正弦量的基本概念
正弦量的基本概念
已知
u 220 2 sin(t 235)V , i 10 2 sin(t 45) A
求u和i的初相及两者间的相位关系。
一正弦电压的初相为60°, 有效值为100V, 试 求它的解析式。
因为U=100V, 所以其最大值为 100 2V 则电压的解析式为
u 100 2 sin(t 60)V
镇安职中
掌握最大值和有效值、 掌握角频率，周期和频率。 掌握初相和相位。 知道三要素。
重点：三要素 难点：波形图的画法
正弦交流电：电压、电流均随时间按正弦函 数规律变化
1. 正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰 值。 用大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。
交流电的有效值是根据它的热效应确定
正弦量零值：负值向正值变化之间的零点 若零点在坐标原点左侧， θ>0 若零点在坐标原点右侧， θ<0
i i1＝Imsint
i i2＝Imsin(t＋ 2)
i i3＝Imsin(t＋ 6)
i
i4＝Imsin(t－
6)
0
t
0
t
0
t 0
t
2
6
6
(a)
(b)
(c)
(d)
图4.3 几种不同计时起点的正弦电流波形
的。交流电流i通过电阻R在一个周期内所产 生的热量和直流电流I通过同一电阻R在相同 时间内所产生的热量相等, 则这个直流电流I 的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写字母 表示, 如I、 U等。
1、测量交流电压，交流电流的仪表所指示的 数字，电气设备铭牌上的额定值都指的有效值。
2、定义交流电流I通过电阻R在一个周期内所 产生的热量和 直流I通过同一电阻R在相同 时间内所产生的热量相等，则这个直流电流I 的数值叫做交流I的有效值
正弦量基本概念
图3-1相位与计时起点的关系
1.2同频率正弦量的相位差
两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用θ表示。
例如：电压u1 =Um1 sin(ωt+φ1), u2 = Um2 sin(ωt+φ2)。那 么u1 、u2的相位差θ12=（ωt+φ1）-(ωt+φ2)= φ1-φ2，即
c os 2(t
i
)dt
I
I U U 2
1
U
0.707
mt 2T
T 0
2m
m
I2
I
m
2
I I m = 0.707
2
同理，正弦电压的有效值为
U
1 2
U
m
0.707 U
m
可见，正弦量有效值等于它的最大值除以，或者说成是最 大值乘以0.707。这就是说，最大值为1A的正弦电流在电 路转换能量的实际效果，和0.707A的直流电流相当。
即
ω= d(ωt+φ)= =22π （3-3）
dt
T
角频率是反映正弦量变化快慢的一个物理量。
当一个正弦量角频率ω=314 rad/s时，这个正弦量的周期为T=。若
ω=3140rad/s，则这个正弦量的周期为T=说明角频率增大，周期减小，
正弦量变化加快。
3．初相 初相是指正弦量在t=0时对应的相位，也叫初相位或初相角，用φ表示，
1.3正弦电流、电压的有效值
1．有效值。电路的作用主要在于能量的转换。周期量的瞬时值、平均值、 最大值都不能确切反映它们在转换能量方面的效果，必须用有效值来
正弦量的基本概念
4.2.1 有效值的定义（二）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1、测量交流电压，交流电流的仪表所指示的 数字，电气设备铭牌上的额定值都指的有效值。
2、定义交流电流I通过电阻R在一个周期内所 产生的热量和 直流I通过同一电阻R在相同 时间内所产生的热量相等，则这个直流电流I 的数值叫做交流I的有效值
例 4.7
电容器的耐压值为 250V, 问能否用在220V
i
i2＝Im sin(t＋ 2)
i
i3＝Im sin(t＋ 6)
i
i4＝Im sin(t－ 6)
0
t 0
t 0
t 0
t
2
6
6
(a)
(b)
(c)
(d)
图4.3 几种不同计时起点的正弦电流波形
例 4.2（一）
在选定的参考方向下, 已知两正弦量的解 析式为u=200sin (1000t+200°) V, i=-5sin (314t+30°) A, 试求两个正弦量的三要素。
A X
e
Em
0
t
S
(a)
(b)
图 4.2 初相不为零的正弦波形
4.1.1 正弦交流电的三要素（六）
相位： ωt+θ
初相θ： t=0时的相位
正弦量零值：负值向正值变化之间的零点 若零点在坐标原点左侧， θ>0 若零点在坐标原点右侧， θ<0
4.1.1 正弦交流电的三要素（七）
i
i1＝Im sint
求u和i的初相及两者间的相位关系。
例 4.8
一正弦电压的初相为60°, 有效值为100V, 试 求它的解析式。
因为U=100V, 所以其最大值为 100 2V 则电压的解析式为
正弦量与相量法的基本概念
目
CONTENCT
录
• 正弦量定义与性质 • 相量法基础 • 正弦量与相量法的转换 • 交流电路中的相量法应用 • 相量法在电机控制中的应用 • 正弦量与相量法的实验验证
01
正弦量定义与性质
定义
总结词
正弦量是随时间按正弦规律变化的量 ，通常用复数表示。
详细描述
正弦量是随时间变化的物理量，如交 流电电压、电流等。在数学上，正弦 量通常用复数表示，其实部表示幅值 大小，虚部表示相位。
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相量法在电机控制中的应用
利用相量法可以简化电机控制中的数学模型，方便分析和 设计控制策略。通过将交流电机等效为直流电机，可以使 用成熟的直流电机控制方法进行控制。
控制算法
利用相量法，可以设计出各种控制算法，如PI控制器、模 糊控制器等，实现对电机的精确控制。
案例分析：无刷直流电机控制
无刷直流电机
无刷直流电机是一种采用电子换向器的直流电机，具有高效、调速范围宽、维护方便等优 点。
乘法运算
两个正弦量的乘法运算可以通 过复数乘法实现，即对应相量 直接相乘。
除法运算
两个正弦量的除法运算可以通 过复数除法实现，即对应相量 直接相除。
运算规则
在进行相量运算时，应遵循复 数的运算法则和运算顺序。
03
正弦量与相量法的转换
转换公式
正弦量与相量法转换公式
$I = I_m angle theta$，其中 $I$ 是 正弦量，$I_m$ 是相量，$theta$ 是 初相角。
信号处理
在信号处理领域，相量法可用 于分析信号的频谱和滤波器的 设计。
04
交流电路中的相量法应用
第二章 正弦稳态电路
3
已知正弦电压u1(t)=141 sin(ωt+π/3) V，u2(t)=70.5 sin(ωt-π/6) V 写出u1和u2的相量， 并画出相量图。
解： u1 U 1 141 100 V 3 3 2 70.5 50 V u2 U 2 6 6 2
阻抗的另一形式
Z R jX
Z R2 X 2 X arctan R
.
+ . U I N
Z的实部为R, 称为“电阻”, Z的虚部为X, 称为“电抗”
3
2. 阻抗的串并联
n个阻抗串联的电路
I
+ . .
Z1
Z2
Z3
+ . -+ . - . - + + U1 U2 U3 .
U
Un
Zn
【例2.5.1】图所示正弦稳态电路中，交流电压表V1、V2、V3的读数分别 为30V、60V和20V，求交流电压表V的读数。
1
R
2
L C
I1
3
Z1
V
US
求图所示二端网络的戴维南等效电路。 【例2.6.3】已知 us 10 2 sin10000tV , R1 R2 R3 1 , R4 4 , C 400F , L 0.4mH 求电阻R4两端的电压。
L
品质因数
Q 0C G 1 ( 0 LG )
并联谐振电路的特点：阻抗最大；电流源一定时，电压 最大；电流谐振，能量互换仅在LC之间。
i
N
有功功率P、功率因数
P UI cos
无功功率Q
视在功率S 复功率S
cos
正弦量与相量法的基本概念
L
di dt
+
Ri
=
us
当激励uS为正弦量时,方程的特解是与uS同频率的正弦量。
设 i(t) = Im cos(t + i ) = Re( Ime jt ) uS (t) = U Sm cost = Re(U Sme jt )
代入微分方程得：
L
d
•
[Re(I m
e jt )]+
•
R Re(I m
e jt )
N
线性
1
2
N
线性
非
线性
不适用 ③ 相量法可以用来求强迫响应是正弦量的任意常系数线
性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。
18
例 1 如有两个同频率的正弦电压分别为
u1(t) = 2220cos t (V) u2(t) = 2220cos(t 120 ) (V)
求 u1+u2 和 u1u2。
•
T=2π
=2π／T
频率：f
f =1／T
=2πf
频率的单位：HZ，赫兹
其它常用单位：
1KHZ=103HZ
1MHZ=106HZ
1GHZ=109HZ
我国工业用电的频率为50HZ。在工程实际中，常以频率的大小 作为区分电路的标志，如高频电路，低频电路等。
2
正弦电压与电流
3
初相角的单位为弧度(rad)或度(°)。通常在-π≤ φu或φi)≤π的 主值范围内取值。
F1·F2=Fej ej
F逆时针旋转一个角度 ，模不变
ej 称为旋转因子。
j
e2
= cos
+
j sin
=+j
正弦量基本概念
第六章 正弦电流电路基础§6-1 正弦量一．正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。
周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。
显然，周期和频率互为倒数，即f =1/T 。
交变量：一个周期量在一个周期内的平均值为零。
可见，正弦量不仅是周期量，而且还是交变量。
二．正弦量的表达式1. 函数表示法：m ()cos()f t F t ωψ=+m F —最大值，反映正弦量在整个变化过程中所能达到的最大值；t ωψ+—相位，反映正弦量变动的进程；ω—角频率（rad /s ），反映正弦量变化的快慢。
22,2T f Tπωπωπ=== ()ψπψπ-≤≤—初相位，反映正弦量初值的大小、正负。
m F ，ω，ψ—正弦量的三要素。
已知m 10A,50Hz,15o I f ψ===-， 则()10cos(31415)A oi t t =-。
2. 波形表示法0t ωψ+=， t ωψ=-。
当0>ψ时，最大值点由坐标原点左移ψ。
如下图。
三．两个同频率正弦量的相位差ϕ设 m u ()cos()u t U t ωψ=+ )cos()(i m t I t i ψω+= 则u (t )与i (t )的相位差i u i u t t ψψψωψωϕ-=+-+=)()(可见，对两个同频率的正弦量来说，相位差在任何瞬时都是一个常数，即等于它们的初相之差，而与时间无关。
φ的单位为rad(弧度)或˚ (度)。
主值范围为|φ|≤π。
如果φ＝Ψu −Ψi >0 (如下图所示)，则称电压u 的相位超前电流i 的相位一个角度度φ，简称电压u 超前电流i 角度φ，意指在波形图中，由坐标原点向右看，电压u 先到达其第一个正的最大值，经过φ，电流i 到达其第一个正的最大值。
正弦量的三要素
正弦量的三要素正弦量是一种数学概念，一般指正弦曲线，是三角函数的单调变化曲线。
它可以用来描述物理过程中各种规律性变化，在物理、数学、天文等领域有很广泛的应用。
它的性质和作用有三个要素：频率，振幅和相位。
首先，正弦量的频率是它的基本性质，也是它单调变化的核心原因。
它表示每个正弦波形之间代表的值的间隔，也就是把一个完整的正弦周期分成几等份。
一般情况下，正弦波形的频率是按时间测量的，表示每秒钟多少次变化，常用赫兹（Hz）作为单位。
比如，电压信号的频率可以是50 Hz，表示每秒钟交流电压变化50次，也就是说，每个正弦周期同样大小的电压波形间隔时间为1/50秒。
其次，振幅是正弦量的重要特征，指正弦周期的最大值，也就是顶部的高度。
对于电压，振幅就是电压的最大值（峰值），一般用伏特（V）作为单位。
振幅的大小决定了正弦波形的峰值，也就是最大的变化值，它的大小可以作为一个参数来调整正弦波形。
最后，相位是正弦量的第三个特征，表示准确的位置。
它指的是参照点，即以此为基准，正弦波形开始变化。
例如，电压信号的相位可以是180°，表示此时正弦波形峰值出现在负极，此时正弦波形从0开始进入负值。
所以，正弦量的相位并非所有人都会了解，更不是每个人都知道的概念。
但是，对于电气设计师、传感器制造商以及电工工程师来说，它们是很重要的参数，需要精确的掌握。
通过上述介绍，我们可以了解到，正弦量包括三个要素：频率、振幅和相位。
它们可以作为参量来用，表示物理过程中各种规律性变化。
另外，这三个要素在不同的领域也有不同的应用，以此来调节正弦波形的特性，解决工程中遇到的问题。
正弦量的三要素是相对独立的，它们之间是互相联系的，在实际操作时要正确理解及掌握它们的特点，根据实际需求选择合适的参数，以此实现物理过程的规律性变化。
例如，在家庭电路设计中，可以通过配置相应的参数，使用正弦量连接电器，实现电路的调节效果；又如，在波形处理中，可以使用正弦量来表示信号，用正弦量的三要素来描述信号的变化特性。
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值。 用大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。
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4.2.1 有效值的定义（一）
交流电的有效值是根据它的热效应确定
的。交流电流i通过电阻R在一个周期内所产 生的热量和直流电流I通过同一电阻R在相同 时间内所产生的热量相等, 则这个直流电流I 的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写字母 表示, 如I、 U等。
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5
4.2.1 有效值的定义（二）
1、测量交流电压，交流电流的仪表所指示的 数字，电气设备铭牌上的额定值都指的有效值。
2、定义交流电流I通过电阻R在一个周期内所 产生的热量和 直流I通过同一电阻R在相同 时间内所产生的热量相等，则这个直流电流I 的数值叫做交流I的有效值
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6
例 4.7
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例 4.2（二）
(2) i=5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°)=5sin(314t -150°)A
所以电流的振幅值Im=5A, 角频率ω=314rad/s, 初相 θi=-150°。
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4.1.2 相位差（一）
两个同频率正弦量的相位之差, 称为相位 差, 用字母“φ”表示。
电容器的耐压值为 250V, 问能否用在220V
解： 因为 220V的单相交流电源为正弦 电压, 其振幅值为311 V, 大于其耐压值250V, 电容可能被击穿, 所以不能接在220 V的单相 电源上。各种电器件和电气设备的绝缘水平 （耐压值）, 要按最大值考虑。
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4.1.1 正弦交流电的三要素（二）
10
4.1.1 正弦交流电的三要素（五）
N
t t＋
A X
e
Em
0
t
S
(a)
(b)
图 4.2 初相不精选为课件零的正弦波形
11
4.1.1 正弦交流电的三要素（六）
相位： ωt+θ
初相θ： t=0时的相位
正弦量零值：负值向正值变化之间的零点
若零点在坐标原点左侧， θ>0
若零点在坐标原点右侧， θ<0
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正弦量的基本概念
镇安职中
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1
教学目标
掌握最大值和有效值、 掌握角频率，周期和频率。 掌握初相和相位。 知道三要素。
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2
重点与 难点
重点：三要素 难点：波形图的画法
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3
4.1.1 正弦交流电的三要素（一）
正弦交流电：电压、电流均随时间按正弦函 数规律变化
1.
正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰
(3) φ12=θ1-θ2=0,称这两个正弦量同相
(4) φ12=θ1-θ2=π, 称这两个正弦量反相
(5) φ12=θ1-θ2= , 称这两精选个课件 正弦量正交
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例 4.4（一）
已知 u2202sin(t235)V, i 102si n(t 45)A
求u和i的初相及两者间的相位关系。
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2. 角频率ω
角频率ω表示正弦量在单位时间内变化的
弧度数, 即
a t
2 2f (4.2)
T
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4.1.1 正弦交流电的三要素（三）
u
Um
0
(
T 2
)
T t
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4.1.1 正弦交流电的三要素（四）
3. 初相
eE msi nt ()
N
t t＋
e
Em
A
0
t
X
S
(a)
(b)
图 4.2 初相不精选课为件 零的正弦波形
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12
4.1.1 正弦交流电的三要素（七）
i
i1＝Im sint
i
i2＝Im sin(t＋ 2)
i
i3＝Im sin(t＋ 6)
i
i4＝Im sin(t－ 6)
0
t 0
t 0
t 0
t
2
6
6
(a)
(b)
(c)
(d)
图4.3 几种不同计时精起选课点件 的正弦电流波形 13
例 4.2（一）
在选定的参考方向下, 已知两正弦量的解 析式为u=200sin (1000t+200°) V, i=-5sin (314t+30°) A, 试求两个正弦量的三要素。
解 (1) u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000t160°)V
所以电压的振幅值Um=200V, 角频率
ω=1000rad/s, 初相θu=精-1选6课件0°。
设两正弦量：
u1 Um1si n(t1) u2 Um2sin(t2) 12(t1)(t2)12
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4.1.2 相位差（二）
(1)φ12=θ1-θ2>0且|φ12|≤π弧度U1达到振幅值后，U2 需经过一段时间才能到达，U1越前于U2
(2) φ12=θ1-θ2<0且|φ12|≤π弧度U1滞后U2
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例 4.8
一正弦电压的初相为60°, 有效值为100V, 试 求它的解析式。
因为U=100V, 所以其最大值为 100 2V 则电压的解析式为
u1020si nt (60 )V
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课堂练习
1、用电流表测得一正弦交流电路中的电流为 10A，则其最大值Im=_____A。
2、一正弦电压的初相为60 °，在t=T/2时的 值为－465.4V，试求它的有效值和解析式。