牛顿在微积分发展中的作用
牛顿在制定微积分中对微分方程的研究
从 有限到无 限 的飞跃 为无 穷级 数 的研 究 开辟 了广 阔 前 景 。牛顿凭借 二 项 定理 又得 到 其他 一 系列 函数 的 无 穷级数 ， 这些 函数 的无穷 级数表示 为其 开创 微分方
程 的级数解法 提供 了强有 力 的保 障 ， 无穷 级数 也从此 成 为研究微 积分和微分方 程不可缺 少 的工具 。
方 程理 论所 做 的贡 献及 其思 想 的发 展 脉 络 ， 揭示 了 其 思想 方法 对创 立和 发展 微分 方程学 科 的理论 意 义 和历史 意义 。
学》 Ｌ ６ｍ ｔｅ （ ａｇｏ ６ ｉ）和沃 利斯 （ ｌ ｉ Ｊ ｎ ｌ１— ｒ Ｗａ ｓ ｏ ，６６ ｌ， ｈ １０ ） 光学 讲 义 》 Ｌｃｏｅ ｐｉ ｅ ， 两 部 著 ７３ 的《 （ ｅｔ ｎｓＯ ｔａ ） 这 ｉ ｃ 作 引导 牛顿 研究 制 定微 积 分 基 本 问题 【 ， 其 第 一 ｌ使 ｊ
析 和文 献研读 。结果
牛 顿对微 分 方程发展 做 出 了奠基 性 贡献 ： 次提 出一 阶微 分 方程 的分类 ； 首 确 牛顿 的 思想和 方 法对创 立 和发展 微 分方程 学科 具
定 了微 分 方程 求 解 的理 论 基础 ； 开辟 了应 用无 穷级 数 求解微 分 方程 的 方向 ； 开创参 数 变 易法思 想并 最先应 用 于解 决三体 问题 的摄 动理论 等 。结论
个 发现 了微 分 和积 分 的互 逆 关 系 ， 出求 解 微 分 方 迈 程 的第 一 步 。 同 时 ， 利 斯 的 《 穷 算 术 》 （ ｒｈ 沃 无 Ａｉ — ｔ
ｍ ｔ ａｉ ｎｔｒｍ） ｅｉ ｆ ｉ ｕ 启示 牛 顿 发现 了二 项 定 理 。牛 ｃ ｎ ｏ ｉ 顿进一 步得到对数 级数 和几何级数 的表 达式 ， 将正 并 整数 幂的二项展 开推广 到正负有理 数幂 的情 形 ， 这一
微积分的发展
微积分的发展微积分的产生是数学上的伟大创造。
它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。
如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。
比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。
他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。
1605 年 5 月20 日，在牛顿手写的一面文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。
牛顿和莱布尼茨对微积分
牛顿和莱布尼茨对微积分牛顿和莱布尼茨是微积分的两位伟大先驱。
他们在17世纪独立地发现了微积分中的基本概念和原理，并为数学和物理学的发展做出了巨大贡献。
本文将分析牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献，并对他们的差异进行比较。
首先，我们先来讨论牛顿对微积分的贡献。
牛顿是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，也是17世纪科学革命的重要人物之一。
他独立地发现了微积分的基本概念，并用他自己的方法进行了解释和应用。
牛顿的微积分主要以几何方式进行，他将微分和积分理解为曲线的斜率和曲线下的面积。
他用象限的无限小三角形和矩形来代表曲线，从而推导出了微分和积分的公式。
牛顿在微积分的发展中引入了一些重要的概念和原理，如牛顿法则、牛顿环、牛顿插值法等。
他还提出了著名的牛顿-莱布尼茨公式，该公式将微分和积分联系在一起，成为微积分的基石之一。
牛顿的微积分理论在物理学领域得到了广泛的应用，尤其是在描述和解释运动、力学和重力等方面。
接下来，我们来谈谈莱布尼茨对微积分的贡献。
莱布尼茨是德国的数学家、哲学家和物理学家，也是17世纪微积分的创始人之一。
与牛顿相比，莱布尼茨更加注重符号化和代数化的方法，他发明了微积分中的符号和记号，如微分形式dx和dy、积分形式∫。
莱布尼茨的符号系统使微积分的记法更加简洁和统一，方便了计算和应用。
莱布尼茨的积分法则和微分法则是微积分中的重要概念，它们使得微积分的运算更加灵活和简化。
莱布尼茨还发展了微分方程的理论，并将微分方程应用于物理学、工程学和经济学等多个领域，为这些学科的发展做出了重要贡献。
同时，牛顿和莱布尼茨在微积分的发展中存在一些差异。
首先，他们发现微积分的时间不同，牛顿是在17世纪60年代对微积分展开研究的，而莱布尼茨是在17世纪80年代才开始对微积分进行系统研究。
其次，他们的方法和概念上也存在差异，牛顿主要侧重于几何法，而莱布尼茨注重符号和代数化的方法。
最后，他们的贡献受到了争议，微积分的发现权问题成为了他们之间的争论点。
微积分发展简史
微积分发展简史
《微积分发展简史》
嘿，咱今天来聊聊微积分的发展那点事儿。
话说很久很久以前，人们就开始和各种数量打交道啦。
那时候啊，可没有现在这么多厉害的数学工具呢。
后来呢，一些聪明的脑袋瓜子就开始琢磨怎么更好地处理这些数量关系。
慢慢的，就有了一些初步的想法冒出来啦。
这些想法就像小芽儿一样，一点点地成长。
那些数学家们就像辛勤的园丁，不断地浇水施肥，让微积分这棵大树慢慢长大。
在这个过程中啊，有好多厉害的人物出现哟！比如说牛顿和莱布尼茨，这两位大佬那可是相当牛啊，他们为微积分的发展做出了巨大的贡献。
他们就像是武林高手，把微积分的招式变得越来越厉害。
随着时间的推移，微积分也在不断地进化呢。
它从一个小小的幼苗长成了参天大树，在各个领域都发挥着重要的作用。
无论是物理、工程还是经济，都离不开微积分这个好帮手呀。
再后来呀，越来越多的人加入到研究微积分的队伍中来啦。
大家一起努力，让微积分变得越来越强大，越来越完善。
哎呀呀，这一路走来，微积分可真是不容易呀！从一开始的小不点，到现在的厉害角色，经历了好多风风雨雨呢。
到了今天，我们还在不断地探索和研究微积分，让它能更好地为我们服务。
这就像是一场没有终点的旅程，我们一直在路上。
怎么样，听我这么一说，是不是对微积分的发展有了更深刻的了解呀？哈哈，这就是微积分的故事，一个充满智慧和挑战的故事哟！
好啦，就说到这儿啦，下次再给你们讲其他有趣的数学故事哟！。
微积分中的牛顿法
牛顿法，也被称为牛顿-拉夫逊法，是一种用于求解方程的迭代算法。
它是由英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿在17世纪中期开发的，以他的名字命名的。
牛顿法的核心思想是利用函数的一阶和二阶导数来近似解方程，并通过迭代逼近精确解。
牛顿法在微积分中有着广泛的应用，特别是在数值计算、优化问题以及数学建模中。
它的基本思路是通过线性逼近来确定函数的根或者极值点。
首先，我们选取一个初始的近似解，然后通过迭代计算出更精确的解。
具体而言，牛顿法的算法思路如下。
首先，我们选择一个初值x0，并对目标函数求导，得到函数在该点的切线方程，即：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)接下来，我们将切线方程等于零，得到近似解x1：f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) = 0然后，我们继续迭代此过程，通过计算x2、x3、x4，直到满足某个停止准则为止。
停止准则可以是近似解的精确度达到某个要求，或者是迭代次数达到一定的次数。
牛顿法的收敛性是相当迅速的，尤其是在初始值选择恰当的情况下。
它的收敛速度通常是二阶的，意味着每次迭代精确度翻倍。
然而，牛顿法也存在一些局限性。
首先，它对初始值敏感，不同的初始值可能会导致不同的近似解。
其次，对于复杂的非线性函数，牛顿法可能会陷入局部最小值或者发散。
牛顿法的应用非常广泛。
在微积分中，我们可以使用牛顿法来求解方程，寻找函数的根。
它也可以用于求解优化问题，例如最小化一个函数，找到函数的极小值。
此外，牛顿法还在数学建模中被广泛使用，例如在物理学和工程学中的求解某些非线性方程和方程组。
总结起来，牛顿法是微积分中一种重要的数值计算方法。
它通过利用函数的一阶和二阶导数来近似求解方程，具有快速收敛、高精度等优点。
然而，牛顿法也存在一些局限性，必须注意初始值的选择以及特定函数的性质。
但是，在实践中，牛顿法仍然是解决许多数值问题的强大工具，为我们解决复杂问题提供了更多的可能性。
牛顿与微积分的发展
牛顿与微积分的发展牛顿（1642~1727），英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。
牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分。
传记作家理查德·威斯法说，伊萨克·牛顿是“塑造了人类才智诸领域的寥寥无几的超级天才之一，一个无法归结为我们用以理解同类的标准的人”，因为微积分仅仅是他对我们理解周围世界作出重大贡献的许多领域中的一个。
在17世纪60年代的短短几年里牛顿成功地将他17世纪的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料统一并推广成为我们今天的微积分教科书中展示的神奇的解决问题的工具。
牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。
牛顿在通过自学掌握了17世纪的全部成就后，从1664年后期到1666年后期花费了两年时间理出了他关于微积分的基本思想。
就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
他对微积分的研究大致可分三个阶段: 第一阶段是静态的无穷小量方法，象费尔马那样把变量看作是无穷小元素的集合; 第二阶段是变量流动生成法，认为变量是由点、线或面的连续运动产生的，因此他把变量称为“流”，变量的变化率称为“流数”; 第三阶段是牛顿称之为最初比和最后比的方法，这种方法又是牛顿对第一阶段无穷小量方法的彻底否定．第一阶段：1667年牛顿完成了他的第一篇微积分论文: 《运用无穷多次方程的分析学》，正式发表于1711年．这篇论文是牛顿第一阶段工作的具体体现．在这篇文章中他总结了前人各种求积方法．给出了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且证明了: 求积运算是求变化率的逆过程．这就揭示了微积分的基本性质，即得到现在成为微积分学基本定理的牛顿——莱布尼茨公式．这篇文章是牛顿创立微积分的标志．但其中还有不少含混的地方．第二阶段：牛顿第二阶段的工作，主要体现在1671年的《流数法和无穷级数》中，在这篇论文中牛顿主要解决了两个问题:(1) 已知变量的关系y = f(x)，求它们流数比(牛顿用表示y的流数);(2) 已知一个含流数的方程，求变量之间的关系，这是问题(1)的逆问题，相当于求积分或解微分方程．当时牛顿把微积分叫做流数法，并明确指出流数法的普遍意义: 流数法“不仅可以用来做出任何曲线的切线，而且还可以用来处理其他关于曲度(即曲率)、面积、曲线的长度、重心等深奥的问题”．这个认识远远超过了费尔马等所有的前期微积分学者．牛顿的《流数法》写于1671年，直到1736年才发表。
微积分的发展历史
微积分的发展历史微积分是数学中的一个重要分支，它的发展历史可以追溯到古希腊时期。
在这篇文章中，我们将探讨微积分的发展历史，从古希腊时期到现代，逐步了解微积分的发展过程。
古希腊时期，数学家欧多克斯提出了一种叫做“尽量大与尽量小”的方法，这种方法可以用来求解一些几何问题。
这种方法后来被称为“极限法”，它是微积分的基础之一。
在17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地发明了微积分。
牛顿主要研究物理学问题，他发明了微积分中的“微分法”，用来研究物体的运动和力学问题。
莱布尼茨则主要研究数学问题，他发明了微积分中的“积分法”，用来求解曲线下面积和一些几何问题。
18世纪，欧拉和拉格朗日等数学家对微积分进行了深入的研究和发展。
欧拉发明了欧拉公式，它将三角函数、指数函数和虚数单位i 联系在了一起。
拉格朗日则发明了拉格朗日乘数法，用来求解约束条件下的极值问题。
19世纪，高斯和柯西等数学家对微积分进行了更加深入的研究和发展。
高斯发明了高斯-黎曼方程，它是复变函数理论的基础。
柯西则发明了柯西积分定理和柯西-黎曼方程，它们是复变函数理论的重要组成部分。
20世纪，微积分在应用数学和物理学中得到了广泛的应用。
微积分被用来研究物理学中的力学、电磁学、热力学等问题，也被用来研究应用数学中的概率论、统计学、控制论等问题。
微积分的应用范围越来越广泛，成为现代科学和工程技术的基础。
微积分的发展历史可以追溯到古希腊时期，经过了欧多克斯、牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、高斯、柯西等数学家的不断研究和发展，逐步形成了现代微积分的体系。
微积分在应用数学和物理学中得到了广泛的应用，成为现代科学和工程技术的基础。
浅谈牛顿、莱布尼茨对微积分的贡献[权威资料]
![浅谈牛顿、莱布尼茨对微积分的贡献[权威资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/7d2a646700f69e3143323968011ca300a6c3f615.png)
浅谈牛顿、莱布尼茨对微积分的贡献本文档格式为WORD,感谢你的阅读。
摘要：如今微积分的应用无论是在科学研究，还是生产生活中都有着不可忽视的地位。
微积分也正是在解决一些科学问题的需要下而产生的，其创立与发展离不开两位时代巨匠牛顿和莱布尼茨的贡献。
莱布尼茨与牛顿在创立微积分过程中殊途同归，最终完成了创建微积分的盛业。
本文便详细论述了微积分的产生、牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献以及他们在创立微积分时的异同。
关键词：牛顿莱布尼兹微积分一、微积分的产生微积分是微分学和积分学的总称。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。
主要有四种类型的问题：第一类，变速运动求即时速度的问题；第二类，求曲线的切线的问题；第三类，求函数的最大值和最小值问题；第四类，求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。
解决这些科学问题的需要是促使微积分产生的因素。
许多著名的科学家，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。
17世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。
他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。
时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，对过去很多束手无策的数学问题运用微积分就会迎刃而解。
同时微积分也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中应用越来越广泛。
二、莱布尼茨对微积分的贡献莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
牛顿在微积分发展中的作用
（王伟迪13124157 理科基础班）
摘要：微积分的创立，被誉为是“人类精神的最高胜利”，是由常量数学向变量数学转变的一件具有划时代意义的大事。
16世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自创立微积分。
本文主要论述了微积分的产生，微积分的发展，以及牛顿对微积分所做出的贡献。
关键词：牛顿微积分产生发展贡献
一：微积分的产生
微积分是微分学和积分学的总称。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。
公元17世纪，在欧洲资本主义开始萌芽、科学和生产技术开始发展的情况下，航海、天文、力学、军事、生产等科学技术给数学提出了一系列迫切需要解决的问题。
从数学角度归纳起来主要集中在以下4个方面：
第一类：变速运动求即时速度的问题。
第二类：求曲线的切线的问题。
第三类：求函数的最大值和最小值问题。
第四类：求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。
许多著名的科学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，英国伟大的科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。
这引起了广泛的社会关注。
微积分的发展简史为：（1）微积分的概念（2）微积分的萌芽（3）微积分的发展（4）微积分的建立（5）微积分创立的历史意义。
二：牛顿对微积分的贡献
牛顿（1642~1727），英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。
牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分。
在17世纪60年代的短短几年里牛顿成功地将他17世纪的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料统一并推广成为我们今天的微积分教科书中展示的神奇的解决问题的工具。
牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。
牛顿在通过自学掌握了17世纪的全部成就后，从1664年后期到1666年后期花费了两年时间理出了他关于微积分的基本思想。
就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
牛顿对微积分问题的研究始于他对笛卡尔圆法发生兴趣而开始寻找更好的切线求法。
起初他的研究是静态的无穷小量方法，像费尔马那样把变量看成是无穷小元素的集合。
1669年，他完成了第一篇有关微积分的论文。
这篇论文是牛顿第一阶段工作的具体体现．在
这篇文章中他总结了前人各种求积方法．给出了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且证明了: 求积运算是求变化率的逆过程．这就揭示了微积分的基本性质，即得到现在成为微积分学基本定理的牛顿——莱布尼茨公式．这篇文章是牛顿创立微积分的标志．但其中还有不少含混的地方。
牛顿的第二贡献体现在他的《流数简论》，《流数简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”。
当然，《流数简论》中对微积分基本定理的论述还不能算了现代意义下的严格证明。
牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明，并对微积分思想做了广泛而更明确说明。
牛顿微积分工作的第三阶段，主要体现在他的《曲线求积数》中，这篇论文是牛顿最成熟的微积分著述。
牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小瞬 的做法：“在数学中，最微小的误差也不能忽略。
……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”。
在此基础上定义了流数概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比。
确切地说，它们构成增量的最初比”。
牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比，这是他对初期微积分研究的修正和完善。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学
的非凡威力。
微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用。
从牛顿所做的三点贡献中，我们可以看出牛顿在微积分的发展中起来非常重要的作用，由此可见，牛顿对数学的发展也做出了巨大的贡献。
当然，从牛顿对微积分做出贡献的历史中，我们也学到了：要具有探索发现的精神，善于发现问题，努力解决问题，之后总结方法和收获，使我们自己能力不断提高，这才是我们学习这段历史的原因。