旋转映射推导

旋转映射推导1 概 述旋转是一种常见的现象，最直观的就是日月星辰周而复始的运转；在科学研究中也不可避免的要接触到旋转，旋转实际上是一种运动的反应，我们更多的需要用运动的观点来分析旋转。

对于旋转的研究必须选好坐标系，只有在一定的坐标系中来描述旋转才有意义，研究旋转可以从两个方面入手，一方面是研究一个动点的坐标与这个点绕定坐标系中的某个定点（或者定轴）旋转一定的角度后的坐标之间的映射关系，另一个方面是点的位置保持不变，将坐标轴旋转一定的角度后到一个新的坐标系，这个不动点在新旧的坐标系下坐标之间的映射关系。

按照相对运动来考虑这两个方面，实际上是统一的，只要找到了其中一个的映射，另一个就是其逆映射，也可表述为正向旋转一个点等同于逆向旋转坐标轴。

要得到旋转的坐标映射关系，有多种方法。

本文中将用四种方法来推导、描述这种映射关系。

它们分别是几何法、复数运算法、变换法、四元数法。

其中几何法主要是将直角坐标系中的问题转化到极坐标系下并使用三角公式；复数运算法将平面直角坐标系看作一个复平面，利用复数乘积的特性来得到映射关系；变换法主要利用的是基变换和坐标变换的关系；四元数法直接对于三维矢量的旋转进行描述，且文中对于四元数的一些基本的概念进行了阐释。

2 几何法xY图1 点旋转定坐标系如图1所示，M 点在坐标系xoy 中的坐标为(,)x y ，将M 点绕坐标原点o 旋转()rad β到N ，求N 在坐标系xoy 中的坐标(',')x y 。

可将这个问题转化为极坐标下来解决，设oM与ox 的夹角为α，其长度为r ，有：cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩（1） 'cos()cos cos sin sin cos sin 'sin()sin cos cos sin cos sin x r r r x y y r r r y x αβαβαβββαβαβαβββ=+=-=-⎧⎨=+=+=+⎩ （2）即可得到旋转映射关系：'cos sin 'sin cos x x y y ββββ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3）XY图2 点静止旋转坐标轴如图 2 所示，将坐标系xoy 绕坐标原点逆时针旋转β后得到新的坐标系''x oy ，M 点在坐标系xoy 中的坐标为(,)x y ，则根据相对运动（逆时针旋转坐标轴相当于顺时针旋转点），将（3）式中的β取为β-，即可得M 点在坐标系''x oy 中的坐标(',')x y 为：'cos sin 'sin cos x x y y ββββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦（4） 对于二维平面中的旋转，用几何法可以很直观的给出坐标映射关系，本文推导的都是绕远点旋转的映射关系，如果不是绕原点旋转，只需要再做一下平移变换即可，这里不再赘述。

3 复数运算法我们称2 (1) ,z x yi i x y R =+=-∈为复数，这样一个复数可由一对有序实数(,)x y 唯一确定，所以对于平面上给定的直角坐标系，复数全体与该平面上的点的全体构成一一对应关系，所以复数z x yi =+可以用该坐标系坐标为(,)x y 的点来表示，利用直角坐标与极坐标的关系有：cos ,sin x r y r θθ==这样我们可以把复数z 表示成下面的形式：(cos sin )z r i θθ=+ （5）利用欧拉公式还可以表示成：i z re θ= （6）其中r 称为复数的模，θ称为复数的幅角。

复数的这几种表示方式可以互相转换。

对于复数的乘法运算，我们利用（5）式的复数表示方法，设有两个复数11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+则有：121211221212121212121212(cos sin )(cos sin )[(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )] [cos()sin()]z z r r i i r r i r r i θθθθθθθθθθθθθθθθ=++=-++=+++ （7） 由上式可得 两个复数乘积的模等于它们模的乘积，两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。

那么，我们用一个复数乘以一个模为1，幅角为β的复数，就相当于将复数代表的点绕坐标原点逆时针旋转β弧度。

设M 点的坐标为(,)x y ，则M 对应一个复数z x yi =+，将M 绕坐标原点逆时针旋转后的点N 的坐标为''(,)x y ，用数学运算表达为：''()(cos sin )N x y i x yi i ββ=+=++=cos sin (sin cos )x y x y i ββββ-++即可得到旋转映射为：'cos sin 'sin cos x x y y ββββ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（8） 同样也可以利用相对运动的观点得到点静止而旋转坐标轴的旋转映射关系。

4 变换法图3 基变换与坐标变换如图3所示，将直角坐标系xoy 逆时针旋转β角，得到坐标系111x o y ，设点M 在xoy 中的坐标为(,)x y ，点M 在坐标系111x o y 中的坐标为11(,)x y ，选xoy 的一组基底为Tl =[ij] ，111x o y 的一组基底为[]T111l =i j， 1=11i =j =i =j ，如图3所示，有如下：cos cos()cos sin 2πββββ⋅⋅=+-=+111i =(i i)i +(i j)j i j i j （9）cos() cos sin cos 2πββββ⋅⋅=++=-+111j =(j i)i +(j j)j i j i j （10）可得到基变换公式：cos sin cos sin sin cos sin cos ββββββββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦111i i l =l j j（11） 令cos sin sin cos ββββ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦βT ，有-1β1l =T l 有了上述基变换公式就可以得出坐标变换公式[][]xy x y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1-1β1i i T j j （12）即在M 在坐标系111x o y 中的坐标为[]x y -1βT11cos sin sin cos x x y y ββββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （13） 此处得到的旋转映射和前面两种方法得到的旋转映射结果完全一样，对于三维的旋转，可以通过连续绕坐标轴旋转的方式得到。

5 四元数法5.1 四元数的定义与基本运算性质设：,,,q a b c d a b c d R =+++∈i j k （14）其中,,i j k 满足： 2221===-i j k ij =-ji =k,jk =-kj =i,ki =-ik =j则称q 为四元数，其中a 为四元数q 的实部或者标量部分，记为Re()q a =；b c d ++i j k 为四元数q 的虚部或者矢量部分，记为Im() q b c d =++i j k 。

类似于复数用一个有序数对表示，我们也可以用用四维有序数对(,,,)a b c d 来表示四元数q 。

四元数的集合可以表示为：{}|,,,Q a b c d a b c d R =+++∈i j k （15）有了上面的四元数的基本定义，我们继续介绍四元数的基本运算 设两个四元数11111q a b c d Q =+++∈i j k 22222q a b c d Q =+++∈i j k定义四元数的相等：1212121212,,,q q a a b b c c d d =⇔====定义四元数的加法：1212121212()()()()q q a a b b c c d d +=+++++++i j k 定义四元数的乘法，称为直乘，按照多项式的乘法原则进行：1212121212121212121221212112121212() () () ()q q a a b b c c d d a b b a c d d c a c a c b d d b a d d a b c c b =---+++-+++-+++-i j k定义四元数1q 的共轭1q11111q a b c d =---i j k对于任意四元数 q a b c d Q =+++∈i j k ，定义q 的矩（或者称为范数）为：2222()N q qq a b c d ==+++对于任意四元数 q a b c d Q =+++∈i j k ，定义q 的迹为：()2T q q q a =+=对于任意四元数 q a b c d Q =+++∈i j k ，定义q 的模为：q ===基于上面的定义容易验证，1212q q q q +=+，1221q q q q =，四元数的加法满足结合律和交换律，乘法满足结合律，乘法对加法满足分配律，但乘法不满足交换律。

设q Q ∈，若存在p Q ∈，使得1pq qp ==则称四元数p 为四元数q 的倒数或者逆元，记为1q -，即有：111qq q q --==四元数q 存在倒数的充要条件是0q ≠，且q 的倒数1q -是唯一的，并满足：12q q q-=5.2 四元数的表示5.2.1 四元数的三角形式表示设 q a b c d Q =+++∈i j k ，且其中,,b c d 中至少有一个不为零，则：=()()q a b c d b c d a h h h h a h b c d q q q hh h =++++++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦i j k i j k i j k即： ()q q u v =+I 其中：a u q ==h v q ==b c dh h h=++I i j k 易知：221u v +=，21=-I从而 (0)q a b c d Q bcd =+++∈≠i j k 可以写成如下的三角形式(cos sin )q q θθ=+I （16）()v atan atan u θ== （17）5.2.2 四元数的复数表示设 q a b c d Q =+++∈i j k ，注意到ij =k ，则q 可唯一表示为：()()q a b c d =+++i i j （18）于是令12,()z a b z c d =+=+i i ，则q 可唯一表示为：21212,,1q z z z C z C =+∈∈=-jj （19）5.2.3 四元数的数量-向量表示设 q a b c d Q =+++∈i j k引入表示法： q s =+α （20） 则s a =，b c d =++αi j k ，s 称为q 的数量部分，α称为q 的向量部分。