牛顿运动定律的微积分解析
牛顿运动三定律及功与能关系
受的合力，其方向与所受合力的方向相同。
Fi
d(mv) dt
Fi
k
d(mv) dt
取SI单位，k=1，则有
Fi
d(mv) dt
dmv dt
当物体的质量不随时间变化时
m dv
Fi
dt m dv
dt
ma
讨论 (1) 第二定律只适用于质点的运动的情况；
F
一定时，m
,
a
(2) 第二定律的三个性质
牛顿运动三定律及 功与能关系
一. 牛顿第一定律 (Newton’s First Law of Motion) 内容 任何物体,只要没有外力改变它的状态，便会永远
保持静止或匀速直线运动的状态。 它是从大量实验事实概括总结加上抽象思维得来的， 但不能直接用实验来验证。
讨论
（1）惯性(inertia) —— 物体的固有属性（惯性定律）
mv
dv ds
ds ld
θ l
T θ
v
mg
0
g cos
ld
vdv
0
v = 2glsin
代入②
T 3mg sin
牛顿运动定律的适用范围
一. 惯性系(Inertial System )
乙 mF
a
甲
观察者甲：
有力
F
和加速度
a
即
F
ma
观察者乙：牛有顿力定F 律但在没该有参加照速系度中a 适即用m—a—惯0,性F系 0
1. 明确研究对象（隔离体法） 2. 受力分析 （重力，弹力，摩擦力）
3. 建立坐标系，列方程 （牛顿第二定律及辅助条件）
4. 求解，讨论
例 试证明在圆柱体容器内以角速度绕轴匀速旋转的流体
微积分三定理 基本公式牛顿—莱布尼茨公式
x4 lim 2 4 x 0 5 x 1 . 10
练一练
1.lim
x 0 x 0
x2
0
arctan tdt x
4
1 2
2
ln 1 t dt 1 2.lim
x
0
x
2
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
练一练
x 1. dx 2 0 1 x cos 2 x 2 2. dx 0 cos x sin x
1
2
3. tan d
4 0 2 2
1 e2 x 4. dx x 1 1 e 5. x 1dx
f ( t )dt 在[a , b] 上具有导数，且它的导 d x f ( t )dt f ( x ) (a x b) 数是 ( x ) a dx y x x 证 ( x x ) f ( t )dt a
a
x
( x x ) ( x )
0
2
原式 2 sin x cos x x 0
2
求
2
1
1 x dx x
2
2
3 . 2
1 2 原式 1 x 2 2 dx x
1 x 1 1 4 5. 2 x 8 1 2 2 1 1 6 2 x 1 3 3
大学物理 第三章 牛顿运动定律
四、几种实用的惯性系
1、地面参考系 ground reference frame
由于我们生活在地面上，地面是 一个最常用的惯性系。但只能说地面 是一个近似的惯性系，而不是一个严 格的惯性系，因为地球有自转角速度： 由于地球的自转，地球上的物体 有法向加速度。
1 7.3 105 rad s 1
2、地心参考系 earth's core
地心参考系相对地面参考系严格 些，地球绕太阳公转的角速度：
2 2.0 107 rad s 1
3、日心参考系 sun's core
日心参考系相对地心参考 系更严格些，但太阳还绕银河 中心旋转：
3 8.0 1012 rad s 1
• 5、牛顿定律适用的范围是什么？什么是 惯性参考系？ • 6、有人说：力是运动的根源，没有力就 没有运动，你是怎么理解的？ • 7、日常生活中，我们经常接触的力有哪 些？它们都属于基本力中的哪一种？ • 8、有人说：人推车时只有作用力大于反 作用力时车才能被推动，且先有作用力， 后有反作用力。你认为呢？ • 9、动量和动能有什么区别和联系？
• “只要运动是匀速的，你无法从其中任何一个现象来确 定船是在运动还是停着不动．你跳向船尾也不会比跳向船头 来得远,虽然你跳在空中时,脚下的船底板向着你跳的反方向 移动．你把不论什么东西扔给你的同伴时,如果你的同伴在 船头而你在船尾, 你所用的力并不比你们两个站在相反位置 时所用的力更大．水滴将象先前一样,滴进下面的罐子,一滴 也不会滴向船尾,虽然水滴在空中时,船已行驶了相当距离."
（3） m
a 是什么力？
§３.３ 牛顿运动定律的应用
Applications of Newton’s Laws of motion • 一、牛顿运动定律的适用范围
牛顿莱布尼茨公式与积分运算
牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点：牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述，它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)内可导，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，α和β是两个常数，则有：∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上非负（非正），则∫(from a to b)f(x)dx非负（非正）。
3.可加性：如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，且它们的区间分界点相同，那么：∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法：设 Integration variable change : x = g(t)，dx = g’(t)dt，则有：∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式：∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式：∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式：∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
大学物理2牛顿运动定律
解：分析受力：mg B R ma
v dv tK d v K ( v v ) T 运动方程变为： 0 d t 0 vT v m dt m
d v mg B Kv 加速度 a dt m mg B 极限速度为：vT K
B R
m
mg
vT v K ln t vT m
x
g sin a2 arc tg g cos
例题2-3 一重物m用绳悬起，绳的另一端系在天花板上，
绳长l=0.5m，重物经推动后，在一水平面内作匀速率圆 周运动，转速n=1r/s。这种装置叫做圆锥摆。求这时绳 和竖直方向所成的角度。
2 2Biblioteka 解： T sin m r m l sin T cos mg 角速度： 2n T 拉力：T m 2l 4 2 n 2 ml
1.电磁力
电磁力：存在于静止电荷之间的电性力以及 存在于运动电荷之间的磁性力，本质上相互联系， 总称为电磁力。 分子或原子都是由电荷系统组成，它们之间 的作用力本质上是电磁力。例如：物体间的弹力、 摩擦力，气体的压力、浮力、粘滞阻力。
2.强力
强力：亚微观领域，存在于核子、介子和超 子之间的、把原子内的一些质子和中子紧紧束缚 在一起的一种力。 15 15
F
N 1
i
i
3、矢量性：具体运算时应写成分量式
dv x Fx ma x m dt 直角坐标系中： F ma m dv y y y dt
dvz Fz maz m dt
dv 自然坐标系中： F m dt
F
n
m
v
2
4、惯性的量度： 质量
三. 牛顿第三定律
牛顿微积分
第二节牛顿的微积分一、牛顿传略1643年1月4日牛顿生于英国林肯郡的沃尔索普(Woo l sthorpe)村，父亲是一个农民，在牛顿出生前就死了．虽然母亲也希望他务农，但幼年的牛顿却在做机械模型和实验上显示了他的爱好和才能．例如，他做了一个玩具式的以老鼠为动力的磨和一架靠水推动的木钟．14岁时，由于生活所迫，牛顿停学务农，以后在舅父的帮助下又入学读书．1661年，不满19岁的牛顿考入剑桥大学的三一学院．1665年初，他在毕业前夕发现了二项式定理，同年获文学学士学位，并当了研究生．但不久便由于在伦敦流行鼠疫，剑桥大学关闭，牛顿只好回农村居住．在沃尔索普村的18个月里，牛顿发明了微积分，提出了万有引力定律，还研究了光的性质．牛顿一生的重大成就大都发韧于这期间．后来，他在追忆这段峥嵘的青春岁月时说：“当年我正值发明创造能力最强的年华，比以后任何时期更专心致志于数学和哲学(科学)．”我们特别注意到，他于1666年10月写成的《流数后人加的)是世界上第一篇微积分论文，它标志着这一学科的诞生．虽然论文直到本世纪才公开发表，但当时有抄本流传，牛顿的不少朋友和同事都看到过．1667年，瘟疫过去，牛顿又回到剑桥大学．第二年，他制成世界上第一架反射望远镜．由于他在科学上的出色成就，他的老师巴罗认为他的学识已超过自己，便于1669年10月主动把数学教授的职位让给他，于是牛顿开始了他三十年的大学教授生活．他在1669年写成《运用无穷多项方程的分析学》(De Ana l ysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，1711年发表)，又于1671年写成《流数法和无穷级数(De Me－thodis Serierum et F l uxionum，1736年发表)．这两篇论文同《流数简论》一起，奠定了微积分的理论基础．1672年，他当选为皇家学会会员，并第一次发表论文，内容是关于白色光的组成，引起广泛的兴趣和讨论．1675年，他将关于光的粒子说的论文送交皇家学会．1685年，他开始撰写《自然哲学的数学原理》(Phi l osophiaeNatura l is Principia Mathematiˉca)．1687年，这部伟大著作刚刚写完，便由哈雷(E．Ha ll ey，1656—1742)出资发表，立即对整个欧洲产生了巨大影响．著名的牛顿力学三定律、万有引力定律及牛顿的微积分成果都载于此书．它成为科学史上的一个里程碑．1689年，牛顿代表剑桥大学进入议会．不久，牛顿的母亲病重，他彻夜不眠地守着她，但并没有能挽留母亲的生命．由于长简论》(The October 1666 Tract on F l uxions，题目是期的紧张工作及母亲病逝的精神打击，牛顿得了精神衰竭症，大约一年后才复原．1693年，牛顿写成他的最后一部微积分专著《曲线求积术》(De Ouadratura Curvarum)．1696年，牛顿被任命为造币厂督办，三年后当了厂长．从1665年到1696年，牛顿纯粹是一个科学家，为科学事业做出了许多卓越贡献．这以后的三十一年中，他一方面在官场服务，另一方面作为英国科学界的领袖而发挥作用．1703年，牛顿开始担任皇家学会会长，1704年发表了他的名著《光学》(Op－ticks，《曲线求积术》作为《光学》的附录同时发表，获得巨大成功．1705年被女皇封为爵士，得到了一生的最高荣誉．但他的研究重心却逐渐由科学转移到神学，晚年写了大量关于神学的文字．1727年3月31日，牛顿病逝于英国的肯辛顿．纵观牛顿的一生，他在科学上的最重要成就有三个：发明微积分、建立经典力学体系、提出光的性质的理论．其中任何一项成就都足以使他列入世界上的大科学家行列．但牛顿并不认为自己发现了真理的海洋，他在逝世前不久给朋友写的信中说：“我不知道世人怎样看待我；但我自己觉得，我不过像在一个海滨玩耍的小孩，为时而拾到一片比寻常更为莹洁的卵石，时而拾到一片更为美丽的贝壳而雀跃欢欣，而对于我面前的真理的海洋，却茫然无知．”二、《流数简论》《流数简论》表明，牛顿微积分的来源是运动学．1666年，他在坐标系中通过速度分量来研究切线，既促使了流数法的产生，又提供了它的几何应用的关键．牛顿把曲线f(x，y)＝0看作动点的轨迹，动点的坐标x，y是时间的函数，而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线，所以曲线f(x，y)＝0的切线斜率所以牛顿便在后来称它们为流数，实际上就是x和y对t的导数：而它们的比就是y对x的导数布尼茨发明的，我们这里采用它们是为了叙述方便．牛顿考虑的第一个问题是：给定x和y的关系f(x，y)＝0，求的次数……令这些乘积的总和等于零．这个方程就给出速度(流数)之间的关系．若用子表示，则为它是牛顿用来计算流数之比(即求导)的基本法则．实际上，这个式子牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明(1)式的．他认为，作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同，“因此，如果到某一时刻，它们已描绘的线段为x和y，那么到下一时刻所描绘的线段就是x＋xo和y＋yo．”牛顿用x＋xo和y＋yo代替f(x，y)＝0中的x和y，于是有按二项式展开并略去o的二次以上(含二次)的项，得除以o后便得到(1)式．作为一个实例，可把y＝x n写成f(x，y)＝y－x n的形式，由(1)式推出的代数式)．他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现，即：其中A表示曲线y=f(x)下的面积．从《流数简论》可以看出，他是用如下方法推导这一重要定理的：设y表示曲线f(x)下的面积abc(图11．13)，并把它看作垂平行移动，描绘出面积x和y，它们随时间而增加的速度是be和bc，”显然，be＝1而bc=f(x)．因此，牛顿认为面积y随时间的变化率是这显然等价于(2)式，就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标．他把求积问题看作求变化率的逆过程，即把y看作f(x)的积分(不定积分)．牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系．如果面积y＝在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出变量代换法，它变量z＝1＋x n，其流数比为这便是我们熟知的幂函数微分公式，它的现代形式为类似地，牛顿在积分中也采用了代换法，并在稍后的著作中总结出代换积分公式．这个问题将在下面讨论．《流数简论》中，牛顿还导出函数的积和商的微分法则．设y=u(x)·v(x)，则由计算流数之比的基本法则得到至于函数和的微分，牛顿认为是显然的，没有作为公式列出．由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是提出微积分基本定理，所以说他“发明”了微积分．不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才出现的．三、《运用无穷多项方程的分析学》(下简称《分析学》)在这本书中，牛顿假定曲线下的面积为z＝ax m，其中m是有理数．他把x的无穷小增量叫x的瞬，用o表示．由曲线、x轴、y轴及x＋o处纵坐标所围成的面积用z＋oy表示(图11．14)，其中oy是面积的瞬，于是有z+oy＝a(x＋o)m．根据二项式定理考虑到z＝ax m，并用o去除等式两边，得略去仍然含o的项，得xy=max m-1．这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式，或者说是面积z在点的变化率线为y=max m-1；反之，若曲线是y＝max m-1，则它下面的面积是z=ax m．在这里，牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法，而且证明了微积分基本定理．从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式(用现代符号表出)(ax m)′＝max m-1；在证明了面积的导数是y值，并断言逆过程是正确的以后，牛顿给出下面的法则：若y值是若干项的和，则面积是由每一项得到的面积的和，用现在的话来说，就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：∫[f1(x)+f2(x)＋…+f n(x)]dx=∫f1(x)dx＋∫f2(x)dx+…+∫f n(x)dx．他对如下的积分性质也有明确认识：∫af(x)dx ＝a∫f(x)dx．他利用上述知识得到各种曲线下的面积，解决了许多能表成和式的问题．在此基础上，牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法．例如然后对这个无穷级数逐项积分，得他说，只要b是x的倍数，取最初几项就可以了．y＝1-x2＋x4－x6＋x8－ (1)y＝x-2－x-4＋x-6-x-8＋ (2)他说，当x很小时，应该用(1)式，若x较大就必须用(2)式了．可见他已意识到级数收敛和发散的区别，不过还没有提出收敛的概念．同《流数简论》相比，《分析学》的另一项理论进展表现在定积分上．牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和，这种观念与现代是接近的．为了求某一个区间的确定的面积即定积分，牛顿提出如下方法：先求出原函数，再将上下限分别代入原函数而取其差．这就是著名的牛顿—莱布尼茨公式，是他与莱布尼茨各自独立发明的．若采用现代数学符号，该公式可表述为：若F(x)是f(x)在区间[a，b]中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题，所以它是十分重要的．《分析学》中还有其他一些出色的成果，例如，书中给出求高次方程近似根的方法(即牛顿法)，导出正弦级数及余弦级数，等等．到此为止，牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法．不过他在概念上仍有不清楚的地方．第一，他的无穷小增量o是不是0？牛顿认为不是．既然这样，运算中为什么可以略去含o的项呢？牛顿没有给出合乎逻辑的论证．第二，牛顿虽然提出变化率的概念，但没有提出一个普遍适用的定义，只是把它想象成“流动的”速度．牛顿自己也认为，他的工作主要是建立有效的计算方法，而不是澄清概念，他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证．”牛顿的态度是实事求是的．四、《流数法和无穷级数》(下简称《流数法》)这是一部内容广泛的微积分专著，是牛顿在数学方面的代表作．在前两部书的基础上，牛顿提出了更加完整的理论．从书中可以看出，牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段．他把随时间变化的量，即以时间为自变量的函数称为流量，以字母表的后几个字母v，x，y，z来表示；把流量的变化速度，即变化率称为流数，以表保留，并且仍用o表示．他在书中明确表述了他的流数法的理论依据，说：“流数法赖以建立的主要原理，乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理，这就是：数学量，特别是外延量，都可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式下产生的．”又说：“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的，这就是假定一个量可以无限分割，或者可以(至少在理论上说)使之连续减小，直至……比任何一个指定的量都小．”牛顿在这里提出的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的，他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题．第一类：已知流量的关系求它们的流数之比，即已知y＝f(x)或例如书中的问题1：如果流量x和y之间的关系是x3－ax2+axy－y3=0，求它们的流数之比．程中的x和y，得展开后利用x3－ax2＋axy－y3＝0这一事实再把余下的项除以o，得至此牛顿说：“我们已假定o是无限微小，它可以代表流动量的瞬，所以与它相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有．因此我把它们丢掉，而剩下从表面看，这种方法与《流数简论》中的方法一致．所不同的是，数．《简论》中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义．例如，假定y=x n，牛顿首先建立然后用二项式定理展开右边，消去y＝x n，用o除两边，略去仍含o 的项，结果得当然，在对具体函数微分时，不必采用无穷小而可直接代入公式．第二类：已知一个含流数的方程，求流量，即积分．(x)，则数简论》中，牛顿在具体积分中已经采用了这种方法，只是到这时才明确总结出公式．从《简论》及《流数法》两书来看，他推导此式的思路大致如下：由(2)，(3)得由微积分基本定理，得牛顿在书中还推出分部积分公式，即∫uv′dx=uv-∫vu′dx．其中u和v都是x的函数．若求∫uv′dx有困难而求∫vu′dx 比较容易时，就可利用分部积分公式求积分．牛顿总结了他的积分研究成果，列成两个积分表，一个是“与直线图形有关的曲线一览表”，另一个是“与圆锥曲线有关的曲线一览表”．这两个表为积分工作提供了许多方便．至此，牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法，他当时统称为流数法．他充分认识到这种方法的意义，说流数法(即微积分)是一种“普遍方法”，它“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题．”《流数法》一书便充分体现了微积分的用途，下面略举几例．例1，在“问题3——极大值和极小值的确定”中，牛顿给出了通过解方程f′(x)＝0来求f(x)极值的方法．他写道：“当一个量取极大值或极小值时，它的流数既不增加也不减少，因为如果增加，就说明它的流数还是较小的，并且即将变大；反之，如果减少，则情况恰好相反．所以求出它的流数，并且令这个流数等于0．”他用这种方法解出了九个问题．其中之一是求方程x3－ax2＋axy－y3=0中x的最大值．他先求出x和y的流数之比，得即 3y2＝ax．把上式代入原方程后，就很容易求得相应的x值和y值了．例2，已知曲线方程为x3－ax2＋axy y3＝0，AB和BD分别为曲线上D 点的横、纵坐标，求作过D点的切线(图11．15)．牛顿先求得流数之间的关系由此得出因BD＝y，所以牛顿说：“给定D点后，便可得出DB和AB，即y和x，BT的长度也就给定，由此可确定切线TD．”例3，在“问题12——曲线长度的确定”中，牛顿采用流数法计算弧长．设QR是给定曲线，RN⊥MN，牛顿分别记MN＝s．NR＝t，QR＝v(图11．16)，它们的流数分别为s，t，v，然后“想象直线NR向右移动到最接近的可能位置nr，由R向nr引垂线RS，则MN，NR和QR分别增加RS，Sr和Rr．”牛顿说：“因为RS，Sr和Rr相互之比是这些线段的流数之间的若换成现在通用的坐标x，y和弧长s，则牛顿的结果为只要对t积分，就可求出弧长s了．综上所述，《流数法》不仅在基本思想上比《分析学》有了发展，而且提供了更加有效的计算方法．但牛顿的基本方法仍是弃去无穷小，因而同《分析学》一样出现逻辑困难．他尝试建立没有无穷小的微积分，于是有《曲线求积术》(下简称《求积术》)之作．五、牛顿的极限理论牛顿的四部微积分专著中，《曲线求积术》是最后写成(1693)但最早出版(1704)的一部．在书中，导数概念已被引出，而且把考察对象由二个变量构成的方程转向关于一个变量的函数．牛顿的流数演算已相当熟练和灵活了，他算出许多复杂图形的面积．阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)称赞说，该书“论述的有理函数积分法，几乎不亚于目前的水平．”值得注意的是，在《求积术》中，牛顿认为没有必要把无穷小量引入微积分．他在序言中明确指出：“数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．直线不是一部分一部分的连接，而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的；面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，时间段落是由连续的流动生成的．”在这种思想指导下，他放弃了无穷小的概念，代之以最初比和最后比的新概念．为了求函数y=x n的导数，牛顿让x“由流动”而成为x＋o，于是x n变为的最后比等于1比nx n-1．所以量x的流数与量x n的流数之比等于1比nx n-1．”牛顿认为这个比即增量的最初比，可见最初比与最后比的实质是一样的，都表示y关于x的导数，或者说是y对于x的变化率．用现在的符号可写成y′=nx n-1．牛顿还对他的最后比作出下面的几何解释：如图11．17，假定bc移向BC，使得c和C重合，那么增量CE、Ec、Cc的最后比等于△CET的各边之比，即把这些增量看作初生量的最初比．”他说，“只有点C与c 完全重合了，直线CK才会与切线(CH)重合，而CE、Ec、Cc的最后比才能求出．”显然，他是把切线CH当作割线CK的极限位置．实际上，早在《自然哲学的数学原理》(下简称《原理》)一书中，牛顿就表述了明确的极限思想．他说：“消失量的最后比严格地说并不是最后量的比，而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限．它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小，但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它．”在这部最早发表的包含微积分成果的书(当然不是最早写成的)中，牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上，他用极限观点解释了微积分中的许多概念．例如，他认为表示定积分的曲边图形与“消失的平行四边形的终极和”相重合．牛顿指出，当这些平行四边形(相当于今天讲定积分几何意义时的长条矩形)的最大宽度无限减小时，就成为“消失的平行四边形”，而曲边图形就是所有这些消失图形的终极和了．牛顿在《原理》中阐发的极限思想，成为他撰写《求积术》的理论基础．当然，他还没有提出如同我们现在使用的严格的极限定义．。
力对质点的瞬时效应——牛顿三定律
直向下的速率v 0 ，且在水中
B P ，则球在水中仅受
阻力Fr kv 的作用 m dv kv dt
v dv k
t
dt
v0 v
m0
v v0e( k / m )t
FB
Fr
v
y
P
v
v0
o
t
2.1.3 牛顿定律的应用举例
例2 光滑水平桌面
上放置一半径为R的固
• 惯性系 • 物体的运动速度远小于光速 • 只适用于宏观物体运动规律 • 仅适用于实物，不完全适用于场
2.1.3 牛顿定律的应用举例
一 解题步骤
隔离物体 受力分析 列方程 解方程
建立坐标 结果讨论
二 三类常见问题
已知力求运动状态 已知运动状态求力
rF
aa
r F
已知部分力、部分运动状态、求解部
dvx k dt
2.1.3 牛顿定律的应用举例
vx
m
kdvy k dt mg kvy m
t 0
v0x v0 cos v0 y v0 sin
yv0
Fr
A
P
v
代入初始条件解得: o
x
vx v0 cosekt/m
vy
(v0
sin
mg k
)ekt/ m
R
dv v2
R
dt
1
1
t
v v0 R
2.1.3 牛顿定律的应用举例
v Rv0 ( R v0t )
s
t
ds υ dt 0ds 0υ dt
牛顿运动定律知识点归纳
牛顿运动定律知识点归纳牛顿运动定律知识点一：牛顿第一定律1、内容：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止.2、理解：①它说明了一切物体都有惯性，惯性是物体的固有性质.质量是物体惯性大小的量度(惯性与物体的速度大小、受力大小、运动状态无关).②它揭示了力与运动的关系：力是改变物体运动状态(产生加速度)的原因，而不是维持运动的原因。
③它是通过理想实验得出的，它不能由实际的实验来验证.牛顿运动定律知识点二：牛顿第二定律1、内容：物体的加速度a跟物体所受的合外力F成正比，跟物体的质量m 成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同.2、理解：①瞬时性：力和加速度同时产生、同时变化、同时消失.②矢量性：加速度的方向与合外力的方向相同。
③同体性：合外力、质量和加速度是针对同一物体(同一研究对象)④同一性：合外力、质量和加速度的单位统一用SI制主单位⑤相对性：加速度是相对于惯性参照系的。
牛顿运动定律知识点三：牛顿第三定律1内容：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上.2理解：①作用力和反作用力的同时性.它们是同时产生，同时变化，同时消失，不是先有作用力后有反作用力.②作用力和反作用力的性质相同.即作用力和反作用力是属同种性质的力.③作用力和反作用力的相互依赖性：它们是相互依存，互以对方作为自己存在的前提.④作用力和反作用力的不可叠加性.作用力和反作用力分别作用在两个不同的物体上，各产生其效果，不可求它们的合力，两力的作用效果不能相互抵消.3、牛顿运动定律的适用范围：对于宏观物体低速的运动(运动速度远小于光速的运动)，牛顿运动定律是成立的，但对于物体的高速运动(运动速度接近光速)和微观粒子的运动，牛顿运动定律就不适用了，要用相对论观点、量子力学理论处理.4、易错现象：(1)错误地认为惯性与物体的速度有关，速度越大惯性越大，速度越小惯性越小;另外一种错误是认为惯性和力是同一个概念。
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第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
由于牛顿的谨慎态度（更多的原因是牛顿与胡克之争吵色 彩理论，争夺万有引力定律的发现权，与莱布尼兹争吵微积分 的发现权），他的研究成果大都没有及时发表。在好友哈雷的 一再劝说之下，45岁时（1687年），出版了自己的划时代巨 著——《自然哲学的数学原理》。而《光学》一书则推迟到牛 顿65岁时才发表。
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
a
FHale Waihona Puke a0 F F惯性力 ma F惯性力 m a0 ( 非惯性系相对惯性系加 速度)
引入惯性力的概念之后，牛顿运动定律在非惯性系中仍然 成立，只不过定律中的力应该既包括作用力，又包括 惯性力 。 另外，需要指出的是：惯性力是一个假象的力，既没有施力者， 也没有反作用力。惯性力的实质是物体惯性在非惯性系中的反 映。
m 2 g m1 g sin 300 a 3.3 m 2 s m1 m 2
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
【例题】在图中所示的装置中，略去轴上和桌
面摩擦以及滑轮和绳的质量，且假设绳不可伸
长，则质量为m1的物体的加速度a1=______。
m1
2m2 g 答案： a1 4m1 m2
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
【例题】质量分别为 m1 ＝2kg 和 m2= 1kg 的两物体用轻细绳相连 接后，悬挂在一个固定在电梯内的定滑轮的两边。滑轮和绳的 质量以及所有摩擦均不计。当电梯以 a0=g/2 的加速度下降时，
m1 相对于电梯的加速度大小为 g 6 。 解：取电梯为参考系
对 m1 有 对 m2 有
牛顿诞生在伽利略逝世的1642年12月25
日（旧历）圣诞节那天，他出生在英国一个 农民之家。牛顿的童年是不幸的，他是遗腹
子，母亲汉娜改嫁后将他留给了外祖父母，
由外祖父母带大的。小时侯，牛顿身体并不 强壮，经常生病；性情孤僻，不善和人交往， 学习成绩平平，各方面都缺乏自信心。有一 次，班上一个孩子欺负他，踢了他肚子一脚。 这一脚对物理学产生了重要的影响！——激 怒了平素腼腆的牛顿，奋起反抗，痛揍了这
大学物理
University Physics
2016/4/30
1
本章主要讲解二个方面问题：
1）牛顿运动三定律及其应用。
2）非惯性参照系及惯性力。
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
牛顿 (Issac Newton) 1642---1727 第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
牛顿 (Sir Isaac Newton) 生平
mdv dt mg F kv
分离变量
mdv dt mg F kv 0 0
积分
v
t
mg F v k
k t m 1 e
mg F 收尾速度 讨论 : 当t 时 , v k
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
【例题】在倾角为30°的光滑斜面上，放一质量m1=8
kg的物体。用一跨过滑轮的轻绳与质量m2=10 kg 的物
体相连，如图所示。求两物体运动时的加速度及绳上
的张力。
m1
300
m2
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
N
m1
30 0
T
m2
m1
m1 g
a1
T
m2 a 2
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
3、牛顿第三定律
牛顿第三定律的内容可表述如下：作用力与反作用力大小
相等，方向相反，作用在同一条直线上。
F12 F21
注意： ① 作用力与反作用力等值、反向、共线、共性。 ② 作用力与反作用力分别作用在两个物体上，同时产生，同 时消失。 ③ 牛顿第三定律不包含运动量，适用于任何参照系。
T m1a1 m 2 g 2T m 2 a 2 a 2a 2 1
m2
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
本章主要讲解二个方面问题：
1）牛顿运动三定律及其应用。 2）非惯性参照系及惯性力。
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
非惯性参照系定义
a
A
p.17
以教堂为参照系，物体A静止，满足牛顿第一定律。 以汽车为参照系，物体A运动，不满足牛顿第一定律。 牛顿第一定律成立的参照系，称为惯性参照系。 牛顿第一定律不成立的参照系，称为非惯性参照系。 相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性参照系。 第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
英国著名诗人亚历山大波普写道： 自然界和自然界的规律隐藏在黑暗中， 上帝说：“让牛顿去吧。” 于是一切成为光明。
牛顿对自己的成功有着清醒的认识，他在一封信中写道： “如果说我
比别人看得更远一点的话，那是因为我站在巨人们的 肩膀上。”
牛顿长期担任英国皇家学会会长一职，直到去世。牛顿终身未婚，把毕生的 精力都贡献给了科学事业，他在临终遗言中有这样一段话：“我不知道
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
牛顿定律的解题步骤 :
1、运用第三定律对研究对象进行受力分析, 画出各物体受力图
(隔离体法)
2、选取惯性参考系, 建立合适坐标系。
( 尽量使加速度的方向与坐标轴正向一致 ) 3、根据物体受力图, 运用第二定律列出联立方程
Fi x m a x 直线运动 Fi y m a y
迫使它改变这种状态为止。
对于牛顿第一定律应明确： 牛顿第一定律的重要意义是从力的起源（力是物体间的相互作 用）和力的效果（力是改变运动状态的原因）上肯定了力的概
念。并说明了一切物体都具有惯性，所以又称为惯性定律。
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
2、牛顿第二定律
牛顿第二定律的内容可表述如下：质点所
世人将如何看待我，但是在我看来，我不过只是在海 滨玩耍的孩子，为时而发现一块比平常光滑的石子或 美丽的贝壳而感到高兴，但那浩瀚的真理之海洋，却 还在我的面前未曾发现呢？”。 第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
1、牛顿第一定律
牛顿第一定律的内容可表述如下： 任何物体都保持静
止或匀速直线运动状态，直到受其它物体所作用的力
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
【例题】质量为m的小球在液体中由静止释放，竖直
下沉。设液体相对地面静止。液体对小球的浮力为 F ，
粘滞阻力为 kv ， k 是与液体的粘滞性和小球半径有关
的一个常数，求任意时刻小球的速度。
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
dv mg F kv ma m dt
m2 g
对m1
1 N m1 g cos 30 0 T m g sin 30 m1a1 2 1
0
对m2
m2 g T m2a2
3 4
约束关系 a1 a2
由1234 得
T m 2 g a 65 N
在非惯性系中，牛顿运动定律不成立，我们应该如何进行修正与补充？
a
F
a0
物体相对地面加速度为 a a a0
以地面为参照系( 惯性系) , 牛顿定理成立 , F ma m( a0 a) F ( ma0 ) ma
若以车厢为参照系( 非惯性系) , 定义 : 惯性力F惯性力 质量m 牵连加速度a0 则 F F惯性力 ma ( 非惯性系相对惯性系加 速度)
《自然哲学的数学原理》被看作是经典物理学的“圣经”。 内容包括：绝对时空观、惯性系、相对性原理、力学三定律、 万有引力和叠加原理（平行四边形法则）。由于当时微积分刚 刚初创，很不成熟，这本书的主要数学工具是几何。这本书的 出版使经典物理学多年积累的显得有些杂乱无章的大量成果系 统化了，物理学从此成为一门成熟的自然科学。
O'
m1 g T m1a0 m1a'
T m2a0 m2 g m2a'
a'
T m1 g
a'
T m2 g
m1 m2 1 a' ( g a0 ) g m1 m2 6
a0
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
THE END
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
受的合外力正比于相对于惯性系的加
速度。
注意：
① 牛顿第二定律仅适用于惯性参照系；
dv F ma m dt
② 牛顿第二定律是力的瞬时作用规律；
③ 牛顿第二定律的表达式是矢量式； 成立。
dp ④ 当质点以接近光速运动时，m为变量，F m a 不成立，但 F 仍 dt
Fi t m a t 曲线运动 Fi n m a n
(i) 用几何关系或相对运动找出加速度之间、力之间的关系 (ii) 未知数应与方程数相等 4、解联立方程组，用符号化简后代入数据, 进行数值计算。 ( 原始数据注意单位, 尽量化为 SI 制 )
5、对结果进行讨论。 ( 分析结果是否合理,有何物理意义 )
个孩子一顿。这次胜利，增长了牛顿的信心，
牛顿 (Isaac Newton)
学习上也努力起来，毕业时已成为班上成绩 最好的学生。
第 2 章 牛顿运动定律的微积分解析
牛顿14岁那年，他的母亲再次成为寡妇，因家中农活忙不 过来，将牛顿叫回家帮忙。但牛顿干农活不在行，牛顿的舅舅 劝说牛顿的母亲让他继续上学。 18岁时牛顿以减费生的身份考上剑桥大学三一学院 （Trinity College，三一的意思是上帝、耶稣和圣灵三位一体）。 大学期间的牛顿也并不突出。23岁时牛顿取得学士学位，这一 年英国爆发大规模的瘟疫，牛顿只得去乡下躲避。1665－1666 年，一年半的乡间生活，是牛顿创造力最旺盛的时期。他一生 中的最重要的成果，涉及力学、光学、数学、哲学等许多领域， 但他的几乎所有重要的数学物理思想，都诞生于这一时期。这 时他才23－24岁，只是个刚毕业的大学生。牛顿回到母校后， 工作表现很出色。27(1669年)岁成为剑桥的教授(巴罗教授将自 己的“卢卡斯讲座教授”的荣誉职位让给牛顿)，30岁(1672年) 成为英国皇家学会的会员（因发明反射式望远镜）。