复变函数与积分变换试题及答案(10)
《复变函数与积分变换》试题
南京信息工程大学试卷 学年 第 2学期 复变函数与积分变换 课程试卷本试卷共4页；考试时间 120 分钟；任课教师 ；出卷时间 年 月 系 电子信息工程（本科）专业 年级 班 学 号 姓名 得分一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） 0.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<= 8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,61t a dta e π==-⎰则___________.14.设2cos xz y =则dz= _______.15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分()()1.51ln 51dx x x ++⎰19.计算定积分I=220.a a x dx -⎰20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题（A）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是（）；2.)1(iLn+-的主值是（）；3. 211)(zzf+=，=)0()5(f（）；4．0=z是4sinzzz-的（）极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs（）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；（A）yxiuuzf+=')(；（B）yxiuuzf-=')(；（C）yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B）2)1(3--zz；（C）2)2()1(3--zz；（D）2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在（A）2-=z点条件收敛；（B）iz2=点绝对收敛；（C）iz+=1点绝对收敛；（D）iz21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数)(zf在z点可导，则)(zf在z点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（Λ2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（i 432ln 21π+ ）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分）1----5 B D C B D三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换试题及解答
复变函数与积分变换试题系别班级学号姓名得分评卷人-------------- 一、填空(每题3分，共24分)1.(上£1严的实部是 _______ ,虚部是________ ,辐角主值是______1-V3/2.满足lz + 21 + lz-2K5的点集所形成的平面图形为,该图形是否为区域—.3. 7(z)在福处可展成Taylor级数与/(%)在处解析是否等价？ .4. (l + i)i的值为______________________________________________主值为.5.积分，的值为 _____________ ，f '—dz. = ________ .Juw z J izi=2 4)a--)"1 -L6.函数J (z)=——7"-3在Z =。
处Taylor展开式的收敛半径是 ______ .z-l7.设F [<(。
]=Z3), F 则F [/1(0*/2(r)]=,其中力⑺* /2(0定义为.8.函数/(外=任的有限孤立奇点z°=_，Z。
是何种类型的奇点？ .Z得分评卷人二、(6分)设/仁)=/一丫3+2//〃问/仁)在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.三、(8分)设i ，= eXsiny,求p 的值使P 为调和函数，并求出解析函数 f(z) = u + iv.四、(10分)将函数〃z) = "—在有限孤立奇点处展开为 2z~ — 3z+1Laurent 级数.得分评卷人 -------------- 五、计算下列各题(每小题6分，共24分)1. /(z) = f求/(1 + )J 图7 4-z2. 求出/(z) = eV 在所有孤立奇点处的留数3. L(f 32产(”。
)4. 尸——二~＜公J 。
1 + sin- x六、(6分)求上半单位圆域｛2：1[1<1,11]12>0｝在映射卬=22下的象.七、(8分)求一映射’将半带形域-恭，＜”，＞。
复变函数与积分变换五套试题及答案
（2 分） （2 分） （2 分）
7
Re s[ f (z), ] 1
（1 分）
6．解：原式（3
分）
2iRe
s
z
ze z 2
1
,1
Re s
z
ze z 2
1
,1
zi i（ cos z）zi i cos i = ich1
五、1．解：
f
(z)
（1分）
1 (z i)
z
1 i
i
（1分） 1 (z i)
1 i 31
1 z
i i
（1分） 1 z
i
1 i
n0
z
i
i n
n1
（3分）2i
e 2
e 1 2
2i ch1
（1 分）
7．解：
原式=（2 分）
1 dz =（1 分）
2i dz
| z | 1
2
z2
1
iz
|z|1 z 2 4z 1
2z
=（1 分）
2i
dz
|z|1 (z 2 3)(z 2 3)
数，且 f(0)=0。
三、（10 分）应用留数的相关定理计算
dz
|z|2 z 6 (z 1)(z 3)
四、计算积分（5 分×2）
dz
1． |z|2 z(z 1)
2． cos z c (z i)3
C：绕点 i 一周正向任意简单闭曲线。
(完整版)北京交通大学《复变函数和积分变换》期末试卷及其答案
北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B ）学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师一．（1） 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ； （2） 复数3i 1+的指数形式是 ； （3） 函数()224z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点；（4）（5） 若∑==0n n n2nz )(z f ，则其收敛半径 ；（6） 计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ；（7） 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为；（8） 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是 ；（9） C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数）； （10） 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为：①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3z e 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r（4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。
（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =.（7分）五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22y x ∂∂+∂∂=∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分）六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线（8分） 八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分）一、(1)直线y=x(2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ(3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21-(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π(10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为：z=(1+i)t 1)t (0≤≤故⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1++⎰=()⎰+1tdt i 1=2i1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,故⎰CRezdz =()[]⎰⎰++110idt it 1Re Retdt=⎰⎰+110dt i tdt=i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。
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复变函数与积分变换试题与答案
一、填空（每题2分）
1．z=i 的三角表示式是：。
指数表示式是。
2．|z -1|=4在复平面上表示的曲线是一个 。
3．38的全部单根是： ，
， 。
4．函数在f (z )=|z |2在z 平面上是否解析 。
5．设C 是正向圆周|z |=1，积分⎰c z dz
2
=。
6．函数2
2
1
)1()(z e
z f -=的弧立奇点是
和
，其中
是极点，
是本性奇点。
7．级数 +++++n z z z 21在|z |<1时的和函数是 。
8．分式线性映射具有
，
，。
二、判断题(每题2分，请在题后括号里打“√”或“×”)。
1．零的辐角是零。
（ ） 2．i <2i .
（ ） 3．如果f (z )在z 0连续，那么)(0z f '存在。
（ ） 4．如果)(0z f '存在，那f (z )在z 0解析。
（ ） 5．z e e -=2
（ ） 6．解析函数的导函数仍为解析函数
（ ） 7．幂级数的和函数在其收敛圆内解析。
（
）
8．孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为1--β
9．单位脉冲函数)(t δ与常数1构成一个傅氏变换对。
（ ） 10．共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。
（
）
三、计算题（每题6分） 1．dz z
z
c
⎰3sin （其中C 为正向圆周|z|=1） 2．⎰=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++4||3211z dz z z （积分沿正向圆周进行） 3．dz z ze z z
⎰=-2||21
（积分沿正向圆周进行）
4．求函数)
2()(1
)(10-+=
z i z z f 在无穷远点处的留数
四、求解题（每题6分）
1． 求函数22),(y x y x u -=的共扼调和函数),(y x v 和由它们构成的解析函数
)(z f ，使f （0）=0。
2． 求函数2
)
1(1
)(z z z f -=
在1|1|0<-<z 内的罗朗展开式。
五、解答题（每题6分）
1．求函数⎩⎨⎧≥<=-0
00
)(t e t t f t
β的傅氏变换)(ωF 。
2．求方程
t e y y y -=-'+''32满足初始条件10='=t y ，00==t y 的解。
参考答案
一、1． 2
sin
2
cos π
π
i + ，2
πi
e 2. 圆 3. 1-3i
1+3i 2
4. 否
5. 0
6. 1，∞，1，∞
7
z
-11
．
8. 保角性，保圆性，保对称性
二、1．×
2. ×
3. ×
4. ×
5. ×
6. √
7.√
8. √
9. √
10. √
三、1．解：原式=
0)(sin !
22=''z z i
π 4分=0sin =z z =0 3分
2．解：原式=（2分）
dz z z dz z z ⎰⎰==-++4||4||32
1（3分）=i i i π=π+π6142分）
（ 3．解：（2分）
i e e dz e z z z z
z z
z z π⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--===⎰2][2
131111211
1
2||分）（（1分）=12ich π
4．解：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞0,11Re 2],[Re 2z z f s f s 分）
（ （1分）⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0,12111Re 210z z i z s 00,)21()1(Re 109
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=z zi z s （2分） 四、解：∵
x x u
2=∂∂ y y
u
2-=∂∂
（1分）
∴z x
v i x u x v i x u z f 2)(=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=
' （3分）
∴c z z f +=2
)(
∵f (0)=0 （1分）
∴f (z )=z
2
（1分）
2．解：n n n z z z )1()1(111
10
--=-+=
∑∞
=
（4分）
∴2
)
1()1()(-∞
=--=∑n n n
z z f （2分）
五、解：
dt e t F t
i ⎰∞
+∞-ω-=ω)(2()(分）
（2分）dt e e t i t ⎰
∞+ω-β-=0
=（2分）
ω
+βi 1
2．解：∵F ]32[y y y -'+''=F [e -t ]
∴1
1
3]0[2002+=--+'--S S Y Y S SY Y SY S Y S ）（）（）（）（）（）（ (2分)
∴1
2
)32(2+=-+S S Y S S ）（ ∴)
3)(1)(1(2
++-+=
S S S S S Y ）（
∴∑=],[Re )(k st S e S Y s t y ）（
3
1
1
)1)(1()2()3)(1(2)
3)(1(2-=-==-+++
+-+++++=s st
s st
s st
S S e S e S S S e S S S
（2分）
=t t t e e e 38
1
4183----
（1分）。