导电媒质中的平面电磁波
平面电磁波
例如铜：
f 1MHz, c 66106 m
f 30GHz, c 0.38106 m
4.4 电磁波的极化
本节要点
极化 线极化 圆极化 椭圆极化
1. 极化(polarization)
金属导体 金属导体
导体上的感应电 动势等于零
导体上的感应电 动势最大
无耗媒质中电场、磁场与功率流
4.2 无限大导电媒质中的平面电磁波
本节要点
复介电常数 导电媒质中的平面波 色散及其对通信的影响
1.复介电常数(complex permittivity)
无限大导电媒质中复介电常数
~ 1 j
实部代表位移电流的贡 献，不会引起能量消耗。
+z轴方向传播的均匀平面波 -z轴方向传播的均匀平面波
4. 均匀平面波的基本概念
如果电介质区无限延伸，则电场矢量可一般地表示为 E ax E0e jkz 时域表达式为 Ex z, t E0 cost kz 0
下面，我们对平面波进行较为详细的分析。
代表场的波动状态，称为电磁波的相位。它由三部分构成:
~ 将无耗媒质的相位常数及波阻抗中的 均以 来取代，即 得导电媒质中的复相位常数为
~ ~ k j
~ 1 j
2 1 1 1 2 1 2
~ 1 j
2
2.导体中均匀平面电磁波
导体中均匀平面波的电磁场及平均坡印廷矢量为
Ex E0ez e jz
Hy
E0e z e jz e j / 4
9. 平面波解析
的存在与否，将波分为三种类型 和H 根据 E
z
z
1.TEM 波
( Ez 0, H z 0,
Kc 0)
说明任一时刻，在xoy平面上场的分布与稳态场相同
0, H 0 ），亦称横电波 2.TE 波（ E
z z
3.TM 波（
z 0, H z 0 E
），亦称横磁波
(9 - 2 - 1)
图 9-1 均匀平面电磁波的传播
综上可见，可取：
E e x Ex ( z, t )
E x ( z, t ) 1 E x ( z, t ) 2 0 2 2 z t
2 2
(9-2-2)
此方程的通解为
Ex ( z, t ) f1 ( z t ) f 2 ( z t )
E E E 2 t t
2 2
（9-1-2）
类似的推导可得
H H H 2 t t
2 2
（9-1-3）
相量形式的波动方程：
E +k E 0
2 2 2
H +k H 0
2
（9-1-4）
其中：
k c
2
c j 1 j
Z(z)=A+ ez + A-ez
2 T E0 ( x, y )+K c 2 E0 ( x, y ) 0 2 T H0 ( x, y )+K c 2 H0 ( x, y ) 0
（9-1-5）
K c c +
2 2
2
（9-1-5）分成纵向成分和横向成分：
2 T E0T ( x, y )+Kc 2 E0T ( x, y ) 0 2 T H0T ( x, y )+Kc 2 H0T ( x, y ) 0 2 T E0z ( x, y )+Kc 2 E0z ( x, y ) 0 2 T H0z ( x, y )+Kc 2 H0z ( x, y ) 0
第六章平面电磁波
1
2
1
二、导电媒质中平面电磁波的传播特性
1、不良导体主要参数（不能近似，计算复杂）
2、电介质主要参数（如聚四氟乙烯、聚苯乙烯、石英等）
表明：相移常数和波阻抗近似与理想电介质相同，衰减常数与 频率无关，正比于电导率。因此均匀平面电磁波在低损耗质中 的传播性，除了由微弱的损耗引起的振幅衰减外，与理想媒质 中的传播特性几乎相同。 3、良导体主要参数
表明：任一时刻电场能量密度和磁场能量密度相等，各为总电磁能量一半。 9、电磁能量平均值：
10、能量传播速度： 表明：均匀平面电磁波的能量传播速度等于相速。
z
P161 例6-1 略 补充例题：
• 6-2
P203作业2009.4.28
§6.2 导电媒质中的平面电磁波
一、导电媒质中平面电磁波的传播特性
方程的实际解：(由于无界媒质中不存在反射波)
由于：
二、均匀平面波的传播特性
可得：
振幅
时间相位
空间相位
初相
相位，代表场 的波动状态
上边两式表明：正弦均匀平面电磁波的电场和磁场在空间上互 相垂直，在时间上是同相的，它们的振幅之间有一定的比值，此比 值取决于煤质的介电常数和磁导率。
Ex
z Hy
图 6-3 理想介质中均匀平面电磁波的 上图表示 t = 0 时刻，电场及磁
4、坡印廷矢量的瞬时值
v
v
v
S(z,t) E(z,t) H (z,t)
evz
1 2
Em2
c
e2 az [cos
cos(2t
2
z
20
)]
5、复坡印廷矢量
v S
1 2
v E
v H*
导电媒质均匀平面波
7.2 导电介质中的均匀平面波——2、导电媒质中均匀平面波的传播特性3）媒质导电性对场的影响媒质的导电性由比值 γ < 10 2 wε 1/ 2 γ γ Q K = w με c = w με 1 j ≈ w με 1 j wε 2 wε γ 决定，不仅与媒质特性有关，还与频率有关 wε（1）良介质μ μ γ = ηc = 1 j εc ε wε 1 / 2≈μ γ 1+ j ε 2 wε γ μ 1 ， β ≈ w με ， V p ≈ α ≈ 2 ε με 1 μ γ μ λ ≈ f με ， η c = ε 1 + j 2 wε ≈ ε 平面波在良介质中的传播特性与理想介质中的平面波十分相似 只有微弱损耗引起的衰减,E和H时间相位差极小近似为07.2 导电介质中的均匀平面波——2、导电媒质中均匀平面波的传播特性（1）良导体γ Q K = w με c = w με 1 j wε γ > 100 wε1/ 2γ ≈ w με j 2 wε 1/ 2= wμγ e jπ / 4 = (1 j ) j2 γ = w με e 2 wε wμγπ1/ 22μ μ γ = ηc = 1 j εc ε wε 1 / 2μ γ ≈ j ε wε 1 / 2≈wμγejπ4= (1 + j )wμ 2γ7.2 导电介质中的均匀平面波——2、导电媒质中均匀平面波的传播特性 πf wμγ w 2w Vp = ≈ α≈β ≈ = πfμγ ， =2 μγ β μγ 2 wμ j π wμ 2 π λ = 2π ≈ 2π 4 e = (1 + j ) ， ηC = =2 wμγ fμγ β γ 2γ 良导体中，均匀平面波为色散波γ越大，电磁波的传播速度越慢，波长越短f＝465MHz的电磁波在铜(γ=6.8×107s/m)中传播，其相速为 283.15m/s，波长为0.018mm电场相位超前磁场相位π/4, |ηc|<<1 wm>>we, 平均功率流密度沿波的传播方向按指数规律e－2αz衰减，而场的振幅 按e－αz衰减， γ越大衰减越快（趋肤效应）v 1 v v * v 1 2 γ 2αz Sc = E × H = ez E0 e (1 + j ) 2 2 2 μwv 1 2 γ 2αz S av = e z E 0 e 2 2 μw7.2 导电介质中的均匀平面波——2、导电媒质中均匀平面波的传播特性例7-2-1 有一均匀平面波，在海水中(εr=80,μr=1,γ=4s/m),v v 7 沿＋z方向传播，在z＝0处，E = e x 100 cos 10 π t(2)确定E的振幅衰减为z＝0处的1%时的z值；() (V / m )(1)求其衰减常数α，相位常数β，相速Vp，波长λ及波阻抗ηc； (3)写出E(z,t)和H(z,t)在z＝0.8m处的函数表示式分 析：v v Q E (z = 0 , t ) = e x 100 cos 10 7 π t() w = 10 7 πγ γ 4 = = = 180 > 100，为良导体 1 w ε w ε 0ε r 107 π × 10 9 × 80 36πwμγ 107 π × 4π × 10 7 × 4 （1）α ≈ β ≈ = = 8.89 ( Np / m ) 2 2 2π 2π w 107 π = = 0.707(m ) λ= Vp = = = 3.53 × 10 6 (m / s ) β 8.89 β 8.89ηC =wμγejπ4π j 107 π × 4π × 10－7 j π = e 4 = πe 4 (Ω ) 47.2 导电介质中的均匀平面波——2、导电媒质中均匀平面波的传播特性（2）波的振幅按 e αz 规律衰减，设 z = z1处，波的振幅衰减为 z = 0处的1%e（ 3）α v v Q E (z = 0 , t ) = e x 100 cos 10 7 π t v v E (z , t ) = e x 100 e α z cos 10 7 π t － β z v v 100 α z H (z , t ) = e y e cos 10 7 π t － β z － θ ， η c = η c e jθ αz1= 0.01 z1 = ln 0.01=ηc( ( (4.605 = 0.518(m ) 8.89)))v v (z = 0 .8 , t ) = e x 100 e 8 .89 × 0 .8 cos 10 7 π t － 8 .89 × 0 .8 ∴E v 082 = e x 0。
导电媒质中的波阻抗
2 2
H H
x y
(r (r
) )
k k
2H 2H
x y
(r) (r)
0 0
2H z (r) k 2H z (r) 0
这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。
由于各个分量方程结构相同，它们的解具有同一形式。
在直角坐标系中，若时变电磁场的场量仅与一个坐标变量有关， 则该时变电磁场的场量不可能具有该坐标分量。
3 z 2
可见，电磁波向正 z 方向传播。
上式中 t 称为时间相位。kz 称
为空间相位。空间相位相等的点组成 的曲面称为波面。
由上式可见， z = 常数的平面为 波面。因此，这种电磁波称为平面波。
因 Ex(z) 与 x, y 无关，在 z = 常 数的波面上，各点场强振幅相等。因 此，这种平面波又称为均匀平面波。
ez
E x z
得
H
e
y
j
E x z
eyHy
Hy
j
E x z
已知电场强度分量 Ex 满足齐次标量亥姆霍兹方程，考虑到
E x x
E x y
0
得
d2Ex dz 2
k 2Ex
0
这是一个二阶常微分方程，其通解为
Ex Ex0e jkz Ex0e jkz
上式第一项代表向正 z 轴方向传播的波，第二项反之。
首先仅考虑向正 z 轴方向传播的波，即 Ex (z) Ex0e jkz
式中Ex0 为 z = 0 处电场强度的有效值。
Ex(z) 对应的瞬时值为
Ez(z, t)
O
2
t1 = 0
t2
T 4
t3
T 2
Ex (z,t) 2Ex0 sin( t kz)
平面电磁波在两种不同媒质中传播特性的比较
电磁波 的应用范 围很广 ， 实中几乎无处 不 现
在 。 代 电子技术 如通讯 、 现 广播 、 电视 、 导航 、 达 、 雷 测
（ 正或负向） 传播的波。 由平面电磁波的特点可知 ， 对于沿 ｚ 轴正向传播的均匀平面电磁波的电磁场场
量 和驯 随时间ｔ 变化外 ， 只与波传播方向的坐标 ｚ 有关 ， 而与 ， 无关， Ｙ 写成数学表达式为
Ｅ ＝ （，） Ｈ ＝日（，） ｔｚ ， ｔｚ （． ） １４
控、 电子仪器和测量系统 ， 都离不开电磁波的传播 。 电磁波在不同媒质 中传播特性不 同， 在实际生活 中 的应用更是非常广泛 。 下面即在线性、 各向同性、 均
匀的介质 中只有传导电流和位移 电流的情况下， 由
电场强度 和磁 场强度 Ｈ 满足 的波 动方 程 出发 ， 研
， ｅ
］＝ ｃ （ ｔ ｏｃ一 ｓｏ
经计算可得出上方程的一般解是
（ｚ ［ ￡ ）＝ ，
＋ ２ ）
ｅ
］： ￣ ｃ （ ｔ Ｉ． ， 一 ；ｏ ｃ ｏ
（． ） １６
由此可得 ， 振相沿 正 ｚ 向传播 的速度即波的传播 方 相速度是
＝
其中 ＝七
， 和ｇ ｆ 是任意函数， 其具体形式由初
第２ 期
Ｍａ ． ｏ ７ ｒ２ ｏ Ｖ０． ７ Ｎｏ ２ １１ ．
平面 电磁波在两种不 同媒质 中传播特性 的 比较
杨延玲Ｌ ， 刘辉兰 于家峰 ，
（． １ 山东师范大学 物理与微 电子学院， 山东 济南 ２ １０ ；． ５００ ２ 德州学院 物理 系， 山东 德 州 ２ ３２ ） ５０ ３
ｄ
可
１１ ． 无损媒质的特点 无损媒质又称无耗媒质 ， 其
7.3_4_5_媒质和介质中的平面波及损耗
1、由σ引起的
j
2、由于介质极化的滞后效应引起的 j ''
复介电常数为
e ' j( '')
损耗角正切
'' tan
'
ε’—传统意义的介电常数（ ε ）
电磁场与电磁波
20/28
对于一般介质，传输常数：
e [ ' j( '' )] j
sin(2
ft
)
2
3
tan 740.4109 1
良导体
电磁场与电磁波
27
f 1.9104
电磁场与电磁波
16/28
例6-6：均匀平面波f=50MHz，参数（r=16， r,1，=0.02）， 求：传播常数，相速度，波长，波阻抗
j
2
2
1
2 2
1
0.92Np / m
2
2
1
2 2
1
r r r
H J D t
r E r
r B
t
•B 0 r
•D
H E
E
H
E t
t
• •
H E
0 0
E [ H t] ( H ) t
得到：
'
1[ 2
1
(
'' / '2
良导体中的的平面波
良导体中的的平面波
良导体中的平面波是一种特殊的电磁波，在导体中传播。
当电
磁波穿过导体时，它会与导体中的自由电子相互作用，导致电磁波
的衰减。
在良导体中，电磁波的传播受到导体电导率的影响，电导
率越高，电磁波的衰减越严重。
在电磁波传播中，平面波是一种特定的波动形式，它的波前是
平坦的，波峰和波谷是平行的。
在良导体中，平面波的传播受到导
体的影响，导体中的自由电子会对电磁波产生阻尼效应，使得平面
波在传播过程中衰减。
这种衰减会导致电磁波的能量逐渐转化为热能，最终被导体吸收。
良导体中的平面波还受到导体内部结构的影响，比如晶格结构、缺陷等因素都会对平面波的传播产生影响。
此外，频率、波长等也
会影响平面波在良导体中的传播特性。
总的来说，良导体中的平面波受到多种因素的影响，包括导体
的电导率、内部结构以及电磁波的频率和波长等。
这些因素共同作用，决定了平面波在良导体中的传播特性和衰减程度。
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vp
2
2
可见，良导体中相速为频率的函数，是色散波，且电导率越大，相 速越慢。
3. 趋肤效应
高频电磁波从表面进入导电媒质越深，场的幅度就越小，能量就越小， 即能量趋于表面，这就是趋肤效应，或集肤效应或趋表效应。
趋肤深度（或集肤深度、穿透深度）：当场从表面进入导电媒质中一 段距离后，使得其幅度衰减到表面幅度的1/e倍时，这段距离（或深度） 叫做趋肤深度δ。即
常数。
3. 波阻抗
导电媒质中的波阻抗为
g
c
Ex
g
Hy
j
c
1 j
c e j
可见 c为复数，其模值和相位分别为
c
[1
(
)
2
]
1 4
0
1 arctg 2
0,
4
由上式可知，c 有非零相角，意味着电场与磁场具有不同的相位，相
位差为θ，故（可4）改写为
g
g
H
uuv E
ey
m
vp
1
2
1
2
1
1
2π
2
2π
1
2
1
2π 2π
k
由上可知：
（1）导电媒质中相速要比理想介质中慢，波长要比理想介质中短；
（2）σ愈大，相速vp越慢，波长λ越短； （3）相速与频率有关，故电磁波中不同的频率分量将以不同的相速传播，
经过一定距离后，它们的相位发生不同变化，从而导致信号失真，比，除有微弱损耗引起的振幅
衰减外，其余参量近似相同。
2. 良导体中的均匀平面波
对于良导体：
tg c
?
1
物理意义表示电介质中的传导电流远大于位移电流，相关参数有：
2
c
1 j
2
e
j 4
由此可见，电阻部分和电抗（呈感性）部分相等，即c 的相角为45o。
主要内容
❖ 导电媒质中均匀平面波的传播特性 ❖ 集肤效应
学习目的
❖ 掌握导电媒质与无耗媒质中均匀平面波的区别 ❖ 掌握集肤效应、趋肤深度、表面电阻的定义
6.2 导电媒质中的平面电磁波
6.2.1导电媒质中平面电磁波的传播特性
1. 复介电常数
无源、无界的导电媒质中麦克斯韦方程的复数形式为
g
g
g
H E j E
Eoe
E0
1 e
1
1
2
1
2
1
良导体
2 1 πf
上式表明，频率越高或媒质的导电能力越强，趋肤深度δ就越小。
E0e jt
O
x
E0e ze jt
z
良导体时， 而 2π 以及 1 ，则良导体中的趋肤深度
E
uuv ey
1 j
Ex z
将（3）式代入上式得
g uuv H ey 其瞬时值形式为
g
E m
e ze j z
j
uuv uuv H ey
Em
ez cos(t z 0 )
j
(4) （4）
2 传播常数γ
E0e jt
x
O
由于
2
2c
2 (
j )
j
E0e ze jt
联立可得
2
1
2
1
2
1
2
1
可见，传播常数γ的
实部β决定相位变化
量，虚部z α决定幅度
变化量。
由（3）、（4）式可知，导电媒质中电场和磁场的振幅均按e-αz随
传播距离衰减，每传播单位长度（z=1）振幅衰减为原来的e-α倍，故
α称为衰减常数，另外β表示相位随传播距离的变化量，故β称为相位
t
传导电流越大，损耗越大，定义导电媒质的损耗角 c 。
tg c
可见，损耗角与频率、媒质参数有关。
根据损耗角可将导电媒质分为弱导电媒质（电介质）、强导电媒质 （良导体）和一般的导电媒质（不良导体）。
6.2.2 趋肤深度和表面电阻
1. 电介质中的均匀平面波
对于电介质：
tg
c
=
1
物理意义表示电介质中的传导电流远小于位移电流，相关参数有：
g
g
2 E 2 E 0
g
g
2 H 2 H 0
（1）传播常数 （2）
对于均匀平面电磁波，设沿z轴传播，电场强度只有x分量，则由上节
可计算出式（1）的解为：
用γ替代无耗 媒质解中的k
g
2 Ex z 2
2
g
Ex
0
g
g
g
Ex Em e j z Em e j z
对于沿z轴正方向传播的均匀平面波，其解为：
c
e ze j ze j
其瞬时值为
uuv H
uuv ey
Em c
e z
cos(t
z
0 )
1 arctg 2
可知，σ愈大，则θ愈大，表示磁场强度比电场强度的相位滞后越 多，尽管电场与磁场有相位差，但二者仍然保持互相垂直，且都垂直于 传播方向。
4. 相速度和波长
导电媒质中均匀平面波的相速为
波长为
（3）c 表明导电媒质中电场和磁场的相位不同，出现相位差。
（4）导电媒质中电磁波的相速度不再是常数，而是随频率变化的函数，有 色散现象。
（5）导电媒质中平均磁场能量密度 wav,m 大于平均电场能量密度 wav,e 。
6. 损耗角
复介电常数
c
1
j
j
虚部与实部之比为
g
E E
J
g
D
传导电流 位移电流
g
g
Ex Em e j z
其中
g
Em Eme j0
设 j
g
g
g
则
Ex
E e j( -j )z m
Em e ze j z
(3)
uv
uuv
uuv
其瞬时值为 E z,t exEx z,t exEmez cos(t z 0) (3)
g
g
由方程 E j H得
g
g
H
1 j
g
定义
j
1
j
g
E
g
jc E
c
1
j
j
导电媒质的等效 复介电常数
引入εc后方程形式与无耗媒质中麦克斯韦方程具有完全相同的形式，
可将导电媒质看做具有复介电常数εc的介质。
这样可得到E、H满足的亥姆霍兹方程（即复数波动方程）为
g
g
2 E 2c E 0
g
g
2 H 2c H 0
令 2 2c
Ex2
1 2
c
Ex2
1 2
Ex2
j
1 2
Ex2
1
2
we
1
2
we
可见，导电媒质中 wm we ，其波阻抗呈电阻、电感性质。
从以上分析可以看到，导电媒质中的平面波与理想介质中的平面波 相比具有以下特点： （1）导电媒质中的电磁波是衰减波，频率越高或电导率越大，α就越大， 衰减也就越快。 （2）导电媒质中平面波的波阻抗c 为复数，呈现电阻、电感特性。
象称为色散。
5. 电场能量和磁场能量
在理想介质中，电场与磁场能量密度是相等的，即
2
we
1 2
Ex2
1 2
Hy
2
1 2
H
2 y
1 2
H
2 y
wm
由上式表明，理想介质中波阻抗为纯阻，电场与磁场相位相同，而导
电媒质下：
we
1 2
Ex2
wm
1 2
H
2 y
1 2
Ex c
2
1 2
c
2