2002年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2002数学二考研真题
2002数学二考研真题2002年的数学二考研真题是一道经典的题目，它涉及到了线性代数、概率论和数理统计等多个数学领域。
这道题目的难度适中，既考察了考生的基础知识，又需要考生具备一定的推理和解题能力。
首先，让我们来看看这道题目的具体内容。
题目中给出了一个矩阵A和一个向量B，并要求我们求解一个方程组。
这个方程组的形式是AX=B，其中A是一个已知的矩阵，B是一个已知的向量，X是我们要求解的未知向量。
我们需要找到一个满足方程组的解X。
为了解决这个问题，我们可以利用线性代数中的矩阵运算和方程组求解的方法。
首先，我们可以将方程组写成矩阵形式，即AX=B。
然后，我们可以通过矩阵的逆运算来求解X。
具体来说，我们可以通过求解逆矩阵的方式来得到方程组的解。
然而，在实际操作中，我们并不总能够求得矩阵A的逆。
这就需要我们考虑矩阵的可逆性。
一个矩阵可逆的充要条件是其行列式不等于零。
因此，我们可以先计算矩阵A的行列式，如果行列式不等于零，那么矩阵A是可逆的，我们就可以继续求解方程组。
否则，矩阵A不可逆，方程组无解。
接下来，我们需要考虑如何求解矩阵A的逆。
一种常见的方法是利用伴随矩阵的概念。
伴随矩阵是指将矩阵A的每个元素替换为其代数余子式的转置矩阵。
然后，我们可以通过求解伴随矩阵的转置与A的行列式的乘积来得到A的逆矩阵。
除了矩阵运算和方程组求解的方法，这道题目还涉及到了概率论和数理统计的知识。
在题目中，我们需要求解一个概率问题，即求解X的概率分布。
具体来说，我们需要求解X的期望和方差。
为了求解X的期望，我们可以利用概率论中的期望的定义。
期望可以看作是随机变量的加权平均值，其中权重是每个取值的概率。
在这道题目中，我们可以通过计算X的每个取值的概率和对应的取值的乘积，然后将它们相加，就可以得到X的期望。
同样地，为了求解X的方差，我们可以利用概率论中方差的定义。
方差可以看作是随机变量与其期望之间的差的平方的加权平均值。
在这道题目中，我们可以通过计算X的每个取值与其期望之间的差的平方的概率和，然后将它们相加，就可以得到X的方差。
2002年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
）．
3．
yy
y2
0 满足初始条件
y(0)
1,
y(0)
1 2
的特解是（
）
4． lim 1 [ 1 cos 1 cos 2 1 cos n ] =（ ）
n n
n
n
n
0 2 2
5．矩阵 2 2 2 的非零特征值是（
）．
2 2 2
二、单项选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分．)
六、（本题满分７分）求微分方程 xdy (x 2y)dx 0 的一个解 y y(x) ，使得由曲线 y y(x) 与直线 x 1, x 2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积
最小．
七、（本题满分 7 分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 l
为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分
（A）当 lim f (x) 0 时，必有 lim f (x) 0.
x
x
（B）当 lim f (x) 存在时，必有 lim f (x) 0.
x
x
（C）当 lim f (x) 0 时，必有 lim f (x) 0.
x0
x 0
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1
2 cos2 x dx
2 1 cos x dx
1 x 2 cos dx
0
2
0
2
0
2
2 2 sin x 1 2
2
.
20
0 2 2
（5）矩阵
2002全国研究生考研数学二真题及解析
线性表出矛盾．故向量组
，
线性无关，选
1, 2, 3
2
(A) 方法 2：用排除法
B 选项：取 k
0 ，向量组
，k
1, 2, 3
1
1, 2, 3 k
1
2
即 1, 2 , 3 ，
2
2
线性相关不成
立，否则因为
， 线性相关，又
1, 2, 3
线性无关，故 可由
1, 2 , 3
线性表出．即存在常数
2
，使得
1, 2 , 3
2.
(2)【答案】 1 【详解】面积
S xe dx
xde
x
x
0
0
xe e dx
x
x
0
b
xe e
xe e
x
x
x
x
lim
0
b
0b
b
1
其中
．
lim be b lim
lim 0
洛
b
b
b
e
e
b
b
lim be b e b
11
(3)【答案】 y
x1
【详解】方法 1：这是属于缺 x 的 y
f ( y, y ) 类型．
命
dp dp dy ． dp
y p, y
p
dx dy dx
dy
原方程 yy
y 2 0 化为 yp dp p2 0 ，得
dy
p
y dp p 0
0
或
dy
p
dy 0
'
0
y
，即
，不满足初始条件
x0
dx
1
2002年考研数学二试题[卷]及的答案解析
![2002年考研数学二试题[卷]及的答案解析](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/1f677ffa6137ee06eff918a1.webp)
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsin e 1)(2tan x a x x xf xx在0=x 处连续，则=a ______．【答案】2-【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数)(x f 在0x x =处连续，则有;)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→解析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin22x x x x e xf x x x+++→→→--=-== 20lim ()lim ,(0),xx x f x ae a f a --→→===()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +-⇔==即 2.a =- （2）位于曲线xxe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．【答案】1【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★【详解】解析：所求面积为1)(00=-=+-=-==+∞-∞+-+∞--∞+∞+-⎰⎰⎰xx xx xedx e xee xd dx xe S ．其中，()01lim lim lim =--=-+∞→+∞→-+∞→xx xx xx e e x xe洛必达.（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y ，21|0='=x y 的特解是______． 【答案】1y x =+【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dydp py p y =''=',. 解析：方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+2y x C =±+.再以初值代入，21C =±所以应取""+且21C =.于是特解1y x =+.方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dpy p dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之， 由0dp yp dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得12dy dx y =,解之，得222,y x C y x C =+=±+.以01x y ==代入，得21C =±，所以应取“+”号且21C =.于是特解是1y x =+.（4）++++∞→nn n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1n n ______． 【答案】22π【考点】定积分的概念 【难易度】★★★【详解】解析：记 121cos 1cos ...1cos n n u n n n n πππ⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦111c o s ,n i i n nπ==+∑ 所以 1011lim lim 1cos 1cos n n n n i i u xdx n n ππ→∞→∞==+=+∑⎰11122cos 2cos2cos222xxxdx dx dx πππ===⎰⎰⎰12222sin2x πππ=⋅=.（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算 【难易度】★★【详解】解析：22222220222222E A λλλλλλλλ-=--=--200011(4)222λλλλλ==--故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（ ） （A ）－1． （B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ∆的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='； 解析：在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆.当00x x dy dx =≠时0x x dyx dx =∆称为y ∆的线性主部，现在2()2dyx f x x x dx'∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'∆=⨯，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）. （2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★【详解】解析：[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，[()()]xt f t f t dt +-⎰为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限 （ ）（A ）不存在． （B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式 【难易度】★★【详解】解析：方法1：220000ln(1)222limlim lim lim 2()()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛 方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有22()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=. （4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（ ） （A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x【答案】B【考点】导数的概念 【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：排斥法 （A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但l i m ()x f x →+∞'不存在.(C)与(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（B ）． 方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<,x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾.（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） （A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关． （B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关． （C ）321,,ααα21,ββk +线性无关． （D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．【答案】A【考点】向量的线性表示 【难易度】★★★【详解】解析：方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出.设12112233k ββλαλαλα+=++,因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关， 应选（A ）.方法2：用排除法取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法与方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.） 排除（D ）.三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程． 【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①切线方程：)(000x x y y y -'=- ②法线方程：)(1000x x y y y -'-=- 解析：极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩ 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为3313(,,,)2424-- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dyd dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为1333()()2424y x --=--，即353044x y --+=法线方程为13133()(()),24124y x --=---即31044x y +-+=. 四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式．【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★ 【详解】解析： 当10x -≤<时2233213111()(2)().12222xx F x t t dt t t x x -=+=+=+--⎰ 当01x ≤<时，011()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 202121t x x t t tx x t t x tt x x x te t t dt tde e x t dt xe dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+++++=---+=---++++⎰⎰⎰⎰所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当 五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．【考点】导数的概念、一阶线性微分方程 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：e =∆+∆→∆10)1(lim ；∆-∆+='→∆)()(lim)(0x f x f x f ，其中∆可以代表任何形式；解析：11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1()xf x f x x '=， 即 2()1()f x f x x'= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+ 改写成 1()xf x Ce-=再由条件lim ()1x f x →+∞=，推得1C =，于是得1().xf x e -=六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：dx x fV bax ⎰=)(2π解析：一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y eedx C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x =-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤ 由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰,令6215()052dV C dC π=+=,得75.124C =- 又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？【考点】定积分的物理应用—压力 【难易度】★★★★【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dA xdy =， 因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+- 平板ABCD 上所受的总压力为 1102(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.抛物板AOB 上所受的总压力为 1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x y =，代入，计算得 2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即，251244()315h h =+ 解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m . 八、（本题满分8分）设),2,1()3(,3011 =-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．【考点】数列的极限 【难易度】★★★【详解】解析：方法1：考虑（1） 19(3)334(3)322(3)2n n n n n n n x x x x x x x ----=--=-+ 222933()42033(3)(3)22n n n n n n n x x x x x x x -+---==≤-+-+所以132n x +≤（当1,2,n =），即32n x ≤（当2,3,n =），数列{}2,3,n x n =有上界32. 再考虑（2）21(3)(3)(3)n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x ----=--=-+(32)0.(3)n n n n nx x x x x -=≥-+ 2,3,n =.所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a(3)由1(3)n n n x x x +=-两边取极限，于是得 (3),a a a =-2230,a a -=得32a =或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以3lim 2n n x →∞=.方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故()21111130(3)(3).22x x x x x *<-≤+-== 设302k x <≤，则 113(3)(3).22k k k k k x x x x x +-≤+-== 由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤.21(3)(32)(3)0.(3)(3)n n n n n n n n n n n n nn n nx x x x x x x x x x x x x x x x +-----≤=≥-+-+-=所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为a . 再由1(3)n n n x x x +=-两边命n →∞取极限，得(3)a a a =-,32a =或0a =，但因0n x >且单调增加，故0a ≠，所以32a =. 九、（本题满分8分）设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑先证左边不等式，方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.ln ln 1(ln ),0.x b a x a b b a ξξξ=-'==<<<-而22112a b a b ξ>>+. 其中第二个不等式来自不等式222a b ab +>（当0a b <<时），这样就证明了要证明的左边.方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a x ϕ-=--+，有()0a ϕ=. 22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++（当0a x <<）， 而推知当0x a >>时()0x ϕ>，以xb =代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命1()ln ln (),x x a x a axφ=--- 有()0a φ=，及2111()()()0,222a x a x x a x x x x axφ-'=-+=-< 所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得1ln ln (),b a b a ab-<-即ln ln 1b a b a ab -<-. 右边证毕. 十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．【考点】无穷小的比较，洛必达法则【难易度】★★★【详解】解析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组123,,λλλ,12320()(2)(3)(0)lim 0h f h f h f h f L h λλλ→++-==由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有123 1.λλλ++=（1） 由洛必达法则，12320()(2)(3)(0)lim h f h f h f h f L h λλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h h λλλ→'''++= （2） 分子的极限为1231230lim(()2(2)3(3))(23)(0)h f h f h f h f λλλλλλ→''''++=++， 若不为0，则式（1）应为∞，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即123230λλλ++= （3）对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim (49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有 123490λλλ++= （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.方法2：由佩亚诺余项泰勒公式2211()(0)(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),f h f f h f h o h '''=+++2239(3)(0)3(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 代入 12320()(2)(3)(0)0lim h f h f h f h f h λλλ→++-=2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→⎡'''++-++++++⎢=⎢⎢⎣ 2221122332()()()o h o h o h h λλλ⎤+++⎥⎦， 上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有1231231231230490λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵E A 2-可逆； （2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ． 【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若有E AB =则称B A ,互逆.解析：（1）由题设条件124A B B E -=-两边左乘A ，得 24B AB A =-即 24AB B A -= (2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+(2)(4)8A E B E E --=1(2)(4)8A EB E E --= 得证2A E -可逆（且11(2)(4)8A EB E --=-）. (2) 方法1：由（1）结果知111(2)(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦18(4)2A B E E -=-+ 1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3201001200104120010320100002001002001B E E ⎡--⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦0101200101201308013001008800110011000022⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 11044100130100880011002⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故 11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10208(4)2110002A B E E -⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 方法2：由题设条件 124A B B E -=-等式两边左乘A ，得 2(4)B A B E =-则12(4)A B B E -=-（求1(4)B E --过程见方法1）11044120120220131212001201308840020020041002⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 08002014401104008002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r Ar ααααβααααβ==== 故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解,因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系. 又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1T η*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1T Tk -+.（其中k 是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为 []112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++== 已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++ 将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-= 由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当 1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩取自由未知量3x k =，则方程组有解 431321,,,23x x k x x k x k =====-+ 即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）。
2002年考研数学二试题及答案
2002年全国硕士研究生入学统一测试数学二试题分析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsin e 1)(2tan x a x x xf xx在0=x 处连续，则=a ______．【答案】2-【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数)(x f 在0x x =处连续，则有;)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→分析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin22x x x x e xf x x x+++→→→--=-== 20lim ()lim ,(0),xx x f x ae a f a --→→===()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +-⇔==即 2.a =- （2）位于曲线xxe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．【答案】1【考点】定积分的几何使用—平面图形的面积 【难易度】★★【详解】分析：所求面积为1)(00=-=+-=-==+∞-∞+-+∞--∞+∞+-⎰⎰⎰xx xx xedx e xee xd dx xe S ．其中，()01lim lim lim =--=-+∞→+∞→-+∞→xx xx xx e e x xe洛必达.（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y，21|0='=x y 的特解是______． 【答案】1y x =+【考点】可降阶的高阶微分方程 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dydp py p y =''=',. 分析：方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+2y x C =±+再以初值代入，21C =±""+且21C =.于是特解1y x =+方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dp y p dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之， 由0dp yp dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得12dy dx y =,解之，得222,y x C y x C =+=±+以01x y ==代入，得21C =±，所以应取“+”号且21C =.于是特解是1y x =+（4）++++∞→nn n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1n n ______． 22【考点】定积分的概念 【难易度】★★★【详解】分析：记 121cos 1cos ...1cos n n u n n n n πππ=+++++111cos ,n i i n nπ==+所以 11lim lim 1cos 1cos n n n n i i u xdx n n ππ→∞→∞==+=+⎰11202cos 2cos2cos222xxxdx dx dx πππ===⎰12222sin2x πππ==.（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算 【难易度】★★【详解】分析：22222220222222E A λλλλλλλλ-=--=--200011(4)222λλλλλ==--故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（ ） （A ）－1． （B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ∆的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='； 分析：在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆.当00x x dy dx =≠时0x x dyx dx =∆称为y ∆的线性主部，现在2()2dy x f x x x dx '∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dy x f dx'∆=⨯，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）.（2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★【详解】分析：[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，[()()]xt f t f t dt +-⎰为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限 （ ）（A ）不存在． （B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式 【难易度】★★【详解】分析：方法1：220000ln(1)222limlim lim lim 2()()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛 方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有22()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=. （4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（ ） （A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x【答案】B【考点】导数的概念 【难易度】★★★★【详解】分析：方法1：排斥法 （A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但lim ()x f x →+∞'不存在.(C)和(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（B ）． 方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<,x →+∞，从而有()f x →+∞，和()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾.（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） （A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关． （B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关． （C ）321,,ααα21,ββk +线性无关． （D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．【答案】A【考点】向量的线性表示 【难易度】★★★【详解】分析：方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出.设12112233k ββλαλαλα+=++,因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关， 应选（A ）.方法2：用排除法取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法和方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.） 排除（D ）.三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线和法线的直角坐标方程． 【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①切线方程：)(000x x y y y -'=- ②法线方程：)(1000x x y y y -'-=- 分析：极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩ 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为3313,,)2424-- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dyd dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为1333(()2424y x --=--，即353044x y -= 法线方程为13133()(()),24124y x --=---即31044x y +-+=. 四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x 求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式． 【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★ 【详解】分析： 当10x -≤<时2233213111()(2)().12222xx F x t t dt t t x x -=+=+=+--⎰ 当01x ≤<时，011()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 202121t x x t t tx x t t x tt x x x te t t dt tde e x t dt xe dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+++++=---+=---++++⎰⎰⎰⎰所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当 五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．【考点】导数的概念、一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：e =∆+∆→∆10)1(lim ；∆-∆+='→∆)()(lim)(0x f x f x f ，其中∆可以代表任何形式；分析：11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠从而得到 1()1()()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1()xf x f x x '=， 即 2()1()f x f x x'= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+ 改写成 1()xf x Ce-=再由条件lim ()1x f x →+∞=，推得1C =，于是得1().xf x e -=六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =和直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值和最小值 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：dx x f V bax ⎰=)(2π分析：一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y eedx C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x =-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤由曲线2y x Cx =+和1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰,令6215()052dV C dC π=+=,得75.124C =- 又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七、（本题满分7分）某闸门的形状和大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线和线段AB 所围成．当水面和闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力和闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？【考点】定积分的物理使用—压力 【难易度】★★★★【详解】分析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dA xdy =， 因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+- 平板ABCD 上所受的总压力为 1102(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.抛物板AOB 上所受的总压力为 1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x y =2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即，251244()315h h =+解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m . 八、（本题满分8分） 设),2,1()3(,3011 =-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．【考点】数列的极限 【难易度】★★★【详解】分析：方法1：考虑（1） 19(3)334(3)322(3)2n n n n n n n x x x x x x x ----=-=- 222933()42033(3)(3)22n n n n n n n x x x x x x x -+---==≤-- 所以132n x +≤（当1,2,n =），即32n x ≤（当2,3,n =），数列{}2,3,n x n =有上界32.再考虑（2）21(3)(3)n n n n n n n n n n nx x x x x x x x --=-=-+0.(3)n n n n nx x x =≥-+ 2,3,n =.所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a(3)由1(3)n n n x x x +- (3),a a a -2230,a a -=得32a =或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以3lim 2n n x →∞=.方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故)21111130(3)(3).22x x x x x *<-≤+-== 设302k x <≤，则 113(3)(3).22k k k k k x x x x x +-≤+-== 由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤.21(3)0.(3)(3)n n n n n n n n n n n n nn n nx x x x x x x x x x x +-≤=≥-+-+-=所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为a .再由1(3)n n n x x x +=-两边命n →∞取极限，得(3)a a a =-32a =或0a =， 但因0n x >且单调增加，故0a ≠，所以32a =. 九、（本题满分8分） 设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】分析：左、右两个不等式分别考虑 先证左边不等式，方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.ln ln 1(ln ),0.x b ax a b b aξξξ=-'==<<<-而22112a b a b ξ>>+. 其中第二个不等式来自不等式222a b ab +>（当0a b <<时），这样就证明了要证明的左边. 方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a x ϕ-=--+，有()0a ϕ=.22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++（当0a x <<）， 而推知当0x a >>时()0x ϕ>，以x b =代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命()ln ln ),x x a x a axφ=-- 有()0a φ=，及21()()()0,222x a x x a x x x x axφ'==<所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得ln ln ),b a b a ab-<-即ln ln b a b a ab -<-右边证毕.十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．【考点】无穷小的比较，洛必达法则 【难易度】★★★【详解】分析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组123,,λλλ,1232()(2)(3)(0)lim0h f h f h f h f L hλλλ→++-==由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有123 1.λλλ++= （1）由洛必达法则，1232()(2)(3)(0)limh f h f h f h f L hλλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h hλλλ→'''++= （2） 分子的极限为1231230lim(()2(2)3(3))(23)(0)h f h f h f h f λλλλλλ→''''++=++，若不为0，则式（1）应为∞，和原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即 123230λλλ++= （3） 对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim(49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有 123490λλλ++= （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 方法2：由佩亚诺余项泰勒公式2211()(0)(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),f h f f h f h o h '''=+++2239(3)(0)3(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 代入1232()(2)(3)(0)0limh f h f h f h f h λλλ→++-=2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→⎡'''++-++++++⎢=⎢⎢⎣2221122332()()()o h o h o h h λλλ⎤+++⎥⎦， 上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有1231231231230490λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于系数行列式11112320,149=≠ 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵． （1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 若有E AB =则称B A ,互逆.分析：（1）由题设条件124A B B E -=-两边左乘A ，得 24B AB A =- 即 24AB B A -=(2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+ (2)(4)8A E B E E --=1(2)(4)8A EB E E --=得证2A E -可逆（且11(2)(4)8A EB E --=-）. (2) 方法1：由（1）结果知111(2)(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦18(4)2A B E E -=-+1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3201001200104120010320100002001002001B E E ⎡--⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦0101200101201308013001008800110011000022⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦11044100130100880011002⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故 11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10208(4)2110002A B E E -⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.方法2：由题设条件 124A B B E -=-等式两边左乘A ，得 2(4)B A B E =-则12(4)A B B E -=-（求1(4)B E --过程见方法1）11044120120220131212001201308840020020041002⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦08002014401104008002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解 【难易度】★★★★【详解】分析：方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r Ar ααααβααααβ====故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解,因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1TTk -+.（其中k 是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为[]112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++==已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）。
2002年全国硕士研究生入学统一数学考试
r (A) = 3,且 A中任两个平行向量都线性无关.
类似地,(D)中有两个平面平行,故 r (A) = 2 , r (A) = 3 ,且 A中有两个平行向量 共线.
1 n→ +∞
un
n
lim 1 u n→ +∞
n
= 0, 不妨认为 ∀n, un
> 0, 因而所考虑级数是交错级数,但不能保证 1 的单 un
调性. 按定义考察部分和
∑ ∑ ∑ Sn
=
n (−1)k+1 ( 1
k =1
uk
+ 1 )= u k +1
n k =1
(− 1)k+1 1 uk
+
n k =1
方程,并求极限 lim nf ( 2) .
n→∞
n
五、(本题满分 7 分)
∫∫ 计算二重积分 emax{x 2 ,y d 2} xdy ,其中 D = {( x, y) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1} . D
六、(本题满分 8 分) 设函数 f (x) 在 R 上具有一阶连续导数, L 是上半平面( y >0)内的有向分段光
(A)当 lim f (x) = 0 时,必有 lim f ′(x) = 0
x→ +∞
x→ +∞
有 lim f ′(x) = 0 x→ +∞
(C) 当 lim f ( x) = 0 时,必有 lim f ′( x) = 0
x →0+
2002考研数二真题及解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设函数tan 21,0arcsin()2,xx e x x f x ae x ⎧->⎪⎪=⎨⎪⎪≤⎩在0x =处连续，则a = .(2) 位于曲线(0)xy xe x -=≤<+∞下方，x 轴上方的无界图形的面积是_______. (3) 微分方程20yy y '''+=满足初始条件011,2x x y y =='==的特解是_________.(4) 1limn n →∞+=_____ . (5) 矩阵022222222--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的非零特征值是_________.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆ 的线性主部为0.1，则(1)f '=( )(A)－1 (B)0.1 (C)1 (D)0.5 (2) 设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )(A)20()xf t dt ⎰ (B)20()xf t dt ⎰(C)[()()]xt f t f t dt --⎰(D)0[()()]xt f t f t dt +-⎰(3) 设()y x =是二阶常系数微分方程3xy py qy e '''++= 满足初始条(0)(0)0y y '==的特解，则当0x →，函数2ln(1)()x y x +的极限( )(A)不存在 (B)等于1 (C)等于2 (D)等于3 (4) 设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导，则( )(A)当lim ()0x f x →+∞=时，必有lim ()0x f x →+∞'=.(B)当lim ()x f x →+∞'存在时，必有lim ()0x f x →+∞'=.(C)当0lim ()0x f x +→=时，必有0lim ()0x f x +→'=.(D)当0lim ()x f x +→'存在时，必有0lim ()0x f x +→'=. (5) 设向量组123,,ααα线性无关，向量1β 可由123,,ααα线性表示，而向量2β 不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有( )(A)123,,ααα , 12k ββ+线性无关； (B)123,,ααα , 12k ββ+线性相关； (C)123,,ααα,12k ββ+线性无关； (D)123,,ααα,12k ββ+线性相关 三、(本题满分6分)已知曲线的极坐标方程是1cos r θ=- ，求该曲线上对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程.四、(本题满分7分)设2232,102(),01(1)xx x x x f x xe x e ⎧+-≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪+⎩求函数1()()xF x f t dt -=⎰的表达式.五、(本题满分7分)已知函数()f x 在(0,)+∞内可导()0f x >，lim ()1x f x →+∞= , 且满足110()lim()()h x h f x hx e f x →+=,求()f x . 六、(本题满分8分)求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =,使得由曲线()y y x =， 与直线1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小.七、(本题满分7分)某闸门的性状与大小如图所示，其中直线l 为对 称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线 与线段AB 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使 闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之 比为5：4，闸门矩形部分的高h 应为多少m (米)？ 八、(本题满分8分)设1103,1,2,)n x x n +<<==，证明数列{x .九、(本题满分8分)设0a b <<，证明不等式222ln ln a b a a b b a -<<+- 十、(本题满分8分)设函数 ()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且(0)0,(0)0,f f '≠≠(0)0.f ''≠ 证明:存在惟一的一组实数123,,λλλ，使得当0h →时， 是比2h 高阶的无穷小.D1m十一、(本题满分6分)已知,A B 为3 阶矩阵，且满足124A B B E -=-,其中E 是3阶单位矩阵. (1) 证明：矩阵2A E -可逆；(2) 若120120002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求矩阵.A 十二、(本题满6分)已知4阶方阵1234(,,,),A αααα=1234,,,αααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-.如果1234βαααα=+++，求线性方程组Ax β=的通解.2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】 -2【详解】如果分段函数()f x 连续，则()f x 在0点处的左右极限相等，从而确定a 的值． 当0x →+时，tan 1tan xex x ---；arcsin22x x，所以有 如果()f x 在0x =处连续，必有(0)(0)(0),f f f +-== 即 2.a =- (2)【答案】 1 【详解】面积00x x x xS xe dx xde xe e dx +∞+∞----+∞⎡⎤==-=--⎣⎦⎰⎰⎰其中 1lim limlim 0bb bb b b b bee e -→+∞→+∞→+∞==洛．(3)【答案】y =【详解】方法1：这是属于缺x 的(,)y f y y '''=类型． 命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====． 原方程20yy y '''+=化为20dpypp dy+=，得 0p =或0dpyp dy+= 0p =，即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之；所以0p ≠ 所以，0dp yp dy +=，分离变量得dy dp y p =-，解之得1.C p y = 即1.C dy dx y=由初始条件11,'2yy x x ====，可将1C 先定出来：1111,212C C ==． 于是得解之得，22,y x C y =+=．以01x y ==代入，得1=“+”号且21C =．于是特解是y =方法2：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=． 以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=． 即21yy '=，改写为2()1y '=． 解得2,y x C =+y =再以初值代入，1=所以应取""+且21C =．于是特解y =(4)【详解】利用定积分的概念将被积函数化为定积分求极限． 因为1lim...n n →∞其中(),(1,2,,)i f x x i n nπ=∆==，所以根据定积分的定义，有(5)【答案】4【详解】记022222222A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，则02222222222222222E A λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭(对应元素相减)两边取行列式，(其中11(1)+-指数中的1和1分别是λ所在的行数和列数)令0E A λ-=，解得1230,4λλλ===，故4λ=是矩阵的非零特征值．(另一个特征值是0λ=(二重))二、选择题(1)【答案】(D)【详解】在可导条件下，0()x x dy y x o x dx=∆=∆+∆，当0x x dy dx=≠时x x dy x dx=⋅∆称为y ∆的线性主部．而2()2dy x f x x x dx '⋅∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'⋅∆=⨯，由题设它等于0．1，于是(1)0.5f '=，应选(D)．(2)【答案】(D)【详解】对与(D)，令0()[()()]xF x t f t f t dt =+-⎰，则0()[()()]xF x t f t f t d t --=+-⎰，令t u =-，则d t d u =-，所以所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如()1f t t =+．故应选(D)． (3)【答案】(C)【详解】由3xy py qy e '''++=，且(0)(0)0y y '==，可知(0)1y ''=方法1：因为当20x →时，22ln(1)x x +，所以20ln(1)lim ()x x y x →+=2000222lim lim lim 2()()()1x x x x x y x y x y x →→→==='''=， 故选(C)．方法2：由于(0)(0)0,(0)1y y y '''===． 将函数()y x 按麦克劳林公式展开22()00()2x y x o x =+++，代入2ln(1)()x y x +，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=． (4) 【详解】方法1：排斥法．令21()sin f x x x =，则()f x 在(0,)+∞有界，2221()sin 2cos f x x x x'=-+， lim ()0x f x →+∞=，但lim ()x f x →+∞'不存在，故(A)不成立；0lim ()0x f x +→=，但 0lim ()10x f x +→'=≠，(C)和(D)不成立，故选(B)． 方法2：证明(B)正确． 设lim ()x f x →+∞'存在，记lim ()x f x A →+∞'=，证明0A =．用反证法，若0A >，则对于02A ε=>，存在0X >，使当x X >时，()2Af x A ε'-<=，即3()2222A A A AA f x A '=-<<+= 由此可知，()f x '有界且大于2A．在区间[,]x X 上应用拉格朗日中值定理，有从而lim ()x f x →+∞=+∞，与题设()f x 有界矛盾．类似可证当0A <时亦有矛盾． 故0A =．(5)【答案】A【详解】方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关． 用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出． 即存在常数123,,λλλ，使得12112233k ββλαλαλα+=++又已知1β可由123,,ααα线性表出，即存在常数123,,l l l ，使得1112233l l l βααα=++代入上式，得 与2β不能由123,,ααα线性表出矛盾．故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关，选(A) 方法2：用排除法B 选项：取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，否则因为123,,ααα，2β线性相关，又123,,ααα线性无关，故2β可由123,,ααα线性表出．即存在常数123,,λλλ，使得2112233βλαλαλα=++与已知矛盾，排除(B)．C 选项：取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，因为1β可由123,,ααα线性表出，123,,ααα，1β线性相关，排除(C)．D 选项：0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立．若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出．即存在常数123,,λλλ，使得 12112233k ββλαλαλα+=++. 又已知1β可由123,,ααα线性表出，即存在常数123,,l l l ，使得1112233l l l βααα=++代入上式，得因为0k ≠，故 3311222123l l l kkkλλλβααα---=++与2β不能由123,,ααα线性表出矛盾．故123,,ααα,12k ββ+线性相关不成立，排除(D)． 故选(A)．三【详解】由极坐标到直角坐标的变换公式cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，化极坐标曲线1cos r θ=-为直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩， 即 2c o s c o ss i nc o s s i n x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为31,42 于是得切线的直角坐标方程为13(()2424y x --=--，即504x y -=．(这是由直线的点斜式得到的，直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，由导数的几何意义知在6πθ=时斜率为1，且该点的直角坐标为31,)2424--)， 法线方程为113(()),24124y x --=---即1044x y +-+=．(这是由直线的点斜式方程及在同一点切线斜率与法线斜率为负倒数的关系而得)四【详解】当10x -≤<时当01x ≤<时， 所以五【详解】因为11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又 001()1limln lim (ln ()ln ())()h h f x hx f x hx f x h f x h →→⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭， 0x ≠ 从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1(ln ())()xf x f x x f x x ''==，即21(ln ())f x x'= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+，改写成 1()x f x Ce -=再由条件lim ()1x f x C →+∞==，于是得1().xf x e -=六【详解】这是一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式(如果一个一阶线性方程为()()y p x y q x '+=那么通解为()()[()]p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰)有 由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积为(旋转体的体积公式：设有连续曲线:()()y f x a x b Γ=≤≤，()0f x ≥与直线,x a x b ==及x 轴围成平面图形．该图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积为2()baV f x dx π=⎰)取C 使V 最小，由求最值的方法知先求函数的驻点，即0dVdC=的点， 解得75.124C =-又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为 275.124y x x =-七【详解】方法1：建立坐标系如下图，由于底部是二次抛物线我们设此抛物线为D2y px q =+，由坐标轴的建立知此抛物线过(0,0),(1,1)点，把这两点代入抛物线的方程，得220011p q p q⎧=⨯+⎨=⨯+⎩，所以0,1q p ==． 即底部的二次抛物线是2y x =，11x -≤≤．细横条为面积微元，按所建立的坐标系及抛物线的方程，得到面积微元2dA xdy =，因此压力微元2(1)dp gx h y dy ρ=+- (这是由压力的公式得到的：压力=压强⨯面积)平板ABCD 上所受的总压力为其中以1x =代入，计算得21P gh ρ=．抛物板AOB 上所受的总压力为其中由抛物线方程知x =2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即251244()315h h =+ 解之得2h =(米)(13h =-舍去)，即闸门矩形部分的高应为2m ．八【详解】由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故211130(3).22x x x <≤+-= (2()2a b ab +≤,a b 为正数)假设302k x <≤，则再一次用不等式2()2a b ab +≤，得由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤．另一方面，1n n n x x x +-20.≤=≥所以{}n x 单调增加．单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a由1n x +=两边取极限，于是由极限的运算性质得a =即2230,a a -=解得32a =或0a =，但因10x >且单调增，故0a ≠，所以 3lim 2n n x →∞=．九【详解】左、右两个不等式分别考虑. 先证左边不等式， 方法1：由所证的形式想到用拉格朗日中值定理．而22112a b a bξ>>+中第二个不等式来自不等式222a b ab +>(当0a b <<时)，这样就证明了要证明的左边．方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a xϕ-=--+，有()0a ϕ=． 22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++(当0a x <<)， 所以，当0x a >>时()x ϕ单调递增. 所以()()0x a ϕϕ>=，故()0b ϕ>，即 222()()ln ln 0a b a b b a a b ϕ-=-->+⇒22ln ln 2b a ab a a b->-+ 再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命有()0a ψ=，及21()0,x x ψ'==<所以当0x a >>时，()0x ψ<，再以x b =代入，得ln ln ),b a b a-<-即ln ln b a b a -<-右边证毕．十【详解】从题目结论出发，要证存在唯一的一组123,,λλλ，使得 由极限的四则运算法则知，分子极限应为0，即由于()f x 在0x =连续，于是上式变形为123(0)()(0).f f λλλ++= 由(0)0,f ≠知123 1.λλλ++= (1)由洛必达法则，1230()2(2)3(3)lim2h f h f h f h hλλλ→'''++= (2)由极限的四则运算法则知分子的极限应是0，即由于()f x '在0x =连续，于是上式变形为123(23)(0)0f λλλ'++=，由(0)0,f '≠知123230λλλ++= (3)对(2)再用洛必达法则，和()f x ''在0x =连续 由(0)0f ''≠，故应有123490λλλ++= (4)将(1)、(3)、(4)联立解之，由于系数行列式由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕．十一【详解】(1) 由题设条件124A B B E -=-，两边左乘A ，得124AA B AB A -=-，即24B AB A =-24AB B A ⇒-=所以 (2)A E B -2AB B =-4488A A E E ==-+4(2)8A E E =-+，根据可逆矩阵的定义知2A E -可逆，且11(2)(4)8A EB E --=-． (2) 由(1)结果知11(2)(4)8A EB E --=-，根据逆矩阵的性质111()kA k A ---=，其中k 为不等于零的常数，有故 18(4)2A B E E -=-+又 1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦(对应元素相减) 因为若()()1A E E A - →初等行变换，对[]4B E E -进行初等行变换，故11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，代入18(4)2A B E E -=-+中，则 (常数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都需要乘以该常数)220213020042-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦020110002⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(对应元素相加)十二【详解】方法1：记[]1234,,,A αααα=，由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1α可以由234,,ααα线性表出，故1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++即β可由1234,,,αααα线性表出，知系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，故Ax β=有解．对应齐次方程组0Ax =，其系数矩阵的秩为3，故其基础解系中含有4-3(未知量的个数-系数矩阵的秩)个线性无关的解向量，故其通解可以写成k ξ，η*是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，知Ax β=的通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程组0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特Born to win解，因123420,αααα=-+故[]123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的一个非零解向量，因为0Ax =的基础解系中只含有一个解向量，故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系．又 []1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即1111A β⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1T Tk -+．(其中k 是任意常数)方法2：令[]1234,,,T x x x x x =，则线性非齐次方程为已知1234βαααα=+++，故将1232ααα=-代入上式，得由已知234,,ααα线性无关，根据线性无关的定义，不存在不全为零的常数使得2233440k k k ααα++=，上式成立当且仅当 其系数矩阵为210010100001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，因为3阶子式10001010001=≠，其秩为3，故其齐次线性方程组的基础解系中存在1个(4-3)线性无关的解向量，取自由未知量3x k =，则方程组有解故方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．(其中k 是任意常数)。
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2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二）试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分）1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续,则=a ( ）． 2．位于曲线x xe y -=（+∞<≤x 0)下方，x 轴上方的无界图形的面积为（ )． 3．2='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（ ）．4．1lim 1cosn n →∞++=（ ）． 5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----222222220的非零特征值是（ ）．二、单项选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时,相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝ （Ａ）－１; (Ｂ）０．１; （Ｃ）１； (Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中,必为偶函数的是 (A)⎰xdt t f 02)(; (B) ⎰xdt t f 02)(；（C ） ⎰--x dt t f t f t 0)]()([; （D ） ⎰-+xdt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程x e qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解,则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在； （Ｂ）等于１； （C)等于２； (D) 等于３．４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(Ｂ)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x ；（C ） 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ;(D ） 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关;(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、(本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ,求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x x e xe ，求函数⎰-=xdt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导,0)(>x f ,1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴,闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时,欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５:４，闸门矩形部分的高h 应为多少? 八、（本题满分８分)设30<<n x ,)3(1n n n x x x -=+（n ＝１,２，３，…）． 证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限． 九、（本题满分８分)设0>>a b ,证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+．十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时, )()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、(本题满分６分）已知Ａ,Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ．十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A , 4321,,,αααα均为四维列向量,其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学（二)试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy e y x 在点（0,1）处 的切线方程为 ：（ ）．3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（ ）．4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（ )． 5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．二、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．) 1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；(B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）111>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n x x sin 是比12-x e高阶的无穷小，则正整数n 等于( A ）1;（B ）2；(C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 ( A ）０；（B)１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1—δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小,且 )1(f =)1(f '=1，则(A ）在(1—δ，1)和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ,1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <,在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在(1-δ，1）内有)(x f x >,在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、（同数学一的二1) 三、(本题满分6分）求⎰++221)12(xx dx ．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式,并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x )处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d dsd ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在［0，+∞）可导,)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰,求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2x e －)(x f且)0(f =0,(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分)设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0。
2002年全国硕士研究生考试英语真题及答案2
B] Use the discount tickets.[C] Quit his eating-out habit.[D] Use only paper bills and save coins.Questions 17-20 are based on an interview with Herbert A. Glieberman, a domestic-relations lawyer. You now have 20 seconds to read Questions 17-20.17. Which word best describes the lawyer’s prediction of the change in divorce rate?[A] Fall[B] Rise[C] V-shape[D] Zigzag18. What do people nowadays desire to do concerning their marriage?[A] To embrace changes of thought.[B] To adapt to the disintegrated family life.[C] To return to the practice in the ‘60s and ‘70s.[D] To create stability in their lives.19. Why did some people choose not to divorce 20 years ago?[A] They feared the complicated procedures.[B] They wanted to go against the trend.[C] They were afraid of losing face.[D] they were willing to stay together.20. Years ago a divorced man in a company would have.[A] been shifted around the country.[B] had difficulty being promoted.[C] enjoyed a happier life.[D] tasted little bitterness of disgrace.You now have 5 minutes to transfer all your answers from your test booklet to ANSWER SHEET 1.THIS IS THE END OF SECTION IDO NOT READ OR WORK ON THE NEXT SECTIONUNTIL YOU ARE TOLD TO CONTINUE全国硕⼠研究⽣⼊学考试英语试题 (⼆)National Entrance Test of English for MA/MS Candidates (2002)考⽣注意事项1. 考⽣必须严格遵守各项考场规则，得到监考⼈员指令后⽅可开始答题。
2002考研数学真题+答案
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c a c a f (t )dt f (t )dt f (t )dt ， d b ab d b ab bc
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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2002 年数学试题参考解答及评分标准
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当 ab cd 时，
ab
f (t )dt 0 ，由此得 I d b .
(1) 证明曲线积分 I 与路径 L 无关； (2) 当 ab cd 时，求 I 的值.
1 1 x 2 2 [1 y f ( xy)] f ( xy) 2 xyf ( xy) 2 [ y f ( xy) 1] 在 y y y x y 上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分 I 与路径无关.
D ( x, y) x 2 y 2 xy 75 ，小山的高度函数为 h( x, y) 75 x2 y2 xy ，
(1) 设 M ( x0 , y0 ) 为区域 D 上一点，问 h( x, y ) 在该点沿平面上什么方向导数最大？若 记此方向导数的最大值为 g ( x0 , y0 ) ，试写出 g ( x0 , y0 ) 的表达式. (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登 的起点，也就是说，要在 D 的边界线 x2 y2 xy 75 上找出使（1）中的 g ( x, y ) 达到最 大值的点.试确定攀登起点的位置. 解：(1) 由梯度的几何意义知， h( x, y ) 在点 M ( x0 , y0 ) 处沿梯度
x 0
1 ，故所求切线方程为 y x .
e
D
max{ x 2 , y 2 }