点直线的对称问题
点 ,线关于直线对称问题
13 13
13
A(33 , 9 ) ； 13 13
例 2 已知点 A(x0 , y0 ) ，（1）求 A 关于直线 x y c 0 的对称点坐标；（2）求 A 关
于直线 x y c 0 的对称点坐标；
解（1）设对称点 B(x1, y1) ，则由求对称点公式得：
x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c ，
2
2
2
2
所以对称点是 ( y0 c,x0 c) ；
（2） x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c
2
2
2
2
即对称点是： ( y0 c, x0 c) ；
二 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1） 和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生，下面举例说明：
产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.
上有不同两点关于这条直线对称.
解：设存在两点 A（x1,y1）、B(x2,y2)关于 l 对称，中点为 C（x,y），则
3x12＋4y12=12,
3x22＋4y22=12,
得
y1－y2 x1－x2
=－
3(x1＋x2) 4(y1＋y2)
=－
3x 4y
=－
1 4
,
∴ y=3x.
联立 y=4x＋m,解的 x=－m,y=－3m,
一 点关于直线的对称点的一种公式求法
结论：设直线 l : ax by c 0 ，（ a 、 b 至少有一个不为 0），点 A(x0 , y0 ) 关于直线 l 的
点和直线对称问题
·P
x
法一： l2上的任意一点的对称点在l 1上; 法二： l1∥l2 ,点斜式；
法三： l1∥l2点P到两直线等距。
练习:直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)的对 称直线方程
.
四、直线关于直线对称
例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线l2:3x-y-1=0
对称的直线l 的方程。
解： 7x+y+6=0
C、3x-4y+5=0
D、-3y+4x-5=0
五、反射问题
例5.光 线 通A（ 过2， 4） ， 经 过l直 ：2x线 y70 反 射 ， 若 反 射 线B（ 通 5， 8） 过， 点求 入 射 线 和 反 所在的直线. 方程
y-4 2 ·2=-1
A′ (10，-2) y
x-2 y+4 2·2 - 2 -7=0
.
二、点关于直线对称
例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方
程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的
对称点A’的坐标。
y-4
-3· x-(-4) =-1
解： 3·-42+x +
4+y
A·
2 -2=0
解题要点： k • kAA’ = -1 O
AA’中点在l 上
y
·A′ (x，y)
(2，6)
点P（x,y）关于a,点 b）（ 对称的点_(的 2_a _坐 x_,2b _标 _y_)
点 P（ x,y）关于 yx直 对线 称的点_(的 _ y, _ x)坐 __ 点 P（ x,y）关于 y直 x对线 称的点 (__ y的 ,_x_ )坐 _
点 P（ x,y）关于 yx直 m 对 线称的点 (y_m _的 ,x __ m 坐 )_ 点 P（ x,y）关于 y直 xm 对 线称的( 点 y_m _的 , _x _m 坐
高考高频考点(圆锥曲线)1、点关于直线的对称问题
第1讲 点关于直线的对称问题知识与方法1.如右图所示，已知点()00,P x y 和直线:0l Ax By C ++=，求P 关于直线l 的对称点P '这类问题，通常可以设P '的坐标为(),a b ，利用PP '的中点在对称轴l 上，以及PP l '⊥来建立方程组，求解a 和b .2.技巧：当对称轴直线的斜率是1±时，可直接由对称轴方程将x 、y 反解出来，再将点P 的坐标分别代入即可得出所求对称点的坐标.典型例题【例题】已知点()1,2A ，则A 关于直线:220l x y −−=的对称的点A '的坐标为_______.【解析】如图，设(),A a b '，则AA '的中点为12,22a b G ++⎛⎫⎪⎝⎭， 点G 在直线l 上，所以1222022a b ++−⋅−=①， 又AA l '⊥，所以221211212b a +−⋅=−+−②， 联立①②可解得：3a =，2b =−，所以点A '的坐标为()3,2−.【答案】()3,2−变式1 已知点()1,2A ，则：（1）点A 关于直线1:10l x y −−=对称的点A '的坐标为_______；（2）点A 关于直线2:10l x y +−=对称的点A ''的坐标为_______；【解析】（1）1101x y x y y x =+⎧−−=⇒⎨=−⎩，将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得30x y =⎧⎨=⎩，所以()3,0A '；（2）1101x y x y y x =−⎧+−=⇒⎨=−⎩，点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得10x y =−⎧⎨=⎩，所以()1,0A ''−.【答案】（1）()3,0；（2）()1,0−【反思】当对称轴的斜率为1±时，可以使用小技巧来求对称点的坐标，若斜率不是1±，则不能这样做.变式2 已知直线:10l x y −+=和点()2,0A ，()3,3B −−，点P 在直线l 上，则PA PB +的最小值为_______.【解析】如图，1101x y x y y x =−⎧−+=⇒⎨=+⎩将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得13x y =−⎧⎨=⎩， 所以A 关于直线l 的对称点为()1,3A '−， 由图可知PA PA '=，从而PA PB PA PB '+=+，故当P 为线段A B '与直线l 交点时，PA PB +最小，且最小值为A B '=.【答案】变式3 一只虫子从原点出发，先爬到直线:10l x y −+=上的点P ，再爬到点()1,1A ，则虫子爬行的最短路程为_______.【解析】问题等价于求直线l 上的动点P 到原点O 和点A 的距离之和的最小值，如图，1101x y x y y x =−⎧−+=⇒⎨=+⎩，将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得02x y =⎧⎨=⎩， 所以点A 关于直线l 的对称点为()0,2A '，从而PA PA '=，故PO PA PO PA '+=+， 由图可知当P 为线段A O '与l 交点时，PO PA '+取得最小值，此时PO PA +也最小，且最小值为2.【答案】2【反思】求直线l 上的动点P 到直线l 同侧两定点A 、B 距离之和的最小值问题的解题步骤是：（1）求点A 关于直线l 的对称点A '；（2）求A B '的长，即为所求最小值.强化训练1.（★★）点()2,4A 关于直线:2330l x y +−=的对称点A '的坐标为_______.【解析】设(),A a b '，如图，一方面，AA '的中点24,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，所以24233022a b ++⋅+⋅−=①， 另一方面，AA l '⊥，所以42123b a −⎛⎫⋅−=− ⎪−⎝⎭②， 联立①②解得：2a b ==−，所以A '的坐标为()2,2−−.【答案】()2,2−−2.（★★）点()3,2A −关于直线:10l x y −−=的对称点A '的坐标为_______.【解析】1101x y x y y x =+⎧−−=⇒⎨=−⎩将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得12x y =−⎧⇒⎨=⎩点A '的坐标为()1,2−.【答案】()1,2−3.（★★★）已知P 是直线:20l x y +−=上的动点，点()3,0A −，()0,1B −，则PA PB +的最小值为_______.【解析】2202x y x y y x =−⎧+−=⇒⎨=−⎩， 将点B 的坐标代入这两个式子的右侧可得32x y =⎧⎨=⎩， 所以点B 关于直线l 的对称点为()3,2B '，从而PB PB '=，所以PA PB PA PB '+=+，由图可知当A 、P 、B '三点共线时，PA PB '+取得最小值AB '=，所以()min PA PB +=.【答案】。
函数的点对称和线对称问题
函数的点对称和线对称问题对称问题是中学数学中常见的一类问题，抽象函数的对称问题是其中的重要组成部分。
函数的对称问题又分为点对称问题和直线对称问题，下面，谈谈这两种对称问题。
一、点对称问题所谓点对称问题，即：中心对称问题，其具体表现形式为：1、若函数恒满足，则函数的图象关于点对称。
2、若函数的定义域为R，且是奇函数，则函数的图象关于点对称。
3、函数与函数的图象关于点对称。
例1、与直线关于点对称的直线的方程是（）解析：对于直线，可以看作是函数，则其关于点对称的函数为，即：，故应选（A）。
例2、定义域为R的函数恒满足，当>2时，单调递增，如果，则有，那么的值为（）解析：由，得即：函数的图象关于点（2，0）对称。
又当>2时，单调递增,所以函数的图象在定义域为R也单调递增，且又因，有则、中必有一个大于2，一个小于2，设小于2，则大于2，,由单调性得所以，应选（C）。
二、直线对称问题所谓直线对称问题，即：轴对称问题，其具体表现形式为：以下函数的定义域都为R1、函数与函数的图象关于轴对称。
2、函数与函数的图象关于轴对称。
3、函数与函数的图象关于直线对称。
4、函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称。
5、若函数对于任意的实数恒有，则函数的图象关于直线对称。
例3、若函数=任意的实数恒有，则（）解析：由对于任意的实数恒有，知二次函数的对称轴为，所以∵抛物线开口向上，在时，单调递增例4、函数=，若是偶函数，则的一个可能值是（）解析：由是偶函数，知函数的一条对称轴为轴。
⑵、定义域为R的函数满足下列三个条件：①,②对于任意的都有，③的图象关于轴对称，则下列结论中，正确的是（）⑶、定义域为R的函数满足为奇函数，当时，；那么，当时，的减区间是（）⑷、设定义域为R的奇函数，且的图象关于直线对称，则（）。
⑸、若为奇函数，为偶函数，且，则（）。
答案：⑴、（C），⑵、（B），⑶、（C），⑷、0，⑸、。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
点与线的四种对称关系
点与线的四种对称关系直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。
1、点关于点的对称 例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （00y ,x ），则由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-,12y 3,12x 200解得⎩⎨⎧-==1y ,4x 00所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。
评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。
2、直线关于点的对称例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为0b y x 3=+-。
解：由直线l 与04y x 3=--平行，故设直线l 方程为0b y x 3=+-。
由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得.13|b 16|13|416|22+++=+-+解得10b -=，或4b -=（舍）。
则直线l 的方程为.010y x 3=--评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
此题还可在直线04y x 3=--上取两个特殊点，并分别求其关于点P （2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。
3、点关于直线的对称例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
利用点关于直线对称的性质求解。
解法1（利用中点转移法）：设点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点为A ′（00y ,x ），则直线AA ′与已知直线垂直，故可设直线AA ′方程为0c y 2x 4=++，把A （2，2）坐标代入，可求得12c -=。
高中数学点线对称问题(精选.)
对称问题专题【知识要点】1•点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点 坐标公式的应用问题.设尸（xo, yo ）,对称中心为A （a, b ）,则尸关于A 的对称点为P' （2”一沏，2〃一四）. 2•点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” .利用“垂直”“平分”这两个条件建立 方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P （xo,州）关于直线产入+〃的对称点为P'（『，>，'）,则有可求出丁、y特殊地，点尸（Xo, yo ）关于直线4〃的对称点为P' （2（1—Xo,并）；点尸（物 和）关于直线冲。
的 对称点为P' （AO ,劝一和）.3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可 选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（1）曲线/ （x, y ） =0关于已知点A （a, b ）的对称曲线的方程是/ （2a 一大2b —y ） =0.（2）曲线/（x, >1） =0关于直线户丘+b 的对称曲线的求法：设曲线/（x, y ） =0上任意一点为尸（xo, yo ）, P 点关于直线尸H+A 的对称点为P' （x, >,）,则由（2） 知，P 与尸’的坐标满足从中解出出、yo,代入已知曲线/（x, y ） =0,应有/（加 第）=0.利用坐标代换法就可求出曲线/G, y ） =0关于直线."云+〃 的对称曲线方程.4•两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： 【典型例题】【例11求直线az 2x+y-4=0关于直线/： 3.v+4y —1=0对称的直线b 的方程.剖析：由平面几何知识可知若直线〃、％关于直线/对称，它们具有下列几何性质：（1）若“、〃相交, 则/是〃、〃交角的平分线；（2）若点A 在直线”上，那么A 关于直线/的对称点8一定在直线〃上，这时 AB_L/,并且A3的中点。
高中数学点线对称问题(精选.)
答案：B
2.曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是
A.y2=8－4x
B.y2=4x－8
C.y2=16－4x
D.y2=4x－16
解析：设曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线为 C，在曲线 C 上任取一点 P（x，y），则 P（x，y）关
于直线 x=2 的对称点为 Q（4－x，y）.因为 Q（4－x，y）在曲线 y2=4x 上，
答案：（5，6） 10.已知△ABC 的一个顶点 A（－1，－4），∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别为 l1：y+1=0，l2： x+y+1=0，求边 BC 所在直线的方程. 解：设点 A（－1，－4）关于直线 y+1=0 的对称点为 A′（x1，y1），则 x1=－1，y1=2×（－1）－（－ 4）=2，即 A′（－1，2）. 在直线 BC 上，再设点 A（－1，－4）关于 l2：x+y+1=0 的对称点为 A″（x2，y2），则有
即 (4 0)2 (5 3)2 =4 5 .
所以 ymin=4 5 .
12.直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若 A、B 坐标分别为 A（－4，2）、B（3，1），求点 C 的坐标，并判断△ABC 的形状.
解：由题意，点 A 关于直线 y=2x 的对称点 A′在 BC 所在直线上，设 A′点坐标为（x1，y1），则 x1、y1 满足
y y0 ·k=－1， x x0
可求出 x′、y′.
y y0 =k· x x0 +b，
2
2
特殊地，点 P（x0，y0）关于直线 x=a 的对称点为 P′（2a－x0，y0）；点 P（x0，y0）关于直线 y=关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可
直线中的四类对称问题及讲解
直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21•x y •k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••⎪⎭⎫ ⎝⎛--三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决；解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.直线l 的方程为7x+y+22=0.方法提示：本题可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.。
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x
知识探究
(二)线关于点对称
例2.求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线
l 2的方程.
y
l1 l2
解 ：设A(x，y)为l2上任意一点
则A关于P的对称点A′在l1上
∴3(4-x)-(-2-y)-4=0 即直线l 2的方程为3x-y-10=0.
解题要点：
备用练习
4.已知直线l : 3x y 3 0, 求P(4,5)关于l的对称点。
5.求直线L1 :y=2x+3关于直线l:y=x+1对称 的直线的L2方程.
6. △ABC的顶点A的坐标为（1，4），∠B，∠C平分 线的方程分别为x-2y=0和x+y-1=0，求BC所在直线的 方程。
2.直线关于x轴的对称直线的方程为: Ax B( y) C 0
3.直线关于y轴的对称直线的方程为: A(x) By C 0
4.直线关于直线y=x的对称直线的方程为: Bx Ay C 0
5.直线关于直线y= -x的对称直线的 方程为 A(y) B(x) C 0
巩固练习
1.平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线 方程是( ) (A)y=2x-1 (B)y=-2x+1 (C)y=-2x+3 (D)y=2x-32 2.直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为( ) (A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0 (C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0
· · 求其关于y-L02的对称点Q’(x,y)
O
Q(2,0),
· 则 3· x-2 =-1
X
求出Q3·’点X2坐+2标后，y2+两0+点3式=0求L方程.∴PL:7x+y+17=0.
知识探究
求L1关于L2的对称直线L的方程的方法
解题要点：(先判断两直线位置关系)
（1）若两直线相交，先求交点P, 再在 L1上取一点Q求其对称点得另一点Q’ 两点式求L方程
复习回顾
（二）回顾：
（1）点到直线距离公式：d Ax0 By0 C
，
A2 B2
注意：用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离：d C2 C1
，
A2 B2
注意: 运用此公式时直线方程要化成一般式,
并且x、y项的系数要对应相等.
课题引入 (三)四类对称
1、点关于点对称 2、直线关于点对称 3、点关于直线对称 4、直线关于直线对称
y
L1 L2
则 L1与 L2距离等于L2与 L 距离
L
建立等量关系，解方程求m
o
x
知识探究
例5. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线
l2:3x-y+3=0对称的直线l 的方程.
解：x-y-2=0 得 P(- 5 ，- 9 ) L y L2
3x-y+3=0
22
L1
在 L1上任取一点Q(2,0),
Q’(x,y)
Y
y-4 -3· x-(-4)
3·-4+x 2
+
=-1
4+y 2
-2=0
··A′ (x，y)
A·
(2，6)
解题要点： kl • kAA’ = -1
O
X
AA’中点在l 上（l为对称轴）
知识探究
（四）线关于线对称
例4. 试求直线l1:x-y+2=0关于直线 l2:x-y+1=0
对称的直线l 的方程。 解：设l方程为x-y+m=0
巩固练习
3.填空:写出直线2x-3y+6=0 (1)关于x轴对称的直线方程为_2_x_+_3_y_+_6_=_0; (2)关于y轴对称的直线方程为_2_x_+_3_y_-_6_=_0; (3)关于原点对称的直线方程为_2_x_-_3_y_-6_=_0; (4)关于直线y=x对称的直线方程为 __2_y_-_3_x_+_6_=_0_; (5)关于直线y=-x对称的直线方程为 __2_y_-_3_x_-6_=__0_.
知识探究
中心对称问题
对 称 问 题
轴对称问题
点关于点的对称 线关于点的对称
点关于线的对称 线关于线的对称
知识探究
中心对称
轴对称
有一个对称中心:点
定 义 绕中心旋转180°
有一条对称轴 :直线 沿轴翻转180°
旋转后重合
翻转后重合
1、两个图形是全等形 1、两个图形是全等形
性
2、对称点连线都经过
2、对称轴是对应点连 线的垂直平分线
求知索源 正心致远
高一年级 数学 第三章 直线与方程 课题:点、直线的对称问题
复习回顾
一、有关知识： （一）基础知识 1、直线互相垂直的条件：_斜__率__存__在__，__k_1_k_2_=_－__1 2、P1( x1，y__x_1 _2_x_2_, _y1_2__y2__ 3、点 ( x o，yo ) 在直线 Ax + By + C = 0 上的 条件是 __A_x_o_+__B_y_o_+__C__=__0__
(a,-b) (a,b)
;
4. 点 (a, b)关于y轴的对称点为 (-a,b)
;
5. 点 (a, b)关于y=x的对称点为 (b,a)
;
6. 点 (a, b关) 于y= -x的对称点为 (-b,-a)
;
规律方法
（二）常用的对称直线结论:
设直线l的方程为Ax By C 0
1. 直线关于原点的对称直线的方程为: A(x) b(y) C 0
··· O
Ax
A′ P
法一： l 2上的任意一点的对称点在l 1上; 法二： l1∥l2 点斜式或对称两点式; 法三： l 1 // l 2且P到两直线等距.
知识探究
（三）点关于直线对称 例3.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方程为
3x+y-2=0,求点A关于直线l 的对称点A’的坐标.
解：设 A′（x,y)
(2)若 L1‖L2，设L方程为x-y+m=0
则 L1与 L2距离等于L2与 L 距离 建立等量关系，解方程求m
规律方法
三、规律方法：
（一）常见的对称点结论
1. 点(a, b) 关于原点的对称点为 (-a,-b) ;
2. 点 (a,b)关于点 (m, n的) 对称点为 (2m-a,2n-b);
3. 点 (a, b)关于x轴的对称点为
质
对称中心，并且被对称 中心平分。
3、对称线段或延长线相 交，交点在对称轴上
知识探究
(一)点关于点对称 例1. 已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求A点关于B点
的对称点C的坐标.
解:设C(x,y)
则
-4=
5+x 2
∴
1=
8+y 2
C(-13，-6)
得
x=-13 y=-6
y
·A B·
·C O