无穷大无穷小两个重要极限
函数与极限数列极限函数极限无穷大与无穷小的性质两个重要
1.函数与极限：数列极限、函数极限；无穷大与无穷小的性质；两个重要极限；函数的连续性与间断点；闭区间上连续函数的性质。
2.导数与微分：导数概念；函数的求导法则、二阶导数；函数的微分；洛比达法则；函数的单调性与极值。
3.不定积分与定积分：原函数与不定积分的概念；第一换元积分法与第二换元积分法；分部积分法；微积分基本公式、牛顿-莱布尼茨公式；定积分性质与计算；反常积分的计算。
4.微分方程：微分方程的基本概念、变量分离方程、齐次微分方程；一阶线性齐次微分方程、一阶线性非齐次微分方程、常数变易法。
5.多元函数微分：多元函数的概念、二元函数的极限和连续性；偏导数的概念、偏导数计算；全微分概念、全微分的计算；多元函数的极值及其求法。
6.二重积分：二重积分的计算；重积分的应用。
7.无穷级数：常数项级数的概念和性质、收敛法则；幂级数的概念及收敛半径、收敛域；函数展开成幂级数的方法；掌握判别无穷级数、正项级数和交错级数的敛散性的方法；理解绝对收敛与条件收敛的关系。
无穷小(大)与极限运算(无穷小的比较)及两个重要极限
第4、5讲 无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限 一、计划学时：2节 二、内容三、要求 四、重点 五、难点六、教学过程：（一） 无穷小与无穷大 一、无穷小量定义1 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。
无穷小量只是极限的一个特殊情况（A =0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以x →x 0为例给出无穷小的精确定义：定义2 设函数f (x )当|x |充分大时有定义。
若 ∀ M >0，∃ X >0，∍ |x |> X ⇒ ⎪f (x ) ⎪>M ，则称函数f (x )当x →∞时为无穷大量，记为)()(∞→∞→x x f 或∞=∞→)(lim x f x . 注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大。
且若函数是无穷大，则函数必无极限。
但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。
如：x →0时，x 1是无穷大；x → -1时，2)1(1x +也是无穷大；x →∞时，1-ln x 是无穷大。
显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x →∞，的值非负且越来越大，而1-ln x 则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+∞与负无穷大-∞。
将定义2中的“|x |> X ”相应地改为“x < X ”和“x >-X ”即可得到x →∞时正无穷大和负无穷大的定义。
共有21种无穷大的定义。
例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 ∀ M >0，要使⎪f (x ) ⎪=│11-x │>M ，只要 | x -1|< M 1，取 δ =M1，则当δ<-<|1|0x 时，⇒ │11-x │>M ， ∴ ∞=-→11lim1x x . 注❶ 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。
❷ 从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。
两个重要的极限8个公式
两个重要的极限8个公式1. 重要的极限概念：介绍极限的定义和重要性极限是数学中一种重要的概念，用来描述函数在某个特定点或无穷远处的行为。
它在微积分、数学分析以及物理学等领域都有着广泛的应用。
极限的定义可以简单地说就是函数在某个点取逼近值时的极限值。
2. 极限公式：介绍极限公式的概念和常用的公式极限公式是用来计算函数在特定极限情况下的值的数学公式。
常见的极限公式包括：- 代数极限公式：如乘积的极限、商的极限、和的极限等；- 指数函数和对数函数的极限公式：如指数函数的极限、自然对数函数的极限等；- 三角函数的极限公式：如正弦函数、余弦函数的极限等；- 复合函数的极限公式：如复合函数的极限法则等；3. 重要的极限公式1：拉'Hospital法则拉'Hospital法则是一种用于解决一些涉及无穷大与无穷小的不定型极限的方法。
该法则可以用于求解一些无法直接得出极限的函数，如极限中分子和分母都趋向于0或趋向于无穷大的情况。
4. 重要的极限公式2：泰勒级数泰勒级数是将一个函数表示为一系列无穷多个多项式的和的方法，适用于近似计算各种函数的值。
对于某些函数，可以通过泰勒级数来计算它在某个特定点的极限值。
5. 重要的极限公式3：柯西极限定理柯西极限定理是一种用于验证函数极限存在的方法。
根据柯西极限定理，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当函数自变量的取值在某一范围内，且与函数极限点的距离小于δ时，函数的值与极限的差的绝对值小于ε，则函数在该点存在极限。
6. 重要的极限公式4：正弦函数极限公式正弦函数的极限公式可以帮助我们计算正弦函数在某个特定角度的极限。
例如，sin(x)/x的极限在x趋向于0时等于1，这可以通过三角函数的性质和数列极限的概念来证明。
7. 重要的极限公式5：自然对数函数极限公式自然对数函数的极限公式可以用来计算自然对数函数在某个特定值处的极限值。
一个常见的例子是ln(1+x)/x的极限在x趋向于0时等于1，这可以通过泰勒级数展开和估计得出。
1.5极限的运算法则、两个重要极限
又 Q x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
2 Q x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
存在如果推论2limlimlimlimlimlim分母的极限都是零分子1后再求极限因子先约去不为零的无穷小分母的极限都是无穷大分子再求极限分出无穷小去除分子分母先用无穷小因子分出法小结
1.5 极限的运算法则、两个重要极限 极限的运算法则、
• 一、极限的运算法则 • 二、两个重要极限 • 三、无穷小量的比较
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
例7
3 1 lim( − ) 3 x →1 1 − x 1− x
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。
2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。
3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。
教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。
1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。
1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。
第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。
2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。
2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。
第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。
3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。
3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。
第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。
4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。
4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。
第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。
5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。
5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生的参与度和积极性。
高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
两个重要极限
x→∇ ∆
1.3 第一重要极限 lim sin x = 1的误用
x→0 x
(1)
lim x ⋅ sin
x→0
1 x
=
sin 1
lim
x→0
x 1
= 1 是不对的，因为
x
→ 0时，1 x
→
∞，
x
即不是无穷小。此极限虽然满足“一致性”，但不满足“无穷小性”，
实际上，
2016.22
3 结束语
本文对两个重要极限进行了讨论，一定要要注意两个重要极 限都必须同时满足两个特性—“一致性”和“无穷小性”，这两个特 性缺一不可。尤其仅满足
“一致性”时，很容易错误地认为是重要极限，这一点一定要 注意。
参考文献
[1《] 高等数学》同济大学数学系编 2007 年 4 月第七版。 [2《] 考研数学历年真题分题型精解》华中科技大学出版社 2012
DOI:10.16520/ki.1000-8519.2016.22.092
1 第一个重要极限 lim sin x = 1 x→0 x
1.1 第一重要极限 lim sin x = 1的特点 x→0 x
（1）一致性
所谓“一致性”是指分子是 sin “什么”分母就是“什么”，如
sin 2x 2x
,
第二重要极限必须同时满足“一致性”和“无穷小性”才行，缺
一不可。
第 二 个 重 要 极 限 可 归 纳 推 广 成 如 下 形 式：
lim(1 +
)1
∆∆
= 1(x
→
∇时，∆
→
0)。
x→∇
145
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经济数学1.4两个重要极限
三.无穷小量的等价代换
tan x sin x （3） lim x 0 tan 3 3 x
sin 2 x （4）lim x 0 (1 cosx )arctan x 2
tan x(1 cos x) tan x sin x lim lim 解（3） 3 x 0 x 0 tan 3 3 x tan 3 x 1 2 x x 1 2 lim 3 x0 (3 x ) 54
n
ESC
二.第一个重要 极限
sin x 1 1. lim x 0 x
(1.4.1)
因为 sin( x) sin x sin x ，所以 x x x 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 证
作单位园O， 设圆心角 AOB x ,延长 OB 交过 A点的切线于于 D ， 则 AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ AOD 面积．即 ESC
1 x 3 1 5 lim(1 ) (1 ) e 1 e x x 3 x 3 2 2 x2 x2 x x 2 lim ( ) lim (1 ) e （4） x2 2 2 x2
ESC
三.无穷小量的等价代换
1.无穷小的比较（复习） 一般的, 设 ， 是同一极限过程中的两个无穷小， 1）若 lim 0 ，则称 是比 高阶的无穷 小，也可以称 是比 低阶的无穷小； 2）若 lim c （c为非零常数），则称 与 是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
1 2 x 5 1 2x 1 5 lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) x x x x x x 1 x 2 [lim(1 ) ] e 2 x x
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穷
时，
x
12
是无穷小量；当
x
时，
1 x2
是无
小
穷小量。
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一
、
定义：若 y f x在自变量 x的某个变化趋势
无
中的绝对值无限增大，则函数 y f x叫做在
穷
该变化过程中的无穷大量，简称无穷大，记作
大
lim f (x) 。
与
例如，当
x
0时，x3
1
2
x
是无穷大量；当
x
1
无 穷
与
lim f (x) A的充要条件是 f (x) A a ,其中a 是
无
xx0
x
穷 该变化趋势下的无穷小。
小
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4、无穷小的三个性质
一
、
⑴ 有限个无穷小量的代数和是无穷小。
无
⑵ 有限个无穷小量的乘积是无穷小。
穷
⑶ 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小。
大
与
无
穷
小
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解： lim tan x lim sin x 1
应
x0 x
x0 x cos x
用
举
lim sin x lim 1 x0 x x0 cos x
例
11 1
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例 2：求lim sin Rx （ R 0） x0 x
2
0
常 见 例
若m 3 若m 3
,则lim x
2xm 3x x3 2x
2
,则lim x
2xm 3x x3 2x
2
2
题 解
5、若m
2,则lim x
2xm 3x x3 2x
2
0
析
若m
4,则lim x
2xm 3x x3 2x2若m3,则lim x
2xm 3x x3 2x
2
不为0
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例 2：求
x2 x 2
lim
x2
x2 4
常 见
解：
lim
x2
x2 x2
x
4
2
lim (x 2)(x 1) x2 (x 2)(x 2)
例
lim x 1 3 x2 x 2 4
题
解
通分法：适用范围，分子分母极限同时
析
为0的有理分式
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例
3：求lim x
时，
x
1
12
是无穷大
量；当
x
时，
x
2
是
无
小
穷大量。
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• 注意
一 • 1、除了0以外，无穷大与无穷小都是变量
、 • 2、无穷小，不是指数值越来越小，而是
无
指数值越来越趋近于0 • 3、无穷大有两种情形，一是正的无限增
穷
大，一是负的无限增大
大
• 4、任何一个常数，无论多大都不是无穷 大，除了0以外，任何一个常数，无论多
lim 1 1 x2 x 1 1 2
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二、 两 个 重 要 极 限
令t 1
1、lim sin x 1
x
x0 x
x0 ,t
1
limt sin 1
t
t
1
2、lim1 xx e 1 x0 1 倒数
令t 1 x
x0 ,t
lim
t
1
1 t t
e
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关于两个重要极限的几点说明：
与
小，都不是无穷小
无
• 5、指出一个变量是无穷大或者无穷小的 同时，要指出变化趋势。
穷 • 6、0是唯一的一个无穷小常数。
小
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2、两者的关系
一 在自变量的同一变化过程中，如果 f x为无
、 无
穷大量，则
f
1
x
是无穷小；反之，如果
f
x为
穷
无穷小量，且
f
x
0，则
f
1
x
是无穷大量。
大 3、无穷小与函数极限的关系
2
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例5
求
lim
n
1
23 3n2
... 4
n
常 见
解：
nn 1
1 2 3 ... n
2
例 题
1 2 3 ... n
lim n
3n2 4
lim
n
n2 n 6n2 8
解
1
析
6
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例6
求lim n
2n 4n
3 1
常 见 例
解：
lim 2n 3 n 4n 1
5、实际解题应用
例 1：求极限 lim x 4
x1 x 1
常
解：当 x 1时，分母的极限为零，所以不能
见
用商的运算法则，但分子的极限
例
lim x 4 5 0，于是，lim x 1 0 0
题
x1
x1 x 4 5
由无穷小与无穷大关系知：lim x 4
解
x1 x 1
析
倒数法，适用范围分母极限为0，分子极限
• 能熟练的利用两个重要极限的结论求 给的函数的极限
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一
、
1、定义
无
定义：若 y f x在自变量 x的某个变化趋势
穷
中的极限为 0，则函数 y f x叫做在该变化
大
过程中的无穷小量，简称无穷小，即
与
lim f (x) 0。
无
例如，当 x 0时，x3 2x是无穷小量；当 x 1
lim
2n 4n
3 4n
题
n
1
1 4n
解
析
00 0 1 0
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例 7 求lim x 2
x2 x 1 1
常
x 2 x 1 1
见
解：原式 lim x2 x 1 1 x 1 1
例 题
lim x 1 1 2 x2
解 析
同理，若分子出现根式，方法一样—根式 有理化
lim x 1 1 lim x 1 1 x 1 1 x2 x 2 x2 x 2 x 1 1
二、 两 个 重 要 极 限
其中t 可以是自变量也可以是中间变量。
使用这两个公式时一定要注意公式的形式特
征和变量的变化趋势。对于lim sin t 1，要 t0 t
使 t 0 且分子、分母为同一变量t 。防止
出现lim sin 2x 1这样的错误。 x0 x
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例 1：求lim tan x x0 x
an bn
解
0
nm
析
a0 b0
nm
nm
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例4 根据上题的结论填空
常 见
1、lim x
x3 x2
3x 2x
2
例
2、lim x
x3 x2
3x 2x
2
0
题
3
解
3、lim x
3x3 2x3
3x 2x
2
2
析
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4、若m 3
,则lim x
2xm 3x x3 2x
第一章 极限与连续
第三节 无穷大与无穷小 第四节 两个重要极限
• 知道什么是无穷大什么是无穷小（除 了0以外，两个都是变量）
• 理解无穷小的三个性质（此三个性质
重
是无穷大没有的）
点
• 掌握利用无穷大与无穷小的关系求函 数极限的方法。
难
• 熟悉求几种不同类型的函数的极限的
点
方法。
• 掌握两个重要极限的形式，变形形式
a0 xn b0 xm
a1xn1 a2 xn2 ... an1x an b1xm1 b2 xm2 ... bn1x bn
常
求解方法：分子分母同除以x的最高次幂
见
一般的有如下结论：
例 题
lim
x
a0 xn b0 xm
a1xn1 b1xm1
a2 b2
xn2 xm2
... an1x ... bn1x