19.1.1变量与函数教案
人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》教学设计
人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》是初中数学的重要内容，主要让学生了解变量的概念，以及变量与函数的关系。
本节课通过具体的实例，引导学生理解函数的概念，并能够运用函数解决实际问题。
教材内容由浅入深，循序渐进，符合学生的认知发展规律。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了代数的基础知识，对数学概念有一定的理解能力。
但是，对于函数的概念和意义，以及如何运用函数解决实际问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过实例理解函数的概念，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解变量与函数的概念，能够识别函数关系，并运用函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：理解变量与函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.难点：函数概念的理解，以及如何运用函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和情境教学法。
通过设置问题情境，引导学生观察、操作、思考，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
同时，鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队协作意识和创新精神。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生学情，设计教学问题和活动。
2.学生准备：预习教材，了解变量与函数的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如温度随时间的变化，引出变量与函数的概念。
提问：什么是变量？什么是函数？引导学生思考并回答。
2.呈现（15分钟）呈现教材中的例题和练习题，让学生观察、分析，引导学生发现变量与函数之间的关系。
提问：如何判断两个变量之间存在函数关系？如何表示函数关系？3.操练（15分钟）学生分组讨论，选取一个实例，尝试用函数表示变量之间的关系。
19.1.1变量与函数(1)教学设计
第19章《19.1.1变量与函数》教学设计教学内容19.1.1变量与函数第一课时教学目标知识与技能：1．认识变量、常量．2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．过程与方法：1．经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理,有条理地、清晰地阐述自己观点．2．逐步感知变量间的关系．情感、态度与价值观：1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．2．形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．教学重点1．认识变量、常量．2．用式子表示变量间关系．教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量．教学方法引导、探索法教学准备PPT教学过程设计教学过程一、前提预设此环节由一名学生带领大家复习学过的知识，教师进行补充。
二、目标解读认识变量与常量，会用含一个变量的代数式表示另一个变量。
三、合作学习（一）快乐独学汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．1.请同学们根据题意填写下表：t/时 1 2 3 4 5 ts/千米2.在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．3.试用含t的式子表示s,s=________,t的取值范围是_____________.这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．(二)愉悦合作问题一：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．•１．请同学们根据题意填写下表：售出票数（张）早场150 午场205 晚场310 x收入y (元)2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．3．试用含x的式子表示y，y=______。
这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．问题二：小军用50元钱去买单价为6元的笔记本，则他剩余的钱Q与他买这种笔记本的本数x之间的关系为：___________________________1、以上过程中变化的量是____________,不变的量是_______________.2、这个问题反应了________随__________的变化过程.归纳总结：在一个变化过程中，我们称数值发生变化．．．．的量为________；在一个变化过程中，我们称数值始终不变．．．．的量为________；（三）幸福展示：指出下列问题中的变量与常量1、某市的自来水价格为4元每吨，现在要抽取若干户居民调查水费的支出情况，记某户的月用水量为x吨，月应交水费为y元。
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《变量与函数》教案【教学目标】1.知识与技能（1）了解变量与常量的意义；（2）体会运动变化过程中的数量变化．2.过程与方法使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。
3.情感态度和价值观渗透事物是运动的，运动是有规律的辩证思想。
【教学重点】了解常量与变量的意义。
【教学难点】常量与变量的确定及关系。
【教学方法】自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】教学课件。
【课时安排】1课时【教学过程】一、情景导入【过渡】在我们生活的世界中，所有的事物都是在不停的变化，行星在宇宙中的位置随时间而变化；气温随海拔而变化；火箭的高度随时间而变化，雄鹰的飞翔也会变化。
在我们周围的事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在。
课件展示图片。
【过渡】对于这些变化，我们从最基本的概念来进行认识。
二、新课教学1．变量与常量【过渡】大家先来思考一下几个问题。
（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为t h，行驶路程为s km．（2）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？（3）你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积s分别为多少？s的值随r的值的变化而变化吗？（4）用10 m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？分别指出问题中的变化的量及不变的量。
【过渡】在刚刚的几个问题中，我们知道在事物变化的过程中，有些量的变化的，而有些量则是固定的数值，保持不变。
在数学里，我们把这些变化的量称为变量，不变的量称为常量。
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
【练习】课本P71练习题，说出变量及常量。
第一课时 19.1.1 变量与函数教学设计
第十九章一次函数19.1 函数第一课时19.1.1 变量与函数课件说明：本课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变，本课在充分体会运动变化过程中数量变化的基础上，领会变量与常量的含义，进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念．学习目标：1．了解变量与常量的意义；2．体会运动变化过程中的数量变化．3.从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念．学习重点：1.了解变量与常量的意义，充分体会运动变化过程中量的变化．2.概括并理解函数概念中的单值对应关系．一、新课引入二、学习目标：1、了解变量的概念，会区别常量与变量2、理解变化与对应的内涵三、研读课文认真阅读课本第71页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.知识点一变量与常量三、研读课文1、汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h，填写表19-1，s的值随t 的值的变化而变化吗？表19-1(１)请同学们根据题意填写下表：(２)在以上这个过程中，变化的是_____________,不变化的量是______.(３)试用含t的式子表示s 是_______.2、每张电影票的售价为10元，如果第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310 张票(１)第一场电影的票房收入_____元；第二场电影的票房收入_____元；第三场电影的票房收入_____元.(２) 在以上这个过程中,变化的______________ 不变化的量是___________.(３) 设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？（4）y的值随x的值的变化而变化吗？3、你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积s分别为多少？s的值随r的值的变化而变化吗？4、用10 m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？思考： 上面的问题，你能说出哪些量的数值是变化的？哪些量的数值是始终不变的？ 变化的量：时间 t ,路程 s ; 售出票数x , 票房收入y ; 圆的半径r,圆的面积s ; 矩形的一边长x ,矩形的邻边长y 。
八年级数学下册 第19章 一次函数 19.1 变量与函数 19.1.1 变量与函数教案
售出票数x
100
120
140
160
180
……
票房收入y
①找一名学生填表，让学生一起分析y与x是不是单值对应关系;
②描述y与x的单值对应关系.
【设计意图】通过模仿训练，尝试初步理解单值对应的含义.
3、圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中,圆的半径r 厘米 ,圆的面积为S 平方厘米，圆周率（圆周长与直径之比)为π.
（4）思考问题4中，矩形的宽y为自变量，矩形的长x是y的函数是否正确
①强调辨别函数的关键是：是否有两个变量，并且变量是否是单值对应关系；
②补充说明：一般地，主动变化的量是自变量,随之变化的量是函数。
【设计意图】借此例，将自变量与函数互换，说明只要满足单值对应,就可以用函数来表示这种关系，灵活理解函数的定义。
【设计意图】通过这三道例题，使学生学会根据定义判断函数关系，经过反复训练，突破难点.
4、P是数轴上的一个动点,它到原点的距离记为 x，它的坐标记为 y，y 是 x 的函数吗？为什么？
【设计意图】通过这道题,说明点的坐标y与绝对值x不是单值对应关系，所以不是函数；但反过来，x却是y的函数，采用小组讨论的方式，升华对函数定义的理解.
练习1:指出下列变化过程中的变量和常量:
1、某市的自来水价为4元/吨,现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为 x 吨,月应交水费为 y 元；
2、某地手机通话费为0.2元/分，李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t 分，话费卡中的余额为w 元;
3、水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为π；
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计1
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计1一. 教材分析《变量与函数》是人教版数学八年级下册第19.1.1节的内容，本节课主要介绍变量的概念以及函数的定义。
学生在学习本节课之前，已经掌握了代数基础知识，如代数式、方程等，为本节课的学习打下了基础。
本节课的内容是学生学习更高级数学知识的重要基石，对于培养学生的逻辑思维能力、解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于未知数、代数式等概念有了初步的了解。
但是，学生在学习过程中，可能对于抽象的变量概念、函数的定义及表示方法等方面存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过具体实例来理解抽象概念，提高学生的抽象思维能力。
三. 教学目标1.理解变量的概念，掌握常量与变量的区别。
2.理解函数的定义，掌握函数的表示方法。
3.能够运用变量和函数的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：变量、函数的概念及其表示方法。
2.难点：函数概念的理解，函数表示方法的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入变量和函数的概念，使学生能够更好地理解抽象知识。
2.引导发现法：教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现变量和函数的规律。
3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对变量和函数概念的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的教学课件，帮助学生直观地理解变量和函数的概念。
2.教学实例：准备一些生活实例，用于引导学生学习变量和函数。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如气温、水位等，引导学生思考这些量是如何变化的。
通过观察、讨论，让学生初步理解变量概念。
2.呈现（10分钟）介绍常量与变量的定义，让学生明确常量与变量的区别。
接着，引入函数的定义，讲解函数的表示方法，如解析式、图象等。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，举例说明生活中的一些函数关系，如身高与年龄的关系、商品价格与数量的关系等。
人教版八年级下第19章一次函数19.1.1变量与函数教案
3.培养学生合作交流、自主探究的学习习惯，提高数学建模和数学运算的核心素养。
4.激发学生学习兴趣，培养勇于挑战、善于思考的学习态度，提升学生的数学素养和综合素质。
在教学过程中，重点关注学生在以下方面的表现：
1.能否运用所学知识，分析并解决实际问题，体现数学的应用价值。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调变量与常量的区别以及函数的三要素。对于难点部分，我会通过举例和图示来帮助大家理解一次函数的定义和图像特点。
（三）实践活动（用时10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数相关的实际问题，如公交车票价与乘车距离的关系。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用尺子和直尺绘制一次函数的图像，观察斜率和截距的变化。
五、教学反思
在上完这节课之后，我对自己的一些教学设计和学生的反应进行了思考。我发现，通过生活中的实例引入变量和函数的概念，学生们能够更直观地理解这些抽象的数学概念。他们对于一次函数的应用表现出浓厚的兴趣，尤其是当我将函数与他们的日常生活联系起来时，比如购物打折、手机话费等问题。
我注意到，在教学过程中，有些学生对一次函数的图像绘制感到困惑。我意识到，这里可能需要更多的直观演示和实际操作，让学生亲手尝试，从而更好地理解图像的生成过程。在接下来的课程中，我打算增加一些互动环节，比如让学生分组在教室里用道具来模拟一次函数的图像，这样既能增强他们的动手能力，也能加深对一次函数图像特征的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解变量与函数的基本概念。变量是随着某些条件变化而变化的量，而函数则是描述两个变量之间依赖关系的数学模型。它们在数学和生活中都有着广泛的应用。
人教版八年级数学下册 第19章 19.1.1 变量与函数 教案
19.1.1 变量与函数（第1课时）教学目标知识与技能1.认识变量、常量．2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．过程与方法1.经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．2.逐步感知变量间的关系．情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.认识变量、常量2.用式子表示变量间关系教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量教具准备多媒体课件教学过程一图片欣赏开头语：为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律.二、问题探究问题一：汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时．12． 3试用含t的式子表示s， s=________,这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．•1请同学们根据题意得三场电影的票房收入为：早场票房收入= 10×150 = 1500 （元）午场票房收入= 10×205 = 2050 （元）晚场票房收入= 10×310 = 3100 （元）2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．3用含x的式子表示y， y=______ ,这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．问题三：水中的涟漪， 圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r 分别为10cm 、20cm 、30cm 时，圆的面积s 分别为多少？1请同学们根据题意得当半径r=10cm 时，面积s=3.14×102当半径r=20cm 时，面积s=3.14×202当半径r=30cm 时，面积s=3.14×3022在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________． 3试用含r 的式子表示s ．s=_________，这个问题反映了___ _ 随_ __的变化过程问题四：用10m 长的绳子围成矩形，当矩形的一边长x 分别为 3m ，3.5m,4m 时，邻边长y 是多少？1 请同学们根据题意得当矩形的长为3时， y=（10－2×3）÷2 = 2当矩形的长为3.5时， y=（10－2×3.5）÷2 = 1.5当矩形的长为4时， y=（10－2×4）÷2 = 12在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________． 3试用含x 的式子表示y ． y=__________________,这个问题反映了矩形的___ _ 随_ __的变化过程．三、归纳总结：以上这些问题都反映了不同事物的变化过程，其实现实生活中还有好多类似的问题，在这些变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的，有些量的数值是始终不变的。
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注意:虽然也表示两个变量间的关系，但这是用含l的式子表示m，不符合题意.
多媒体出示问题,学生观察,分析,讨论,写出答案
学生观察分析,合作交流后得出结论
教师引导学生观察题的答案,归纳定义
教师出示问题并引导点拔,学生先自主探索再合作交流,写出答案
由熟悉的例子感受新知,从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律
9．用一根10m长的绳子围成一个长方形，设一边长为x(m)，面积为S(m2)，试分析这个过程及过程中的量，并用通过表格和式子两种方法表示变量间的关系.
选做题:练习册（演练提升）
课堂小结
1.变量与常量的概念
2.常量与变量必须存在于一个变化过程中
3.常量与变量不是绝对的,而是对于一个变化过程而言的
板书设计
(3)运动员在400m一圈的跑道上训练,他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系式
(4)银行规定:五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y(元)之间的关系式
2.例题分析:在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的规律。如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为lcm，怎样用含m的式子表示l？
设计意图
备注
复习旧知
情境导入
一根燃烧的蜡烛随着时间的变化,它的高度是如何变化的?
思考,讨论
由实际问题引起学生的好奇心
新课讲授
一.探究新知
1.一辆汽车以60千米/小时的速度行驶,行驶里程为S千米,行驶时间为t小时
①根据题意填表
t/时
1
2
3
4
5
s/千米
②思考：这个过程是一个不变的过程还是一个变化的过程？哪个量的值是不变的？哪个量的值是变化的？数值变化的量之间是怎样的关系？
7．一种饮料每听售价4元，该饮料的销售量用x（听）表示；销售额用y（元）表示，根据x的值填写下表，
x（听）
2
3
4
5
6
y（元）
写出用x表示y的式子：____________.
8．某变化过程中，两个变量的值有如下对应关系：
x
-2
-1
0
1
2
y
-4
-2
0
2
4
写出用x表示y的式子：_______，其中____是常量.
2.电影票的售价为10元，如果早场售出150张票，午场售出205张票，晚场售出310张票，则三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？
思考：题中哪个过程是不变的过程？哪个过程是变化的过程？在变化的过程中，哪些量是变化的量？它们之间是怎样变化的？它们之间存在着怎样的对应关系？如何用式子表示出来？
4．等腰三角形的底角度数为，顶角度数为，列式用底角表示顶角：___________；用顶角表示底角：____________.
5．小明用40元钱购买5元/件的某种商品，则他剩余的钱y(元)与购买这种商品的件数x(件)之间的关系式是___________；其中常量是_____；变量是_____.
6．长为2米、宽不定的长方形，其面积随着___的变化而变化，变化过程中的三个量为___________，其中常量是_______，变量是________.
分析:首先这是一个变化过程，在这个变化过程中，弹簧的原长10cm是一个常量，每1kg重物使弹簧伸长的长度0.5cm是一个常量，重物
质量m和受力后的弹簧长度l是两个变量。
两个变量的关系可以用表格进行不全面的表示：
m(kg)
0
1
2
3
4
5
6
l(cm)
10
10.5
11
11.5
12
12.5
13
从表格数据可以看出，这两个变量中，一个变量变化，另一个变量按某种规律随着变化；一个变量取定一个值，则另一个变量按照某种规律对应有唯一的值。
3.什么叫变量?什么叫常量?
4.指出上述问题中的变量和常量?
二.课堂训练
1.写出下列各问题中所满足的关系式,并指出各个关系式中,哪些量是变量?哪些量是常量?
(1)用总长为60m的篱笆围成矩形场地,求矩形的面积S(m2)与一边长x(m)之间的关系式
(2)购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与购买的铅笔的数量n(支)的关系式
教学内容
19.1.1变量与函数
课标对本节课的教学要求
认识变量、常量的概念及相互间的关系；
教学目标
1.理解变量、常量的概念及相互间的关系；
2.能找出变量间的简单关系，试列简单关系式；教学源自点难点认识变量与常量
对变量的判断
教学准备
多媒体
教学时间
一课时
教学过程
第（ 1 ）课时
教学环节
教师活动预设
学生活动预设
加深对变量,常量的理解
作业安排
必做题:(一))教材74页第1题
(二).补充
1.用含圆的面积s式子表示圆的半径r_________
2．球的体积V和半径R之间的关系是，其中的变量是_________.
3．三角形的一边为5，用这条边上的高h表示面积S：__________，其中5是______；h、S是_______.
变量
一、变量与常量的定义二、例题分析
课后记