复变函数与积分变换试题及答案(10)

复变函数与积分变换试题与答案

一、填空（每题2分）

1．z=i 的三角表示式是：

。指数表示式是

。

2．|z -1|=4在复平面上表示的曲线是一个 。 3．38的全部单根是： ，

， 。 4．函数在f (z )=|z |2在z 平面上是否解析 。

5．设C 是正向圆周|z |=1，积分⎰c z dz

2

=

。 6．函数2

2

1

)1()(z e

z f -=的弧立奇点是

和

，其中

是极点，

是本性奇点。

7．级数 +++++n z z z 21在|z |<1时的和函数是 。

8．分式线性映射具有

，

，

。

二、判断题(每题2分，请在题后括号里打“√”或“×”)。

1．零的辐角是零。 （ ） 2．i <2i .

（ ） 3．如果f (z )在z 0连续，那么)(0z f '存在。 （ ） 4．如果)(0z f '存在，那f (z )在z 0解析。 （ ） 5．z e e -=2

（ ） 6．解析函数的导函数仍为解析函数

（ ） 7．幂级数的和函数在其收敛圆内解析。

（

）

8．孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为1--β

9．单位脉冲函数)(t δ与常数1构成一个傅氏变换对。 （ ） 10．共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。

（

）

三、计算题（每题6分） 1．dz z

z

c

⎰3sin （其中C 为正向圆周|z|=1） 2．⎰=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++4||3211z dz z z （积分沿正向圆周进行） 3．dz z ze z z

⎰=-2||21

（积分沿正向圆周进行）

4．求函数)

2()(1

)(10-+=

z i z z f 在无穷远点处的留数

四、求解题（每题6分）

1． 求函数22),(y x y x u -=的共扼调和函数),(y x v 和由它们构成的解析函数

)(z f ，使f （0）=0。

2． 求函数2

)

1(1

)(z z z f -=

在1|1|0<-

1．求函数⎩⎨⎧≥<=-0

00

)(t e t t f t

β的傅氏变换)(ωF 。

2．求方程

t e y y y -=-'+''32满足初始条件10='=t y ，00==t y 的解。

参考答案

一、1． 2

sin

2

cos π

π

i + ，2

πi

e 2. 圆 3. 1-3i

1+3i 2

4. 否

5. 0

6. 1，∞，1，∞

7

z

-11

．

8. 保角性，保圆性，保对称性

二、1．×

2. ×

3. ×

4. ×

5. ×

6. √

7.√

8. √

9. √

10. √

三、1．解：原式=

0)(sin !

22=''z z i

π 4分=0sin =z z =0 3分

2．解：原式=（2分）

dz z z dz z z ⎰⎰==-++4||4||32

1（3分）=i i i π=π+π6142分）

（ 3．解：（2分）

i e e dz e z z z z

z z

z z π⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--===⎰2][2

131111211

1

2||分）（（1分）=12ich π

4．解：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞0,11Re 2],[Re 2z z f s f s 分）

（ （1分）⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0,12111Re 210z z i z s 00,)21()1(Re 109

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=z zi z s （2分） 四、解：∵

x x u

2=∂∂ y y

u

2-=∂∂

（1分）

∴z x

v i x u x v i x u z f 2)(=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=

' （3分）

∴c z z f +=2

)(

∵f (0)=0 （1分）

∴f (z )=z

2

（1分）

2．解：n n n z z z )1()1(111

10

--=-+=

∑∞

=

（4分）

∴2

)

1()1()(-∞

=--=∑n n n

z z f （2分）

五、解：

dt e t F t

i ⎰∞

+∞-ω-=ω)(2()(分）

（2分）dt e e t i t ⎰

∞+ω-β-=0

=（2分）

ω

+βi 1

2．解：∵F ]32[y y y -'+''=F [e -t ]

∴1

1

3]0[2002+=--+'--S S Y Y S SY Y SY S Y S ）（）（）（）（）（）（ (2分)

∴1

2

)32(2+=-+S S Y S S ）（ ∴)

3)(1)(1(2

++-+=

S S S S S Y ）（

∴∑=],[Re )(k st S e S Y s t y ）（

3

1

1

)1)(1()2()3)(1(2)

3)(1(2-=-==-+++

+-+++++=s st

s st

s st

S S e S e S S S e S S S

（2分）

=t t t e e e 38

1

4183----

（1分）