2002年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案

2004考研数二真题及解析

1 2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 设2(1)()lim1nnxfxnx, 则()fx的间断点为x.

(2) 设函数()yx由参数方程 333131xttytt 确定, 则曲线()yyx向上凸的x取值范围

为.

(3) 121dxxx.

(4) 设函数(,)zzxy由方程232xzzey确定, 则3zzxy.

(5) 微分方程3()20yxdxxdy满足165xy的特解为.

(6) 设矩阵210120001A, 矩阵B满足2ABABAE, 其中A为A的伴随矩阵, E

是单位矩阵, 则B.

二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7) 把0x时的无穷小量20cosxtdt, 20tanxtdt, 30sinxtdt排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 ( )

(A),,. (B),,.

(C),,. (D),,.

(8) 设()(1)fxxx, 则 ( )

(A) 0x是()fx的极值点, 但(0,0)不是曲线()yfx的拐点.

(B) 0x不是()fx的极值点, 但(0,0)是曲线()yfx的拐点.

(C) 0x是()fx的极值点, 且(0,0)是曲线()yfx的拐点. 2 (D) 0x不是()fx的极值点, (0,0)也不是曲线()yfx的拐点.

(9) 22212limln(1)(1)(1)nnnnnn等于 ( )

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．）

（1）)1ln(102)(coslimxxx＝．

【答案】1e

【考点】两个重要极限

【难易度】★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

对于1型不定式，可以采取01lim00lim(1)lim(1)(0,)xxxe，进而转化为,00,0，通过等价无穷小或洛必达法则来计算.

解析：)1ln(102)(coslimxxx2121lim)1ln(1coslim)1ln(1)1(cos1cos10220202)1cos1(limeeexxxxxxxxxxx

（2）曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是．

【答案】542zyx

【考点】曲面的切平面

【难易度】★★

【详解】解析：令 22),,(yxzzyxF，则xFx2，yFy2， 1zF.设切点坐标为),,(000zyx，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00yx，其与已知平面042zyx平行，因此有11422200yx，可解得2,100yx，相应地有 .520200yxz

故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2zyx，即 542zyx.

（3）设)ππ(cos02xnxaxnn，则2a＝．

【答案】1 【考点】函数在],0[l上的余弦级数

【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

将))((xxf展开为余弦级数)(cos)(0xnxaxfnn，其系数计算公式为0cos)(2nxdxxfan.

解析：根据余弦级数的定义，有

xdxxdxxa2sin12cos202022

2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解【完整版】

2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．曲线1ln1yxex的渐近线方程为（）。

A．y＝x＋e B．y＝x＋1/e C．y＝x D．y＝x－1/e 【正确答案】B 【参考解析】由已知1ln1yxex，则可得：

1ln11limlimlimln11xxxxeyxkexxx



11limlimlnlimln111

11limln1lim11xxx

xxbykxxexxexx

xxexexe





所以斜渐近线方程为y＝x＋1/e。

2．函数

21,011cos,0xfxxxxx的原函数为（）。

A．

2ln1,0

1cossin,0xxxFxxxxx

B．

2ln11,0

1cossin,0xxxFxxxxx

C．

2ln1,0

1sincos,0xxxFxxxxx

D．

2ln11,0

1sincos,0xxxFxxxxx

【正确答案】D 【参考解析】当x≤0时，可得：

212ddln11xfxxxxCx

当x＞0时，可得：





2d1cosd

1dsin

1sinsind

1sincosfxxxxx

xx

xxxx

xxxC









在x＝0处，有： 2110limln1xxxCC，220lim1sincos1xxxxCC 由于原函数在（－∞，＋∞）内连续，所以C1＝1＋C2，令C2＝C，则C1＝1＋C，故

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】

一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符

合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．1ln

1yxe

x曲线的渐近线方程为（）。

A．y＝x＋e

B．y＝x＋1/e

C．y＝x

D．y＝x－1/e

【参考答案】B 【参考解析】1ln11limlimlimln1,

1xxxxeyxke

xxx



11limlimlnlimln1

11

11limln1lim

11xxx

xxbykxxexxe

xx

exexe







所以斜渐近线方程为y＝x＋1/e．

2．函数

21,0

1

1cos,0x

fxx

xxx

的原函数为（）。

A．



2ln1,0

1cossin,0xxx

Fx

xxxx



B．



2ln11,0

1cossin,0xxx

Fx

xxxx



C．



2ln1,0

1sincos,0xxx

Fx

xxxx



D．



2ln11,0

1sincos,0xxx

Fx

xxxx



【参考答案】D

【参考解析】当x≤0时，

212ddln1

1xfxxxxC

x



当x＞0时，





2d1cosd

1dsin1sinsind

1sincosfxxxxx

xxxxxx

xxxC







原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x＝0处

2110limln1

xxxCC

，

220lim1sincos1

xxxxCC



考研数三(2001-2017年)历年真题

2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题

(1) 设生产函数为QALK, 其中Q是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而

A, α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K关于L的弹性为

(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以tW表示第t 年的

工资总额(单位：百万元)，则tW满足的差分方程是___

(3) 设矩阵111111,111111kkAkk且秩(A)=3,则k =

(4) 设随机变量X,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不

等式-6PXY .

(5) 设总体X服从正态分布2(0,0.2),N而1215,,XXX是来自总体X的简单随机样本，则随

机变量221102211152XXYXX服从___分布，参数为_______

二、选择题

(1) 设函数f (x)的导数在x=a处连续,又'()lim1,xafxxa则( )

(A) x = a 是f (x)的极小值点.

(B) x = a 是f (x)的极大值点.

(C) (a, f(a))是曲线y= f(x)的拐点.

(D) x =a不是f (x)的极值点, (a, f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点.

(2) 设函数0()(),xgxfudu其中21(1),012(),1(1),123xxfxxx则g(x)在区间(0,2) 内( )

(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续

(3) 设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000aaaaaaaaaaaaaaaaABPaaaaaaaaaaaaaaaa 210000010,01000001P其中A 可逆,则1B等于( )

2003考研数学二真题及答案

2003年全国硕士研究生入学统一考试理工

数学二试题详解及评析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）若0→x时，1)1(41

2−−ax 与xxsin是等价无穷小，则a= .

【答】 -4

【详解】当0→x时，241

2

41

~1)1(axax−−−，2~sinxxx.

于是，根据题设有 1

4141

lim

sin)1(

lim

22

041

2

0=−=−

=−

→→a

xax

xxax

xx，

故 a=-4.

（2）设函数y=f(x)由方程4ln2yxxy=+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的

切线方程是 .

【答】 x-y=0

【详解】等式4ln2yxxy=+两边直接对x求导，得

yy

xyxy′=+′+342

，

将x=1,y=1代入上式，有 .1)1(=′y

故过点(1,1)处的切线方程为

)1(11−⋅=−xy，即 .0=−yx

（3） xy2=的麦克劳林公式中nx项的系数是______.

【答】

!)2(ln

nn

【详解】因为 2ln2xy=′，2)2(ln2xy=′′，nxxy)2(ln2,)(="，

于是有 nny)2(ln)0()(=，

故麦克劳林公式中nx项的系数是

.

!)2(ln

!)0()(

nnynn

= （4）设曲线的极坐标方程为)0(>=aeaθρ ，则该曲线上相应于θ从0变到

π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 ______.

【答】 )1(

414−ae

aπ

【详解】所求面积为

θθθρπθπdedSa∫∫==2

022

02

21

)(

21

==πθ2

02

41aea)1(

414−ae

aπ.

（5）设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若

⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢

⎣⎡

−−−−

=

111111111

Tαα，则

ααT= .

【答】 3

【详解】方法一：

由

⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢

⎣⎡

−−−−

=

111111111

Tαα=[]111

111

−

⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】 2

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】

一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．1ln1yxex曲线的渐近线方程为（）。

A．y＝x＋e

B．y＝x＋1/e

C．y＝x

D．y＝x－1/e

【答案】B

【解析】1ln11limlimlimln1,1xxxxeyxkexxx

11limlimlnlimln11111limln1lim11xxxxxbykxxexxexxxxexexe

所以斜渐近线方程为y＝x＋1/e．

2．函数21,011cos,0xfxxxxx的原函数为（）。

A．2ln1,01cossin,0xxxFxxxxx

B．2ln11,01cossin,0xxxFxxxxx

C．2ln1,01sincos,0xxxFxxxxx

D．2ln11,01sincos,0xxxFxxxxx

【答案】D

【解析】当x≤0时，

212ddln11xfxxxxCx

当x＞0时，

2d1cosd1dsin1sinsind1sincosfxxxxxxxxxxxxxxC

原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x＝0处

2110limln1xxxCC，220lim1sincos1xxxxCC

2024年考研数学二真题及答案解析参考

-1-2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析

一、选择题:1~10小题，每小题5分,共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合

题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1

）函数)2)(1(1

)(



xxxxf

的第一类间断点的个数是（）

(A)3(B)2(C)1(D)0

【答案】(C)

【解析】无定义的点为1,2，0

ex

xx

x



)2)(1(1

1lim，



)2)(1(1

2lim

xx

xx，



)2)(1(1

0lim

xx

，所以第一类间断点的个数是1个，

故选C.

（2）设函数)(xfy

由参数方程









231

teytx确定，则

)]2()2

2([limf

xfx

x（）

(A)e2(B)

34e(C)

32e(D)

3e

【答案】（B）

【解析】容易看出函数)(xf

可导，且

232

)(2

tte

dtdxdtdy

xft



，当1,2tx

时，e

tte

f

tt

32

)2(

1

22



，所以ef

xf

f

xfx

xx34

)2(2

2)2(2

2

lim2)2(2

2lim









































，

故选B

（3）设函数xx

dttfxgdttxf

03sin

0)()(,sin)(

，则（）

(A))(xf

是奇函数，)(xg

是奇函数(B))(xf

是奇函数，)(xg

是偶函数

(C))(xf

是偶函数，)(xg

是偶函数(D))(xf

是偶函数，)(xg

是奇函数

【答案】（D）

【解析】令x

dttxh

03sin)(

，此时)(xh

是一个偶函数，所以，)(sin)(xhxf

为偶函数，从而)(xg

为奇函数，故选D.

（4）已知数列

)0(

nnaa

，若

na

发散，则（）

（A）







nn

aa1

发散（B）







nn

aa1

发散（C）







nn

aa

ee1

发散（D）







nn

aa

ee1

发散

-2-【答案】（D）

2000考研数二真题及解析

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题 (本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上 )

(1) lim arctan x x .

x 0 ln(1 2x3 )

(2) 设函数 y y(x) 由方程 2xy x y 所确定，则 dy x 0 .

(3) dx .

2 ( x 7) x 2

1

(4) 曲线 y (2 x 1)ex 的斜渐近线方程为 .

1 0 0 0

(5) 设 A 2 3 0 0

，E为4 阶单位矩阵，且 B (E A) 1(E A) 则 0 4 5 0

0 0 6 7

(E B)1 .

二、选择题 (本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 .)

(1) 设函数 f (x) x 在 ( , ) 内连续，且 lim f (x) 0, 则常数 a, b 满足 () bx x

a e

(A) a 0, b 0. (B) a 0, b 0.

(C) a 0,b 0. (D) a 0, b 0.

(2) 设函数 f (x) 满足关系式 f (x) [ f ( x)] 2 x ，且 f (0) 0，则()

(A) f (0) 是 f ( x) 的极大值 .

(B) f (0) 是 f ( x) 的极小值 .

(C)点 (0, f (0)) 是曲线 y f (x) 的拐点 .

(D) f (0) 不是 f ( x) 的极值，点 (0, f (0)) 也不是曲线 y f ( x) 的拐点 .

(3 ) 设 f (x), g (x) 是大于零的可导函数，且 f '( x) g (x) f ( x) g '(x) 0, 则当 a x b 时，

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】 3

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】

一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．1ln1yxex曲线的渐近线方程为（）。

A．y＝x＋e

B．y＝x＋1/e

C．y＝x

D．y＝x－1/e

【参考答案】B

【参考解析】1ln11limlimlimln1,1xxxxeyxkexxx

11limlimlnlimln11111limln1lim11xxxxxbykxxexxexxxxexexe

所以斜渐近线方程为y＝x＋1/e．

2．函数21,011cos,0xfxxxxx的原函数为（）。

A．2ln1,01cossin,0xxxFxxxxx

B．2ln11,01cossin,0xxxFxxxxx

C．2ln1,01sincos,0xxxFxxxxx

D．2ln11,01sincos,0xxxFxxxxx

【参考答案】D

【参考解析】当x≤0时，

212ddln11xfxxxxCx

当x＞0时，

2d1cosd1dsin1sinsind1sincosfxxxxxxxxxxxxxxC

原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x＝0处

2110limln1xxxCC，220lim1sincos1xxxxCC