云南省师范大学五华区实验中学高中数学 第二章 数列 等比数列前n项和教学案 新人教A版必修5

云南省师范大学五华区实验中学高中数学第二章数列等比数
列前n 项和教学案新人教A 版必修5
问题生将共同分析探究等比数列的前n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的.
等比数列前n 项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得
q a a
a a a a a a n n n n =====---1
223211...,再由分式性质，得
q a S n n n =--1,整理得)1(1≠--=q q
a a S n n .
教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.
教学重点 1.等比数列前n 项和公式的推导;2.等比数列前n 项和公式的应用.
教学难点等比数列前n 项和公式的推导.教学目标
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；
2.探索并掌握等比数列前n 项和公式；
3.用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，利用公式知三求一；
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.教学过程导入新课
问题国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？
问题“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.
问题假定千粒麦子的质量为40g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？
问题这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：
1+2+22+…+263
=?
问题我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.
现在我们来思考一下这个式子的计算方法：
记S=1+2+22+23+…+263
，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：
S=1+2+22+23+…+263
,①
2S=2+22+23+…+263+264
,②②-①得
2S-S=264
-1.264-1这个数很大，超过了1.84×1019
，假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.问题国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.推进新课
［合作探究］
问题在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q 2+…+q n
=？问题这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.问题若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？
如果记S n =1+q+q 2+…+q n
,
那么qS n =q+q 2+…+q n +q n +1
.
要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n
.问题提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值.
如果q≠1，则有q
q S n
--=11.
问题当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果.
如果q＝1，那么S n =n .
问题上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？
课件展示：
a 1+a 2+a 3+…+a n =？［教问题精讲］
问题在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.问题在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n q,
要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n q.问题再次提醒学生注意q 的取值.如果q≠1，则有q
q
a a S n n --=
11.
问题上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：
如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1
,
那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n
,
要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n
.
如果q≠1，则有q
q a S n n --=1)
1(1.
问题上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地.
值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.问题现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？问题完全正确.
如果q＝1，那么S n =na n .正确吗？怎么解释？
问题等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：［合作探究］
思路一：根据等比数列的定义，我们有：
q a a a a a a a a n n =====-1
34
2312...,再由合比定理，则得
q a a a a a a a a n n
=++++++++-1
321432......,
即
q a S a S n
n n =--1
,
从而就有(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略)
思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得
S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n ),从而得(1-q)S n =a 1-a n q.(以下从略)
问题探究中我们们应该发现，S n -S n -1=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n 的取值应该满足什么条件？
问题对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞1.问题综合上面的探究过程，我们得出：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--==1
,1)
1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,
1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n ［例题剖析］
【例题1】求下列等比数列的前8项的和：
(1)
21,41,8
1
,…；(2)a 1=27,a 9=243
1
,q＜0.
［合作探究］问题生共同分析：
由(1)所给条件，可得11=
a ，1
=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可.由(2)所给条件，需要从243
1
9=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而
a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=
1
9a =1⨯，再由q＜0，可得1
-=q ，将所得的值代入公式就可以了.
【例题2】某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？
问题根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30000求n 的问题.
解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5000,q=1+10%=1.1,S n =30000.
于是得到300001
.11)
1.11(5000=--n ,
整理得1.1n
=1.6,
两边取对数，得n lg1.1=lg1.6,用计算器算得1.1lg 6.1lg =
n ≈041
.02.0≈5(年).答：大约5年可以使总销售量达到30000台.练习：
教材第66页，练习第1、2、3题.课堂小结
本节学习了如下内容：
1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.
2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.
在使用等比数列求和公式时，注意q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.。