神秘的本福特定律范文
神秘的本福特定律physixfan 2010-10-31 21:25统计一下世界上237个国家的人口数量，你觉得其中以1开头的数会占多大比例，而以9开头的数又占多大比例呢？如果你的回答是都为1/9，恭喜你你是正常人，但是事实却不是如此：以1开头的数惊人的占到了27%，而以9开头的数却只占5%。
下图可以很形象的展示出在各国人口数量问题上，以各个数字开头的数占了多大的比例（图片来自维基百科）。
为什么会相差这么大呢？这正是神秘的本福特定律在起作用。
本福特定律，也称为本福德法则，说明一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现机率约为总数的三成，接近期望值1/9的3倍，推广来说，越大的数字，以它为首几位的数出现的机率就越低；精确地数学表述为：在b进位制中，以数n起头的数出现的机率为logb(n + 1) − logb(n)。
在十进制中，首位数字出现的概率为：这个定律的发现，据说是因为本福特在翻对数表的时候发现前面几页被翻得很黑很破烂，越往后越颜色越浅。
由此他想到会不会是1开头的数字就是比其他数多，他统计了一下发现果然如此。
其实这个对数表的事情真假难辨了，就像是牛顿说自己是被苹果砸到了头才发现的万有引力定律一样，只要最后的定律有用就可以了。
首先说明一下本福特定律的适用范围这个定律是一个非常神奇的定律，它的适用范围异常的广泛，几乎所有日常生活中没有人为规则的统计数据都满足这个定律。
比如说世界各国人口数量、各国国土面积、账本、物理化学常数、数学物理课本后面的答案、放射性半衰期等等数据居然都符合本福特定律。
值得一提的是，科学家还发现，统计物理的三个重要分布，Boltzmann-Gibbs分布，Bose-Einstein分布，Fermi-Dirac分布，也基本上满足Benford定律！（来源：李淼的博客）其次这个定律毕竟还是有适用范围的第一，这些数据必须跨度足够大，必须横跨好几个数量级才能产生这个结果。
第二，有人为规则的数据就不满足次定律，比如说手机号码、身份证号、发票编号等数据，明显不满足这种对数分布律。
也就是说，本福特定律正是没有任何限制才显露出来的定律，越是对数据的产生有人为限制，越是不满足该定律。
第三，数据不能经过人为修饰，随便人为修改的数据一般就不满足本福特定律了，比如当年著名的安然公司造假案，他们的账本就没有满足本福特定律，因此这个神秘的定律甚至可以用来判别是否财务造假。
那么到底该如何理解这个神秘的定律呢？为何自然产生的数据会满足这么奇特的一个定律，而不是均匀分布呢？本福特定律产生的根源，就在于指数增长。
这幅图可以直观的显示，如果一个变量随时间成指数增长的话，那么这个变量开头的数字随着时间的变化就应该是如下图：（横轴代表时间，纵轴代表那个变量）显然，在某时刻你得到它以1开头的概率要大于9开头。
而这是只取一个值的情况，如果是取大量的数据的话，在某时刻你观察到他以1开头的数据数量就大于以9开头的数量了。
而指数增长的形式在自然界是十分普遍的，只要一个变量的增长率和他的大小成正比，结果就会是指数增长。
比如说人类科技发展的速度大致和已有的科技成果成正比，所以人类的科技发展就是个指数增长；人口增长率会和已存在人口数成正比，因此没有资源限制的人口增长也是指数增长。
指数增长是自然中极为普遍的一种变化规律，而这种变化规律可以直接导致本福特定律。
另外一种直观的解释（来自维基百科）是这样的从数数目来说，顺序从1开始数，1,2,3,…,9，从这点终结的话，所有数起首的机会似乎相同，但9之后的两位数10至19，以1起首的数又大大抛离了其他数了。
而下一堆9起首的数出现之前，必然会经过一堆以2,3,4,…,8起首的数。
若果这样数法有个终结点，以1起首的数的出现率一般都比9大。
就以一个城市的所有门牌号为例，有的街道门牌号可能在100多就结束了，有的在500多结束，有的在900多结束。
注意到500多结束那条街一定包含了1、10+和100~199这些1开头的门牌号，而不包含9开头的百位数，只包含9及90+的以9开头的数，这样一来明显以1打头的就多于9打头的了。
然后对整个城市的所有街道做一个综合，最终就满足本福特定律了。
以上只是直观的理解，如果想深究它的根本原理，可以参见它的证明Hill, T. P. “A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law.” Stat. Sci. 10, 354-363, 1996.。
另外，值得一提的是，本福特定律满足尺度不不变性，即如果我们换一套单位制，本福特定律仍然成立。
其实，这也可以作为大自然产生的统计数据满足该定律的一个解释：如果我们把原来的单位是米的统计数据换一个单位，例如换成英尺或者公尺，那么统计数据的分布应当不变。
而唯一满足这种尺度不变性的分布，应当是某种对数分布，也就是本文的主角本福特定律。
Benford's LawBenford's Law (which was first mentioned in 1881 by the astronomer Simon Newcomb) states that if we randomly select a number from a table of physical constants or statistical data, the probability that the first digit will be a "1" is about 0.301, rather than 0.1 as we might expect if all digits were equally likely. In general, the "law" says that the probability of the first digit being a "d" isThis implies that a number in a table of physical constants is more likely to begin with a smaller digit than a larger digit. It was published by Newcomb in a paper entitled "Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers", which appeared in The American Journal of Mathematics (1881) 4, 39-40. It was re-discovered by Benford in 1938, and he published an article called "The Law of Anomalous Numbers" in Proc. Amer. Phil. Soc 78, pp 551-72.To illustrate this interesting fact, try tabulating the first digits of the physical constants listed in Table 2.3 of Abramowitz and Stegun's "Handbook of Mathematical Functions". The result is the bar chart shown below, which gives the distribution of the leading digits of the 44 constants in the table, along with the theoretical expected distribution based on Benford's Law:Aside from the conspicuous deficiency of 3's, this is a reasonably good match for just 44 data points.Although there have been many lengthy and erudite "explanations" of Benford's Law, it seems to me it can be explained with a single picture:1---------------2---------3-------4-----5----6---7--8--9Clearly the underlying premise of Benford's Law is that the subject population of quantities, expressed in the base 10 and more or less arbitrary units, will be fairly evenly distributed on a logarithmic scale. This is confirmed by the fact that the exponents on these constants are fairly uniformly distributed (at least over several orders of magnitude). As a result, the probability of the leading digit being "d" clearly approachesOf course, we could have chosen units for our physical constants such that the leading digits were all 9's (for example), but evidently we have a natural tendency to choose units so that our numbers are evenly distributed by order of magnitude, rather than absolute value. This may be related to our basic impressions of hearing and sight (and earthquakes), since our sense impressions of loudness and brightness are logarithmic.Naturally we can apply Benford's Law to numbers expressed in any base, not just the base 10. In general the probability of the leading digit d (in the range 1 to B-1) for the base B isNotice that for binary numbers, i.e., numbers expressed in the base 2, the probability of the leading digit being 1 is 1.000, as it must be, since the leading non-zero digit of a binary number is necessarily 1. The distributions of probabilities of the digits 1 to B-1 for each base B from 2 to 10 are shown below.We can also easily verify that the sum of all the probabilities for digits 1 through b-1 equals 1.0000, as it must, since the leading digit must be one of these. This impliesTo verify this, recall the fundamental law of logarithms, ln(ab) = ln(a) + ln(b). With this we can re-write this sum of logarithms as the logarithm of a product:which confirms the result.By the same kind of analysis we can determine the probability that the second digit will have a certain value. It's only necessary to consider a single order of magnitude, since the pattern is repeated on each order. For example, in the base 10, the probability of the second digit being "3" is equal to the sum of the probabilities of the first two digits being "1.3", "2.3", "3.3", ... or "9.3" for numbers in the range from 1 to 10. This is indicated by the shaded regions in the logarithmic scale shown below.The fraction of this region covered by the range from 1.3 to 1.4 isThe fraction covered by the other regions (such as 2.3 to 3.3, and so on) can be found similarly, and we can add them together to give the total probability that the first digit following the first non-zero digit will be a 3:In general, the probability of the 2nd digit of d in a base-B number (taken from a logarithmic population) isExtending this analysis to the case of the nth digit following the first non-zero digit, we arrive at the general formulaThis applies to the case of the leading non-zero digit, with the understanding that with n = 0 the summation reduces to just the single term k = 0. This formula shows that the non-uniformity in the distribution of digits becomes much less as we consider less significant digits. For example, we have P{1}= 0...., P1{1} = 0...., and P2{1} = 0.... Thus the probability of a "1" quicklyapproaches 1/10 as we proceed to less significant digits. Return to MathPages Main Menu。
对本福特定律的感受和理解
对本福特定律的感受和理解
本福特定律，也称为二八定律，是指在许多情况下，80%的结果来自20%的原因。
这个定律在生活中随处可见，比如我们常说的“20%的人掌握了80%的财富”，“20%的时间能完成80%的工作”等等。
对于这个定律，我有着深刻的感受和理解。
本福特定律告诉我们，我们需要关注重点。
在生活和工作中，我们总是有很多事情要做，但是很多时候我们会陷入琐碎的细节中，忽略了真正重要的事情。
如果我们能够把注意力集中在那20%的重点上，我们就能够事半功倍，取得更好的效果。
本福特定律也提醒我们要有选择性。
在面对复杂的问题时，我们需要学会筛选信息，找到那些最重要的、最有价值的信息。
这样，我们才能够更好地解决问题，避免陷入无谓的细节中。
本福特定律也告诉我们，我们需要学会放弃。
在生活和工作中，我们总是有很多事情要做，但是我们的时间和精力是有限的。
如果我们能够放弃那些不重要的、无价值的事情，我们就能够更好地利用我们的时间和精力，去做那些真正重要的事情。
本福特定律也提醒我们要有长远的眼光。
在面对问题时，我们需要考虑到长远的影响，而不是只看眼前的利益。
如果我们能够把注意力集中在那20%的重点上，我们就能够更好地规划我们的未来，取得更好的成果。
本福特定律是一个非常有用的工具，它可以帮助我们更好地利用我们的时间和精力，取得更好的效果。
如果我们能够认真理解和应用这个定律，我们就能够更好地规划我们的未来，取得更好的成果。
本福特定律
1881年，天文学家西蒙·纽康伯发现对数表包含以1起首的数那首几页较其他页破烂。
可是，亦可以以任何书起首数页也会较破烂这个观点解释。
这个故事可能是虚构的。
1938年，物理学家法兰克·本福特重新发现这个现象，还通过了检查许多数据来证实这点。
2009年，西班牙数学家在素数中发现了一种新模式，并且惊讶于为何那时才为人发现。
虽然素数一般被认为是随机分布的，但西班牙数学家发现素数数列中每个素数的首位数字有明显的分布规律，它可以被描述了素数的本福德法则。
这项新发现除了提供对素数属性的新洞见之外，还能应用于欺骗检测和股票市场分析等领域。
数字统计的一种内在规律，指所有自然随机变量，只要样本空间足够大，每一样本首位数字为1至9各数字的概率在一定范围内具有稳定性。
见右图。
即以1开首的样本占样本空间的0.3，以2开首的样本占样本空间0.17-0.19，而以9或8开首的样本始终只占0.05左右。
世界上千千万万的数据的开头数字是1到9中的任何一个数字，而且每个数字打头的概率本应该差不多，但如果你统计的数据足够多，就会惊讶地发现，打头数字是1的数据最多。
1935年，美国的一位叫做本福特的物理学家在图书馆翻阅对数表时发现，对数表的头几页比后面的页更脏一些，这说明头几页在平时被更多的人翻阅。
本福特再进一步研究后发现，只要数据的样本足够多，数据中以1为开头的数字出现的频率并不是1/9，而是30.1%。
而以2为首的数字出现的频率是17.6%，往后出现频率依次减少，9的出现频率最低，只有4.6%。
本福特开始对其它数字进行调查，发现各种完全不相同的数据，比如人口、物理和化学常数、棒球统计表以及斐波纳契数列数字中，均有这个定律的身影。
1961年，一位美国科学家提出，本福特定律其实是数字累加造成的现象，即使没有单位的数字。
比如，假设股票市场上的指数一开始是1000点，并以每年10%的程度上升，那么要用7年多时间，这个指数才能从1000点上升到2000点的水平；而由2000点上升到 3000点只需要4年多时间；但是，如果要让指数从10000点上升到20000点，还需要等7年多的时间。
对本福特定律的感受和理解
对本福特定律的感受和理解一、引言本福特定律（Pareto principle）是指“20/80原则”，即大约80%的结果来自于20%的原因。
这个定律被广泛运用于各个领域，如经济学、管理学、市场营销等。
在我的日常生活中，我也能够感受到这个定律的存在。
本文将从不同角度探讨本福特定律的感受和理解。
二、在工作中的体现1. 重要性与紧急性在工作中，我们常常会遇到各种任务和问题需要解决。
根据本福特定律，其中只有20%的任务是最重要且最紧急的，而其他80%的任务则可以放到后面去处理。
因此，在处理任务时，我们应该优先考虑那些最重要且最紧急的任务，并将时间和精力集中在这些任务上。
2. 人员分配在团队合作中，根据本福特定律，只有20%的人员会对整个团队产生80%以上的贡献。
因此，在人员分配时，我们应该尽可能地将这些高贡献人员安排到关键岗位上，并给予他们更多的资源和支持。
3. 市场营销策略在市场营销中，根据本福特定律，只有20%的客户会产生80%以上的销售额。
因此，在制定市场营销策略时，我们应该将重点放在这些高价值客户身上，并为他们提供更好的服务和体验。
三、在个人生活中的体现1. 时间管理在个人生活中，我们也可以运用本福特定律来管理时间。
只有20%的时间会产生80%以上的价值。
因此，在规划时间时，我们应该优先考虑那些最重要且最紧急的事情，并将时间和精力集中在这些事情上。
2. 物质消费在物质消费方面，根据本福特定律，只有20%的物品会被使用80%以上的时间。
因此，在购买物品时，我们应该选择那些最常用且最有用的物品，并尽可能地避免购买那些不必要或者很少使用的物品。
3. 社交关系在社交关系方面，根据本福特定律，只有20%的人会对我们产生80%以上的影响。
因此，在建立社交关系时，我们应该尽可能地与那些对我们有帮助或者对我们产生积极影响的人交往，并尽可能地避免与那些对我们没有帮助或者对我们产生负面影响的人交往。
四、结语总之，本福特定律是一个非常有用的工具，可以帮助我们更好地管理时间、资源和人员。
利用本福特定律快速发现数据异常实践
利用本福特定律快速发现数据异常实践
今天向大家介绍一种可以快速判断数据异常的定律——本福特定律。
本福特定律是由美国数学家、天文学家西蒙·纽卡姆于1881年首次发现。
在使用对数表做计算时，纽卡姆突然注意到对数表的第一页要比其它页更为破旧。
经过大量的统计分析，他发现，以1为首位的随机数的出现概率要比以2为首位的随机数高，而以2为首位的随机数的出现概率又要比以3为首位的随机数高，以此类推。
但纽卡姆并未对此做出解释，当时的人们也未给予充分关注，这一发现逐渐被淡忘。
1938年，美国通用电器的物理学家法兰克·本福特注意到了同样的现象，并进行了大量的分析验证。
最终，本福特推导出：在十进制下，首位数字的出现概率分布如下：
从数学的角度看，实际分布与本福特定律预期分布的偏差越大，数据造假的程度越大。
但本福特定律并不是万能的，如果造假者操纵首位数字，使得造假数据符合该定律，我们就无法初步判断数据是否造假。
因此，本福特定律只是为我们提供一个考察数据的新角度，并不能替代其它分析方法或审计程序。
但是有一点可以确定，大幅度偏离本福特定律的数据，大概率涉及造假或异常。
对某集团公司近5年113492个办公耗材消耗记录进行统计发现：
能看出明显异常吗？
异常即为妖！审计人员带着怀疑对异常的数据5开头的数据进行分析发现：硒鼓与打印纸之间存在相关性。
按照单位对硒鼓与打印纸的数据进行对比发现下图异常的数据在红色方框之外。
沿着数据异常这个思路进一步分析发现了虚假冒用以物易物的现象，提出加强管理建议后效果显著。
2017年该方面的费用支出同比节约了近50%。
对本福特定律的感受和理解
本福特定律的感受和理解1. 引言在现代社会，我们常常会听到“本福特定律”这个词，它是由美国工程师亨利·福特所提出的经济学定律。
本福特定律指出，随着生产数量的增加，单位成本会逐渐下降，从而带来更高的效率和更低的价格。
在这篇文章中，我将分享对本福特定律的感受和理解，并探讨其在现实生活中的应用。
2. 感受与体会2.1 效率改善本福特定律的核心观点是，随着生产数量的增加，单位成本会下降。
这意味着企业可以通过规模化生产来降低成本，提高产品的生产效率。
在我个人的观察和体验中，这一观点得到了充分的验证。
举个例子，汽车制造业是本福特定律应用得非常成功的行业之一。
当汽车生产规模不断扩大时，企业可以利用大规模生产带来的规模经济，降低材料采购成本和生产设备成本，从而降低单位成本。
这使得汽车在过去几十年中价格不断下降，使得更多人能够负担得起汽车。
2.2 价格竞争因为单位成本的下降，企业有更多的空间来降低产品价格，以吸引更多的消费者。
这就引发了激烈的价格竞争，从而推动了市场的发展。
以电子产品为例，比如手机。
随着技术的进步和生产能力的提高，手机的价格逐渐下降，同时功能和性能也得到了大幅度的提升。
这使得越来越多的消费者能够购买到价格合理且功能强大的手机。
这种价格竞争不仅满足了消费者的需求，也推动了全球电子产品市场的繁荣。
2.3 产品多样性本福特定律还促进了产品多样化的发展。
当规模生产降低了单位成本之后，企业可以更容易地推出多个产品系列，满足不同消费者的需求。
通过适应不同的市场细分，企业能够生产出更多样化、更专门化的产品。
例如，汽车制造商可以根据不同国家和地区的需求，设计和生产不同尺寸、不同燃料类型、不同配置的汽车。
因此，消费者能够根据自己的喜好和需求选择适合自己的产品。
3. 应用与实践3.1 制造业在制造业领域，本福特定律的应用非常普遍。
通过扩大生产规模，企业可以降低成本，提高生产效率并降低产品价格。
这使得制造业具备了更强的竞争力。
本福特定律观后感
本福特定律观后感
本福特定律是指“一件事情想做好，必须准备3倍的时间和精力”，这个定律在生活中也有很多应用。
我个人认为，本福特定律是一种警醒，提醒我们在做事情时要有足够的准备，并且不要贪图一时的便利，而是要以长远的眼光来看待问题。
比如，在工作中，如果我们只考虑完成任务的速度，而不注重质量和细节，那么最终可能会出现很多问题，导致我们需要花更多的时间和精力去修复。
而如果我们在开始工作之前，充分考虑各种可能的情况，并准备好足够的资源和备用方案，那么即使出现问题，我们也能够迅速应对，节省时间和精力。
此外，在生活中，我们也可以运用本福特定律来规划我们的时间和生活方式。
如果我们只顾着玩乐和享受，而不注重充电休息和学习提升，那么最终可能会变得疲惫不堪，甚至可能落后于他人。
而如果我们每天都合理规划时间，充分休息和锻炼身体，学习和提升自己的能力，那么我们就能够更好地应对工作和生活中的各种挑战。
综上所述，本福特定律是一种非常实用的理论，它提醒我们要有计划地做事，不要轻易放弃，要时刻保持警醒和谨慎。
只有这样，我们才能够更好地应对生活中的各种挑战，取得更好的成果和成就。
本福特定律的应用案例
本福特定律的应用案例本福特定律的应用案例1. 引言本福特定律源自于美国制造业巨头亨利·福特的观察和实践，它是关于生产效率和资源利用的经验法则。
福特定律认为，在生产过程中，只有通过标准化和专业化的流程，才能实现最高效率和资源利用率。
本福特定律的应用案例可以在各个行业中找到，旨在帮助企业提升生产效率、降低成本，从而取得更大的竞争优势。
2. 应用案例一：汽车制造业汽车制造业是福特定律的经典应用领域之一。
福特公司在20世纪初就开始采用装配线生产方式，通过将汽车生产过程分解为一系列标准化的步骤，大幅提升了生产效率。
福特公司通过将汽车组装过程分为多个工位，每个工位专门负责一个环节，工人只需专注于自己负责的工作，大大提高了生产效率。
这种流水线生产模式不仅大幅降低了生产成本，也加速了汽车的生产速度，使得福特汽车在20世纪初成为了当时最畅销的汽车品牌之一。
3. 应用案例二：电子产品制造业电子产品制造业也是福特定律的典型应用领域之一。
随着电子产品的日益普及和更新换代的速度加快，如何提高生产效率成为了电子企业的关键挑战。
借鉴福特定律的理念，电子企业可以通过优化生产流程、采用自动化生产设备和机器人等方式来提高生产效率和资源利用率。
将电子产品的制造过程分解为多个标准化的工序，通过自动化设备来完成生产任务，既可以提高生产效率，又能提升产品质量和降低人力成本。
4. 应用案例三：餐饮行业福特定律的应用不仅限于制造业，餐饮行业也可以从中受益。
餐饮企业可以通过标准化的菜品制作流程和供应链管理，提高餐厅的营运效率和服务质量。
将菜品的制作过程细化为多个标准化的步骤，根据每个步骤的要求安排专业化的工作人员，确保每道菜品的制作效率和质量。
建立高效的供应链管理系统，减少菜品原材料和食材的浪费，提高资源利用率，对餐饮企业的经营效益和可持续发展具有重要意义。
5. 应用案例四：物流行业物流行业也是福特定律的受益者之一。
物流企业可以通过标准化的运输方式和仓储管理来提高运营效率和资源利用率。
数学漫步之旅本福特定律
数学漫步之旅本福特定律
本福特定律是指在一组数据中，最常出现的数字是第二常出现数字的1.618倍。
这个数字也被称为黄金比例，因为它在自然界的许多地方都有出现，如花朵的排列、贝壳的螺旋形状等。
本福特定律最初是由19世纪的数学家阿多夫·本福特发现的。
他研究了德国社会中姓氏的分布，发现最常见的姓氏是Schmidt，而第二常见的姓氏是Schneider，而Schmidt的数量正好是Schneider 的1.618倍。
这个现象也出现在其他数据集中，如音乐中的音符、建筑中的比例等。
本福特定律的应用不仅仅局限于数学和科学领域，它还被广泛应用在经济学和金融学中。
例如，在股票市场中，股票价格的波动也遵循本福特定律。
这个定律也可以应用于营销策略中，例如在广告投放中，将广告投放在最常出现的时间段和第二常出现的时间段，可以获得最佳的效果。
总之，本福特定律是一个有趣而又实用的数学原理，它在许多领域都有广泛的应用。
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本福特定律生活例子
本福特定律生活例子
本福特定律是一种经验规律，揭示了事物增加的速度会逐渐变慢的现象。
以下是一些生活中的例子：
1. 驾驶汽车：当你将汽车加速到一定速度时，再增加油门只会导致速度增加缓慢或停滞不前。
2. 健身锻炼：如果你每次都进行同样的强度的训练，你的身体会适应这种活动并且不再像刚开始那样快速变强。
3. 翻译文章：翻译员翻译文章时，前几句话会很快翻译完，但是随着翻译的深入，翻译速度会变得越来越缓慢。
4. 滑雪：初学者在学习时会发现自己越来越容易掌握基础技能，但是在掌握了这些基础技能后，要进一步提升就需要更多的时间和努力。
5. 弹奏乐器：一个人在刚开始学习弹奏乐器时，可能会很快地掌握一些简单的乐曲，但是掌握更难的乐曲就需要更多的练习时间和技巧。
神奇的本福特定律
神奇的本福特定律从常理上说，世界上千千万万的数据（非开0头）的开头数字是1到9的任何一个数字，而且每个数字开头的概率应该差不多。
现在，请你随便找本书，统计一下上面的各种开头数据的开头数字，看看是否符合我们的设想。
如果你统计的数据足够多，你就会惊讶的发现，开头数字是1的数据最多，大约占了所有数据的1/3左右，打头是2的数据其次，往后依此减少。
难道是人们对1情有独钟，把它时常写在数据的最前面吗？肮脏的对数表书页首先要恭喜你，你发现了数学上的一个有趣的定律，这就是本福特定律。
据说这个定律在1881年首先被一位天文学家在分析数据的时候发现，但是当时科学家们并没有把这个发现当回事。
直到1935年，美国的一个叫本福特的物理学家从新发现了这个定律。
当时，他在图书馆翻阅对数表时发现，对数表的头几页比后面几页更脏一些，这说明头几页在平时被更多的人翻阅。
这并不奇怪，因为许多读书的人都先看看书的开头，不喜欢就不再读下去。
但是，对数表却是一种数学工具，只有需要查数据的人才会去碰它。
因此，头几页如果比较脏，这就说明人们查阅的数据大多在头几页里，也反映出人们所使用的数据并不是散乱的，而是有些数据使用的频率比较高。
本福特再进一步研究后发现，只要数据的样本足够多，同时数据没有特定的上限和下限，则数据中以1为开头的数字出现的频率并不是人们想当然认为的1/9，而是0.301，这说明30％的数字都以1开头。
而2为首的数字出现的频率是0.176，3开头的数字出现的频率为0.125，往后出现频率依此减少，9打头的数字出现的频率最低，只有0.046。
这个规律甚至能用一个数学方程来表示。
除了对数表，其他类型的数据是否也有这样的现象呢？本福特开始对其他数字进行调查，发现各种完全不同的数据，比如人口，死亡率，物理和化学常数，棒球统计表，半衰期放射性同位素，物理书中的答案，素数数字中均有这个定律的身影。
定律成因之迷本福特定律在生活中很常见，但是为什么人们使用的数据会有这样的现象呢？几十年来，人们提出了一些猜想来解释这个现象。