并查集(吴)

输入样例（relation.in）： 10 7 输 出 样 2 4 （relation.out）： Yes 5 7 No 1 3 Yes 8 9 1 2 5 6 2 3 3 3 4 7 10 8 9
例
问题分析： 将每个人抽象成为一个点，数据给出M个边的关系
，两个人是亲戚的时候两点间有一条边。很自然的就
动态集合中的每一元素是由一个对象来表示 的，设x表示一个对象，并查集的实现需要支 持如下操作：
① MAKE-SET（x）——建立分离集合 建立一个新的集合，其仅有的成员（同时就是代 表）是x。由于各集合是分离的，要求x没有在其它集 合中出现过。 ② UNION（x,y）——集合的并集操作 将包含x和y的动态集合（例如Sx和Sy）合并为一 个新的集合，假定在此操作前这两个集合是分离的。 结果的集合代表是Sx∪Sy的某个成员。一般来说，在 不同的实现中通常都以Sx或者Sy的代表作为新集合的 代表。此后，由新的集合S代替了原来的Sx和Sy。 ③ FIND-SET（x）——集合元素的查找 返回一个包含x的集合的代表。
并查集
一、什么叫并查集 并查集是一种用于分离集合操作的抽象数据类型。 它所处理的是“集合”之间的关系，即动态地维护和 处理集合元素之间复杂的关系，当给出两个元素的一 个无序对(a,b)时，需要快速“合并”a和b分别所在 的集合，这其间需要反复“查找”某元素所在的集合。
“并”、“查”和“集”三字由此而来。在这种数据
（2）快速实现 上述简单实现非常不理想，针对y可能比较大的这个 问题，可以很快产生一个聪明的想法：不妨比较x和y所 在集合的大小，从而作出选择，把较短的链表接在较长 的尾部，这样效果是一样的，但耗费肯定不比原来差。 这就是快速实现的思路。可以在node里多设一个域 number，用来记录此条链表中成员的个数。显然number 记录在表头元素中即可，将两表合并的时候，只要将表 的number相加，因此维护起来是非常方便的。 这种快速实现的方法可以称为加权启发式合并，这 里的权就是指所记录的number。
UNION(x,y)： 假设UNION(x,y)的参数是有序的，即把y属于的 集合合并到x的集合 有两种实现方法：
（1）简单实现
不考虑任何因素，出现FIND-SET（x）≠ FIND-SET（y）时，
直接将y的表头接到x的表尾，同时将y中所在集合元素的head值设 为FIND-SET(x)。同时x的表尾也应该设为原y表的表尾。
MAKE-SET(x)：S[x].head = x;S[x].next = 0;
FIND-SET（x）：return S[x].head 两个过程的时间复杂度都为O(1)。 采用链表时，当有两个元素(x,y),若FIND-SET（x） ≠ FIND-SET（y），则两者对应不同的集合，需要将两 个链表合并，做法是将一个表的表头直接接到另一个表 的表尾，这一步操作看似很简单，但势必造成修改后需 要把接上去的那个表的所有head值修改，这需要线性的 赋值操作，其复杂度与选择接在尾部的链表长度成正比。
得到了一个N个顶点M条边的图论模型，注意到传递关 系，在此无向图中的一个连通块中的任意点之间都是 亲戚。对于最后的Q个提问，即判断所提问的两个顶点 是否在同一个连通块中。
对于输入的N个点M条边，建立一个无向图找出所有 的连通块（遍历算法），然后根据提问逐个进行判断。 但是本题的数据范围很大，1 N 20000 , 1 M 1 000 000，不管是从空间还是时间上看，都很难 接受。 考虑能否用集合的思路来解决该问题。 对于每个人建立一个集合，开始的时候集合元素是 这个人本身，表示开始时不知道任何人是他的亲戚。以 后每次给出一个亲戚关系时，就将两个集合合并。这样 实时地得到了在当前状态下的集合关系。如果有提问， 即在当前得到的结果中看两元素是否属于同一集合。 对于样例数据的解释如下图：
2009年夏令营 高级数据结构讲座之二
并查集及其应用
2009年 高级数据结构
2009年5月30日
1、研究Kruskal最小生成树算法
假设G=(V,E)是一个具有n个顶点的连通图， T=(U,TE)是G的最小生成树，u的初始值等于v，
即包含有G中的全部顶点，TE的初值为空，此算法
的基本思想是：将图G中的边按权值从小到大的顺序 依次选取数，若选取的边使生成树T不形成回路，则 把它并入TE中，保留作为T的一条边，若选取的边 使生成树T形成回路，则将其舍去，如此进行下去，
实现简单，实际使用较多。但是合并的代价太大，在最
坏情况下，所有集合合并成一个集合的总代价达到O(n2)。
并查集的数组实现
UNION（x,y）过程演示：
输入样例： 10 7 2 4 5 7 1 3 8 9 1 2 5 6 2 3 3 3 4 7 10 8 9
S
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9 10
注意：last指针其实只要在表头结点中记录即可，因为每一
次查到FIND-SET（x）都可以得到表头元素。而链表中其他元素重 新记录last是无意义的。 我们总是把y接到x里去，那么如果y所在的集合非常大，每次 赋值的代价就会非常高，考虑输入数据的特殊性，比如出现输入 为： （2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1） ， … ，(n,1) 最坏情况下时间复杂度为O(n^2)。
请写一个程序，对于我们的关于亲戚关系的提 问，以最快的速度给出答案。
输入: 由两部分组成： 第一部分以N，M开始。N为问题涉及的人的个数(1 N 20000)。这些人的编号为1,2,3,…, N。下面有M行 (1 M 1 000 000)，每行有两个数ai, bi，表示已知 ai和bi是亲戚。 第二部分以Q开始。以下Q行有Q个询问(1 Q 1 000 000)，每行为ci, di，表示询问ci和di是否为亲戚。 输出：对于每个询问ci, di，输出一行：若ci和di为亲戚， 则输出“Yes”，否则输出“No”。
{1,3}{2,4}{5,7}{6}{8,9}{10} {1,2,3,4}{5,7}{6}{8,9}{10} {1,2,3,4}{5,6,7}{8,9}{10} {1,2,3,4}{5,6,7}{8,9}{10}
并查集及其应用
由上图可以看出，操作是在集合的基础上 进行的，操作过程中我们没有保存任何一条 边，而且每一步得到的划分方式是动态的。 这就是所要介绍的数据结构知识 :
being c[i]:=j ; { 保存生成树第i条边 , 因为j 是GE数组的下 标} i:=i+1 ; s[m1]:=s[m1]+s[m2] ; s[m2]:=[ ] ; end; (3) j:=j+1 ; end ; 运行该程序后，C数组的值为：
1
1
2
2
3
3
5
4
7
5
问题2、 亲戚(relation) 问题描述：或许你并不知道，你的某个朋友是你的亲 戚。他可能是你的曾祖父的外公的女婿的外甥女的表 姐的孙子！ 如果能得到完整的家谱，判断两个人是否亲戚应该 是可行的，但如果两个人的最近公共祖先与他们相隔 好几代，使得家谱十分庞大，那么检验亲戚关系实非 人力所能及。在这种情况下，最好的帮手就是计算机。 为了将问题简化，你将得到一些亲戚关系的信息，如 Marry和Tom是亲戚，Tom和Ben是亲戚，等等。从这些 信息中，你可以推出Marry和Ben是亲戚。
四、并查集的实现及优化 1、 并查集的数组实现 用数组s[i]记录元素i所属集合的编号。 MAKE-SET（x）：初始化只要s[i]：=i
FIND-SET（x）：查找元素所属的集合时，只需读出
s[i]，时间复杂度为O(1)。 UNION（x,y）：合并两元素各自所属的集合时，需要 将数组中属于其中一个集合的元素所对应的数组元素值全 部改为另一个集合的编号值，时间复杂度为O(n)。
类型中，n个不同的元素被分为若干组。每组是一个 集合，这种集合叫做分离集合。并查集支持查找一个
元素所属的集合以及两个元素各自所属的集合的合并。
二、并查集的基本思想
初始时n个元素分属不同的n个集合，通过不断的 给出元素间的联系，要求实时的统计元素间的关系 （直接或间接的联系），可用并查集加以判断。 (1)元素间是否有联系：判断两个元素是否属于同 一个集合；（查) (2)建立元素间的联系：只需合并两个元素各自所 属的集合。(并） 并查集本身不具有结构，必须借助一定的数据结 构以得到支持和实现。一般用的比较多的是数组、链 表和树来实现。
输入关系 初始状态 (2,4) (5,7)
分离集合 {1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8}{9}{10} {1}{2,4}{3}{5}{6}{7}{8}{9}{10} {1}{2,4}{3}{5,7}{6}{8}{9}{10}
(1,3)
(8,9) (1,2) (5,6) (2,3)
{1,3}{2,4}{5,7}{6}{8}{9}{10}
直到TE中包含有n-1条边为止，此时的T即为最小
生成树。
此经典算法的思想是将树上的边按照
权排序，然后从小到大分析每一条边，如
果选到一条边e=(v1,v2),且v1和v2不
在一个连通块中，就将e作为最小生成树
的一条边，否则忽略e。 Kruskal 算法
的关键在于如何判断是否构成回路。
判断最小生成树在构成过程中，是否构成回路的方法： 方法：将各个顶点划分所属集合的方法解决。每个集合的 顶点表示一个无回路的连通分量。 (1) 初始化：{V1}, {V2}, {V3}, {V4}, {V5}, {V6} （2）当从边集数组中按次序选择一条边时，若它的两个 端点分别属于两个不同的集合，则表明该边连接了两个不 同的连通分量，无回路，该边作为树的一条边，将端点所 在的两个集合合并为一个集合，此时它们成为一个连通分 量。 （3）若选择的边的两个端点在一个集合中，则放弃该边， 否则造成回路。 {V1,V5}, {V2,V3,V4}, {V6} {V1,V5}, {V2,V3,V4,V6} {V1,V5,V2,V3,V4,V6}