微积分的诞生——从思想萌芽到牛顿实例分析
微积分的创立过程
微积分的创立过程微积分，这可是数学世界里的一座巍峨高峰啊！它的创立就像是一场波澜壮阔的冒险之旅，众多伟大的数学家如同勇敢的探险家，在未知的数学领域披荆斩棘。
在微积分诞生之前，数学就像是一个装满各种工具的大箱子，但缺少一种能够处理变化和动态问题的超级工具。
当时的数学家们，就像一群在迷宫里摸索的人，知道目的地就在前方，却找不到那条直达的路。
这时候，牛顿出现了。
牛顿可是个天才，他对物理世界充满了好奇。
他想弄明白物体是怎么运动的，速度是怎么变化的。
你想啊，一个物体从静止开始运动，它的速度在不断地改变，这可不像简单的加减乘除那么容易搞清楚。
牛顿就想，能不能找到一种方法，准确地描述这种速度的变化呢？他就开始了自己的探索。
有一天，牛顿看着树上掉落的苹果，他心里可能就在想：“这苹果下落的速度可是一直在变啊，我怎么才能算出它每个瞬间的速度呢？”他就像一个执着的猎人，紧盯着这个问题不放。
他想到了一个办法，用一种极限的思想。
比如说，要算某个时刻的速度，就看这个时刻前后很短很短时间内的平均速度，这个很短很短的时间越接近零，算出来的平均速度就越接近那个时刻的瞬时速度。
这就像是在黑暗中看到了一丝曙光。
几乎在同一时期，莱布尼茨也在欧洲大陆上进行着类似的探索。
莱布尼茨是个充满想象力的家伙。
他对几何图形和曲线特别感兴趣。
他看着那些弯弯绕绕的曲线，心里琢磨着：“这些曲线下面的面积该怎么求呢？”这可不像求矩形的面积那么简单。
他突发奇想，要是把曲线分成很多很多小段，每一小段近似看成直线，然后把这些小的近似长方形的面积加起来，当分的小段足够多的时候，不就接近曲线下的面积了吗？这就像是把一块奇形怪状的拼图，分成很多小碎片，然后拼起来。
牛顿和莱布尼茨虽然身处不同的地方，但是他们的想法却有着惊人的相似之处。
这就像是两颗在不同地方同时发芽的种子，都向着微积分的大树生长。
他们俩的成果一出来，可在数学界引起了轩然大波。
就像平静的湖面上突然投进了两颗大石头，泛起了层层巨浪。
微积分的发展史范文
微积分的发展史范文微积分是现代数学中的一个重要分支，涉及对函数的导数和积分等概念的研究。
微积分的发展经历了几个重要的阶段，从古希腊数学的一些零散的想法，到17世纪初牛顿和莱布尼茨的独立发现，再到19世纪的完善和推广，微积分已经成为现代科学和工程中的基础理论。
早在公元前4世纪，古希腊数学家欧几里得提出了一种用极限概念来研究曲线斜率的方法。
在此之后，亚历山大的阿基米德在第三世纪前后也使用了一些近似方法来研究圆周率和测量圆的面积。
然而，在古希腊时期，微积分的概念还没有被系统地发展出来。
微积分真正的发展始于17世纪初，当时牛顿和莱布尼茨几乎同时独立地发现了微积分的基本原理和方法。
牛顿将微积分应用于天文学和物理学，而莱布尼茨则将其应用于几何学和计算问题。
通过牛顿和莱布尼茨的努力，微积分的基本概念如导数和积分被建立起来，并形成了一套完整的理论体系。
在18世纪，微积分的研究得到了进一步的推广和完善。
欧拉是18世纪最重要的数学家之一，他对微积分进行了深入的研究。
欧拉发展了一些重要的概念和技巧，例如级数、复变函数和微分方程等，为微积分的应用和推进做出了巨大贡献。
此外，拉格朗日和拉普拉斯等数学家也对微积分进行了深入的研究，并为微积分的发展提供了许多重要的思想和方法。
到了19世纪，微积分的研究进入了一个全新的阶段。
拉格朗日的求导法则和莱布尼茨的积分法则等基本概念和技巧被进一步推广和完善。
庞加莱、魏尔斯特拉斯和威尔逊等数学家对微积分理论进行了深入研究，提出了许多重要的定理和方法。
特别是庞加莱在微分方程理论方面的贡献，使微积分得到了进一步的应用和发展。
20世纪是微积分研究的蓬勃发展阶段。
在这个时期，微积分被广泛应用于物理学、工程学、经济学和计算机科学等领域。
随着计算机的普及和计算能力的提高，微积分的数值方法和近似计算技术得到了极大的发展。
微分方程的数值解法、积分的数值计算、函数逼近和插值等都在这个时期得到了广泛的应用。
总体而言，微积分的发展历程可以概括为：古希腊数学的零散想法，17世纪牛顿和莱布尼茨的独立发现，18世纪的推广和完善，19世纪的深入研究，以及20世纪的应用和发展。
数学史之微积分的发展1
2、流数术的发展
• 《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在 许多方面是不成熟的。牛顿于1667年春天回 到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬。他 在这一年10月当选为三一学院成员，次年又 获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的 工作，而是因为在望远镜制作方面的员献。 但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的 时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己 的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文， 它们分别是： (1)1669年的《运用无限多项方 程的分析》 ； (2) 1671年的《流数法与无穷级 数》； (3) 1691年的《曲线求积术》。
• 3、笛卡儿的“圆法” 笛卡儿的这种代 数方法在推动微积分的早期发展方面有很大 的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而 踏上研究微积分的道路的。 笛卡儿圆 法在确定重根时会导致极繁复的代数计算， 1658年荷兰数学家胡德提出了一套构造曲线 切线的形式法则，称为“朗德法则”。朗德 法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机 械的算法，可以完成求任何代数曲线的切线 斜率时所要进行的计算。
1、流数术的初建
• 牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当 时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿 求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好 的方法。 就在此时，牛顿首创了小o记号表示 x的无限小且最终趋于零的增量。 1665年 夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间， 继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他 自述，1665年11月发明“正流数术”(微分法)， 次年5月又建立了”反流数术”(积分法)。 1666年 10月，牛顿将前两年的研究成果整理 成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》 著称，《流数简论》是历史上第一篇系统的 微积分文献。
• 2、卡瓦列里不可分量原理 他在《用新 方法促进的连续不可分量的几何学》中发展 了系统的不可分量方法。认为线是由无限多 个点组成；面是由无限多条平行线段组成； 立体则是由无限多个平行平面组成。他分别 把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”。 卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形 的体积，他对积分学创立最重要的贡献还在 于在1639利用平固下的不可分量原理建立了 等价于下列积分式子：
微积分的发展史
微积分的发展历史摘要：我国和西方古代微积分的萌芽到近现代微积分的巨大发展，以及从牛顿到柯西等人为微积分的发明。
关键词：微积分；中国；西方；牛顿；“流数术”；微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
（一）我国的微积分思想萌芽：公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子•天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出现的极限思想。
魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元，用他的话说，就是：“割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
”（二）西方的微积分思想萌芽：安提芬的“穷竭法”。
他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。
之后，阿基米德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。
（三）近现代微积分的发展：1635年意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中发展了系统的不可分量方法。
1665年，牛顿对微积分问题的研究始于，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，牛顿首创了小○记号表示x 的无限小且最终趋于零的增量。
并发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法），这就是牛顿的“流数术”。
在牛顿发明“流数术”的同时，莱布尼茨几乎和牛顿取得了同样的成就，并得到了著名的牛顿—莱布尼茨公式：从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔在其论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理。
浅谈微分方程的起源与发展史
浅谈微分方程的起源与发展史摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展.虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题,所以,他们的研究具有非常重要的现实意义。
这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。
引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征.比如，我们可以试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。
通过这些例子,我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。
最后再通过微分方程求出未知函数.关键字：微分方程起源发展史一、微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。
微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程,一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为,变量之间的规律是一目了然的。
例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为,就明确的掌握了物体的运动规律。
1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪,简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根据生物学,物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数，却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式，即微分方程。
牛顿与微积分的故事
牛顿与微积分的故事摘要：一、牛顿与微积分的起源二、牛顿的微积分成就三、牛顿微积分的影响四、微积分在现代科学中的应用正文：自古以来，科学家们一直在探索自然界的奥秘。
在众多科学家中，有一位伟大的英国数学家和物理学家，他的名字叫艾萨克·牛顿。
他与微积分的故事堪称一段传奇。
牛顿与微积分的起源可以追溯到17世纪。
当时，欧洲的数学家和哲学家们一直在寻求一种能够描述和分析运动规律的数学工具。
正是在这种背景下，牛顿和德国数学家莱布尼茨几乎同时独立地发明了微积分。
牛顿的微积分成就主要包括两个方面：首先，他运用微积分解析了行星运动的规律，从而奠定了古典力学的基础。
通过对引力定律和运动定律的阐述，牛顿解释了天体运动的本质。
其次，牛顿的微积分成就还体现在他对数学领域的贡献。
他发明了牛顿-莱布尼茨公式，为微积分的发展奠定了基础。
牛顿的微积分成就不仅对当时的科学界产生了深远的影响，而且对现代科学也有着不可忽视的作用。
牛顿的微积分方法使得科学家们能够更好地研究各种自然现象，从而推动了科学技术的飞速发展。
如今，微积分已经成为了自然科学领域中不可或缺的数学工具。
在现代科学中，微积分应用广泛。
无论是理论物理、工程学、生物学还是经济学等领域，微积分都发挥着关键作用。
例如，爱因斯坦的相对论、量子力学和混沌理论等都离不开微积分。
此外，微积分在工程技术中也有着广泛的应用，如控制理论、信号处理和优化算法等。
总之，牛顿与微积分的故事展示了人类探索自然界的勇气和智慧。
牛顿的微积分成就为后世科学家提供了宝贵的启示，那就是勇于创新、不断突破。
微积分的产生与发展
微积分的产生与应用一、微积分产生背景在十六世纪末、十七世纪初的欧洲，文艺复兴带来了人们思维方式的改变．资本主义制度的产生，使社会生产力大大得到解放．资本主义工厂手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速向前发展．在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出了新的课题．公元1492年，哥伦布发现了新大陆，证实了大地是球形的观念；1543年，哥白尼发表了《天体运行论》，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇；开普勒在1609～1619年，总结出行星运动的三大定律，导致后来牛顿万有引力的发现；1609年伽里略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向新的境界．这些科学实践拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的质变．十六世纪对数学的研究从常量开始进入了变量的领域．这成为数学发展史上的一个转折点，也是“变量”数学发展的第一个决定性步骤．由于“变量”作为新的问题进入了数学，对数学的研究方法也就提出了新的要求．在十七世纪前半叶，解析几何的观念已经有一系列优秀的数学家接近了．但是十七世纪三十年代，解析几何才被笛卡尔(Descartes，R．(法)1596～1650)和费尔马(Fermat，P．de(法)1601～1665)创立．在解析几何里，由于建立了坐标系，可以用字母表示变动的坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数运算代替几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来了．这种新的数学方法的出现与发展，使数学的思想和方法的发展发生了质的变化，恩格斯把它称为数学的转折点．此后人类进入了变量数学阶段，也是变量数学发展的第一个决定性步骤．为十七世纪下半叶微积分算法的出现准备了条件。
二、微积分的产生过程微积分是经过长时间的酝酿才产生的．微积分的原理可以追溯到古代．在中国，公元前4世纪的桓团、公孙龙等所提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；公元3世纪的刘徽，公元5～6世纪的祖冲之、祖暅对圆周率、面积以及体积的研究，都包含有极限和微积分的思想萌芽．在欧洲，公元前3世纪古希腊的欧几里得(Euclid)、阿基米得(Archimedes约公元前287～212)所建立的确定面积和体积的方法，也都包含有上述萌芽．在十六世纪末、十七世纪初，由于受力学问题的研究、函数概念的产生和几何问题可以用代数方法来解决的影响，促使许多数学家去探索微积分．开普勒(Kepler．J．(德)1571～1630)、卡瓦列里(Cavalieri，F．B．(意)1598～1647)和牛顿的老师巴罗(Barrow，I ．(英) 1630～1677)等人也研究过这些问题，但是没有形成理论和普遍适用的方法．1638年，费尔马首次引用字母表示无限小量，并运用它来解决极值问题．稍后，他又提出了一个与现代求导过程实质相同的求切线的方法，并用这种方法解决了一些切线问题和极值问题．后来，英格兰学派的格雷果里(Gregory，J(英)1638～1675)、瓦里斯(Wallis，J．(英) 1616～1703)继续费尔马的工作，用符号“0”表示无限小量，并用它进行求切线的运算．到十七世纪早期，他们已经建立起一系列求解无限小问题的特殊方法．诸如，求曲线的切线、曲率、极大极小值，求运动的瞬时速度以及面积、体积、曲线长度、物体重心的计算等．但他们的工作差不多都局限于一些具体问题的细节之中，还缺乏普遍性的规律．到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
微积分的发现过程
微积分的发现过程（最新版）目录1.微积分的起源和发展背景2.莱布尼茨的贡献3.牛顿的贡献4.微积分的实际应用正文1.微积分的起源和发展背景微积分是数学的一个重要分支，它的起源可以追溯到古希腊时期。
然而，真正意义上的微积分理论是在 17 世纪才逐渐形成的。
在此期间，科学技术的飞速发展，特别是天文学、力学和航海等领域的突破，对数学提出了新的需求。
因此，微积分应运而生，成为解决这些领域问题的关键工具。
2.莱布尼茨的贡献17 世纪下半叶，德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）独立发现了微积分，并建立了莱布尼茨微积分法。
他通过引入微分和积分的概念，建立了微积分的基本原理。
莱布尼茨的微积分法以极限理论为基础，运用导数和积分的观念，解决了许多实际问题。
他的发现和理论为微积分的发展奠定了坚实的基础。
3.牛顿的贡献几乎与莱布尼茨同时，英国科学家牛顿（Isaac Newton）也发现了微积分。
牛顿在研究物体运动规律时，提出了牛顿运动定律和万有引力定律。
在此基础上，他发展了牛顿 - 莱布尼茨公式，为微积分的应用提供了重要工具。
牛顿的贡献在于将微积分与物理学紧密联系起来，进一步推动了微积分理论的发展。
4.微积分的实际应用微积分在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以描述物体的加速度、速度和位移等；在工程学中，它可以用于计算流体力学、电路分析等方面；在经济学中，它可以帮助分析成本、收益等。
总之，微积分的发现和应用极大地推动了人类科技的进步，使我们的生活更加便捷和高效。
综上所述，微积分的发现过程经历了漫长的历史，众多数学家的努力使得微积分理论不断完善。
浅谈微积分的发展历史
浅谈微积分的发展历史李飞姜攀牛晋徽微积分是数学史上一个伟大的发明。
微积分在两千多年前就开始萌芽，但真正开始发展是从16世纪开始的，并由牛顿和莱布尼兹在17世纪建立，然而为它打好逻辑基础的是19世纪柯西。
从此之后，微积分成了各学科中重要的数学工具。
1 引言在高等数学的教学中，微积分是教学难点之一，学生普遍反应微积分的许多概念和公式比较难以理解。
近几年国内外越来越多的大学在数学教材引入数学史的知识，通过“历史线索”和“历史原型”来组织高等数学的教学，使学生真正理解课本上抽象的概念和形式化的公式背后的实际内涵。
为便于将数学史引入高等数学的教学中，本文简单地介绍一下微积分的发展历史。
2 微积分的发展历史微积分从发端至今已有两千多年的历史，并且其发展并不是一帆风顺的，本文将其分为四个阶段：萌芽阶段；酝酿阶段；创立阶段；发展阶段。
2.1 萌芽阶段2000多年前东西方的数学家就开始对微积分思想的萌芽和探索。
这个阶段对后世最有影响的是古希腊的数学发展。
古希腊的数学并不是单独的一个分支 ,而是与天文 、哲学密不可分的,其研究对象以几何学为主。
这一阶段最重要的两个哲学思想是“穷竭法”和“原子论”。
公元前5世纪，古希腊诡辩学派的安提丰(Antiphon)为解决“化圆为方”的问题，提出如下方法：“先作一圆内接正方形，将边数加倍，得内接8边形；再加倍，得16边形。
如此作下去，最后正多边形穷竭了圆。
”该方法被阿基米德(Archimedes)发展为“穷竭法”。
同样在公元前5世纪，德谟克利特(Demokritos)提出了“原子论”，并用“原子论”解释数学概论，提出：“线段、面积和立体都是由一些不可再分的原子构成的 ,而计算面积 、体积就是将这些‘原子’累加起来”。
他根据这一思想来求解圆锥体的体积，发现“圆锥体积等于具有同底同高的圆柱体积的三分之一”。
但这一结论的证明是由攸多克萨斯(Eudoxus)完成的。
德谟克利特认为圆锥体是由一系列底面积不等的不可再分的圆形薄片构成，因此圆锥体的表面不光滑。
论述微积分发展简史
论述微积分发展简史论述微积分发展简史1一、微积分的萌芽微积分的思想萌芽可以追溯到古代，早在希腊时期，人类已经开始讨论无穷、极限以及无穷分割等概念。
这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论証和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。
公元前五世纪，希腊的德谟克利特提出原子论：他认為宇宙万物是由极细的原子构成。
在中国，《庄子．天下篇》中所言的一尺之捶，日取其半，万世不竭，亦指零是无穷小量。
这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。
二、微积分的创立微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微积分的互逆关系。
最后一个阶段是由牛顿、莱布尼茨完成的。
前两个阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追溯到希腊的阿基米德都做出了各自的贡献。
中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有甚麼突破。
中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也於此时趋於成熟。
在积分方面，一六一五年，开普勒把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。
而伽利略的学生卡瓦列里即认为一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。
这些想法都是积分法的前驱。
在微分方面，十七世纪人类也有很大的突破。
费马在一封给罗贝瓦的信中，提及计算函数的极大值和极小值的步骤，而这实际上已相当於现代微分学中所用，设函数导数為零，然后求出函数极点的方法。
另外，巴罗亦已经懂得透过「微分三角形」（相当於以dx、dy、ds為边的三角形）求出切线的方程，这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。
由此可见，人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。
英国著名数学家、物理学家牛顿从研究物理问题出发创立了微积分(1665—1666)，牛顿称之为“流数术理论”．牛顿的“流数术”中，有三个重要的概念：流动量、流动率、瞬．牛顿的流数术以力学中的点的连续运动为原型，把随时问连续变化的量而产生的一个连续变化的变量，即以时间为独立变数的函数(生长中的量)称为流动量，流动率是流动量的变化速度，即变化率(生长率)，称为导数牛顿专论微积分的著作有两部，第一部正式的、系统的论述流数术的重要著作是《流数术和无穷级数》，于1671年写成，在1736年才正式出版．另一部著作是《曲线求积论》，于1676—1691年写成，在1704年出版．德国数学家莱布尼兹从儿何角度出发独立地创立了微积分(1675—1676)．莱布尼兹当时把微积分称为“无穷小算法”．他的微积分符号的使用最初体现在1675年的手稿中．1684年他在《教师学报》杂志上发表了微分法的论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．这是历史上最早发表的关于微积分的文章．1686年他在该杂志上又发表了最早的积分法的论文《潜在的几何与不可分量和无限的分析》。
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微 积 分 的 诞 生
含极限思想的求积方法为“ 穷竭法” 。
对于这 方面 的 工作 ， 古代 中 国也毫 不 逊 色。公
元前 ７世 纪 老庄 哲 学 中就 有 无 限可 分性 和极 限思
“ 隙积术”“ 、会圆术” 棋局都数术” 和“ 开创了对高阶 等差级数求和 的研究。特别是 １ 世纪 ４ ３ ０年代到 １ 世纪初 ， ４ 在主要领域都达到了中国古代数学的高 峰， 出现了现通称贾宪三角形的“ 开方作法本源图”
３ 举例说 明牛顿发现微积分的过程
牛顿对 微 积分 的研 究始 于 １６ 秋 ， ６４年 当时他反
２ 微积分创立的背景及几类基本 问题
１ —１ 世纪的文艺复兴运 动使欧洲 的精神文 ５ ６
化面貌发 生 了深 刻 的变化 ， 自然 界 的研 究蓬 勃 开 对 展， 数学 也活跃 起来 了 。艺术 三杰 （ ・ 达 芬奇 、 米开 朗
想； 公元前 ４ 世纪《 墨经》 中有 了有穷 、 无穷 、 无限小 （ 最小无内）无穷大（ 、 最大无外） 的定义和极限、 瞬时 等概念。春秋战国时代学者惠施称 ：一尺之棰 ， “ 日
收 稿 日期 ：０ ９０ —１ ２０ —９１
作者简介 ： 张
政（９ １ ， ， １ ８ 一）男 陕西省西安市人 ， 西安航专基础部助教 ， 主要从事高等数学 的教学 和研究工作。
第１ 期
张
政： 微积分的诞生
５ ９
和增 乘开方 法 、正 负开方术 ” “ 衍求一 术 ”“ “ 、大 、大衍
总数术”一次同余式组解法） “ （ 、 垛积术” 高阶等差 （ 级数求和）“ 、招差术”高次差内差法 ）“ （ 、天元术”数 （ 字高次方程一般解法） “ 、 四元术” 四元高次方程组 （
“ 穷竭 法 ” 前 四世 纪 由欧多 克斯 （ ４ ８—３ ５ Ｅ ， 前 ０ ５ ，ｕ
取其 半 ， 世不 竭” 见《 万 （ 庄子 ・ 天下 篇》 。至公 元 三 ）
世纪 ， 三国魏人刘 徽作 《 章 算术 》提 出“ 圆术 ” 九 ， 割 ， 以圆的 内接正 ６×（ｎ ）ｎ＝１２ ２ 一１ ，…… ） 边形 的面 积 Ａｎ近似单位 圆的面 积 ７ ７ Ａ ）算 到 ６ ５ ｃｃ ｎ ， （≈ ×２ ＝ １２边形 ， ７ ５ ／０或 ３ １ ， ９ 得 ｔ ７５ ￣１ ．４ 又进 一 步算 到 ６ × ２ ＝３７ ９ ０２边形 ， 到 一个 相 当于 ３ １１９的分 数 。 得 ．４５ 他 的极 限思想 和无 穷小方 法 ， 世界 古 代极 限思 想 是 的深 刻体现 。 积分思想 ， 自欧 多克 斯 的穷 竭法 。古希 腊 最 源 接 近积分 的是阿基米得 于前 ２ ５年求抛物线 弓形 面 ２
成的体积 ， 物体的重心等。 思想的解放、 生产力的发展、 科学的革命化促使 人们去思索 ， 解决这些迫切需要解决的问题 ， 经过长 时间的研究 ， 有关的知识渐渐积累起来 了， 一些最活 跃的人物理当成为微积分学的先驱。
解法）勾股数学、 、 弧矢割圆术 、 组合数学、 计算技术
改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰 出成果 ， 中国古代数学有了微积分前两阶段的出色 工作 ， 中许多都是微积分得以创立 的关键 。 其
从 思想萌芽到 牛顿 实例分析
张 政
（ 西安航空技术高等专科学校 基础部 ， 陕西 西安 ７ ０ ７ ） １０ ７
摘
要： 通过回顾 古代 东西方微积分思想 的萌 芽 及微积分创 立前 夕欧洲的思想社会 背景， 论述 了导致微积分产 生的
几类基本情况 ， 构造 实例再现 了牛顿发现微积分的全过程 ， 并指 出牛顿、 莱布尼 兹各 自独立提 出较 完整 的微积 分理 论 ， 而推动人 类科 学进步。 从
和最早 的例 子 。
被“ 竭尽” 得圆周率约等于 ３ １ 。西方人在 １ ， ．４ ７世
纪 （６７年 ） １４ 时称 这种没 有极 限步 骤 ， 给 出证 明蕴 但
这些思想和方法从刘徽对圆锥、 圆台、 圆柱的体 积公式的证明到公元 ５ 世纪祖恒求球体积的方法中
都可找 到。北宋大 科学家 沈括 的《 梦溪笔谈 》 独创 了
关键词 ： 微积分诞 生； 牛顿； 莱布尼兹
中图分类号： ２ １４ 文献标识码 ： 文章编号 ：０ ８９３ （００ ０ —０ ８０ Ｏ ４． Ａ １０ ２ ３２ １ ）１０ ５—３
１ 古代东西方微积分思想的萌芽
微积分的产生一般分为三个阶段 ： 极限概念 ； 求
积 的无 限小方法 ； 积分 与微 分 的互 逆 关 系 。最 后 一 个 阶段是 由牛 顿 、 布尼 兹完 成 的。前 两 阶段 的工 莱 作 ， 的大批数 学 家一 直 追 溯到 古希 腊 的 阿基 米 欧洲 德都作 出 了各 自的贡献 。 公元 前五世 纪古希 腊 的安提 丰 （ ｎｉ ｏ ） 出 Ａ ｔ ｈｎ 提 ｐ
（ ２７ １ ， ｒｈｍｅｅ） “ 竭法 ” 圆 的面 积 ， 前 ８ —２ ２Ａ ｃｉ ｄｓ用 穷 求 认 为圆的 面积与正 内接 （ 外切 ） 多边形 面积之差 可 以 与剩 余空 间同底 同高 ， 样无 限进 行下去 ， 这 最后 的三 角形 就非常小 了 ， 的方 法 实 际上也 是 无穷 级数 求 他
ｄｘｓ作 了补 充 和完 善 ， 们 用来 求 平 面 圆形 的面 ｏｕ） 他
积和立体的体积。方法记载在欧几里得（ ３ ４ 前 — 世 积的工作， 他在抛物线弓形与其 内接最大的三角形 纪 Ｅ ｃｄ 的《 ｕｌ ） 几何原本》 公元前三世纪阿基米得 的每一 个空 间中又 内接 一个 新 的 三角形 ， 三角 形 ｉ 中， 这