上海市高三数学每周一测试卷(18)
2024-2025学年上海中学高三上学期数学周测1及答案(2024.09)
1上海中学2024学年第一学期高三年级数学周测一2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知集合{}|02A x x =≤≤，{}|10B x x =−<，则AB =________．2．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为45，则a 的值为________．3．已知函数()221f x x =+，则()()22Δx f Δx f limΔx→−−=________．4．已知()()3993log log log log x x =，则x 的值为________． 5．已知()35P A =，()15P A B =，()1|2P A B =，则()P B =________．6．已知1tan 3x =，则sin sin cos 3cos 2cos 2cos x x x x x x +=________．7．已知等差数列{}n a 的公差为3π，且集合{}|,*n M x x sina n N ==∈中有且只有4个元素，则M 中的所有元素之积为________． 8．已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=−，向量c 与3a b +平行，则b c +的最小值 为________．9．已知实数x ，y 满足491x y +=，则1123x y +++的取值范围是________．10．向量集合(){}|,,,S a a x y x y R ⊂=∈，对于任意a ，b S ∈以及任意[]0,1t ∈，都有()1ta t b S +−∈，则称集合S 是“凸集”．现有4个命题：①集合(){}2|,,M a a x y y x ==≥是“凸集”；②若S 是“凸集”，则集合{}2|T a a S =∈也是“凸集”； ③若1A ，2A 都是“凸集”，则12A A 也是“凸集”；④若1A ，2A 都是“凸集”，且交集非空，则12A A 也是“凸集”其中所有正确命题的序号是________．211．已知双曲线22:145x y C −=的左右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与C 的左、右支分别交于P Q 、（P ,Q 均在x 轴上方）．若直线1PF ，2QF 的斜率均为k ，且四边形21PQF F的面积为k 的值为________．12．设函数()11xf x e =+图像上任意—点处的切线为1l ，总存在函数()sin g x a x =+(0)x a >图像上一点处的切线2l ，使得12∥l l ，则实数a 的最小值是________． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13．一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件M 为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与M 相互独立的事件是（ ）．A ．第一次朝上的数字是偶数B ．第一次朝上的数字是1C ．两次朝上的数字之和是8D ．两次朝上的数字之和是714．如图所示，曲线C 是由半椭圆221:1(0)43x y C y +=<，半圆()222:(1)10C x y y −+=≥和半圆()223:(1)10C x y y ++=≥组成，过1C 的左焦点1F 作直线1l 与曲线C 仅交于A ，B 两点，过1C 的右焦点2F 作直线2l 与曲线C 仅交于M ，N 两点，且12∥l l ，则AB MN +的最小值为（ ）． A ．3B ．4C ．5D ．615．数列{}n a 中，12a =，211n n n a a a +=−+，记12111n nA a a a =+++，12111n nB a a a =⋅⋅⋅，则（ ）． A ．202420241A B +> B ．202420241A B +< C ．2024202412A B −>D．2024202412A B −<316．在直角坐标平面xOy 中，已知两定点()12,0F −与()22,0F ，1F ，2F 到直线l 的距离之差的绝对值等于l 上的点组成的图形面积是（ ）． A ．4π B ．8 C ．2π D ．4π+ 三、解答题(共5道大题,共76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且)cos a bC C =+．（1）求角B 的大小；（2）已知BC =，D 为边AB 上一点，若1BD =，2πACD ∠=，求AC 的长．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =． （1）求证：11BC A C ⊥；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值．19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)五月初某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文篮选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过则征文通过筛选；若均审核不通过则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为34，45，37，且各老师的审核互不影响．（1）已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率；（2）从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布和期望．4520.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分)设直线()0y kx b k =+≠与抛物线2:4C y x =交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12(0)y y a a −=>．M 是弦AB 的中点，过M 作平行于x 轴的直线交抛物线C 于点D ，导到ABD ；再分别过弦AD 、BD 的中点作平行于x 轴的直线依次交抛物线C 于点E 、F ，得到ADE 和BDF ；按此方法继续下去． （1）用k ，b 表示a ；（2）用a 表示三角形ABD 的面积ABDS；（3）根据以上结果，求抛物线C 与线段AB 所围成封闭图形的面积S ．621.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第(3)小题满分8分)已知函数()3(1)2xf x lnax b x x=++−−． （1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值； （2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >−当且仅当12x <<，求b 的取值范围．参考答案一、填空题1.(],2−∞;2.;3.-8;4.81;5.45; 6.109; 7.14;8.;9.(; 10.①②④；11.12.5411．已知双曲线22:145x yC−=的左右焦点分别是1F，2F，直线l与C的左、右支分别交于P Q、（P,Q均在x轴上方）．若直线1PF，2QF的斜率均为k，且四边形21PQF F的面积为k的值为________．【答案】【解析】由题意绘制示意图如图所示：由双曲线方程可得:2,3a c==,因为直线1PF、2QF的斜率均为k,所以直线12//PF QF, 在三角形12QF F中, 设2QF x=，则124QF a x x=+=+，设2QF的倾斜角为θ, 则由余弦定理得2236426x xcosx+−+π−θ=⨯解得2523QF xcos==−θ,同理可得：1523PFcos=+θ所以四边形21PQF F的面积:12121152223S PF QF F F sincos=+⨯⨯θ=⨯++θ5623sincos⨯⨯θ=−θ解得sinθ=sinθ=(舍去),故k tan=θ=故答案为:.12．设函数()11xf xe=+图像上任意—点处的切线为1l，总存在函数()sing x a x=+ (0)x a>图像上一点处的切线2l，使得12∥l l，则实数a的最小值是________．【答案】54【解析】()1,1xf xe=+()()21',112xx xxef xe ee∴=−=−+++78[)()112,'0.4x x e ,f x ,e ⎡⎫+∈+∞∴∈−⎪⎢⎣⎭而()(),'1[1g x asinx x g x acosx a =+=+∈−,1]a +,要使题意成立，则有114a −≤−且10…a +,解得54a ≥,∴实数 a 的最小值为54 故答案为:54二、选择题13.D 14.C 15.C 16.D15．数列{}n a 中，12a =，211n n n a a a +=−+，记12111n nA a a a =+++，12111n nB a a a =⋅⋅⋅，则（ ）． A ．202420241A B +> B ．202420241A B +< C ．2024202412A B −>D ．2024202412A B −<【答案】C【解析】由2112,1n n n a a a a +==−+, 可得24213,a =−+=由()111n n n a a a +−=−, 可得111111n n na a a +=−−−即有111111n n n a a a +=−−−,则122311111111n A a a a a =−+−+⋯+−−−−111111111111n n n a a a a ++−=−=−−−−−111n a +− 由1111n n n a a a +−=−, 可得121231111111111111n n n n n a a a a B a a a a a +++−−−−=⋅⋅⋯⋅==−−−−−可得1n n A B +=, 故AB 错误;121,1n n n A B a +−=−−由()2110n n n a a a +−=−>, 即1n n a a +>, 可得数列{}n a 为递增数列,又320259317,,5,a a =−+=⋯>由202521111122a −>−=−, 可得2024202412A B −>，故选：C .16．在直角坐标平面xOy 中，已知两定点()12,0F −与()22,0F ，1F ，2F 到直线l 的距离之差的绝对值等于l 上的点组成的图形面积是（ ）． A ．4π B ．8 C ．2π D ．4π+ 【答案】D【解析】设直线l的方程为0Ax By C++=,=所以22A C A C−+−+=当()()220…A C A C−++,即224…C A时,4A=化简可得22A B=,所以|,2CA B≥=如图,则正方形12AF BF上及外部的点均在直线l上;当()()220A C A C−++<,即224C A<时,2C=22222C A B=+设直线l的方程为0Ax By C++=上任意一点(0x,0y), 则000Ax By C++=,由()()()2222220000A B x y Ax By C++≥+=可知22002x y+≥,又2222224C A B A=+<,则221AB>,所以，与圆222x y+=相切的直线所扫过的点均在直线l上;综上, 平面上不在任何一条直线I上的点组成的图形面积是21244⎤⨯π=+π⎥⎦,故选：D.三．解答题17.（1）6π（218.（1）证明略（219.（1）15P=（2）PQ=20．（1）2216(1)kba=k−（2）332ABDSa=（3）324Sa=91021.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第(3)小题满分8分)已知函数()3(1)2xf x lnax b x x=++−−． （1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值； （2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >−当且仅当12x <<，求b 的取值范围． 【答案】（1）-2（2）见解析（3）23,⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由0220xx x ⎧⎪⎨⎪>−≠⎩−, 解得02x <<，所以函数()f x 的定义域为()02,,当0b =时,()2xf x lnax x=+−,所以()11'02f x a x x =++≥−, 对02x ∀<<恒成立， 又()112222a a a x x x x ++=+≥+−−, 当且仅当1x =时取"'"=, 所以只需20…a +, 即2…a −,所以a 的最小值为-2 . (2)证明:()02x ,∈， ()()()222(1x f x f x lna xb x x−−+=+−+−()33)122x lnax b x a x +++−=− 所以()f x 关于点()1,a 中心对称.(3) 因为()2f x >−当且仅当12x <<,所以1x =为()2f x =−的一个解， 所以()12f =−, 即2a =−,先分析12x <<时,()2f x >−恒成立,此时()2f x >−, 即为()321(1)02xlnx b x x+−+−>−在()12,上恒成立, 设()1,01t x t ,=−∈, 则31201t lnt bt t+−+>−在()01,上恒成立, 设()()312,011t g t ln t bt t ,t +=−+∈−,则()()222223232'2311t bt b g t bt t t −++=−+=−− 当0…b 时,232332220bt b b b −++>−++=>,所以()'0g t >恒成立,11 所以()g t 在()01,上为增函数,所以()()00g t g >=, 即()2f x >−在()12,上恒成立, 当203…b −<时,2323230…bt b b −++>+所以()'0g t >恒成立,故()g t 在()01,上为增函数, 故()()00g t g >=,即()2f x >−在()12,上恒成立, 当23b <−,即当01t <<时,()'0g t <,所以在0⎛ ⎝上()g t 为减函数, 所以()()00g t g <=, 不合题意, 舍去,综上所述,()2f x >−在()12,上恒成立时,23…b −, 而23…b −时, 由上述过程可得()g t 在()01,单调递增,所以()0g t >的解为()01,,即()2f x >−的解为()12,,综上所述,23…b −,所以b 的取值范围为23,⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭.。
2024学年上海川沙中学高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1川沙中学2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知全集U R =，集合(,1)[2,)A =−∞+∞，则A =________． 2．函数()sin2f x x =的最小正周期是________．3．在等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a =________．4．参考数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分）依次如下：56、70、91、98、79、80、81、83、84、86、88、90、72、94、78，则15人成绩的第80百分位数是________． 5．在△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为________．6．已知3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数之和为256，则访二项展开式中的常数项为_____． 7．双曲线222:1y C x b−=的渐近线与直线1x =交于A ，B 两点，且4AB =，那么双曲线C 的离心率为________．8．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若6b =，2a c =，πB 3=，则△ABC 的面积为________．9．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是45，感冒发作的概率是67，鼻炎发作且感冒发作的概率是35，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是________． 10．已知函数1()lg f x x x =−，则不等式111f x ⎛⎫−< ⎪⎝⎭的解集为________． 11．已知函数()(1)x f x x e =−，若关于x 的不等式()1f x ax <−有且仅有一个正整数解，则实数a 的取值范围是________．212．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231(,1)n n S a n N n =−∈≥，函数()f x 定义域为R ，对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=−，若()21f =−2025()f a 的值为 .二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13．下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥− C．a b +≥ D．a b +≥−14．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若0(2)(2)1lim22h f h f h →+−=，则(2)f '=（ ）A ．1−B ．14− C ．1 D ．1415．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．已知实数1x 、1y 、2x 、2y 、3x 、3y 同时满足：①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③11332220x y x y x y +=>，则下列选项中恒成立的是（ ）A ．2132x x x <+B ．2132x x x >+C ．2213x x x <D ．2213x x x >三、解答题（本大题共5题，共141414181878++++=分）17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，∥AB CD ，1AB AD ==，12D D CD ==，AB AD ⊥． （1）求证：BC ⊥平面1D DB ；（2）求点D 到平面1BCD 的距离．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)设函数2()f x x x a=+−，a为常数．（1）若()f x为偶函数，求a的值；（2）设0a>，()()f xg xx=，(]0,x a∈为严格减函数，求实数a的取值范围．19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活。
上海市高三数学每周一测试卷(03)
上海市高三数学每周一测试卷（03）一、填空题（每小题4分，共56分）1．函数()1lg (0)f x x x =+>的反函数为()110x y x R -=∈ 2．解不等式1x x <，其解集为()(),10,1-∞-3．关于x 的方程122x a a +=-有负实数根，则a ∈11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4．要使函数]2,1[122在+-=ax x y 上存在反函数，则a 的取值范围是(,1][2,)-∞⋃∞。
5．设集合{|1A x =-≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B= [0,2] .6．函数y=552---x x 的定义域为__[)()255,+∞，__. 7．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b += 4 .8．函数)1(21)(x x x f --=的最大值是74. 9．方程22log (1)log (1)2x x -++=的解为5=x ．10．已知函数()f x 是奇函数,当0x >时, f(x)=x(1+x),则当0x <时,f(x)= x(1－x) .11．函数f(x)=x a (a >0, a ≠1)在[1, 2]中的最大值比最小值大2a, 则a 的值为 1.5或0.5 .12．水箱中有水20m3，如果打开出水孔，水箱中的水5min 可以流完，当打开出水孔时，水箱中的水的剩余量V m3是时间t(s)的函数，则函数V=f(t)的解析式为 120,(0,300]15V t t =-∈.13．在下列四个结论中，正确的有___ ①②④ ____.(填序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则B 也是A 的必要不充分条件②“⎩⎨⎧≤-=∆>04,02ac b a ”是“一元二次不等式ax2+b x+c≥0的解集为R”的充要条件 ③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件④“x≠0”是“x+|x|＞0”的必要不充分条件14. 大家知道，在一杯糖水（浓度为a b ）中加上一块糖（质量为m ）会变得更甜。
2024-2025学年上海曹杨二中高三上学期数学周测及答案(2024.09)
曹杨二中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知集合()()3,2A ,B ,=−∞=+∞,则A B ⋂= . 2.已知复数z 满足15i z =−(i 为虚数单位),则z = . 3.已知向量()()102,210a ,,b ,,==,则a ,b <>= .4.523x ⎫⎪⎭的二项展开式中的常数项为 .（结果用数值表示）5.设()y f x =是以1为周期的周期函数.若当01x <≤时,()2f x log x =,则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.6.设m 为正实数.若直线0x y m −+=被圆()()22113x y −+−=所截得的弦长为m ，则m = .7.从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次。
在第一次抽到A 的条件下，第二次也抽到A 的概率为 .（结果用最简分数表示）8.设数列{}n a 前n 项和为n S 。
若()21n n S a n ,n N +=≥∈,则5S = . 9.已知,x y 为正实数,且1x y +=,则当21x y+取最小值时,x = . 10.设(),1a R f x lnx ax ∈=−+.若函数()y f x =的图像都在x 轴下方（不含x 轴），则a 的取值范围是 .11.已知{}n a 是严格增数列,且点()()1n n P n,a n ,n N ≥∈均在双曲线2231x y −=上。
设M R ∈，若对任意正整数n ，都有1n n P P M +>，则M 的最大值为 .12.设(){}2,235a R f x min x ,x ax a ∈=−−+−，其中{}min u,v 表示,u v 中的较小值.若函数()y f x =至少有3个零点,则a 的取值范围是 .二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知a R ∈，则"1a >"是"11a<"的（ ）. A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14.为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压（单位：kPa ）的分组区间为[)[)[)[)1213,1314,1415,1516,,,,，[]1617,.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
上海市高三数学每周一测试卷(20)
高三每周一测数学试卷（20）一、填空题： 1. 函数2()log (1)f x x =+的反函数)(1x f-= . 21,()x x R -∈2．方程22log (95)2log (32)x x -=+-的解是 ．13. 求满足211z i i=+-的复数z 为 1i + .4、根据右边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列 的第3项是 30 .5、11a >-是1a <-成立的_____ 必要___非充分_________条件。
6、从4名男生和6名女生中,选出3名奥运火炬手,要求至少包含1名 男生,则不同的选法共有___100_____种(数字作答).7、已知全集为R ，集合{}{}2|2,|2,0x M x y x x N y y x ==-==>，则集合()__________R M C N =I 【0，1】8、把地球看作半径为R 的球，A 、B 是北纬30o圈上的两点，它们的经度差为60o，则A 、B 两点间的球面距离为___32arcsin4R _________.9、若)(x f 是偶函数，且当0)1(,1)(,),0[<--=+∞∈x f x x f x 则时的解集是__（0，2） 10.等比数列{}n a 中，12166,128,126,n n n a a a a S -+=⋅==则_____6____n =11、设,m n N *∈，函数()()()11m nf x x x =+++中x 的一次项系数为10，f(x)中的x 的二次项系数的最小值是_____________2012、某商业银行为储户提供的储蓄卡的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的6个数字组成，某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是_____6110________13、关于x 的方程2430x x a ++-=有三个不相等的实根，则实数a 的值是A1C 1B1E_____a=1______.14、若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，其对应边长分别是a ,b ,c且22A A m cos ,sin ,⎛⎫=- ⎪⎝⎭u r 2322A A 1n cos ,sin ,a m n 2⎛⎫===⎪⎝⎭u r u r u r g 且（1）则角A = 120o；（2）则b c +的取值范围为 234b <≤ . 二、选择题：16、某商场的某种商品的年进货量为1万件,分若干次进货,每次进货的量相同,且需运费100元,运来的货物除出售外,还需租仓库存放,一年的租金按一次进货时的一半来计算,每件2元,为使一年的运费和租金最省,每次进货量应为 （D ） A ．200件 B ．5000件 C ．2500件 D ．1000件17、若011<<b a ，则下列不等式 ①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+b aa b中，正确的不等式有 （ C ）A ．０个B ．１个C ．2个D ．３个 18、设偶函数f (x)=loga|x －b|在(－∞，0)上递增，则f (a+1)与f (b+2)的大小关系是（ B ） A ．f(a+1)=f (b+2) B ．f (a+1)>f (b+2) C ．f(a+1)<f (b+2) D ．不确定三、解答题：19.（本题满分12分）如图所示：直三棱柱ABC —A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，︒=∠90ACB ，E 为BB1中点，︒=∠901DE A ，（1）求证：CD ⊥平面A1ABB1； （2）（理）求二面角C —A1E —D 的大小； （3）求三棱锥A1—CDE 的体积。
2024届上海市青浦区高三一模数学试题及答案
上海市青浦区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.13一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 2,3A ，16B x x ，则A B ．2.若复数z 满足3iz i ，则z ．3.已知 满足cos m ，则πsin．（结果用含有m 的式子表示）4.20235. 32 6.7.，那么这组数据的第8.若函数9.1A 和1B ，若10.11.n 的值为．12.已知三个互不相同的实数a 、b 、c 满足1a b c ，2223a b c ，则abc 的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知a 、b R ，则“a b ”是“33a b ”的（）.A 充分非必要条件；.B 必要非充分条件；.C 充要条件；.D 既非充分也非必要条件．第17题图14.若函数 y f x 在0x x 处的导数等于a ，则000limx f x x f x x x的值为（）.A 0；.B a ；.C 2a ；.D 3a ．15.已知直线m 、n ，平面 、 ．给出下列命题：①若m ，n ，且m n ，则 ；②若//m ，//n ，且//m n ，则// ；③若m ，//n ，且m n ，则 ；④若m ，//n ，且//m n ，则// ．其中正确的命题的个数是（）.A 1；.B 2；.C 3；.D 4．16.曲线段:p :q .A p .C p 三、17.（1）（2）18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足222a cb ac．（1）求角B的大小；（2）若b ，求ABC的周长的最大值．19.1.2.3.4.（1）（2）已知椭圆 的离心率是12，长轴长4，椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上．（1）求椭圆 的标准方程；（2）已知A 、B 、C 是椭圆 上三个不同的点，F 是椭圆 的右焦点，若原点O 是ABC 的重心，求FA FB FC 的值；（3）已知 1,1T ，椭圆 四个动点M 、N 、P 、Q 满足3MT TQ ，3NT TP,求直线MN 的方程．第20题图已知有穷等差数列 12:,,,n m a a a a （3m ，m N *）的公差d 大于零．（1）证明： n a 不是等比数列；（2）是否存在指数函数．．．． y f x 满足： y f x 在1x a 处的切线交x 轴于 2,0a ， y f x 在2x a 处的切线交x 轴于 3,0a ，…， y f x 在1m x a 处的切线交x 轴于 ,0m a ？若存在，请写出函数 y f x 的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；（3）若数列 n a 中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列 n b ，求出所有可能的m 的取值．参考答案 2023.12一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．()1,3−；23．m ；4．23； 5．4320−；6．4π3； 7．39；8．π,x k k =∈Z ；9.92−； 10.()[),01,−∞+∞；11．2或3；12. 51,27⎛⎫− ⎪⎝⎭. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. C ；14. C ； 15．A ；16. A .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）解：（1）PD ⊥平面ABCD∴ DP BC ⊥ 又 BC DC ⊥ 且DCDP D =∴ BC ⊥平面CDP ． （2）BC ⊥平面CDP∴ BC ⊥CP ∴ CBP ∠为锐角 又//AD BC∴ CBP ∠为直线AD 与BP 所成的角 ∴ 060CBP ∠=∴CP =在Rt CDP ∆中，CP =，3CD =，于是DP =．18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.解：（1）因为222a cb ac +−=−，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +−∠==−120B ∠=︒（2）由正弦定理得，4sin a A =，()4sin 60c A =−，所以，ABC ∆的周长为()4sin 4sin 60a b c A A ++=+−+()04sin 60A =++00060A <<当030A =时，ABC ∆的周长的最大值为4+．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）四个模型假设都合理．理由如下（供参考）：假设1是为了保证撤离人员的安全，基本符合实际情况； 假设2 是为了方便模型的建立，与假设1相呼应； 假设3 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法； 假设4 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法． 说明：以上4条理由任选两条只要合理就给满分（每条3分）． （2）设队列人与人之间的距离为(0)d d>，队列行进的速度为(0)v v >，先考虑第一间教室人员的疏散，该教室最后一个人达到出口即为疏散完毕，所用时间11l n dt v +=；第二间教室最后一个人达到出口所用时间为222l n d t v+=．在所有人员排成单列行进撤离的假设下，建立模型（供参考） 模型1：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空（即第一间教室的最后一个人不影响第二间教室人员的撤离），这种情形出现的条件是1n d d lv v+≤，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为22l n dt v+=； 模型2：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，此时需要等第一间教室撤空后第二间教室的队伍再继续行进，这种情形出现的条件是1n d d lv v+>，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为12l n d n d dt v+++=．211212()()l n d n d d l v t l n d n d d n d d l v +⎧+≤⎪⎪=⎨+++⎪+>⎪⎩20.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 解：（1）由题意得，2a =，1c =，所以24a =，23b =，所以椭圆Γ的标准方程为22143x y +=（2）设()11,Ax y ，()22,B x y ，()33,C x y ，1122FA x ====−同理2122FB x =−，3122FC x =−又O 是△ABC 的重心，所以1230x x x ++=所以，6FA FB FC ++=（3）设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ，因为3MT TQ =，所以()()1212131131x x y y ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，即12124343x x y y −⎧=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩又()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，所以2211143x y +=，2211441114333x y −−⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()221122111431144943x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪−+−=⎪⎩于是，()()1111424424843x y −⋅+−⋅=，即()()111122143x y −+−= 又3NT TP =，同理得()()331122143x y −+−= 所以，直线MN 的方程为()()1122143x y −+−=，即3420x y +−=． 21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 解：（1）∵222213222()()0a a a a a d a d d −=−−+=>∴{}n a 不是等比数列． （2）()f x 在i x a =处的切线方程为()()()i i i y f a f a x a '−=−，令0y=得()()i i i f a x a f a =−'，因此，欲使()f x 满足条件，只需使()()f x d f x =−' 令()e xdf x −=，则1()e x df x d−'=−，满足条件，因此，存在指数函数()e x df x −=满足条件．（3）取{}:2,1,4n a −，则1,2,4−成等比数列，∴3m =满足条件． 当4m ≥，首先，{}n a 不可能所有项均为正数或均为负数，否则，对应的等比数列{}n b 的公比为正，等比数列严格增或严格减，从而{}n a 即为等比数列，不可能．其次，因为{}n b 是等比数列，所以{||}nb 也是等比数列，不妨设{||}n b 严格增，则{||}n b 的前三项即为||n a 中最小的三项，则一定对应于{}n a 中的连续三项,122,(0,0)k k k k k a a a a a +++<>，不妨设10k a +>，则221||||20k k k k k a a a a a +++−=+=>．② 若1||||k k a a +<，则12||||||k k k a a a ++<<，则12,,k k k a a a ++成等比数列，不可能；②若1||||k k a a +>，则12||||||k k k a a a ++<<，则12,,k k k a a a ++成等比数列，∴212k k k a a a ++=即2()(2)k k k a a d a d =++，得23k a d =−，113k a d +=，243k a d +=，而除了这三项外，||n a 最小值为15||3k a d −=或37||3k a d +=，但1k a −和3k a +均无法与12,,k k k a a a ++构成等比数列，因此不符合条件．综上，所有可能的m 的值是3．。
2024届上海市黄浦区高三一模数学试题及答案
上海市黄浦区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.6一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 2A x x ， 1B x x ，则A B ．2.若函数 1y x x a 为偶函数，则实数a 的值为．3.已知复数1z i （i 为虚数单位），则满足z w z 的复数w 为．4.5.6.7.某城市,34,36,418.在 若25a 9. 12010.若 ．11.设123,,,,n a a a a 是首项为3且公比为313233log log log a a a 1343log 1log 18n n a a 的最小正整数n 的值为．12.若正三棱锥A BCD 的底面边长为6，，动点P 满足DA CB PA PB PC PD ，则2PA PB PA 的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设x R ，则“38x ”是“2x ”的（）.A 充分而不必要条件；.B 必要而不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．14.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（）.A 720；.B 710；.C 310；.D 35．15.若实数a 、b 满足221a b ab ，则必有（）.A 222a b ；.B 221a b ；.C 1a b ；.D 2a b ．16.O 最近的点为点①点p Q ）.A 三、17.4、3、2后，（1）（2）n t ，求数列 n t 的18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，平面ABCD 平面ADEF ，四边形ADEF 是正方形，//BC AD ，45BAD CDA ，2CD，AD （1）证明：CD 平面ABF ；（2）求二面角B EF A 的正切值．19.（折线DCE ）（1）（2）第18题图第19题图设a 为实数，1 是以点 0,0O 为顶点、以点10,4F为焦点的抛物线，2 是以点 0,A a 为圆心、半径为1的圆位于y 轴右侧且在直线y a 下方的部分．（1）求1 与2 的方程；（2）若直线2y x 被1 所截得的线段的中点在2 上，求a 的值；（3）是否存在a ，满足：2 在1 的上方，且2 有两条不同的切线被1 所截得的线段长相等？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．第20题图设函数 f x 与 g x 的定义域均为D ，若存在0x D ，满足 00 f x g x 且 00''f x g x ，则称函数 f x 与 g x “局部趋同”．（1）判断函数 151f x x 与 322f x x x 是否“局部趋同”，并说明理由；（2）已知函数 21g x x ax （0x ）， 2e xg x b （0x ）．求证：对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数 f x 与 g x “局部趋同”；（3）对于给定的实数m ，若存在实数n ，使得函数 1n h x mx x（0x ）与 2ln h x x “局部趋同”，求实数m 的取值范围．高三数学参考答案和评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、填空题（本大题满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）1. [1 2]−，；2. 1；3. i − ；4. 54；5. 12； 6. ； 7. 56； 8. 2425； 9.220； 10. π(0,]6； 11. 25； 12. 8. 二、选择题（本大题共4小题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）13. A 14. B 15. D 16. C三、解答题（本大题共有5题，满分78分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由4345441000a a a a a a q q=⋅⋅=， 可得341000a =，即410a =. …………………………2分又由3454,3,2a a a 成等差数列，可得354426,a a a += 即402060,q q+=解得1q =或2，又{}n a 是严格增数列，所以2q =，…………………4分 故443410252n n n n a a q −−−==⋅=⋅. …………………………6分（2）由3(12)n n S =−，可得当2n ≥时，1113(22)32n n n n n n b S S −−−=−=−=−⋅，又1111332b S −==−=−⋅，所以对一切正整数n ，都有132n n b −=−⋅， …………………9分所以3132n n t −===⋅， ……………………11分所以{}n t 的前n 和为113131213(122)(21)44124n n n −−+++=⋅=−−. …………………14分 18.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．解：（1）在平面ABCD 内，BAD ∠=CDA ∠45=︒，∴直线AB, DC 相交，设它们交于点P ，90DPA ∴∠=︒, 即AB CD ⊥. 四边形ADEF 是正方形，AF AD ∴⊥，又平面ABCD ⊥平面ADEF ，它们的交线为AD ，AF ⊂平面ADEF ，故AF ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，AF CD ∴⊥. ……………4分又AB 与AF 是平面ABF 内的两条相交直线，∴CD ⊥平面ABF . ……………6分（2）在平面ABCD 内，过B 作BG AD ⊥，垂足为G .又平面ABCD ⊥平面ADEF , 它们的交线为AD ，故BG ⊥平面ADEF . ……………8分在平面ADEF 内，过G 作GH EF ⊥，垂足为H ，连BH ，则BH EF ⊥，故BHG ∠就是二面角B EF A −−的平面角， ……………11分又sin 45sin 45BG BA CD =︒=︒=，GH AF AD ===在直角BGH △中，1tan 4BG BHG GH ∠===， 所以二面角B EF A −−的正切值为14． ……………14分 法二：设O 是线段AD 的中点，由APD △是以AD 为底边的等腰直角三角形，可知PO AD ⊥，由平面ABCD ⊥平面ADEF , 它们的交线为AD ，且PO ⊂平面ABCD ，故PO ⊥平面ADEF , 设M 是线段EF 的中点，则OM ⊂平面ADEF ，可得PO OM ⊥，又,O M 是正方形ADEF 的对边,AD EF 的中点，可得AD OM ⊥， …………9分分别以,,OD OM OP 为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐 标系，则(42,0,0)EF =−，(2,42,2)BF =−，设(,,1)n x y =是平面BEF 的一个法向量，则有(42)0,24220,n EF x n BF x y ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=⋅+⋅−=⎪⎩解得0,1.4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故1(0,,1)4n =，又(0,0,22)OP =是平面ADEF 的一个法向量， ……………11分 所以二面角B EF A −−的余弦值为||4224172217||||n OP n OP ⋅⋅==⋅⋅， ，故二面角B EF A −−的正切值为14. ……………14分 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解：（1）由πππ()333DOC αα∠=+−<<，2π3AOB ∠=, 可知 π3COE α∠=−, 作OF CD ⊥, 垂足为F ，由OD OC =，可知CF DF =且1π262DOF DOC α∠=∠=+， 在直角DOF △中，πsin()62DF OD α=+，故π2sin()62CD OD α=+， 同理可得ππ2sin()2sin()6262EC OC OD αα=−=−， ……………4分 所以π2sin()62OD α++π2sin()10062OD α−=，可得OD =5050ππsin()sin()cos 62622ααα=++−(米). ……6分（2）设花卉育苗区的面积为S 平方米，则221π1πsin()sin()2323S OD OD αα=++− 22150ππ[sin()sin()]233cos 2ααα=++−. ………9分1]1cos cos 2S =α==−+α. ……………12分 当且仅当cos 1α=且ππ33α−<<，即0α=时，S 取最大值，此时50OD =米. 故使π3DOC ∠=，且50OD =米，可使花卉育苗区的面积最大. ………………14分 20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解:（1）设1Γ的方程为22x py =，又124p =，得21p =，即1Γ的方程为2y x =， ……2分 2Γ的方程为22()1(0,)x y a x y a +−=><. ……………4分（2）设直线2y x =+与1Γ的交点为1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)G x y ， 由22,,y x y x =+⎧⎨=⎩可得220x x −−=，故1200015,2222x x x y x +===+=， ……………7分 由点G 在2Γ上，可知215()142a +−=且52a <，解得52a =. ……………10分 （3）设(,)D x y 为2Γ上任一点，则1)y a x =−<<. 点D 在1Γ的上方等价于2a x >,即2a x >对于(0,1)x ∈t =, 由(0,1)x ∈, 可得(0,1)t ∈,故222151()24x t t t +=−++=−−+的最大值为54, 可得54a >. ………12分 设直线y kxb =+与2Γ相切, 被1Γ截得的线段长为L ，则0,1k b a ><−,1=,可得a b −=, 又由2,,y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得20x kx b −−=, 设它的两个实根为12,x x , 则2222212(1)()(1)(4)L k x x k k b =+−=++， …………14分 设a b n −=，则1n >，n =，222432(144)4(41)L n n n a n n a n =−−+=−+−，令432()4(41)f n n n a n =−+−，则3223()412(82)[4()811]2f n n n a n n n a '=−+−=−+−， 当且仅当8110a −<，即118a <时，存在132n +=，使得在1(1.5,)n 与1(,)n +∞上， ()f n '分别小于0和大于0, 故()f n 分别严格增与严格减，故在(1.5,)+∞上必存在两个不同的n 值, 对应的()f n 相等，即存在两个不同的正数k ，使得对应的L 值相等.所以存在a 满足题中条件，且a 的取值范围是511(,)48. ……………18分21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）1212()(),()(),f x f x f x f x =⎧⎨''=⎩(*1)即为32512,532,x x x x ⎧+=+⎨=+⎩………………2分 也即3310,1,x x x ⎧−−=⎨=±⎩由1x =与1x =−都不满足方程3310x x −−=， 故(*1)无解，所以1()f x 与2()f x 非“局部趋同”. ……………4分（2）1212()(),()(),g x g x g x g x =⎧⎨''=⎩即为2e ,2e ,x x x ax b x a b ⎧−+=⎨−+=⎩ 等价于2(2)0,2e ,x x a x a x a b ⎧−++=⎨−+=⎩（*2） ………7分 令2()(2)g x x a x a =−++，对于任意正数a ，由(0)0g a =>，()02a g a =−<， 又()g x 在[0 ]2a ，上的图像是连续不间断的，故 ()g x 在(0 )2a ，上至少有一个零点， ……9分 设0x 是其中一个零点，则存在正数002e x x a b −+=，使得（*2）在(0 )+∞，上有解0x ， 故对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数1()g x 与2()g x “局部趋同”. …………10分（3）1212()(),()(),h x h x h x h x =⎧⎨''=⎩(*)即为2ln ,1,n mx x x n m x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩等价于221ln ,,mx x n mx x −=⎧⎨=−⎩（*3） ………13分令()ln h x x =，则1()h x x'=，()h x 的图像在点(,ln )t t 处的切线的方程为1ln ()y t x t t −=−， 即1ln 1y x t t=+−，令ln 11t −=−，可得1t =，此时上述切线方程为1y x =−，………15分 故当且仅当21m =时，直线21y mx =−与()h x 的图像相切，由图像可知，当且仅当21m ≤时，直线21y mx =−与()h x 的图像有公共点（在y 轴右侧），故当且仅当12m ≤时，21ln mx x −= 有正数解0x ，此时存在200n mx x =−，使得（*3）有正数解，从而1()h x 与2()h x “局部趋同”.所以满足条件的实数m 的取值范围是1(,]2−∞. ……………18分。
2024届上海徐汇区高三一模数学试卷和答案
2023-2024学年第一学期上海徐汇区学习能力诊断卷高三数学试卷2023.12考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息.3．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，则M =________________．2.不等式11x>的解集是_____________.3.已知直线:2l y kx =+经过点(1,1)，则直线l 倾斜角的大小为_______________．4.若实数,x y 满足2x y +=，则22x y +的最小值为______________.5.某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为_________.6.函数lg(21)lg y x x =++的零点是______________.7.已知1021001210(1)x a a x a x a x -=+++⋯+，则57139a a a a a ++++=___________.8.要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是___________.9.在ABC ∆中，AC BC =，123,P P P ,为边AB 上的点，且1238428PB P B P B AB ====，设(1,2,3)k k k I P B P C k =⋅=，则123I I I -+=___________.10.某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽BC 为1米，则该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过______________米．11.已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为______________.12.已知函数()y f x =，其中12()122x xxf x a +-=--+，存在实数12,,,n x x x 使得11()()n ini f x f x -==∑成立，若正整数n 的最大值为8，则实数a 的取值范围是________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设12z z ∈C 、，则“12z z 、中至少有一个虚数”是“12z z -为虚数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.跳水比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分,得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比,一定不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差15.已知集合{(,)|()}=M x y y =f x ，若对于任意(,)x y M ∈，总存在与之相应的(,)x y M ∈，，（其中x x ≠，），使得()()2222||xx yy x y x y +=+⋅+，，，，成立，则称集合M 是“Ω集合”.下列选项为“Ω集合”的是()A ．1{(,)|0 }M x y y =x x=>，B ．{(,)|-2}=x M x y y =e C ．{(,)|cos }=M x y y =x D ．3{(,)|}M x y y =x =16.已知数列{}n a 为无穷数列．若存在正整数l ，使得对任意的正整数n ，均有n l n a a +≤，则称数列{}n a 为“l 阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列{}n b 为无穷数列且cos 2n nb n =-（n为正整数），则数列{}n b 是“l 阶弱减数列”的充要条件是4l ≥；②数列{}n c 为无穷数列且11n n q c an q -=+-（n 为正整数），若存在a ∈R ，使得数列{}n c 是“2阶弱减数列”，则11q -≤<．那么()A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①､②都是真命题D ．①､②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 的公比为12q =，且满足449a b +=，求数列{}n n a b -的前n 项和n T .18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，某多面体的底面ABCD 为正方形，MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求二面角B PM D --的平面角的正弦值.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地OAB 中，2AOB π∠=，500OA =米，点Q 是弧AB 的中点，P 为线段OQ 上一点（不与点O ，Q 重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO ，PA ，PB .记APQ θ∠=，三条轨道的总长度为y 米．（1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO 的长．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的离心率为e .（1）若e =E 经过点，求双曲线E 的方程；（2）若2a =，双曲线E 的左、右焦点分别为12F F 、，焦点到双曲线E ，点M 在第一象限且在双曲线E 上，若1MF =8，求12cos F MF ∠的值；（3）设圆22:4O x y +=，,k m ∈R .若动直线:l y kx m =+与圆O 相切，且l 与双曲线E 交于A B 、时，总有2AOB π∠=，求双曲线E 离心率e 的取值范围．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若函数(),y f x x =∈R 的导函数(),y f x x '=∈R 是以(0)T T ≠为周期的函数，则称函数(),y f x x =∈R 具有“T 性质”.（1）试判断函数2y x =和sin y x =是否具有“2π性质”，并说明理由；（2）已知函数()y h x =，其中2()2sin (03)=++<<h x ax bx bx b 具有“π性质”，求函数()y h x =在[0,]π上的极小值点；（3）若函数(),y f x x =∈R 具有“T 性质”，且存在实数0M >使得对任意x ∈R 都有|()|f x M <成立，求证：(),y f x x =∈R 为周期函数.（可用结论：若函数(),y f x x =∈R 的导函数满足()=0,f x x '∈R ，则()()常数=f x C .）参考答案及评分标准2023.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．[]2,2-2.()0,1 3.34π 4.25.300 6.27.512-8.249.110.2-11.212.49943773⎛⎤⎡⎫-- ⎥⎢⎝⎦⎣⎭，二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.B14.A15.D16.C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+，且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =.所以1n a n =+.（2）由（1）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.因为12q =，可得41332b b q==，所以，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--6(3)2642n n n -+=+-.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为MA BC ⊥，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B = ，所以PB ⊥平面ABCD .118222333P ABCD ABCD V S PB -=⋅=⨯⨯⨯=.（2）因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又PB AB ⊥，PB BC ⊥.所以如图，建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(220)D ,,，(222)PD =-,,，(201)PM =-,,.设平面PDM 的法向量为()x y z m = ,,，则00PD PM m m ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,,即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,.令2z =，则1x =，1y =.于是(112)m = ,,.所以，平面PDM 的一个法向量为(112)m =,,.平面PBAM 的一个法向量为(010)n =,,，设二面角B PM D --的平面角为θ，所以cos cos 66m n m n m nθ=<>==⋅,.所以，二面角B PM D --的平面角的正弦值为306.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为点Q 是弧AB 的中点，由对称性，知PA PB =，4AOP BOP π∠=∠=，又APO πθ∠=-，4OAP πθ∠=-，500OA =由正弦定理，得()sin sinsin 44APOAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，500sin 25024,sin sin AP OP πθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==所以，.500sin 2sin cos 42sin sin y AP BP OP AP OP πθθθθθ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=++=+==所以，因为APQ AOP ∠>∠，所以4πθ>，13248AQO OAQ πππ⎛⎫∠=∠=-= ⎪⎝⎭，所以5,48ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（2）法一：由（1）得：2cos sin y θθ-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，则sin cos 2t θθ+=，由辅助角公式可得：)2sin()1θϕθϕ+=⇒+=，解得t ≥，当t =时，可有5sin(1,6348ππππθθ⎛⎫+=⇒=∈ ⎪⎝⎭，等号可以取得．故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法二：由（1）得：2cos sin y θθ-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，tan tan ,tan 2816x θππ5⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则由万能置换公式可得：2222123111132221x x x t x x x x x--+⎛⎫+===+≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当33x =即3πθ=时等号成立．故当3πθ=，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法三：令()2sin cos sin f θθθθ+-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由()212cos '0sin f θθθ-==，解得3πθ=，则有θ43ππθ<<3πθ=538ππθ<<()'f θ0<0=0>()f θ严格减极小值严格增所以当3πθ=，即(2503OP =米时，()f θ有唯一的极小值，即是最小值，则()min 1f θ=+，三条轨道的最小值为+.故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）由e =，得c =，又222c a b =+得22a b =,又双曲线E 经过点，有22211a b-=，所以21a =,所以，双曲线方程为221x y -=.（2）由已知得22214x y b-=，渐近线方程为20bx y ±=，焦点坐标为(0)焦点到双曲线E的渐近线的距离为=，所以b =由双曲线定义知，24MF =，222128413cos 28416F MF +-∠==⨯⨯所以，.（3）因为直线:l y kx m =+与圆O 相切，且2R =2=，化简得2244m k =+,又2AOB π∠=，11221212(,),(,),0,0A x y B x y OA OB x x y y ⋅=+= 则即，设则221212(1)()0k x x km x x m ++++=，（*）联立2222222222222)201y kx mb a k x a kmx a m a b x y a b =+⎧⎪----=⎨-=⎪⎩得 (，则222212122222222(),a mk a m b x x x x b a k b a k-++==--代入（*）得222222222(1)()2()0k a m b km a mk m b a k ⎡⎤+-++⋅+-=⎣⎦将2244m k =+代入，进一步化简得222222222(1)(44)0,440k a a b b a a b b ++-=+-=则，又222c a b =+，22222222224()4()8024a a c a c a cb a a +---+==>由，得，则ce a=>e的取值范围)+∞.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）2()=f x x 不具有“2π性质”.理由是：()2,(2)(0)40,(2)(0)πππ'''''=-=≠∴≠f x x f f f f ；法一：。
2020届上海中学高三数学周练(一)(PDF版简略答案).pdf
0 ），
f
(
)
f
( ) ，且
f (x) 在区间 (
, ) 内有最
3
6
3
63
小值，无最大值，则
9.
已知函数
f
(
x)
x 2x
1 1
2
范围是
0 x 1 ，设 a b 0 ，若 f (a) f (b) ，则 b f (a) 的取值
x 1
10. 在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a, a) ， P 是函数 y 1 （ x 0 ）图像上一动点， x
16.
PA
PB
c
PA
PC
b
c
2 PA
说明
AP
为角平分线，由此判断②正确，选
B
b
b
三. 解答题
17. S 3 ， AB 6 2
18.（1） x2 y2 1 ；（2）0 84
19.（1）
f
( )
2(sin cos ) sin cos
k1 k2 k3
19. 一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁 FG 和外壁 BC 都是半径为 1 m 的四分之一 圆弧， AB 、 DC 分别与圆弧 BC 相切于 B 、 C 两点， EF ∥ AB ， GH ∥ CD 且两组平行 墙壁间的走廊宽度都是 1 m . （1）若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M 、N 分别在外壁 CD 和 AB 上，且木棒与内壁圆 弧相切于点 P ，设 CMN ，试用 表示木棒 MN 的长度 f ( ) ； （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值（精确到 0.01 m ）
2024届上海市闵行区高三一模数学试题及答案
上海市闵行区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.12一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 0,1,1M a ，若1M ，则实数a ．2.若1sin 3，则 sin ．3.若4.5.6.7.则 8.的值最小，则a 9.10.．11.已知数列 n a 为无穷等比数列，若12ii a，则1i i a的取值范围为．12.已知点P 在正方体1111ABCD A B C D 的表面上，P 到三个平面ABCD 、11ADD A 、11ABB A 中的两个平面的距离相等，且P 到剩下一个平面的距离与P 到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P 的个数为．第12题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知a b R 、，a b ，则下列不等式中不一定成立的是（）.A 22a b ；.B 22a b ；.C 22a b ；.D 22a b ．14.某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（）.A 高二和高三年级获奖同学共80人；.B 获奖同学中金奖所占比例一定最低；.C 获奖同学中金奖所占比例可能最高；.D 获金奖的同学可能都在高一年级．15.已知复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为P 、Q ，5OP （O 为坐标原点），且221122sin 0z z z z ，则对任意R ，下列选项中为定值的是（）.A OQ 16.①“1x .A .C 三、17.如图，，且PA PD2a（1）（2）第17题图18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且2cos a c B c ．（1）若1cos 3B，3c ，求b 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，求sin C 的取值范围．19.B 表示事件已知04p ，曲线1 、2 的方程分别为22y px（08x ，0y ）和22x py （08y ，0x ），1 与2 在第一象限内相交于点 ,K K K x y ．（1）若OK p 的值；（2）若2p ，定点T 的坐标为 4,0，动点M 在直线y x 上，动点 ,N N N x y （04N x ）在曲线2 上，求MN MT 的最小值；（3）已知点y x，求实数p 的已知a R ， 32251ln f x a x x x a x ．（1）若1为函数 y f x 的驻点，求实数a 的值；（2）若0a ，试问曲线 y f x 是否存在切线与直线10x y 互相垂直？说明理由；（3）若2a ，是否存在等差数列123,,x x x （1230x x x ），使得曲线 y f x 在点22,x f x 处的切线与过两点11,x f x 、33,x f x 的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由．参考答案与评分标准一. 填空题 1．2−； 2．13； 3．4； 4．6； 5．6π； 6．y x =±； 7．23π；8．3；9．18； 10．0,,22⎧⎪−⎨⎪⎪⎩⎭； 11．[)2,+∞；12．6.二. 选择题 13．C ； 14．D ； 15．A ； 16．C ．三. 解答题17．(1) [证明]连接AC ,ABCD 为正方形且F 为BD 的中点， F ∴为AC 的中点，又E 为PC 中点，//EF PA ∴. …………………………………2分又EF 不在平面PAD 上,PA ⊂平面PAD ，//EF ∴平面PAD . ………………………………………6分 (2) [解] 2,2PA PD a AD a ===，PA PD ∴⊥, ∴PAD △为等腰直角三角形，取AD 中点M ,由等腰三角形性质可知PM AD ⊥, ………………………………8分 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PM ABCD ∴⊥平面,……………………………………………10分连接BM ,则PBM ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角， ………………………12分由1,22PM a BM a ==，PMMB ⊥可得tan 5PBM ∠=, ∴直线PB 与平面ABCD 所成的角的正切值为5. ……………………………14分18．[解] (1)将1cos 3B =,3c =带入条件中可得5a =，………………………2分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+−可得b =； …………………………6分 (2) 2cos a c B c −=，由正弦定理可得sin 2sin cos sin A C B C −=, ………8分 sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,sin cos sin cos sin B C C B C ∴−=,sin()sin B C C −=， ……………………10分(,),(0,)222B C C πππ−∈−∈,所以B C C −=,即2B C =,…………………12分 又因为ABC △为锐角三角形，(,)64C ππ∴∈,1sin (,22C ∈.………………14分19．[解]（1）从这36名小青荷中随机抽取两名的方法数为236C ，……………………2分 抽取的两名都不会说日语的方法数为216C ， ………………………………4分因此，抽取的两名中至少有一名会说日语的概率为21623617121C C −=； ………………6分（抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的方法数为211202016C C C + 给2分）（2）当6m =、12n =时，事件A 与B 相互独立， ……………………………8分M理由如下：从这些小青荷中随机抽取一名，事件A 发生的概率121()363P A ==， 事件B 发生的概率6121()362P B +==， …………………………………10分 事件A 与B 同时发生的概率61()366P A B ==， …………………………12分 111()()()326P A P B P A B ⋅=⨯==，因此，事件A 与B 相互独立. …………………………………14分（其它答案：当7m =、14n =时，1()3P A =，7147()3612P B +==，7()36P A B =；当8m =、16n =时，1()3P A =，8162()363P B +==，82()369P A B ==.）（2）[另解] 从这些小青荷中随机抽取一名，事件A 发生的概率121()363P A ==， 事件B 发生的概率()36m nP B +=， …………………………8分 事件A 与B 同时发生的概率()36mP AB =， …………………………10分 若事件A 与B 相互独立，则1()()()33636m n m P A P B P A B +⋅=⨯==， 整理得2n m =， …………………………12分 所以可取6m =、12n =或7m =、14n =或8m =、16n =. ……………14分 (学生只需写出三种情况中的一种即可)20．[解]（1）联立2222y pxx py⎧=⎪⎨=⎪⎩，由点(,)K K K x y 在第一象限，得22K K x p y p=⎧⎨=⎩，…………………………2分 由||OK ==2p =； ……4分 （2）曲线1Γ和2Γ关于直线y x =对称，取N 关于y x =的对称点'N ，则'N 在曲线24(04,0)y x x y =≤≤≥上， ………………6分min min ()(')MN MT MN MT ∴+=+，又因为''MN MT TN +≥，所以只需求T 到24(04,0)y x x y =≤≤≥上动点'N 的距离'TN 的最小值，令'(4)N x x ≤≤，则'TN==，………8分当2x =时，'TN 的最小值为min ()MN MT ∴+=所以（当(8M −−，N 时）MN MT +的最小值为…10分（3）由（1）可得1|||AC x==，（102x p≤≤），2||BD x==，（228p x<≤），…………………………12分因此当12px=时，2m p=，当28x=时，t=，………………………………………14分由1[,2]2mt∈，得122≤≤，……………………………………………16分解得16160p−≤≤−．……………………………………………18分21．[解]（1）由题意21()3(2)25ax a xxf x−=−−++'，…………………2分由1为函数()y f x=的驻点，得(1)3(2)3(1)0a af=−++−='，因此1a=；……………………………………………4分（2）当0a=时，32()25lnf x x x x x=−−++，21()625f x x xx=−−++'，………………………………………………6分原问题等价于是否存在x>，使得()10xf'+=，令21(())1626(0)x x x xxg x f+=−−++>='因为函数()y g x=在区间1[,1]2上是一段连续曲线，且111()022g=>，(1)10g=−<，……………………………………………8分由零点存在定理，存在1(,1)2x∈，使得00(())10x xg f'+==，即曲线()y f x=存在切线与直线10x y+−=互相垂直；……………………10分（3）当2a=时，2()5lnf x x x x=−+−，1()25xxf x=−+'−，假设存在等差数列123123,,(0)x x x x x x<<<满足题意，则31231()()()x xxxfxff−=−'，即223131223131ln ln1255x x x xxx x x x x−−−+−=−+−−−，将1322x xx+=代入上式得，3131312()ln lnx xx xx x−=−+，………………………12分即3313112(1)ln01xxxx xx−−=+，令312(1),()ln(1)1x tt h t t tx t−==−>+，……………14分则22241(1)()0(1)(1)httt t t t−−=−=<++'，因此函数()y h t =在(0,)+∞上为严格减函数， …………………………………16分由题意311x t x =>，(1)0h =，所以()0h t <，即31()0xh x <．因此，不存在等差数列123123,,(0)x x x x x x <<<满足题目条件．……………18分。
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高三每周一测数学试卷（18）
一、填空题 1、设集合
2{5,log (3)}A a =+，{,}B a b =．若A∩B={1}，则A ∪B= {－1，1，5} ．
2、已知复数z 与
i z 18)3(2
+-均是纯虚数，则=z i 3- 。
3、函数
a
x x f -=)(在区间
[)1,+∞上为增函数，则实数a 的取值范围为 1≤a 。
4、在△ABC 中，5=AB ，7=AC ，D 是BC 边的中点，则⋅的值是 12 .
5、已知函数
)
21(log )()(2
11-==-x x f x f y 的反函数，则方程1)(=x f 的解集是 {1} 。
6、图l 是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为
1A 、
2A 、…、m A (如2A 表
示身高(单位：cm )在
[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm (含160cm ，不含180cm )的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填
写的条件是
8i < .
7、设
}1{,21n a a +=数列是公比为2的等比数列，则数列的通项公式n a = 1231-⋅-n 。
8、等差数列
}{n a 的公差,0<d 且2
1121a a =，则数列}{n a 的前n 项和n S 取得最大值时的
项数n 是 5或6 。
9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇. 若任
意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是 15
56 (结
果用分数表示).
10．在抽查某产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，
[],a b 是其中一组，已知该组的频
率为m ，该组上的直方图的高为h ，则a b
-等于 m
h .
11．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，，
则球心O 到平面ABC 的距离为
3 。
12、已知函数y=12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭与y=log a x (a>0且a ≠1)，两者的图像相交于点P 00(,)x y ，
如果x0≥2,
那么a 的取值范围是 16≥a 。
13、函数
),2[)2(log 2
+∞+-=在ax x y a 恒为正，则实数a 的数值是 1<a<25。
14、设数列
{}n a 的前n 项和为n S ，令
12n
n S S S T n
++
+=
，称
n T 为数列1a ，2a ，……，
n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，501a 的“理想数”为2008，那么数列2， 1a ，2a ，……，501a 的 “理想数”为 2006 。
二、选择题
15、函数1
)4
(cos )4
(sin )(22--
++
=π
π
x x x f 是…………………………………（ A ）
A ．周期为π的奇函数
B ．周期为π的偶函数
C ．周期为2π的奇函数
D ．周期为2π的偶函数
16、若三阶行列式D 的第二行的元素依次1，2，3，它们的余子式分别为2，3，4，则D 的值是……………………………………………………………（D ） A ．8 B ． 9 C ．7 D ．-8
17、等差数列{an}中，a1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是……………………………………………………………（ A ） A ．a11 B ．a10 C ．a9 D ．a8
18、设点列*
),(N n a n P n n ∈，数列{an}的前n 项和为Sn, 且Sn = 2n2 + 3n ， 则直线
2+n n P P 的一个方向向量的坐标可以是…………………………………………… （ C ）
A ．（2，21
）
B ．(-1, -1)
C ．（2,21--）
D ． (21
-
, -1)
三、解答题
19．已知z 是复数，i z i z -+22、均为实数（i 为虚数单位），且复数2
)(i a z +在复平面上
对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.
解：设R)∈+=y x yi x z 、(，i y x i z )2(2++=+ ，由题意得 2-=y .
i x x i i x i i x i z )4(51
)22(51)2)(2(51222-++=+-=--=-
由题意得 4=x . ∴ i z 24-=. ∵
2)(ai z +i a a a )2(8)412(2
-+-+= 根据条件，可知⎩⎨
⎧>->-+0)2(80
4122a a a ，解得 62<<a ，∴ 实数a 的取值范围是)6,2(
20．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，43
4sin 4cos 22
=-C C .
（1）求C cos 的值；
（2）若
25
=
⋅CA CB ，且9=+b a ，求c 边的长.
1
A
21、（本题满分12分）在长方体1111
ABCD A BC D
-中，
1
1,2
AD AA AB
===，点E在棱AB上移动，
（1）证明：11
D E AD
⊥；（2）当E为AB的中点时，求点E到面
1
ACD的距离；（3）（理）AE为何值时，二面角1
D C
E D
--的大小为4
π
．
解：（2）
1
3
（3
）2
AE=
22．已知函数
()()
2
log x x
f x a b
=-
，且
()()
2
11,2log12
f f
==
，
（1）求a、b的值；
（2）当
[]
1,2
x∈
时，求
()
f x
的最大值
解：（1）4
a=，2
b=
（2）
()()
2
log42
x x
f x=-
，
[]
1,2
x∈
令42
x x
u=-
设
[]
22,4x t =∈
则
2
2
11
24u t t t ⎛⎫=-=--
⎪⎝⎭ ，[]2,4t ∈ []
2,12u ∈
2log y u =在[]2,12单调递增
∴max 22log 122log 3y ==+
23、容器A 中有12%的食盐水300克，容器B 中有6%的食盐水300克.现约定完成下列工
作程序为一次操作：从A 、B 两个容器中同时各取100克溶液，然后将从A 中取出的溶液注入B 中，将B 中取出的溶液注入A 中.
（1）经过n 次操作后，A 、B 中的盐水浓度分别为an%、bn%，求证：an+bn 为常数； （2）分别求出an 和bn 的通项公式.
解：（1）经过n 次操作后，A 中盐水的浓度为
300%
100%200%11--⨯+⨯=
n n n b a a ，
得)
2(31
11--+=n n n b a a ，同理)2(3111--+=n n n b a b .
186120011=+=+==+=+∴--b a b a b a n n n n 为常数
（2）由（1）可知
}{),(31
,1811n n n n n n n n b a b a b a b a -∴-=
-=+--又是首项为a0－
b0=6，公比为31
的等比数列，于是有
1
131
9,319.)31(6---=+=⋅=-n n n n n n n b a b a 解得。