微积分3-2-3反函数的导数概要
函数的导数性质与计算方法
函数的导数性质与计算方法函数的导数是微积分中重要的概念之一，它不仅具有一系列重要的性质，还有多种计算方法。
本文将探讨函数的导数性质以及几种常见的计算方法。
一、导数的定义与性质函数的导数定义为函数在某一点处的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。
导数的定义如下：如果函数f(x)在点x处的导数存在，则称函数f(x)在点x处可导。
导数用f'(x)或者dy/dx来表示。
对于可导函数，它具有以下性质：1. 导数的唯一性：一个函数在某一点处的导数只有一个值。
2. 运算性质：如果函数f(x)和g(x)都在某一点x处可导，那么它们的和、差、乘积和商的导数分别为：(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)(f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)(f / g)'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g^2(x))这些运算性质可通过导数的定义和极限运算进行推导。
3. 反函数与复合函数的导数：如果函数f(x)在某一点x处可导，且其反函数f^(-1)(x)也在相应点处可导，那么反函数的导数可以表示为： (f^(-1))'(x) = 1 / f'(f^(-1)(x))对于复合函数，如(f(g(x))), 它的导数可以表示为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)这些性质提供了计算导数的基础。
二、常见的导数计算方法1. 基本导数公式：对于常见的基本函数，存在一些常用的导数公式，如：- 常数函数的导数为0：(k)' = 0- 幂函数的导数为幂乘以原函数的幂减一：(x^n)' = n * x^(n-1)- 指数函数的导数等于指数乘以常数：(a^x)' = a^x * ln(a)- 对数函数的导数等于1除以自变量：(ln(x))' = 1 / x- 三角函数的导数与函数本身有关：(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x)这些公式可以通过导数的定义以及对基本函数的求导规律导出。
大学高等数学 2-3反函数的导数 复合函数求导法
d dy dx = y ( x( y )) = dx dx dy
例3 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
Q y = ln u, u = sin x .
dy dy du 1 cos x = cot x ∴ = ⋅ = ⋅ cos x = dx du dx u sin x
思考题 不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导 ， u = g ( x ) 在 x 0 可导 ， 且 u0 = g ( x 0 ) ， 则 f [ g ( x )]在 x 0 处 （ ）．
3
1 7、 8、 7、 ； 8、 . 2 2 (1 + x ) 2 x (1 − x ) 2 1 − x (arccos x ) 三、
π
f ( x ) f ′( x ) + g ( x ) g ′( x ) f ( x) + g ( x)
2 2
.
dy = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ ( x 2 + 1)′ dx = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ 2 x = 20 x ( x 2 + 1) 9 .
x 2 a2 x 2 a − x + arcsin 的导数 . 例5 求函数 y = 2 2 a ( a > 0) 2 x a x 解 y ′ = ( a 2 − x 2 )′ + ( arcsin )′
思考题 不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导 ， u = g ( x ) 在 x 0 可导 ， 且 u0 = g ( x 0 ) ， 则 f [ g ( x )]在 x 0 处 （ ）．
(1)必可导 （ 2） 必不可导 ；（ 3） 不一定可导 ； 必可导（ 必不可导；（ 不一定可导；
关于反函数法则的推导及应用
关于反函数法则的推导及应用反函数法则是微积分中的一个重要概念，它在解析几何、微分方程、物理等领域都有着广泛的应用。
本文将从反函数的定义入手，阐述反函数法则的推导及其应用，并且通过实例让读者更好地理解和掌握这一概念。
一、反函数的定义反函数是指函数确定一对一时，其逆函数在函数的图像在y=x 直线上被反映的函数。
反函数可以表示为f-1(x)或y=f-1(x)，其中f-1表示f的逆函数。
反函数的定义域等于f的值域，值域等于f的定义域。
一个函数f(x)的逆函数f-1(x)满足以下条件：1. 如果y=f(x)，则x=f-1(y)。
2. 如果(f-1)’(y)存在，则(f-1)’(y)=1/f’(x)，其中x=f-1(y)。
这里，我们需要注意到f(x)要满足“一对一”的限制，即一个x 对应唯一的y，否则，f(x)的反函数不存在。
二、反函数法则的推导反函数法则是指当一个函数f(x)存在反函数f-1(x)时，有以下公式成立：(f-1)’(y) = 1/f’(x)，其中x=f-1(y)问：反函数法则怎么证明？证明：设y=f(x)的反函数为y=f-1(x)，则有：(1) y=f(x)，x=f-1(y);(2) y=f-1(x)，x=f(y);我们对(1)式左右两端同时对x求导得：dy/dx=f’(x) ①将(1)式右边代入(2)式得：x=f-1(y) ②对(2)式两边同时对y求导：dx/dy = 1/dy/dx = 1/f’(x) ③将(1)式代入(3)式，得：(f-1)’(y) = 1/f’(x)反函数法则就是由这个简单的推导得出的。
三、反函数法则的应用反函数法则在微积分中有着广泛的应用，它可以用来求出反函数的导数、极值、拐点等信息。
(1) 求反函数的导数假设f(x)的反函数为f-1(x)，则根据反函数法则：(f-1)’(y) = 1/f’(x)，其中x=f-1(y)可以求出f-1(x)在任意一点的导数。
如果对于任意的x，f’(x)≠0，那么反函数一定存在，并且在f(x)的任意一点x处，其导数等于：(f-1)’(x) = 1/f’(f-1(x))这一公式可以用于在不知道反函数解析式时，求其导数，例如，对于函数y=x^2，其反函数为y=sqrt(x)，则可以求出其导数为1/2sqrt(x)，这是传统方法不容易得到的。
导数的知识点总结
导数的知识点总结导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化程度的工具。
它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将从导数的定义、性质、计算和应用等方面进行总结。
一、导数的定义：导数描述了函数在某一点上的变化率。
对于一元函数f(x)，函数在某一点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim_(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h。
该定义表示了当自变量x的变化趋近于0时，函数f(x)在x=a 处的变化量与自变量变化量之间的比率。
导数具有以下几个重要概念：1. f'(a)表示函数f(x)在x=a处的切线的斜率。
2. 导数可以是正数、负数或零，表示了函数在该点的增长、减少或不变。
3. 如果导数存在，函数在该点为可导函数；如果导数不存在，函数在该点为不可导函数。
4. 函数的导数可以看作是函数的瞬时变化率，反映了函数在该点附近的局部特性。
二、导数的性质：导数具有以下几个重要性质：1. 可微性：如果函数f(x)在区间[a, b]上可导，那么在该区间上连续。
2. 反函数的导数：如果函数f(x)在点x=a处可导且导数不为零，那么它的反函数f^(-1)(x)在点y=f(a)处也可导，且导数为1/f'(a)。
3. 乘积法则：对于可导函数u(x)和v(x)，(u·v)'=u'·v+u·v'。
4. 商法则：对于可导函数u(x)和v(x)，(u/v)'=(u'·v-u·v')/v²。
5. 链式法则：对于可导函数f(u(x))，其导数为f'(u)·u'。
三、导数的计算方法：计算导数有以下几种方法：1. 函数基本性质：使用基本导数公式，如常数规则、幂函数规则、指数函数规则等。
2. 三角函数的导数：根据三角函数的导数公式，如sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)等。
导数的商法则与反函数的导数
导数的商法则与反函数的导数在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
导数的商法则以及反函数的导数是求解导数的基本方法之一。
本文将详细介绍导数的商法则以及反函数的导数，并探讨其在实际问题中的应用。
一、导数的商法则导数的商法则是求解两个函数商的导数的法则。
对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们都可导且g(x)≠0，则(f/g)' 的导数可以通过以下公式计算：(f/g)' = (f'g - g'f) / g²其中，f'表示函数f(x)的导数，g'表示函数g(x)的导数。
利用导数的商法则，我们可以更方便地求解复杂函数的导数。
例如，考虑函数h(x) = (2x² + 3x + 1) / (x - 1)。
根据导数的商法则，我们可以将h(x)的导数表示为：h'(x) = ((2x² + 3x + 1)'(x - 1) - (x - 1)'(2x² + 3x + 1)) / (x - 1)²进一步计算可得：h'(x) = ((4x + 3)(x - 1) - (2x² + 3x + 1)) / (x - 1)²化简后得到h'(x)的最终表达式。
通过导数的商法则，我们可以避免直接对复杂函数进行导数运算，简化求导的过程。
二、反函数的导数反函数是指两个函数f(x)和g(x)满足以下条件：f(g(x)) = x，g(f(x))= x。
反函数的导数可以通过导数的商法则来求解。
设函数f(x)在点x处可导，且f'(x) ≠ 0。
如果函数g(x)是f(x)的反函数，在点x处可导，则g'(x)可以通过以下公式计算：g'(x) = 1 / f'(g(x))通过反函数的导数，我们可以在已知一个函数的导数的情况下，求解其反函数的导数。
这在实际问题中具有广泛的应用。
常见反函数反函数导数(微分)公式
常见反函数反函数导数（微分）公式反函数：在数学中，一个函数的反函数（inverse function) 是这样一个函数，它与原函数的作用相反。
如果一个函数 f 的定义域为 X，值域为 Y，那么 f^-1 的定义域为 Y，值域为 X，且满足 f(f^(-1)(x)) = x 和 f^(-1)(f(x)) = x，其中 x 属于 X。
反函数是一种非常重要的数学概念，它可以帮助我们解决一系列复杂的数学问题。
通过使用反函数，我们可以在不知道函数的具体形式的情况下，求出方程的解，或者对函数的性质进行推导。
常见的反函数包括：1.幂函数的反函数：这里我们考虑具体的例子，比如f(x)=x^2，那么它的反函数可以表示为f^(-1)(x)=√x，其中x>=0。
可以看出，原函数是单调递增的，而反函数是单调递减的。
2. 指数函数的反函数：比如 f(x) = a^x，其中 a > 0 且a ≠ 1，那么其反函数为 f^(-1)(x) = log_a(x)，其中 x > 0。
这里的反函数就是对数函数。
3. 对数函数的反函数：比如 f(x) = log_a(x)，其中 a > 0 且 a≠ 1，那么其反函数为 f^(-1)(x) = a^x，其中 x 是实数。
反函数导数（微分）公式：反函数的导数也是一个重要的概念，在微积分中经常会用到。
为了计算反函数的导数，我们可以使用链式法则。
假设f和g是互为反函数的函数，如果f在x处可导，且f'(x)≠0，那么g在对应的y=f(x)处也可导，并且有以下公式：g'(y)=1/f'(x)，其中x属于X，y属于Y。
具体的例子如下：1.幂函数的反函数导数：如果f(x)=x^2，那么其反函数f^(-1)(x)=√x，那么有f'(x)=2x，所以反函数的导数为：(f^(-1))'(x)=1/(2√x)，其中x>=0。
2. 指数函数的反函数导数：如果 f(x) = a^x，那么其反函数 f^(-1)(x) = log_a(x)，那么有 f'(x) = a^x * ln(a)，所以反函数的导数为：(f^(-1))'(x) = 1 / (x * ln(a))。
大学微积分第三章函数的求导法则ppt课件
f( x) f(0)
x0
lim
x0
xe x 0 1 x
f ( 0 ) 1
f
(x)
e x
xex
,
x0
1,
x0
（讨论分断点的可导性用定义）
24
小结
(1) 掌握求导数的四则运算法则 (2) 熟记16个求导数公式
两条经验
(1).一般函数的求导用公式 (2).求分断点的导数用定义
25
作业 P82 1单 2单 3
h0
h
u( x h ) u( x )
v( x h ) v( x )
lim
v( x h ) lim
u( x )
h0
h
h0
h
u(x) v(x) u(x) v(x)
即 [u(x) v(x)] u(x) v(x) u(x) v(x)
7
3、商的导数
设函数 u u(x), v v(x)在点 x 处可导，(v(x) 0) 则
3x2 cos x ln x x3 sin x ln x x2 cos x
x
11
例4. y tan x 求 y
解
y
(tan
x)
sin
x
cos x
(sin
x)cos x sin cos2 x
x(cos
x)
cos2 x sin 2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
x sin y
在
Iy
2
,
2
内单调、可导，且 (sin y) cos y 0
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则一、导数公式1.基本导数公式：(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。
(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。
(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
2.基本初等函数的导数公式：(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。
(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/[g(x)]^23.复合函数的导数：(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *du/dx = f'(u) * g'(x)。
1.反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。
求导法则与导数公式
求导法则与导数公式导数是微积分中的一个重要概念，描述了函数在其中一点上的变化率。
求导的过程可以使用一些导数公式和求导法则来简化。
本文将介绍常见的导数公式和求导法则，并提供求导的具体步骤和示例。
一、导数公式导数公式是求导过程中常用的数学公式，可以简化求导的运算。
下面是一些常见的导数公式：1.常数函数导数公式：若f(x)=c（c为常数），则f'(x)=0。
即常数函数的导数为零。
2.幂函数导数公式：若f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数导数公式：若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
即指数函数e^x的导数为它本身。
4.对数函数导数公式：若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
即自然对数ln(x)的导数为1/x。
5.反三角函数导数公式：若f(x) = sin⁻¹(x)（反正弦函数），则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
其余反三角函数的导数可以通过类似的方式得到。
6.加法、减法求导法则：若f(x)=g(x)±h(x)，则f'(x)=g'(x)±h'(x)。
即两个函数的和（或差）的导数等于它们各自导数的和（或差）。
7.乘法求导法则：若f(x)=g(x)*h(x)，则f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
即两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
8.除法求导法则：若f(x)=g(x)/h(x)，则f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h(x)^2、即两个函数的商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。
二、求导法则求导法则是根据导数的定义和一些导数公式，将复杂的函数求导问题简化的方法和规则。
反函数求导公式大全
反函数求导公式大全反函数求导是微积分中的一个重要概念，它在求解一些复杂函数的导数时起到了重要作用。
本文将介绍一些常见的反函数求导公式，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
1. 反函数的定义。
在介绍反函数求导公式之前，我们首先需要了解什么是反函数。
设函数y=f(x)在区间I上是单调的、连续的，并且在I上是可导的，如果它的导函数f'(x)在I上恒不为零，则称函数f(x)在I上有反函数。
反函数常用符号表示为x=g(y)。
2. 反函数求导公式。
对于反函数求导，我们有以下一些常见的公式：（1）若y=f(x)，则反函数求导公式为，(f^(-1))'(y)=1/f'(f^(-1)(y))。
这个公式是反函数求导的基本公式，通过它我们可以求出反函数的导数。
（2）特殊函数的反函数求导公式。
对于一些特殊的函数，如指数函数、对数函数、三角函数等，它们的反函数求导公式如下：指数函数的反函数求导公式，若y=a^x(a>0且a≠1)，则其反函数求导为，(a^(-1))'(y)=lna/a^y。
对数函数的反函数求导公式，若y=log_a(x)(a>0且a≠1)，则其反函数求导为，(log_a^(-1))'(y)=1/(xlna)。
三角函数的反函数求导公式，若y=sin(x)，则其反函数求导为，(sin^(-1))'(y)=1/√(1-y^2)。
3. 反函数求导的应用。
反函数求导在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，当我们需要求解一些复杂的运动问题时，常常需要用到反函数求导来求解速度、加速度等物理量的变化率。
在工程学中，反函数求导也常常用于求解控制系统、信号处理等问题。
此外，在统计学中，反函数求导也有着重要的应用。
例如，在概率密度函数和分布函数的求解中，常常需要用到反函数求导来求解随机变量的密度函数和分布函数。
4. 总结。
通过本文的介绍，我们了解了反函数求导的基本概念和常见的求导公式，以及其在实际问题中的应用。
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1 (th x) 2 ; ch x
1 (ar t h x) 1 x2
(arsh x)
说明: 最基本的公式:
(C ) 0
(sin x) cos x
(ln x)
1 x
由定义证 , 其它公式 用求导法则推出.
微
积
分
7. 对数求导法则 (1)对幂指函数 例. 设
解: 对
(见 P81)
u u 注意: 1) (uv) uv, v v 2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
思考与练习
1. 1 31 x x x 4 x
3 1 4
微
积
分
例2
a2 x 求函数 y arcsin 的导数. ( a 0) 2 a
a2 解: y ( arcsin x ) 2 a
2 x a x 2 2 ( a x = ) (arcsin ) 2 2 a 1 x 2 x a2 a = ( ) ( ) 2 2 a2 x2 2 x 2 1 ( ) a 2 2 1 x a x2 = 2 2 2 a x 2 a2 x2
四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数 (教材P81) 1 x (x ) (C ) 0 (sin x) cos x (cos x) sin x
2 (tan x) sec x (sec x) sec x tan x x x (a ) a ln a 2 (cot x) csc x (csc x) csc x cot x
x (e ) e
x
微
积
分
1 (log a x) x ln a 1
1 (ln x) x
1 x2 1 (arctan x) 1 x2
(arcsin x)
1 x2 1 (arccot x) 1 x2
(arccosx)
1
微
积
分
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v
(u v) uv u v
3. 复合函数求导法则
(Cu) C u ( C为常数 ) u u v u v (v 0) 2 v v
y f (u) , u ( x)
dy d y d u f (u ) ( x) d x d u dx
1 4
对吗?
1 4
31 4 x
1 2 x
微
积
分
2. 设
其中 ( x) 在 x a 处连续,
在求 f ( a ) 时, 下列做法是否正确?
因 f ( x) ( x) ( x a) ( x) 故 f (a) (a)
4. 反函数求导法则
[f （注意成立条件）
1
f ( x )
1 f ( y )
1
( y)] 0
微
积
分
5. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数．
6.
(sh x) ch x
1 x 1
2
(ch x) sh x ;
(ar c h x) 1 x2 1
求导 求
注意：左端y 是 x的函数
两端取自然对数，得
上式两端对x求导数，得
y ( arcsin x) x ( x 0)的导数？
微
积
分
(2)由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的求导
例. 设
解: 对上式两端取自然对数，得
求
上式两端对x求导数，得
这种求导方法称 为对数求导法， 对某些由乘、除 表达的函数，可 先对表达式两边 取对数，简化求 导过程。它也适 用于幂指函数. （对有加减的时 候慎用）
微
积
分
例14. y
x 1 x 1 求 y . , x 1 x 1
2
2x 2 x 1 2 x x 1 y 解: 2
y 1
1 2 x2 1
(2 x) 1
x x2 1
微
积
分
内容小结 求导公式及求导法则
作业:P85 第4题(1)(3)(5)(7)(9)(12) 第6题；第7题(2)
微
积
分
第三章
第二节 求导法则
一、四则运算求导法则 二、复合函数求导法则 三、反函数的求导法则
四、初等函数的求导问题
微
积
分
三、反函数的求导法则 定理2. 设 y f ( x) 为 x f 1 ( y ) 的反函数 , f 1 ( y ) 在
1 y 的某邻域内严格单调可导, 且 [ f ( y )] 0 d y 1 f ( x) 1 或 d1x dx [ f ( y)]
微
积
分
解: 1) 设
例1. 求反三角函数及指数函数的导0 , 则
2
2
,
2
),
1 (sin y ) cos y
1 1 sin y
类似可求得
利用 arccos x arcsin x 2
微
积
分
x y a (a 0 , a 1) , 则 x log a y , y ( 0 , ) 2) 设
1 (log a y )
特别当 a e 时, ( e x ) e x
小结:
2 (cot x) csc x ,
1
1 y ln a
y ln a
(sec x) sec x tan x . ( arccos x) ( arc cot x)
( arcsin x) ( arctan x)
d y
证: 在 x 处给增量 x 0 , 由反函数的单调性知 y 1 y f ( x x) f ( x) 0 , x x y 且由反函数的连续性知 x 0 时必有y 0 , 因此 y 1 1 lim f ( x) lim 1 x y 0 x0 x [ f ( y)] y 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.