解三角形知识点及题型总结复习过程
(完整版)解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★)1正弦定理及其变形a sin A变式: b c —— — 2R (R 为三角形外接圆半径)sin B sin C (1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式) (2) si nA,si nB ,si nC (角化边公式)2R 2R2R(3 a: b: c sin A:si nB:si nC一、a sin A a sin A b sin Bb sin Bc sin C c sin C2 •正弦定理适用情况:(1) 已知两角及任一边;(2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 3 •余弦定理及其推论2 22ab c 2bccosAb ac 2accosB 222cab 2abcosC4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角;注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作 用),统一成边的形式或角的形式•7. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角b 22c 2 a2bc222ac b2ac2.22ab c (2)已知三边.5. 常用的三角形面积公式1(1) S ABC 底2 1(2) S 二一 absi nC26. 三角形中常用结论 1 1 acsin B bcsin A 24c R 为ABC 外接圆半径(两边夹一角);(1) a b c, b c (2) 在 ABC 中, A (3) 在 ABC 中,A Ba, a ③ tan A B tanC ;b(即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) b si nA si n B(即大边对大角,大角对大边) ,所以 ① sin A B sinC :② cos A B cosC ;A B C AB. C ④ sin cos ,⑤ cos sin2 2 2 2cos AcosB cosC 2ab在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下文的叫俯角(如图 ①)从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为a (如图②) 注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。
高考数学(理)总复习:解三角形(解析版)

高考数学(理)总复习:解三角形题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知sin(A +C )=8sin 2B2,(1)求cos B ;(2)若a +c =6,△ABC 的面积为2,求b .【解析】 (1)由题设及A +B +C =π,sin B =8sin 2B2,故sin B =4(1-cos B ).上式两边平方,整理得17cos 2B -32cos B +15=0, 解得cos B =1(舍去),cos B =1517.(2)由cos B =1517得sin B =817,故S △ABC =12ac sin B =417ac .又S △ABC =2,则ac =172.由余弦定理及a +c =6得:b 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a +c )2-2ac (1+cos B )=36-2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 =4.所以b =2.题组训练一 利用正、余弦定理解三角形1.在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin A =223,a =2,S △ABC=2,则b 的值为( )A.3B.322 C .2 2D .2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中,sin A =223,S △ABC =2,∴cos A =1-sin 2A =13,12bc sin A =12bc ·223=2,∴bc =3①,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴(b +c )2=a 2+2bc (1+cos A )=4+6×⎪⎭⎫⎝⎛+311=12, ∴b +c =23②.由①②得b =c =3,故选A. 【答案】 A2.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin A sin B +sin B sin C +cos 2B =1.若C =2π3,则ab=________.【解析】 ∵sin A sin B +sin B sin C +cos 2B =1,∴sin A sin B +sin B sin C =2sin 2B . 由正弦定理可得ab +bc =2b 2,即a +c =2b ,∴c =2b -a ,∵C =2π3,由余弦定理可得(2b -a )2=a 2+b 2-2ab cos 2π3,可得5a =3b ,∴a b =35. 【答案】 353.已知△ABC 是斜三角形,内角A ,B ,C 所对的边的长分别为a ,b ,c .若c sin A =3a cos C .(1)求角C ;(2)若c =21,且sin C +sin(B -A )=5sin 2A ,求△ABC 的面积.【解析】 (1)根据a sin A =c sin C,可得c sin A =a sin C , 又∵c sin A =3a cos C ,∴a sin C =3a cos C , ∴sin C =3cos C ,∴tan C =sin Ccos C =3,∵C ∈(0,π),∴C =π3.(2)∵sin C +sin(B -A )=5sin 2A ,sin C =sin (A +B ), ∴sin (A +B )+sin (B -A )=5sin 2A , ∴2sin B cos A =2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形, ∴cos A ≠0,∴sin B =5sin A . 由正弦定理可知b =5a ,① ∵c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,∴21=a 2+b 2-2ab ×12=a 2+b 2-ab ,②由①②解得a =1,b =5,∴S △ABC =12ab sin C =12×1×5×32=534.题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步:(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词术语,如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等;(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解;(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ,其中三角形区域ABE 为生活区,四边形区域BCDE 为教学区,AB ,BC ,CD ,DE ,EA ,BE .为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD =∠CDE =2π3,∠BAE =π3,DE =3BC =3CD =910km.(1)求道路BE 的长度;(2)求生活区△ABE 面积的最大值.【解析】 (1)如图,连接BD ,在△BCD 中,BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD cos ∠BCD =27100,∴BD =3310km.∵BC =CD ,∴∠CDB =∠CBD =π-2π32=π6,又∠CDE =2π3,∴∠BDE =π2.∴在Rt △BDE 中, BE =BD 2+DE 2=335(km). 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE =α,∵∠BAE =π3,∴∠AEB =2π3-α.在△ABE 中,易得AB sin ∠AEB =BE sin ∠BAE =335sinπ3=65,∴AB =65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32,AE =65sin α.∴S △ABE =12AB ·AE sin π3=9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α =9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 =273100(km 2). ∵0<α<2π3,∴-π6<2α-π6<7π6.∴当2α-π6=π2,即α=π3时,S △ABE 取得最大值,最大值为273100km 2,故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二 正、余弦定理的实际应用1.如图,为了估测某塔的高度,在同一水平面的A ,B 两点处进行测量,在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上,仰角为60°;在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上,仰角为30°.若A ,B 两点相距130 m ,则塔的高度CD =________m.【解析】设CD =h ,则AD =h3,BD =3h ,在△ADB 中,∠ADB =180°-20°-40°=120°,∴由余弦定理AB 2=BD 2+AD 2-2BD ·AD ·cos 120°,可得1302=3h 2+h 23-2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21,解得h =1039,故塔的高度为1039 m.【答案】 10392.如图,在第一条海防警戒线上的点A ,B ,C 处各有一个水声监测点,B ,C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B 收到发自静止目标P 的一个声波信号,8秒后A ,C 同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.(1)设A 到P 的距离为x 千米,用x 表示B ,C 到P 的距离,并求x 的值;(2)求P 到海防警戒线AC 的距离. 【解析】 (1)依题意,有P A =PC =x , PB =x -1.5×8=x -12. 在△P AB 中,AB =20, cos ∠P AB =P A 2+AB 2-PB 22P A ·AB=x 2+202-(x -12)22x ·20=3x +325x ,同理,在△P AC 中,AC =50,cos ∠P AC =P A 2+AC 2-PC 22P A ·AC =x 2+502-x 22x ·50=25x .∵cos ∠P AB =cos ∠P AC , ∴3x +325x =25x,解得x =31. (2)作PD ⊥AC 于点D ,在△ADP 中,由cos ∠P AD =2531,得sin ∠P AD =1-cos 2∠P AD =42131, ∴PD =P A sin ∠P AD =31×42131=421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米. 题型三 三角函数与解三角形问题 【题型要点】解三角形与三角函数的综合题,其中,解决与三角恒等变换有关的问题,优先考虑角与角之间的关系;解决与三角形有关的问题,优先考虑正弦、余弦定理.【例3】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足sin A -sin C b =sin A -sin Ba +c .(Ⅰ)求C ;(Ⅱ)若cos A =17,求cos(2A -C )的值.【解析】 (Ⅰ)由sin A -sin C b =sin A -sin B a +c 及正弦定理得a -c b =a -ba +c ,∴a 2-c 2=ab -b 2,整理得a 2+b 2-c 2=ab ,由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =12,又0<C <π,所以C =π3.(Ⅱ)由cos A =17知A 为锐角,又sin 2A +cos 2A =1,所以sin A =1-cos 2A =437,故cos2A=2cos 2A -1=-4749,sin2A =2sin A cos A =2×437×17=8349,所以cos(2A -C )=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA =cos2A cos π3+sin2A sin π3=-4749×12+8349×32=-2398.题组训练三 三角函数与解三角形问题已知函数f (x )=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx +cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间;(2)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边为a ,b ,c ,已知f (A )=32,a =2,B =π3,求△ABC 的面积.【解析】 (1)f (x )=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx +cos 2x =sin 2x cos π6+cos 2x sin π6+cos 2x=32sin 2x +32cos 2x =3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 =3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令-π2+2k π≤2x +π3≤π2+2k π⇒-5π12+k π≤x +π3≤π12+k π,k ∈Z .f (x )的单调递增区间为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125,k ∈Z .(2)由f (A )=32,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA =12, 又0<A <2π3,π3<2A +π3<5π3,因为2A +π3=5π6,解得:A =π4.由正弦定理a sin A =bsin B ,得b =6,又由A =π4,B =π3可得:sin C =6+24.故S △ABC =12ab sin C =3+32.题型四 转化与化归思想在解三角形中的应用 【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下:【例4】 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a cos 2C 2+c cos 2A 2=32b .(1)求证:a ,b ,c 成等差数列;(2)若∠B =60°,b =4,求△ABC 的面积. 【解析】 (1)证明:a cos 2C 2+c cos 2A2=a ·1+cos C 2+c ·1+cos A 2=32b ,即a (1+cos C )+c (1+cos A )=3b . ①由正弦定理得:sin A +sin A cos C +sin C +cos A sin C =3sin B , ② 即sin A +sin C +sin(A +C )=3sin B , ∴sin A +sin C =2sinB.由正弦定理得,a +c =2b , ③ 故a ,b ,c 成等差数列.(2)由∠B =60°,b =4及余弦定理得: 42=a 2+c 2-2ac cos 60°,∴(a +c )2-3ac =16, 又由(1)知a +c =2b ,代入上式得4b 2-3ac =16. 又b =4,所以ac =16, ④∴△ABC 的面积S =12ac sin B =12ac sin 60°=4 3.题组训练四 转化与化归思想在解三角形中的应用 如图,在平面四边形ABCD 中,AD =1,CD =2,AC =7.(1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD =-714,sin ∠CBA =216,求BC 的长.【解析】 (1)在△ADC 中,由余弦定理,得cos ∠CAD =AC 2+AD 2-CD 22AC ·AD =7+1-427=277. (2)设∠BAC =α,则α=∠BAD -∠CAD . 因为cos ∠CAD =277,cos ∠BAD =-714,所以sin ∠CAD =1-cos 2∠CAD =217,sin ∠BAD =1-cos 2∠BAD =32114. 于是sin ∠BAC =sin (∠BAD -∠CAD )=sin ∠BAD cos ∠CAD -cos ∠BAD ·sin ∠CAD =32114×277-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217=32. 在△ABC 中,由正弦定理得,BC =AC ·sin ∠BACsin ∠CBA=7×32216=3. 【专题训练】 一、选择题1.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且b 2=a 2+bc ,A =π6,则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】 在△ABC 中,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即a 2-b 2=c 2-2bc cos A ,由已知,得a 2-b 2=-bc ,则c 2-2bc cos π6=-bc ,即c =(3-1)b ,由正弦定理,得sin C=(3-1)sin B =(3-1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π, 化简,得sin C -cos C =0,解得C =π4,故选B.【答案】 B2.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知b =2,c =22,且C =π4,则△ABC 的面积为( )A.3+1B.3-1 C .4 D .2【解析】 法一 由余弦定理可得(22)2=22+a 2-2×2×a cos π4,即a 2-22a -4=0,解得a =2+6或a =2-6(舍去),△ABC 的面积S =12ab sin C =12×2×(2+6)sin π4=12×2×22×(6+2)=3+1,选A.法二 由正弦定理b sin B =c sin C ,得sin B =b sin C c =12,又c >b ,且B ∈(0,π),所以B =π6,所以A =7π12,所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×2×22sin 7π12=12×2×22×6+24=3+1.【答案】 A3.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ,且2S =(a +b )2-c 2,则tan C 等于( )A.34B.43C .-43D .-34【解析】 因为2S =(a +b )2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab ,则结合面积公式与余弦定理,得ab sin C =2ab cos C +2ab ,即sin C -2cos C =2,所以(sin C -2cos C )2=4,sin 2C -4sin C cos C +4cos 2C sin 2C +cos 2C =4,所以tan 2C -4tan C +4tan 2C +1=4,解得tan C =-43或tan C =0(舍去),故选C.【答案】 C4.如图,在△ABC 中,C =π3,BC =4,点D 在边AC 上,AD =DB ,DE ⊥AB ,E 为垂足.若DE =22,则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】 依题意得:BD =AD =DE sin A =22sin A ,∠BDC =∠ABD +∠A =2∠A .在△BCD 中, BC sin ∠BDC =BD sin C ,则4sin 2A =22sin A ×23=423sin A ,即42sin A cos A =423sin A,由此解得cos A =64,选C.【答案】 C5.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A ,B 两点,从A ,B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A ,B 两点间的距离为60 m ,则该建筑物的高度为( )A .(30+303) mB .(30+153) mC .(15+303) mD .(15+153) m【解析】 设建筑物高度为h ,则h tan 30°-h tan 45°=60,即(3-1)h =60,所以建筑物的高度为h =(30+303)m.【答案】 A6.在三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若20aBC →+15bCA →+12cAB →=0,则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →+15bCA →+12cAB →=0,∴20a (AC →-AB →)+15bCA →+12cAB →=0, ∴(20a -15b )AC →+(12c -20a )AB →=0.∵AC →与AB →不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧20a -15b =0,12c -20a =0⇒⎩⎨⎧b =43a ,c =53a ,∴三角形ABC 中最小角为角A , ∴cos A =b 2+c 2-a22bc =169a 2+259a 2-a 22×43×53a 2=45,∴sin A =35,故选C. 【答案】 C 二、填空题7.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若(a +b -c )(a +b +c )=ab ,c =3,当ab 取得最大值时,S △ABC =________.【解析】 因为(a +b -c )(a +b +c )=ab ,a 2+b 2-c 2=-ab ,所以cos C =-12,所以sinC =32,由余弦定理得(3)2=a 2+b 2+ab ≥3ab ,即ab ≤1,当且仅当a =b =1时等号成立.所以S △ABC =34. 【答案】348.已知△ABC 中,AB =1,sin A +sin B =2sin C ,S △ABC =316sin C ,则cos C =________. 【解析】 ∵sin A +sin B =2sin C ,由正弦定理可得a +b =2c .∵S △ABC =316sin C ,∴12ab sin C =316sin C ,sin C ≠0,化为ab =38.由余弦定理可得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =(a +b )2-2ab-2ab cos C ,∴1=(2)2-2×38(1+cos C ),解得cos C =13.【答案】139.已知a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,a =2,且(2+b )(sin A -sin B )=(c -b )·sin C ,则△ABC 面积的最大值为________.【解析】 由正弦定理得(2+b )(a -b )=(c -b )c , 即(a +b )·(a -b )=(c -b )c ,即b 2+c 2-a 2=bc , 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =12,又A ∈(0,π),所以A =π3,又b 2+c 2-a 2=bc ≥2bc -4,即bc ≤4,故S △ABC =12bc sin A ≤12×4×32=3,当且仅当b =c =2时,等号成立,则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310.如图,△ABC 中,AB =4,BC =2,∠ABC =∠D =60°,若△ADC 是锐角三角形,则DA +DC 的取值范围是________.【解析】 在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠ABC =12,即AC =2 3.设∠ACD =θ(30°<θ<90°),则在△ADC 中,由正弦定理得23sin 60°=DA sin θ=DCsin (120°-θ),则DA +DC =4[sin θ+sin(120°-θ)]=4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23=43sin(θ+30°),而60°<θ+30°<120°,43sin 60°<DA +DC ≤43sin 90°,即6<DA +DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a >b ,a =5,c =6,sin B =35. (1)求b 和sin A 的值;(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值. 【解析】 (1)在△ABC 中,因为a >b ,故由sin B =35,可得cos B =45.由已知及余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B =13,所以b =13.由正弦定理a sin A =b sin B ,得sin A =a sin B b =31313.所以b 的值为13,sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ,得cos A =21313,所以sin 2A =2sin A cos A =1213,cos 2A =1-2sin 2A =-513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA =sin 2A cos π4+cos 2A sin π4=7226. 12.如图,在四边形ABCD 中,∠DAB =π3,AD ∶AB =2∶3,BD =7,AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值;(2)若∠BCD =2π3,求CD 的长.【解析】(1)∵AD ∶AB =2∶3,∴可设AD =2k ,AB =3k .又BD =7,∠DAB =π3,∴由余弦定理,得(7)2=(3k )2+(2k )2-2×3k ×2k cos π3,解得k =1,∴AD =2,AB =3,sin ∠ABD =AD sin ∠DABBD=2×327=217.(2)∵AB ⊥BC ,∴cos ∠DBC =sin ∠ABD =217,∴sin ∠DBC =277,∴BD sin ∠BCD =CDsin ∠DBC,∴CD=7×27732=433.。
解三角形知识点归纳总结

第一章 解三角形一.正弦定理:1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B . 2)化边为角:C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3)化边为角:C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4)化角为边:;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5)化角为边: Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角;例:已知角B,C,a ,解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。
例:已知边a,b,A,解法:由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解;③b a A b <<sin 时,B 有两个解。
如:①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)注意:由正弦定理求角时,注意解的个数。
解三角形题型及解题方法 初中

解三角形题型及解题方法(初中)在初中数学中,解三角形是一个重要的知识点,它涉及到三角形的性质、定义、概念、特点和规律等多个方面。
解三角形题型多样,解法灵活,需要掌握一定的方法和技巧。
下面我们将详细探讨解三角形的题型及解题方法,并通过具体的例子来加深理解。
一、三角形的概念与性质1. 三角形的概念三角形是由三条线段首尾顺次连接围成的平面图形。
这三条线段被称为三角形的边,相邻两边所夹的角被称为三角形的角。
2. 三角形的性质(1)三角形具有稳定性,即三角形的形状和大小在不受外力作用时保持不变。
(2)三角形的内角和为180°。
(3)三角形具有边边边(SSS)、边角边(SAS)、角边角(ASA)和角角边(AAS)等全等判定条件。
(4)三角形具有中线、高线、角平分线等重要的线段。
二、解三角形的常见题型1. 已知两边及夹角求第三边例1:在△ABC中,已知AB=5cm,AC=3cm,∠BAC=60°,求BC的长。
解法:利用余弦定理,有BC²= AB²+ AC²- 2 ×AB ×AC ×cos∠BAC= 5² + 3² - 2 × 5 × 3 × cos60°= 25 + 9 - 30 × 0.5= 34 - 15= 19所以,BC = √19cm。
技巧:当已知两边及夹角时,通常使用余弦定理求解第三边。
2. 已知三边求角例2:在△ABC中,已知AB=5cm,AC=3cm,BC=4cm,求∠BAC的度数。
解法:利用余弦定理,有cos∠BAC = (AB²+ AC²- BC²) / (2 ×AB ×AC)= (5² + 3² - 4²) / (2 × 5 × 3)= (25 + 9 - 16) / 30= 18 / 30= 0.6所以,∠BAC = arccos(0.6)。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx

实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备:1.直角三角形中各元素间的关系:在△ABC 中, C=90°,AB= c, AC= b , BC= a。
(1)三边之间的关系:a2+b2=c2。
(勾股定理)(2)锐角之间的关系:A+B= 90 °;(3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义)sin A= cos B=a, cos A=sin=b, tan A=a。
c bc2.斜三角形中各元素间的关系:在△ABC 中, A、 B、 C 为其内角, a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
(1)三角形内角和:A+B+C=π。
(2 )正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R (R为外接圆半径)sin A sin B sin C( 3 )余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 =b2+2- 2bccosA;b2 = 2 +a2- 2cacosB;c2= 2 +b2-2abcos。
c c a C3.三角形的面积公式:1ah a=11(1)S=bh b=ch c( h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高);22211bc sin A=1(2)S=ab sin C=ac sin B;222求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型:(1 )两类正弦定理解三角形的问题:第 1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(2 )两类余弦定理解三角形的问题:第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.5.三角形中的三角变换三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。
( 1)角的变换因为在△ABC 中, A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1

实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备:1.直角三角形中各元素间的关系:在△ABC 中,C =90°,AB =c ,AC =b ,BC =a 。
(1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2。
(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A +B =90°; (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A =cos B =c a ,cos A =sin B =c b ,tan A =ba。
2.斜三角形中各元素间的关系:在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
(1)三角形内角和:A +B +C =π。
(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2=b 2+c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。
3.三角形的面积公式:(1)∆S =21ah a =21bh b =21ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高); (2)∆S =21ab sin C =21bc sin A =21ac sin B ;4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)例1.(1)在∆ABC 中,已知032.0=A ,081.8=B ,42.9=a cm ,解三角形;(2)在∆ABC 中,已知20=a cm ,28=b cm ,040=A ,解三角形(角度精确到01,边长精确到1cm )。
解:(1)根据三角形内角和定理,0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=;根据正弦定理, 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ; 根据正弦定理,0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A(2)根据正弦定理, 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00<B <0180,所以064≈B ,或0116.≈B①当064≈B 时,00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ,sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时,180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ,0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2:三角形面积例2.在∆ABC 中,sin cos A A +=22,AC =2,3=AB ,求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解三角形常用知识点归纳与题型总结-解三角形题型归纳总结

解三角形常用知识点归纳与题型总结1、①三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B);②.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③.锐角三角形性质:若A>B>C 则6090,060A C ︒≤<︒︒<≤︒. 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== (1)和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.(2) 二倍角公式 sin2α = 2cosαsinα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+. 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==(3)辅助角公式(化一公式))sin(cos sin 22ϕ±+=±=x b a x b x a y 其中ab =ϕtan 4、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB 的外接圆的半径,则有2sin sin sin a b cR C===A B . 5、正弦定理的变形公式:①化角为边:2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =;②化边为角:sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ;④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B =2R 6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解)) 7、三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B .=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---(海伦公式)8、余弦定理:在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A ,2222cos b a c ac =+-B ,2222cos c a b ab C =+-.9、余弦定理的推论:222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222cos 2a b c C ab+-=.注明:余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化,当题中含有二次项时,常使用余弦定理。
解三角形题型分类讲解

解三角形知识点总结及题型分类讲解一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径)12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式)2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2、正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边(2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 已知a ,b 和A ,求B 时的解的情况:如果B A sin sin ≥,则B 有唯一解;如果1sin sin <<B A ,则B 有两解; 如果1sin =B ,则B 有唯一解;如果1sin >B ,则B 无解. 3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=4、余弦定理适用情况:(1)已知两边及夹角;(2)已知三边. 5、常用的三角形面积公式(1)高底⨯⨯=∆21ABC S ; (2)B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆(两边夹一角).6、三角形中常用结论(1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边); (2)sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中,即大边对大角,大角对大边). (3)在△ABC 中,π=++C B A ,所以C B A sin )sin(=+;C B A cos )cos(-=+;C B A tan )tan(-=+.(4)2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+. 二、典型例题题型1、计算问题(边角互换)例1、在ABC ∆中,若7:5:3sin :sin :sin =C B A ,则角C 的度数为 答案:=C 23π 例2、已知∆ABC 中,∠A 60=︒,3a =,则sin sin sin a b cA B C++++=.答案:2例3、在锐角△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2asinB=b .求角A 的大小; 答案:π3题型2、三角形解的个数例1.在△ABC 中,已知b=40,c=20,C=60。
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基础强化(8)——解三角形
1、①三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); ②. 三角形三边关系:a+b>c; a-b<c
③.锐角三角形性质:若A>B>C 则6090,060A C ︒≤<︒︒<≤︒
2、三角形中的基本关系:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-
sin cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C
+++=== 3、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB 的外接
圆的半径,则有2sin sin sin a b c
R C
===A B .
4、正弦定理的变形公式:
①化角为边:2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =;
②化边为角:sin 2a R A =
,sin 2b R B =,sin 2c C R
=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ;
④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B =2R 5、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解)) 6、三角形面积公式:
111sin sin sin 222
C S bc ab C ac ∆AB =A ==B .=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)
(c b a r ++ 7、余弦定理:在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A ,2222cos b a c ac =+-B ,
2222cos c a b ab C =+-.
8、余弦定理的推论:222cos 2b c a bc +-A =,222
cos 2a c b ac
+-B =,222cos 2a b c C ab +-=.
9、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。
②已知三边求角 10、三角形的五心:
垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 11.仰角与俯角,方向角与方位角
题型一:求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题.
例1. (1)在ABC ∆中,已知45A =o ,60B =o ,42a =cm ,解三角形.
(2)在45,2,,ABC c A a b B C ∆===o 中,求和.
(3)在60,1,,ABC b B c a A C ∆===o 中,求和.
(4)在△ABC 中,已知a =b ,45B =o ,求,A C 和c .
(5)在△ABC 中,已知三边长3a =,4b =,c =,求三角形的最大内角.
1 .在ABC △中,4a =,5b =,6c =,则sin 2sin A
C
=
. 2.在ΔABC 中,已知6
6
cos ,364==
B AB ,A
C 边上的中线B
D =5,求sin A 的值.
题型二:判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状.
例2.(1)在ABC ∆中,C b a cos 2=,则此三角形一定是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形 (2)在ABC ∆中,若B A C sin cos 2sin =,则此三角形必是( )
A.等腰三角形
B.正三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
(3)设ABC ∆的内角C ,B ,A 的对边分别为c b a ,,,若()cos a b c C =+,则ABC ∆的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 1、在ABC ∆中,若,2lg sin lg lgcos lgsin =--C B A 则ABC ∆的形状是( )
A .直角三角形
B .等边三角形
C .不能确定
D .等腰三角形 2.在ABC ∆中,若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
题型三:与面积有关问题
例3、已知向量),sin 3,(sin x x =),cos ,(sin x x -= 设函数,)(x f ⋅= 若函数)(x g 的
图象与)(x f 的图象关于坐标原点对称.
(1)求函数)(x g 在区间]6
,4[π
π-
上的最大值,并求出此时x 的值; (2)在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,A 为锐角,若,2
3)()(=
-A g A f ,7=+c b ABC ∆的面积为,32 求边a 的长.
1.、在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 已知,3
2
cos =A .cos 5sin C B = (1)求C tan 的值;(2)若,2=a 求ABC ∆的面积.
2.已知ABC △1,且sin sin A B C +=.
(I )求边AB 的长;
(II )若ABC △的面积为1sin 6
C ,求角C 的度数.
题型之四:三角形中求值问题
1. 在ABC ∆中,C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、,
设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和32
1
+=b c ,求A ∠和B tan 的值.
2.在锐角ABC △中,角A
B C ,,所对的边分别为a b c ,,,已知sin 3
A =,(1)求
2
2tan sin 22
B C A
++的值;
(2)若2a =,ABC S =△,求b 的值。
3.在ABC △中,内角A B C ,,对边的边长分别是a b c ,,,已知2c =,3
C π
=.
(Ⅰ)若ABC △,求a b ,;
(Ⅱ)若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.
题型五:解三角形中的最值问题
例5. 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知2c =,3
C π=
(1) 求△ABC 周长的取值范围 (2) 求△ABC 面积的取值范围
1.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知 cos (cos )cos 0C A A B +=.
1)求角B 的大小;(2)若1a c +=,求b 的取值范围
2.△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.
(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.
3.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边,a =2,且
(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC ∆面积的最大值为 .
4. 设锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a =2b sin A . (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos A +sin C 的取值范围.
5.ABC ∆的三个内角为A B C 、、,求当A 为何值时,cos 2cos 2
B C
A ++取得最大值,并求出这个最大值。
题型六:图形中的解三角形
例6. 如图,在ABC ∆中,D 是边AC 上的点,且
BD BC BD AB AD AB 2,32,===,则C sin 的值为
A.
33 B.63 C.36 D.6
6 1.如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上, AC AD ⊥,
22
sin ,32,33
BAC AB AD ∠=
==,则BD 的长为___ __. 题型七:正余弦定理解三角形的实际应用
(一)测量问题
1.如图1所示,为了测河的宽度,在一岸边选定A 、B 两点,望对岸标记物C ,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120cm ,求河的宽度。
(二)遇险问题
2.某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向,此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进,30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。
若此灯塔周围10海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险?
(三)追击问题
3.如图3,甲船在A 处,乙船在A 处的南偏东45°方向,距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行,若甲船以28n mile/h 的速度航行,应沿什么方向,用多少h 能尽快追上乙船?
图1
A B
C D 图3
A
B 北
45°
15°
西 北
南 东 A B
C 30° 15°
图2。