赛氪考研：为什么无限个无穷小之和(积)不一定是无穷小
冲刺高考数学无穷小量与无穷大量的比较
冲刺高考数学无穷小量与无穷大量的比较在高考数学的广袤知识海洋中，无穷小量与无穷大量的比较是一个颇为重要的考点，也是很多同学在学习和解题过程中容易感到困惑的地方。
让我们一起深入探讨这个有趣且关键的数学概念，为高考冲刺做好充分准备。
首先，我们要明白什么是无穷小量和无穷大量。
简单来说，无穷小量就是在某个变化过程中，极限为零的变量。
比如说，当 x 趋近于无穷大时，函数 f(x) ＝ 1/x 的值就越来越接近于零，那么 1/x 就是 x 趋近于无穷大时的无穷小量。
而无穷大量则是在某个变化过程中，绝对值无限增大的变量。
比如当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) ＝ 1/x²的值就变得越来越大，趋向于无穷，那么 1/x²就是 x 趋近于 0 时的无穷大量。
理解了基本概念后，我们来看看无穷小量和无穷大量的性质。
对于无穷小量，有这么几个重要的性质。
其一，有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。
但要注意，无限个无穷小量的和、差、积就不一定是无穷小量了。
其二，有界函数与无穷小量的乘积仍然是无穷小量。
接下来，我们讲讲无穷小量的比较。
在同一个变化过程中，设α和β都是无穷小量。
如果lim(β/α) ＝ 0，那么就说β是比α高阶的无穷小量，记作β ＝o(α)；如果lim(β/α) ＝∞，则说α是比β高阶的无穷小量；如果lim(β/α) ＝c（c 为非零常数），那么就说α和β是同阶无穷小量；特别地，如果 c ＝ 1，就称α和β是等价无穷小量，记作α ～β。
等价无穷小量在解题中有着非常重要的作用。
比如在求极限的时候，如果能够巧妙地运用等价无穷小量进行替换，往往可以使计算变得简单快捷。
常见的等价无穷小量有：当 x 趋近于 0 时，sin x ～ x，tanx ～ x，1 cos x ～ x²/2 等等。
再来说说无穷大量。
无穷大量也有相应的比较方法。
同样在某个变化过程中，如果lim(β/α) ＝ 0，那么α是比β更高阶的无穷大量；如果lim(β/α) ＝∞，则β是比α更高阶的无穷大量；如果lim(β/α) ＝ c（c 为非零常数），那么α和β是同阶无穷大量。
无穷个无穷小的乘积反例
无穷个无穷小的乘积反例标题：无穷个无穷小的乘积：究竟是否存在反例？摘要：无穷个无穷小的乘积在数学领域中引起了广泛的关注和讨论。
本文将探讨这一问题的重要性、定义以及存在可能的反例。
通过列举数学历史上的经典案例和对该问题的深入分析，本文旨在为读者提供对这个复杂而有趣的数学概念的全面理解。
正文：1. 引言从柯西(Cauchy)时代开始，无穷个无穷小的乘积一直是数学中的一道困扰。
这个问题涉及到极限和无穷概念的交叉，引发了许多数学家的思考。
在本文中，我们将探讨无穷个无穷小的乘积这一重要且极具挑战性的概念，并思考是否存在反例。
2. 无穷个无穷小的乘积的定义在数学中，无穷个无穷小的乘积是指由无穷个无穷小元素相乘得到的结果。
无穷小是数学中的一个重要概念，表示极限趋于零的量。
无穷个无穷小的乘积的定义是相对复杂的，需要通过极限的观念来理解。
然而，我们将尽力从简单的例子开始，以便更好地理解这个概念。
3. 包含指定主题文字的案例现在，让我们考虑一个例子：无穷个无穷小的乘积。
假设有一个数列{a_n}，其中每个元素都是一个无穷小，即a_n → 0 当n → ∞。
我们考虑乘积 P_n = a_1 * a_2 * ... * a_n，其中 n 为正整数。
那么问题来了，P_n 的极限是什么？4. 经典案例与分析事实上，无穷个无穷小的乘积存在许多经典案例。
欧拉(Euler)在18世纪提出的无穷乘积公式就是一个重要的案例。
该公式用于计算正弦函数的近似值，并且被广泛应用于数学和物理领域。
然而，正如我们所看到的，欧拉的无穷乘积公式需要满足一定的条件才能成立，这在一定程度上限制了其应用范围。
5. 反例的可能性鉴于无穷个无穷小的乘积问题的复杂性，我们是否能找到一个反例来证明不存在无穷乘积的极限？这个问题一直困扰着数学家们。
然而，直到目前为止，还没有确凿的反例被找到。
这使得我们对于无穷个无穷小的乘积的研究更加深入和有价值。
6. 个人观点和理解在我看来，无穷个无穷小的乘积是数学中的一个非常有趣的领域。
无穷小与无穷大的关系
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) M ,
则称函数 f ( x ) 当 x x 0 ( 或 x ) 时为无穷大, 记作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
又设是当x x0时的无穷小 ,
0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
同济大学高等数学第七版极限的运算法则
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
11
极限的计算 一些基本极限（已经证明或明显的）
12
例 1 求lim(3x2 5x 8). x1
解：lim(3x2 5x 8) lim3x2 lim5x lim8.
x1
x1
x1
x1
3lim x2 5lim x 8.
x1
x1
3(lim x)2 5 8 3 5 8 6. x1
lim x2 5x4 12 514
x1 2x3
213
0
lx i1mx22x5x34
24
练习3.
12 lxi m 1(1x1x2).
通分
解： lx im 1(11x12x2)
lx i1m 1 1x(1x)21 (x)
lx im 1(1xx)(11x)
lim 1 x11 x
1 2
.
x2
练习4
lim x01 1 x2
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
直观记忆：M*0=0 这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。 回忆一些重要的有界函数。
常见的有界函数
4
注意： 也有界
记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。
5
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 注: 无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 !
关于无限个无穷小量的乘积问题
关于无限个无穷小量的乘积问题
今天上高数课我们学到有限个无穷小量的乘积为无穷小量，但是对于无限个无穷小量乘积问题老师并未解释清楚，根据方法论，推到“无限个无穷小量乘积仍为无穷小量”这一错误命题，我们只需找到一个反例即可，网上有一不错例子，希望对大家有所帮助。
这个例子可能颇为复杂，我解释一下：
实际上这种方法为构造数列，以一个任意定值ｉ来作为载体，通过n与i的关系来达到构造一个无穷小数列的目的。
在n>i时，所有数列项均有极限0。
这样在求其乘积是只需对第三个大式子（红字）求极限即可（之前的两个比较简单），在此之后将其每一项展开，所得项可相消，最后求得其极限不是无穷小，故命题得证。
附带从1988年《高等数学》一书上摘下的一段话
希望以上资料能对大家对于“无限个无穷小量的乘积不一定是无穷小量”这一定理有更好的理解。
关于无穷小量的几个问题的解析
关于无穷小量的几个问题的解析作者：李丽芳杜娟宋庆凤来源：《教育教学论坛》2016年第34期摘要：本文以无穷小量的历史起源（即第二次数学危机）为载体，旨在介绍要用“运动”观点和极限思想学习无穷小理论，并给出了教学实践中常遇到的几个关于无穷小量问题的解析。
关键词：无穷小；数学危机；大学数学中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）34-0178-02一、无穷小量的起源无穷小量是高等数学体系中的一个极其重要的概念。
历史上的第二次数学危机[1]就是由于对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。
牛顿创立的微积分基础就是无穷小量，这是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。
我们以一个浅显的例子来看牛顿的思考。
例：自由落体在时间t下落的距离为S（t）= gt ，求物体在的瞬时速度。
这可以先求平均速度，即用下落距离的改变量除以时间的改变量，易求 =gt + g·Δt，当Δt越小时，该平均速度就越接近物体在t 的瞬时速度；当Δt变成无穷小时，上式右端的g·Δt也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是gt ，牛顿认为这就是物体在t 的瞬时速度。
由于当Δt变成无穷小时，ΔS也是无穷小，因此牛顿认为，瞬时速度是两个无穷小的比。
尽管当时对于什么是无穷小并没有公认的一个精确定义，但牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题，所以由牛顿创立的微积分就被科技界广泛接受，并得以迅速发展。
但是，从上述例子中也可以看出，当时的微积分在推导上并不严谨，因此在当时遭到了以英国大主教贝克莱为代表的许多人的责难。
贝克莱的责难相当直接：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？具体说，上述例子中，牛顿从平均速度的表达式中，让Δt变成无穷小，得到物体的瞬时速度gt ，这在推导中有逻辑上的毛病。
贝克莱认为，式子=gt + g·Δt成立是以Δt≠0为前提的，那么，为什么又可以让Δt=0而求得瞬时速度呢？贝克莱还讽刺挖苦说：既然ΔS和Δt都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的灵魂”了！这就是著名的“贝克莱悖论”。
关于无穷小量的几个问题的解析
关于无穷小量的几个问题的解析作者：李丽芳，杜娟，宋庆凤来源：《教育教学论坛》 2016年第34期李丽芳，杜娟，宋庆凤（天津城建大学理学院，天津300384）摘要：本文以无穷小量的历史起源（即第二次数学危机）为载体，旨在介绍要用“运动”观点和极限思想学习无穷小理论，并给出了教学实践中常遇到的几个关于无穷小量问题的解析。
关键词：无穷小；数学危机；大学数学中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）34-0178-02基金项目：天津城建大学教育教学改革与研究项目（JG-1321）作者简介：李丽芳（1979-），女，山西长治人，天津城建大学数学系，讲师，硕士学历，研究方向：常微分方程。
一、无穷小量的起源无穷小量是高等数学体系中的一个极其重要的概念。
历史上的第二次数学危机[1]就是由于对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。
牛顿创立的微积分基础就是无穷小量，这是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。
我们以一个浅显的例子来看牛顿的思考。
例：自由落体在时间t下落的距离为S（t）=g·Δt也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是gt0，牛顿认为这就是物体在t0的瞬时速度。
由于当Δt变成无穷小时，ΔS也是无穷小，因此牛顿认为，瞬时速度是两个无穷小的比。
尽管当时对于什么是无穷小并没有公认的一个精确定义，但牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题，所以由牛顿创立的微积分就被科技界广泛接受，并得以迅速发展。
但是，从上述例子中也可以看出，当时的微积分在推导上并不严谨，因此在当时遭到了以英国大主教贝克莱为代表的许多人的责难。
贝克莱的责难相当直接：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？具体说，上述例子中，牛顿从平均速度的表达式中，让Δt变成无穷小，得到物体的瞬时速度gt0，这在推导中有逻辑上的毛病。
贝克莱认为，式子g·Δt成立是以Δt≠0为前提的，那么，为什么又可以让Δt=0而求得瞬时速度呢？贝克莱还讽刺挖苦说：既然ΔS和Δt都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的灵魂”了！这就是著名的“贝克莱悖论”。
无穷小的运算法则
无穷小的运算法则“嘿，同学们，今天咱们来讲讲无穷小的运算法则。
”无穷小的运算法则呢，主要有这么几条。
首先是有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小。
比如说啊，当 x 趋近于 0 的时候，x 是一个无穷小，2x 也是一个无穷小，那么 x+2x 也就是 3x 还是无穷小。
再比如，sinx 在 x 趋近于 0 时是无穷小，x 也是无穷小，那么它们的乘积 xsinx 同样是无穷小。
然后呢，有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
啥叫有界函数呢，就是存在一个数 M，使得函数的值总是在-M 到 M 之间。
举个例子，当 x 趋近于0 时，sin(1/x)是有界的，而 x 是无穷小，那么它们的乘积 xsin(1/x)就是无穷小。
再有，常数与无穷小的乘积是无穷小。
这个好理解吧，一个常数乘以一个趋近于 0 的量，结果肯定也是趋近于 0 的嘛。
最后要注意的一点是，无穷小的商不一定是无穷小哦。
比如当 x 趋近于0 时，sinx 和 x 都是无穷小，但是它们的商 sinx/x 的极限是 1，就不是无穷小啦。
再给大家说个实际应用的例子吧。
假设我们在研究一个物理问题，比如一个小球的自由落体运动。
在某个很短的时间间隔内，我们可以把这段时间内的位移看作是无穷小。
然后根据无穷小的运算法则，我们可以计算出在这个很短时间内的速度、加速度等物理量。
如果我们忽略了无穷小的运算法则，可能就会得出错误的结果哦。
同学们，无穷小的运算法则虽然看起来简单，但是在很多数学和科学问题中都有着非常重要的应用。
大家一定要好好理解和掌握，这样才能在以后的学习和研究中运用自如呀。
好了，今天就讲到这里，大家要是有什么问题随时来找我交流哈。
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为什么无限个无穷小之和（积）不一定是无穷小
19世纪70年代，德国数学家维尔斯特拉斯严格定义极限概念后，无穷小也有了准确的定义，并一直沿用至今。
现在我们的数学分析或者高等数学课本中，无穷小的定义为： 若
()lim 0x f x →=
，则称()f x 为x → 时的无穷小。
这里的 可以是
0x ，0x +，0x -或∞，+∞，-∞中的某一个。
我们单纯从无穷小的定义来看，有两点需要特别注意：（1）无穷小是一个函数，并不是一个数；（2）当谈论无穷小时，只有加上
x → 这个条件才有意义。
由无穷小量的定义可以推出关于“有限个无穷小的和差积运算”与“无穷多个无穷小的和差积运算”的4个性质：
（1）有限个无穷小之和仍是无穷小； （2）有限个无穷小之积仍是无穷小；
（3）无穷多个无穷小之和不一定是无穷小； （4）无穷多个无穷小之积不一定是无穷小。
对于小伙伴们，上述性质让我们摸不着头脑，似懂非懂，云里雾里。
今天的这篇文章，我们主要讲述这4个性质。
“有限个无穷小之和仍然是无穷小”以及“有限个无穷小之积仍然是无穷小”比较容易理解，但“无穷多个无穷小之和不一定是无穷小”以及“无穷多个无穷小之积不一定是无穷小”为什么？
这个问题涉及到收敛与一致收敛的问题。
我们先来直观解释一下：无穷小是一个函数，并不是一个数，它收敛到0的速度取决于函数自身的表达式；无穷多个无穷小相乘，本质上是无穷多个函数相乘，虽然每个函数在
x → 时的极限都是0，但是它们趋向于0的速度不
一定是一致的；可能任意时间都仍然有无穷多个项是不小于1的，这样总的和就可能不趋于0，总的乘积也可能不趋于0。
上面这段话直观理解看上去有道理，但我们不能满足现状。
对于数学而言，需要严格证明，这恰恰是数学的魅力所在。
有限个无穷小之和仍是无穷小
令
()()()12,,,n f x f x f x 均为0x x →时的无穷小，
由无穷小的定义可得，
()0
lim 01,2,,k x x f x k n →== ，。
由极限的定义可知，对于任
有限个无穷小之积仍是无穷小
无穷多个无穷小之积不一定是无穷小
有限与无穷的区别
从一到无穷不仅是量的变化，更重要的是质变。
从某种意义上讲，无穷是经典数学与现代数学的一个分水岭。
在无穷世界里有着许多和有穷世界里不同的规律。
例如，在有穷世界里，x显然不等于
x+是相等的；再比如，对于只x+；但在无穷世界，当x趋于无穷时，x和1
1
有有限项的数列来讲，整个数列是不可能和它的任何子列对等的，但对于拥有无穷项的数列来讲，整个数列与它的某一子列对等是经常遇见的情况。
对于由自然数构成的无穷数列来讲，
它的奇数项和偶数项构成的子列都和自然数列对等。
伟大的数学家Hilbert在一次讨论无穷大性质的演讲中，提出了“无穷旅馆”的概念，以帮助人们形象地理解有穷与无穷的区别。
作为生活常识，我们都知道，对于一个内设有限个房间的旅馆（有穷世界）来说，如果所有房间都已客满，这时又来一位客人要订个房间。
前台只好礼貌的说，“对不起，所有的房间都住满了”。
现在设想有一个“无穷旅馆”，内设无穷个房间，所有的房间也都客满了。
这时又来了一位客人想订房间。
前台会说，“没问题，我给你安排”。
这在有穷世界是没有解的事情，但在无穷世界里却完全可以做到：只要把1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间，...，n号房间的客人搬n 号房间，这样新来的客人就可以住进已被腾出的1号房间了。
更有甚者，如果这到1
时又来了无穷位客人要订无穷个房间，前台仍然会说，“没问题，我给你安排”。
于是，他就把1号房间的客人搬到2号房间，把2号房间的客人搬到4号房间，...，把n号房间的客人搬到2n号房间。
这样一来，所有的单号房间都腾了出来，新来的无穷位客人就可以住进去了。