝t ＝54.23．(本题10分)把一边长为40 cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．①要使折成的长方形盒子的底面积为484 cm 2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550 cm 2，求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．(第23题图)解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x (cm)，则(40－2x )2＝484，解得x 1＝31(不合题意，舍去)，x 2＝9，∴剪掉的正方形的边长为9 cm.②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为x (cm)，盒子的侧面积为y (cm 2)，则y 与x 的函数关系式为y ＝4(40－2x )x ，即y ＝－8x 2＋160x ，即y ＝－8(x －10)2＋800，∴当x ＝10时，y 最大＝800.即当剪掉的正方形的边长为10 cm 时，长方形盒子的侧面积最大为800 cm 2.(2)在如解图所示的一种剪裁图中(阴影部分为剪掉部分)，设此长方体盒子的长为x (cm)，则宽为(40－2x ) cm ，高为(20－x ) cm.由题意，得2(40－2x )(20－x )＋2x (20－x )＋2x (40－2x )＝550，解得x 1＝－35(不合题意，舍去)，x 2＝15.(第23题图解)∴40－2x ＝10，20－x ＝5.答：此长方体盒子的长为15 cm ，宽为10 cm ，高为5 cm.24．(本题12分)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A (0，4)，B (1，0)，C (5，0)，其对称轴与x 轴交于点M .(第24题图)(1)求抛物线的表达式和对称轴．(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)连结AC ，在直线AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)根据已知条件可设抛物线的表达式为y ＝a (x －1)(x －5)，把点A (0，4)的坐标代入，得a ＝45，∴y ＝45(x －1)(x －5)＝45x 2－245x ＋4＝45(x －3)2－165，∴抛物线的对称轴是直线x ＝3. (2)存在．∵点A (0，4)，抛物线的对称轴是直线x ＝3，∴点A 关于对称轴的对称点A ′的坐标为(6，4)．如解图①，连结BA ′交对称轴于点P ，连结AP ，此时△PAB 的周长最小．(第24题图解①)设直线BA ′的函数表达式为y ＝kx ＋b ，把点A ′(6，4)，B (1，0)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝6k ＋b ，0＝k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝45，b ＝－45.∴y ＝45x －45.∵点P 的横坐标为3，∴点P 的纵坐标为y ＝45³3－45＝85，∴点P (3，85)．(3)在直线AC 下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大．设点N 的横坐标为t ，此时点N (t ，45t 2－245t ＋4)(1＜t ＜5)，如解图②，过点N 作NG ∥y 轴交AC 于G ，交BC 于点F ；作AD ⊥NG 于D ，(第24题图解②)由点A (0，4)和点C (5，0)可求出直线AC 的函数表达式为y ＝－45x ＋4，把x ＝t 代入，得y ＝－45t ＋4，则点G (t ，－45t ＋4)，此时：NG ＝－45t ＋4－(45t 2－245t ＋4)＝－45t 2＋4t .∵AD ＋CF ＝CO ＝5，∴S △ACN ＝S △ANG ＋S △CNG ＝12AD ²NG ＋12NG ²CF ＝12NG ²OC ＝12³(－45t 2＋4t )³5＝－2t 2＋10t ＝－2(t －52)2＋252，∴当t ＝52时，△CAN 的面积最大，最大值为252，当t ＝52时，y ＝45t 2－245t ＋4＝－3，5 2，－3)．∴点N(。
中考总复习第三单元函数及其图象ppt中考真题及模拟(附答案)(2)
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a、b、c 为常数，a≠0) a>0 a<0 抛物线有最高点，当 x b 抛物线有最低点，当 x＝－ 时， b 2a ＝－ 时，y 有最大值， 2a 4ac－b2 2 y 有最小值，y 最小值＝ 4 ac － b 4a y 最大值＝ 4a 越小，|a|越小，抛物线的开口越大
► 热考三
二次函数图象的变换
例3 个单位，再向上平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物 线的解析式是（ A ） 2 2 y 3 ( x 2 ) 1 y 3 ( x 2 ) 1 A． B． C． y 3( x 2) 2 1 D． y 3( x 2) 2 1
二次函数 (1)等号左边是函数，右边是关于自变量 y ＝ ax2 ＋ bx x 的二次式，x 的最高次数是 2; ＋c 的结构 (2)二次项系数 a≠0 特征
考点2
二次函数的图象及画法
二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)的图象 图象
b 4ac－b2 － ， 是以 ______________ 2 a 4 a 为顶点，以直线
[解析] 由图象可知，抛物线开口向上，a>0.对称轴在y 轴左侧，b>0，所以一次函数不经过第四象限．
二次函数的图象特征从如下方面进行研究：开 口方向，对称轴，顶点坐标以及增减性，最值，开 口大小．有时还关注一些特殊代数式的值，如 a ＋ b ＋c，a－b＋c, 2a＋b等．
2 y x x 3 经过点 变 式 题 [2013 ， 西 城 九 上期 末 ] 已 知 抛 物 线 A(2，y1 ) 、 B(3，y 2 ) ， 则 y1 与 y 2 的大小关系是
b x ＝－ ___________ 为对称轴的抛物线 2a
2016九年级数学中考复习三：函数及其图象的检测题
2016九年级数学中考复习三：函数及其图象的检测题一、选择题1.（2014•湖南衡阳）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）A．小明看报用时8分钟B．公共阅报栏距小明家200米C．小明离家最远的距离为400米D．小明从出发到回家共用时16分钟2.（2013湖南娄底）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是( )A.x＜0B.x＞0C.x＜2D.x＞23.（2014•河北）如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y=（m﹣2）x+n，则m的取值范围在数轴上表示为（）A B C D4.(2013山东德州)如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2 013次碰到矩形的边时，点P的坐标为( )A.（1，4）B.（5，0）C.（6，4）D.（8，3）5．（2015•潍坊）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（）A．B．C．D．6. （2014•宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A B C D7.（2013山东枣庄）将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )A．y=3（x-2）2-1 B．y=3（x-2）2+1 C．y=3（x+2）2-1 D．y=3（x+2）2+19.（2013江苏镇江）二次函数y=x2-4x+5的最小值是( )A.-1B.1C.3 D．5yy 1＝xy ＝9xx10.（2013山东泰安）把直线y=-x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是( )A.1＜m ＜7B.3＜m ＜4C.m ＞1D.m ＜4 11．（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣1，m ） 在直线y=2x+3上，连结OA ，将线段OA 绕点O 顺时针旋 转90°，点A 的对应点B 恰好落在直线y=﹣x+b 上，则b 的 值为（ ） A ． ﹣2 B ． 1 C ．D ． 212．（2014•四川广安,）如图，一次函数y 1=k 1x +b （k 1、b 为 常数，且k 1≠0）的图象与反比例函数y 2=（k 2为常数，且k 2≠0）的图象都经过点A （2，3）．则当x ＞2时，y 1 与y 2的大小关系为（ ）A y 1＞y 2B y 1=y 2C y 1＜y 2D 以上说法都不对13.（2013山东潍坊）设点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是反比例函数k y x=图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则一次函数y=-2x+k 的图象不经过的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.函数1(0)y x x =≥ , xy 92=(0)x >的图象如图所示，则结论： ① 两函数图象的交点A 的坐标为（3 ,3 ) ② 当3x >时，21y y > ③ 当 1x =时， BC = 8 ④当 x 逐渐增大时，1y 随着x 的增大而增大， 2y 随着x 的增大而减小．其中正确结论的序号是（ ）A ①②③B ①③④C ①②④D ②③④二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分,共18分)15.函数1y x -中自变量x 的取值范围是 . 16．（2014•张家界）已知一次函数y=（1﹣m ）x+m ﹣2，当 时，y 随x 的增大而增大． 17．（2015•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标 为（0，4），△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B ′， 点A 的对应点A ′是直线y=x 上一点，则点B 与其对应点B ′ 间的距离为 ． 18．（2015•庆阳）如图，定点A （﹣2，0），动点B 在直线 y=x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ．19.（2015•株洲）已知直线y=2x+（3﹣a ）与x 轴的交点在A （2，0）、B （3，0）之间（包括A 、B 两点），则a 的取值范围是 ．# 20.(2013山东德州)函数1y y x 2x ==-与的图象交点的横坐标分别为a ，b ，则11a b +的值为 .## 21．（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标 为（0，4），直线y=x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ， 点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 ．## #22．如图，直线l 与反比例函数的图象在第一象限内 交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于C 点，若 AB ：BC=2：1，则△OAB 的面积为 ．三、解答题23.(2013山东菏泽)（1）已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个实数根， 求代数式22(m m)(m 1)m－－＋的值.24. （2014•大连）小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y 1（米）、y 2（米）与小明出发的时间x （分）的函数关系如图．（1）图中a= ，b= ；（2）求小明的爸爸一起下山所用的时间．25. （2013广东茂名） 张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y (升)与行驶时间t (小时)之间的关系如图所示．请根据图象回答下列问题：（1）汽车行驶 小时后加油，中途加油 升；（2）求加油前油箱剩余油y 与行驶时间t 的函数关系式；（3）已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶， 如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱 中的油是否够用？请说明理由．26（2014•绍兴）如果二次函数的二次项系数为l ，则此二次函数可表示为y=x 2+px+q ，我们称[p ，q]为此函数的特征数，如函数y=x 2+2x+3的特征数是[2，3]． （1）若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标． （2）探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？27．（2014•孝感）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）试说明x1＜0，x2＜0；（3）若抛物线y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．23（2014•武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每Array天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．附加题29. （2014•自贡）如图，已知抛物线y=ax2﹣ x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y= x ﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y= x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．30.（2014•德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．函数及其图象的检测题一、选择题1.（2014•湖南衡阳）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）A．小明看报用时8分钟B．公共阅报栏距小明家200米C．小明离家最远的距离为400米D．小明从出发到回家共用时16分钟2.（2013湖南娄底）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是( C )A.x＜0B.x＞0C.x＜2D.x＞23.（2014•河北）如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y=（m﹣2）x+n，则m 的取值范围在数轴上表示为（）A B C D4.(2013山东德州)如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2 013次碰到矩形的边时，点P的坐标为( D )A.（1，4）B.（5，0）C.（6，4）D.（8，3）5．（2015•潍坊）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（C）A．B．C．D．6. （2014•宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A B C D7.（2013山东枣庄）将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( C )A．y=3（x-2）2-1 B．y=3（x-2）2+1 C．y=3（x+2）2-1 D．y=3（x+2）2+19.（2013江苏镇江）二次函数y=x2-4x+5的最小值是(B )A.-1B.1C.3 D．5y y 1＝x y ＝9xx10.（2013山东泰安）把直线y=-x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是(C )A.1＜m ＜7B.3＜m ＜4C.m ＞1D.m ＜4 11．（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣1，m ）在直线y=2x+3上，连结OA ，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°，点A 的对应点B 恰好落在直线y=﹣x+b 上，则b 的值为（ ） A ． ﹣2 B ． 1 C ．D ． 212．（2014•四川广安,）如图，一次函数y 1=k 1x +b （k 1、b 为常数，且k 1≠0）的图象与反比例函数y 2=（k 2为常数，且k 2≠0）的图象都经过点A （2，3）．则当x ＞2时，y 1与y 2的大小关系为（ ）A y 1＞y 2B y 1=y 2C y 1＜y 2D 以上说法都不对13.（2013山东潍坊）设点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是反比例函数k y x=图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则一次函数y=-2x+k 的图象不经过的象限是( A ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限##14.函数1(0)y x x =≥ , xy 92=(0)x >的图象如图所示，则结论： ① 两函数图象的交点A 的坐标为（3 ,3 ) ② 当3x >时，21y y >③ 当 1x =时， BC = 8 ④当 x 逐渐增大时， 1y 随着x 的增大而增大，2y 随着x 的增大而减小 ．其中正确结论的序号是（ B ）A ①②③B ①③④C ①②④D ②③④二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分,共18分)15.函数1y x -中自变量x 的取值范围是 x ≥-1且x ≠0且x ≠4 .16．（2014•张家界）已知一次函数y=（1﹣m ）x+m ﹣2，当m ＜1 时，y 随x 的增大而增大． 17．（2015•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，4），△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B ′，点A 的对应点A ′是直线y=x 上一点，则点B 与其对应点B ′间的距离为 5 ．18．（2015•庆阳）如图，定点A （﹣2，0），动点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 （﹣1，﹣1） ．19.（2015•株洲）已知直线y=2x+（3﹣a ）与x 轴的交点在A （2，0）、B （3，0）之间（包括A 、B 两点），则a 的取值范围是 7≤a ≤9 ． #20.(2013山东德州)函数1y y x 2x ==-与的图象交点的横坐标分别为a ，b ，则11a b+的值为-2 .## 21．（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，4），直线y=x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 ．## 22．如图，直线l 与反比例函数的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于C 点，若AB ：BC=2：1，则△OAB 的面积为 ．解：作AD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥x 轴于点E ，如图，∵BE ∥AD ，∴△CAD ∽△CBE ，∴CB ：CA=BE ：AD ，∵AB ：BC=2：1，∴AC ：BC=3：1，∴AD ：BE=3：1，设B （a,2/a ）则y A =6/a ∴a/6=2/x x=a/3 ∴ A(a/3,6/a)S △OAB =S △AOD +S 梯形ADEB -S △BOE =S 梯形ADEB =8/323. (2013山东菏泽)已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个实数根，求代数式22(m m)(m 1)m－－＋的值.∵m 是方程x 2-x-2=0的一个实数根，∴m 2-m-2=0，∴m 2-m=2，m 2= m+2.2m 2m m 22m 2()2()m m2m2()22 4.m-++-+∴====⨯=原式三、解答题24．（2014•大连）小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y 1（米）、y 2（米）与小明出发的时间x （分）的函数关系如图．（1）图中a= 8 ，b= 280 ；（2）求小明的爸爸一起下山所用的时间 解：（1）由图象可以看出图中a=8，b=280， （2）由图象可以得出爸爸上山的速度是： 280÷8=35米/分，小明下山的速度是：400÷（24﹣8）=25米/分， ∴小明从下山到与爸爸相遇用的时间是：（400﹣280）÷（35+25）=2分，∴2分爸爸行的路程：35×2=70，∵小明与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．∴小明和爸爸下山所用的时间：（280+70）÷25=14分．25.（2013广东茂名）张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如图所示．请根据图象回答下列问题：（1）汽车行驶小时后加油，中途加油升；（2）求加油前油箱剩余油y与行驶时间t的函数关系式；（3）已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由．解：（1）3，31．（2）设y与t的函数关系式是y=kx+b，根据题意，得：解得：k=-12,b=50因此，加油前油箱剩油量y与行驶时间t的函数关系式是：（3）由图可知汽车每小时用油(50-14)/3（升），所以汽车要准备油210÷70×12=36（升），因为45升>36升，所以油箱中的油够用．26（2014•绍兴）如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．（1）若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标．（2）探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？解：（1）由题意可得出：y=x2-2x+1=（x-1）2，∴此函数图象的顶点坐标为：（1，0）；（2）①由题意可得出：y=x2+4x-1=（x+2）2-5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：y=（x+1）2-4=x2+2x-3，∴图象对应的函数的特征数为：[2，-3]；②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数解析式为：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，∵一个函数的特征数为[3，4]，∴函数解析式为：y=x2+3x+4=（x+32）2+74，∴原函数的图象向左平移12个单位，再向下平移14个单位得27．（2014•孝感）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）试说明x1＜0，x2＜0；（3）若抛物线y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．解：（1）由题意可知：△=[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＞0，即﹣12k+5＞0 ．（2）∵，∴x1＜0，x2＜0．（3）依题意，不妨设A（x1，0），B（x2，0）．∴OA+OB=|x1|+|x2|=﹣（x1+x2）=﹣（2k﹣3），OA•OB=|﹣x1||x2|=x1x2=k2+1，∵OA+OB=2OA•OB﹣3，∴﹣（2k﹣3）=2（k2+1）﹣3，解得k1=1，k2=﹣2．∵，∴k=﹣2．28（2014•武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=；（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，∴该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．附加题29. （2014•自贡）如图，已知抛物线y=ax2﹣ x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y= x ﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y= x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．解：⑴.∵直线1y x22=-交x轴、y轴于B、C两点.∴B（4，0），C（0，﹣2）.∵23y ax x c 2=-+过B 、C 两点∴=016a 6c 2c -+⎧⎨-=⎩，解得 1a 2c 2⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴213y x x 222=--．⑵.证明：如图1，连接AC.∵213y x x 222=--与x 负半轴交于A 点，∴A（﹣1，0）；在Rt△AOC 中， ∵AO=1，OC=2，∴AC =在Rt△BOC 中，∵BO=4，OC=2，∴BC =∵AB=AO+BO=1+4=5， AB 2=AC 2+BC 2， ∴△ABC 为直角三角形．⑶.解：△ABC 内部可截出面积最大的矩形DEFG ，面积为52，理由如下： ①一点为C ，AB 、AC 、BC 边上各有一点， 如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．设,GC x AG x =. ,AG GF 5x GF 20ACCB525-===∴()=2255S GC GF x 2x 2x 2x 2⎛⋅==-+--+ ⎝⎭；即当x =，S 最大，为52． ②AB 边上有两点，AC 、BC 边上各有一点，如图3， 此时△CDE∽△CAB∽△GAD， 设GD x =，则CD DE DE 5DE 5x CA AB 52==∴=- ()=225555S GD DE x 5x x 5x x 12222⎛⎫⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，30.（2014•德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA =OC =4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作y 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标． 解：（1）由A （4，0）， 可知OA=4，∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，OB=1，∴C（0，4），B（﹣1，0）．设抛物线的解析式是y=ax2+bx+x，则，解得：，则抛物线的解析式是：y=﹣x2+3x+4；（2）存在．第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．∵∠ACP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP1=∠OAC．∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，设P（m，﹣m2+3m+4），则m=﹣m2+3m+4﹣4，解得：m1=0（舍去），m2=2．∴﹣m2+3m+4=6，即P（2，6）．第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．∴P2N∥x轴，由∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，∴∠FP2N=45°，AO=OF．∴P2N=NF，设P2（n，﹣n2+3n+4），则n=（﹣n2+3n+4）﹣1，解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），∴﹣n2+3n+4=﹣6，则P2的坐标是（﹣2，﹣6）．综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，则AC==4，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．又∵DF∥OC，∴DF=OC=2，∴点P的纵坐标是2．则﹣x2+3x+1=2，解得：x=，∴当EF最短，点P的坐标是：（，0）或（，0）．11。
中考数学总复习 第三章 函数及其图象综合测试题
函数及其图象一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知点M (－2，5 )在反比例函数y ＝k x的图象上，则下列各点一定在该反比例函数的图象上的是(C)A. (5，2 )B. (2，5 )C. (2，－5 )D. (－5，－2)2．二次函数y ＝－x 2＋2x －5的图象的对称轴是(D) A. 直线x ＝－2 B. 直线x ＝2 C. 直线x ＝－1 D. 直线x ＝13．反比例函数y ＝－1x的图象上有两个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，其中x 1<0<x 2，则y 1与y 2的大小关系是(B)A. y 1＜y 2B. y 1＞y 2C. y 1＝y 2D. 以上都有可能4．如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是(C)A. y ＝(x －1)2＋2B. y ＝(x ＋1)2＋2C. y ＝x 2＋1D. y ＝x 2＋3(第5题图) 5．已知函数y ＝(x －m )(x －n )(其中m ＜n )的图象如图所示，则一次函数y ＝mx ＋n 与反比例函数y ＝m ＋nx的图象可能是(C)(第6题图)6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，有下列说法：①a >0；②b >0；③c <0；④b 2－4ac >0，其中正确的个数是(B) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4(第7题图)7．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＋2的图象如图所示，顶点为(－1，0)，下列结论：①abc＜0；②b 2－4ac ＝0；③a ＞2；④4a －2b ＋c ＞0.其中正确结论的个数是(B) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48．如图，矩形ABCD 的顶点A 在第一象限，AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，且对角线的交点与原点O 重合．在边AB 从小于AD 到大于AD 的变化过程中，若矩形ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点A 的反比例函数y ＝k x(k ≠0)中k 的值的变化情况是(C) A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大后减小D. 先减小后增大(第8题图) (第9题图)9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac －b 2＜0；②4a ＋c ＜2b ；③3b ＋2c ＜0；④m (am ＋b )＋b ＜a (m ≠－1)．其中正确结论的个数是(B) A. 4 B. 3 C. 2 D. 110．如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k ＞0，x ＞0)交于点A ，将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线y ＝kx(k ＞0，x ＞0)交于点B .若OA ＝3BC ，则k 的值为(D)(第10题图) A. 3 B. 6 C. 94D. 92二、填空题(每小题4分，共24分)11．在一次函数y ＝kx ＋2中，若y 随x 的增大而增大，则它的图象不经过第__四__象限．12．将抛物线y ＝x 2＋3先左平移动2个单位，再向下平移7个单位后得到一个新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是y ＝(x ＋2)2－4(用顶点式表示)．13．已知反比例函数y ＝k x(k 为常数，k ≠0)的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k 的值为1(答案不唯一)__．14．已知二次函数y ＝()x －2a 2＋()a －1(a 为常数)，当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当a ＝－1，a ＝0，a ＝1，a ＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的表达式是y ＝12x －1．(第14题图) (第15题图)15．一次越野跑中，当小明跑了1600 m 时，小刚跑了1400 m ，小明、小刚在此后所跑的路程y (m)与时间t (s)之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为2200m.16．如图，在Rt △ABO 中，∠AOB ＝90°，点A 在第一象限，点B 在第四象限，且AO ∶BO ＝1∶2，若点A (x 0，y 0)的坐标x 0，y 0满足y 0＝1x 0，则点B (x ，y )的坐标x ，y 所满足的关系式为y ＝－2x．(第16题图)三、解答题(本题有8小题，共66分)17．(本题6分)如图，一次函数y ＝12x －2与反比例函数y ＝kx 的图象交于点A ，且点A 的纵坐标为1.(第17题图)(1)求反比例函数的表达式．(2)根据图象写出当x ＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围． 解：(1)点A 在直线y ＝12x －2上，∴1＝12x －2，解得x ＝6.把点(6，1)的坐标代入y ＝k x，得m ＝6×1＝6.∴y ＝6x.(2)由图象得，当x ＞6时，一次函数的值大于反比例函数的值．18．(本题6分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的对称轴是直线x ＝1. (1)求证：2a ＋b ＝0；(2)若关于x 的方程ax 2＋bx －8的一个根为4，求方程的另一个根．解：(1)证明：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的对称轴是直线x ＝1， ∴－b2a＝1.∴2a ＋b ＝0.(2)设关于x 的方程ax 2＋bx －8的另一个根为x 2，∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，∴x 2和4关于直线x ＝1对称，即1－x 2＝4－1，解得x 2＝－2. ∴方程的另一个根为－2.19．(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，双曲线y ＝m x和直线y ＝kx ＋b 交于A ，B 两点，点A 的坐标为(－3，2)，BC ⊥y 轴于点C ，且OC ＝6BC .(第19题图)(1)求双曲线和直线的函数表达式． (2)直接写出不等式m x＞kx ＋b 的解集． 解：(1)∵点A (－3，2)在双曲线y ＝m x上， ∴2＝m－3，解得m ＝－6.∴双曲线的函数表达式为y ＝－6x.∵点B 在双曲线y ＝－6x上，且OC ＝6BC ，设点B 的坐标为(a ，－6a )，∴－6a ＝－6a，解得a ＝±1(负值舍去)，∴点B 的坐标为(1，－6)． ∵直线y ＝kx ＋b 过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－3k ＋b ，－6＝k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4.∴直线的函数表达式为y ＝－2x －4.(2)根据图象得：不等式m x＞kx ＋b 的解集为－3＜x ＜0或x ＞1.20．(本题8分)已知某市2013年企业用水量x (吨)与该月应交的水费y (元)之间的函数关系如图．(第20题图)(1)当x ≥50时，求y 关于x 的函数表达式．(2)若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量． (3)为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x 超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收x20元．若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量． 解：(1)设y 关于x 的函数表达式y ＝kx ＋b .∵直线y ＝kx ＋b 经过点(50，200)，(60，260)，∴⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝200，60k ＋b ＝260，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝－100. ∴y 关于x 的函数表达式是y ＝6x －100. (2)由图可知，当y ＝620时，x ＞50， ∴6x －100＝620，解得x ＝120.答：该企业2013年10月份的用水量为120吨． (3)由题意，得6x －100＋x20(x －80)＝600，化简，得x 2＋40x －14000＝0，解得x 1＝100，x 2＝－140(不合题意，舍去)． 答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨．21．(本题8分)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．解：根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.需分类讨论： (1)n ＝8时，易得A (－6，0)如解图①，∵抛物线经过点A ，C ，且与x 轴交点A ，B 在原点的两侧， ∴抛物线开口向下，则a ＜0. ∵AB ＝16，且A (－6，0)，∴B (10，0)，而A ，B 关于对称轴对称， ∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，又∵a ＜0， ∴x ＞2.(第21题图解)(2)n ＝－8时，易得A (6，0)，如解图②，∵抛物线过A ，C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧， ∴抛物线开口向上，则a ＞0. ∵AB ＝16，且A (6，0)，∴B (－10，0)，而A ，B 关于对称轴对称， ∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，又∵a ＞0， ∴x ＜－2.22．(本题8分)如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E (4，n )在边AB 上，反比例函数y ＝k x(k ≠0)在第一象限内的图象经过点D ，E ，且tan ∠BOA ＝12.(第22题图)(1)求边AB 的长．(2)求反比例函数的表达式和n 的值．(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x 轴，y 轴正半轴交于点H ，G ，求线段OG 的长． 解：(1)∵点E (4，n )在边AB 上，∴OA ＝4. 在Rt △AOB 中，∵tan ∠BOA ＝12，∴AB ＝OA ·tan ∠BOA ＝4×12＝2.(2)根据(1)，可得点B 的坐标为(4，2)． ∵点D 为OB 的中点，∴点D (2，1)， ∴k2＝1，解得k ＝2， ∴反比例函数的表达式为y ＝2x.又∵点E (4，n )在反比例函数图象上， ∴24＝n ，解得n ＝12. (3)如解图，设点F (a ，2)，∵反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，∴2a＝2，解得a＝1，∴CF ＝1.(第22题图解)连结FG ，设OG ＝t ，则OG ＝FG ＝t ，CG ＝2－t ，在Rt △CGF 中，GF 2＝CF 2＋CG 2，即t 2＝(2－t )2＋12，解得t ＝54，∴OG ＝t ＝54.23．(本题10分)把一边长为40 cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．①要使折成的长方形盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550 cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．(第23题图)解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x(cm)，则(40－2x)2＝484，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9，∴剪掉的正方形的边长为9 cm.②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为x(cm)，盒子的侧面积为y(cm2)，则y与x的函数关系式为y＝4(40－2x)x，即y＝－8x2＋160x，即y＝－8(x－10)2＋800，∴当x＝10时，y最大＝800.即当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方形盒子的侧面积最大为800 cm2.(2)在如解图所示的一种剪裁图中(阴影部分为剪掉部分)，设此长方体盒子的长为x(cm)，则宽为(40－2x) cm，高为(20－x) cm.由题意，得2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，解得x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15.(第23题图解)∴40－2x＝10，20－x＝5.答：此长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.24．(本题12分)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴交于点M.(第24题图)(1)求抛物线的表达式和对称轴．(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)连结AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)根据已知条件可设抛物线的表达式为y ＝a (x －1)(x －5)， 把点A (0，4)的坐标代入，得a ＝45，∴y ＝45(x －1)(x －5)＝45x 2－245x ＋4＝45(x －3)2－165，∴抛物线的对称轴是直线x ＝3. (2)存在．∵点A (0，4)，抛物线的对称轴是直线x ＝3，∴点A 关于对称轴的对称点A ′的坐标为(6，4)．如解图①，连结BA ′交对称轴于点P ，连结AP ，此时△PAB 的周长最小．(第24题图解①)设直线BA ′的函数表达式为y ＝kx ＋b ，把点A ′(6，4)，B (1，0)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝6k ＋b ，0＝k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝45，b ＝－45.∴y ＝45x －45.∵点P 的横坐标为3，∴点P 的纵坐标为y ＝45×3－45＝85，∴点P (3，85)．(3)在直线AC 下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大． 设点N 的横坐标为t ，此时点N (t ，45t 2－245t ＋4)(1＜t ＜5)，如解图②，过点N 作NG ∥y 轴交AC 于G ，交BC 于点F ；作AD ⊥NG 于D ，(第24题图解②)由点A (0，4)和点C (5，0)可求出直线AC 的函数表达式为y ＝－45x ＋4，把x ＝t 代入，得y ＝－45t ＋4，则点G (t ，－45t ＋4)，此时：NG ＝－45t ＋4－(45t 2－245t ＋4)＝－45t 2＋4t .∵AD ＋CF ＝CO ＝5，∴S △ACN ＝S △ANG ＋S △CNG ＝12AD ·NG ＋12NG ·CF ＝12NG ·OC ＝12×(－45t 2＋4t )×5＝－2t 2＋10t ＝－2(t－52)2＋252， ∴当t ＝52时，△CAN 的面积最大，最大值为252，当t ＝52时，y ＝45t 2－245t ＋4＝－3，∴点N (52，－3)．。
中考数学高分专题 《函数与图象及其应用》考点-例题-过关训练
第三讲：函数 第一关：考点点睛平面直角坐标系和一次函数对于这一部分知识中考中主要以选择和填空的形式出现，主要考查不同坐标系中点的特点及函数的图象、性质与函数的解析式，在解答题中经常出现用函数知识解决实际问题，在中考中一般占到6-10分左右。
考点1：平面直角坐标系及函数图象例1：已知点P （a ＋1，2a －1）关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围． 解体思路：本题根据点的坐标特征建立起不等式组是解题的关键．对称点在第一象限，则点P 在第四象限．根据各象限内点的坐标特征，可以建立关于a 的不等式组，求出a 的取值范围．依题意P 点在第四象限，则有⎩⎨⎧<->+01201a a ，解得－1＜a ＜12． 答案：a 的取值范围是－1＜a ＜12． 例2：函数y=21x +中，自变量x 的取值范围是 ． 解体思路：要使代数式211x x +-有意义，必须有21010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得x≥－12 且x≠15．答案：x≥－12且x≠15．例3 ：三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到该小镇只有唯一通道，且路程为24km ．如图是他们行走的路程关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4解题思路：结合题意、图象看出，甲队出发2小时后乙队出发，他们同时到达目的地，路程都是24 km ，甲队用了6小时，乙队用了4小时．可以求得，乙队行驶的平均速度是24÷4=6 km/h ．所以，第二、第三个同学的叙述正确．又观察图象，甲、乙两队行走的路程、时间的函数图象相交，交点的横坐标是4.5，这说明两个队在行驶途中有一次相遇，是在乙队出发2.5小时后追上甲队，所以，第一个同学的叙述正确．在甲队行走的路程、时间的函数图象中，在3～4小时之间的一段是水平的，意味着这段时间甲队在途中停留，所以第四个同学的叙述是正确的．综上所述，四个同学的叙述都正确。
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x
y
O 3
2
yxa
1
ykxb
“函数及其图象”
1．过反比例函数(0)kykx的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段,如果垂线段与x、y
轴所围成的矩形面积是6,那么该函数的表达式是______;若点A(-3,m)在这个反比例函数的图
象上,则m=______.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数(0)ykxbk的图象过点(11)P，，与x轴
交于点A，与y轴交于点B，且tan3ABO，那么点A的坐标是 ．
3．九年级数学课本上，用“描点法”画二次函数2yaxbxc的图象时．列了如下表格：
根据表格上的信息同答问题：该二次函数
2
yaxbxc
在x=3时，y= ．
4． 如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x的图像，则关于
x的方程kx+b=2x的解为( )
A．xl=1，x2=2 B．xl=-2，x2=-1
C．xl=1，x2=-2 D．xl=2，x2=-1
5．一次函数1ykxb与2yxa的图象如图，则
下列结论①0k；②0a；③当3x时，12yy中，
正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6． 已知二次函数y=x2-x+a(a＞0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列
结论中正确的是（ ）
A．m-1的函数值小于0 B． m-1的函数值大于0
C． m-1的函数值等于0 D．m-1的函数值与0的大小关系不确定
7．已知点A（－2，－c）向右平移8个单位得到点A，A与A两点均在抛物线
2
yaxbxc
上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为－6，求这条抛物线的顶点坐标．
8．已知二次函数2yxbxc中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
… 1 0 1 2 3 4 …
y
… 10 5 2 1 2 5 …
（1）求该二次函数的关系式；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 162 -4 122 -2
1
22
…
（3）若1()Amy，，2(1)Bmy，两点都在该函数的图象上，试比较1y与2y的大小．
9．为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力，某巿
自2007年11月17日起，调整出租车运价，调整方案见下
列表格及图象（其中a,b,c为常数）
行驶路程
收费标准
调价前 调价后
不超过3km的部分 起步价6元 起步价a 元
超过3km不超出6km的
部分
每公里2.1元
每公里b元
超出6km的部分 每公里c元
设行驶路程xkm时，调价前的运价y1（元），调价后的运价为y2（元）如图，折线ABCD
表示y2与x之间的函数关系式，线段EF表示当
0≤x≤3时，y1与x的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题：
①填空：a=______,b=______,c=_______.
②写出当x＞3时，y1与x的关系，并在上图中画出该函数的图象.
③函数y1与y2的图象是否存在交点？若存在，求出交点的坐标，并说明该点的实际意义，
若不存在请说明理由.
10．已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1），B（0，3），第三个顶点C在x
轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，D（3，－2），P三点，
且点P关于直线AC的对称点在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；
（3）设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．
y
x
O
·
·
·
A
B
D
y
3 O 6 7
x
7
6
11.2
13.3
E
F
A
B
C
D
答案：
1．6,2yx；
2．(20)(40)，，，
3．－4
4．C
5．B
6．B
7．解：由抛物线2yaxbxc与y轴交点的纵坐标为－6，得c＝－6．
∴A（－2，6），点A向右平移8个单位得到点A（6，6）．
∵A与A两点均在抛物线上，
∴426636666abab，． 解这个方程组，得14ab，．
故抛物线的解析式是2246(2)10yxxx．
∴抛物线的顶点坐标为（2，－10）．
8．解：（1）根据题意，当0x时，5y；当1x时，2y．
所以521.cbc，
解得45.bc，
所以，该二次函数关系式为245yxx．
（2）因为2245(2)1yxxx，
所以当2x时，y有最小值，最小值是1．
（3）因为1()Amy，，2(1)Bmy，两点都在函数245yxx的图象上，
所以，2145ymm，222(1)4(1)522ymmmm．
22
21
(22)(45)23yymmmmm
．
所以，当230m，即32m时，12yy；
当230m，即32m时，12yy；
当230m，即32m时，12yy．
9．解：(1) a=7, b=1.4, c=2.1
（2）12.10.3yx
（3）有交点为31(,9)7其意义为当317x时是方案调价前合算，当317x时方案调价后合
算.
10．解：（1）∵A（0，1），B（0，3），∴AB＝2．
∵△ABC是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上，∴AC＝AB＝2．
∴OC＝22ACOA＝3．∴C（3，0）．
设直线BC的解析式为3ykx，∴330k，∴3k．
∴直线BC的解析式为33yx．
（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称，∴b＝0．
又抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（0，1），D（3，－2）两点，
∴1,92.cac解得1,31.ac ∴抛物线的解析式是2113yx＝．
在Rt△AOC中，OA＝1，AC＝2，易得∠ACO＝30°．
在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝3，易得∠BCO＝60°．
∴CA是∠BCO的角平分线．
∴直线BC与x轴关于直线AC对称．
点P关于直线AC的对称点在x轴上，则符合条件
的点P就是直线BC与抛物线2113yx＝的交点．
∵点P在直线BC：33yx上，
故设点P的坐标是（x，33x）．
又点P（x，33x）在抛物线2113yx＝上，
∴33x＝2113x．解得x1＝3，x2＝23．
故所求的点P的坐标是P1（3，0），P2（23，－3）．
（3）要求PM＋CM的取值范围，可先求PM＋CM的最小值．
Ⅰ）当点P的坐标是（3，0）时，点P与点C重合，故PM＋CM＝2 CM．
显然CM的最小值就是点C到y轴的距离为3，
∵点M是y轴上的动点，∴PM＋CM无最大值．∴PM＋CM≥23．
Ⅱ）当点P的坐标是（23，－3）时，由点C关于y轴的对称点C′（－3，0），
故只要求PM＋MC′的最小值，显然线段PC′最短，易求得PC′＝6．
∴PM＋CM的最小值是6．
同理PM＋CM没有最大值，∴PM＋CM的取值范围是PM＋CM≥6．
综上所述，当点P的坐标是（3，0）时，PM＋CM≥23，
当点P的坐标是（23，－3）时，PM＋CM≥6．
y
x
O
·
·
·
A
B
D
C′ · C
·
P
·
Q
M