运 筹 学
运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
运筹学定义
1.运筹学定义：用数学的方法研究各问题的变化。
2.线性规划：数学模型的目标函数为变量的线性函数，约束条件也为变量的线性等式或不等式，故此模型称之为线性规划3.可行解：把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
4.最优解：把目标函数值最大（即利润最大）的可行解称为该线性规划的最优解。
5.最优值：在最优解条件下的目标函数值为最优目标函数值，简称最优值。
6.松弛量：在线性规划中，一个“≤”约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量7.松弛变量：为了把一个线性规划标准化，需要有代表没使用的资源或能力的变量，诚挚为松弛变量。
8.标准化: 把所有约束条件都写成等式，称为线性规划模型的标准化。
所得结果称为线性规划的标准形式。
9.剩余变量：对于“≥”约束条件，可以增加一些代表最低限约束的超过量，称之为剩余变量。
10.灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数Ci,Gij,bj的变化对最优解产生的影响。
11.对偶价格：在约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格12.单纯形法的基本思路：一，找出一个初始基本可行解二，最优性检验三，基变换13.线性规划的基本解：由线性规划的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就可得到唯一的解，这个解称之为线性规划的基本解。
14.基本可行解：一个基本解可以是可行解，也可以是非可行解，他们之间的主要区别在于其所有变量的解是否满足非负的条件，我们把满足非负条件的一个基本解叫做基本可行解，并把这样的基叫做可行基。
15.初始可行基：在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或由单位矩阵的各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基本可行解。
16.最优性检验：判断已求得的基本可行解是否是最优解。
17.最优性检验的依据-----检验数σj:目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变量xi的检验数记为σi,显然所有基变量的检验数必为零。
运筹学知识点要求
运筹学知识点要求运筹学知识点要求第一部分结论1、运筹学的特点（1）以最优性或合理性为核心。
（2）以数量化、模型化为基本方法。
（3）具有强烈的系统性、交叉性特征。
（4）以计算机为重要的技术支持。
2、运筹学模型求解方法：知道迭代算法的原理步骤。
3、运筹学模型（1）运筹学模型：使用较多的是符号或数学模型，大多数为优化模型。
（2）模型的一般结构（3）模型的三大要素决策变量、目标函数及优化方向、约束条件。
（4）了解模型的分类4、建立优化模型解决实际问题（1）要求能对较简单的实际问题建立优化模型。
主要涉及：一般线性规划模型，整数（特别是0－1规划）规划模型。
5、了解运筹学运用领域。
第二部分线性规划1、线性规划模型的几种表示形式及特点2、线性规划模型的标准形式及如何标准化3、线性规划问题各种解的概念及关系（关系图示）（可行解、非可行解、基本解、基本可行解、最优解，基本可行解的个数小于等于）4、线性问题有关解的基本定理（主要是概念理解）（1）不一定都有最优解（2）若有，一定会在基本可行解上达到（3）基本可行解的个数有限小于等于（4）并非所有最优解都是基本可行解（5）了解凸集与凸组合的概念，理解两个最优解的凸组合都是最优解。
（6）可行解为基本可行解的充要条件5、线性规划单纯形法（1）制作初始单纯表（注意非基变量检验系数的求法，特别注意求有待定系数时的检验系数）（2）各种解的判别条件，对于最大化目标函数问题，包括：唯一最优解：有最优解无穷多最优解存在一个k 有：（或称之为线性规划问题存在可择最优解）无界解，存在k 有：（3）线性规划问题求解结果中解的情况有最优解（唯一最优解、无穷多最优解），无界解，无可行解（4）基变换中入基变量的确定A 、入基变量的必要条件（）B 、最速上升准则的理解，不是使目标函数改进最大，而是使目标函数改进速度最大。
m nC m nC 0<j σ0≤j σ0≤j σ0=j σ0,0'≤>k k p 且σ0≥j σ（5）最小比值确定出基变量的目的：保证基变换后新的基本解是可行的。
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学-学习指南
运筹学-学习指南一、名词解释1松弛变量为将线性规划问题的数学模型化为标准型而加入的变量。
2可行域满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
3人工变量亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量。
用单纯形法求解线性规划问题，都是在具有初始可行基的条件下进行的,但约束方程组的系数矩阵A中所含的单位向量常常不足m个，此时可加入若干(至多m)个新变量，称这些新变量为人工变量。
4对偶理论每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出一个问题解的同时，也给出了另一个问题的解。
研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论5灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。
6影子价格反映资源配置状况的价格。
影子价格是指在其他资源投入不变的情况下,每增加一单位的某种资源的投入所带来的追加收益。
即影子价格等于资源投入的边际收益。
只有在资源短缺的情况下,每增加一单位的投入才能带来收益的增加7产销平衡运输一种特殊的线性规划问题。
产品的销售过程中，产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。
8西北角法是运筹学中制定运输问题的初始调运方案（即初始基可行解）的基本方法之一。
也就是从运价表的西北角位置开始，依次安排m个产地和n个销地之间的运输业务，从而得到一个初始调运方案的方法。
9最优性检验检验当前调运方案是不是最优方案的过程。
10动态规划解决多阶段决策过程优化问题的方法：把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解11状态转移方程从阶段K到K+1的状态转移规律的表达式12逆序求解法在求解时，首先逆序求出各阶段的条件最优目标函数和条件最优决策，然后反向追踪，顺序地求出改多阶段决策问题的最优策略和最优路线。
运筹学完整版
绪论
20世纪50年代中期，钱学森、许国志等教授在国内全面介绍 和推广运筹学知识，1956年，中国科学院成立第一个运筹学研究 室，1957年运筹学运用到建筑和纺织业中，1958年提出了图上作 业法，山东大学的管梅谷教授提出了“中国邮递员问题”，1970 年，在华罗庚教授的直接指导下，在全国范围内推广统筹方法和 优选法。
另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择 与评价，工程优化设计等。
“管理运筹学”软件介绍
“管理运筹学”2.0版包括：线性规划、运输问题、整数规划（0-1整数 规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最短路径、 最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、 决策分析、预测问题和层次分析法，共15个子模块。
x
va2x2x a dv 0 dx
2 ( a 2 x )x ( 2 ) ( a 2 x )2 0
x a 6
线性规划问题的数学模型
例1.2 某厂生产两种产品， 下表给出了单位产品所需资 源及单位产品利润
项目
Ⅰ
设备 A（h） 0
设备 B（h） 6
调试工序（h） 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
经济管理学核心课程
运筹学
( Operations Research )
第一章
运
决
筹
胜
帷
绪论
千
幄
里
之n
外
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在经济管理中的应用
绪论
什么是运筹学? Operational Research 运用研究、 运作研究
运筹学专题知识
2024/10/29
（二）运筹学旳产生
运筹学是一门利用科学，它本身是在利用中产生与发 展旳，产生旳背景为第二次世界大战。
1．“OR”一词旳提出 2．不列颠之战 3．盟军封锁直布罗陀海峡
2024/10/29
一、运筹学旳历史
运筹学旳精粹可归纳为“优化决策”，而优化决策 古已经有之，作为完整、系统旳学科，运筹学产生于本 世纪，古代旳优化决策与当代运筹学旳产生有着旳主动 影响。
（一）朴素旳优化思想
1．赛马与桂陵之战 2．晋国公重建皇城
2024/10/29
1．赛马与桂陵之战
“田忌赛马”是家喻户晓旳历史故事。战国时齐威王与齐相田忌 赛马，双方各出三匹马比赛，每胜一场赢得一千金。因为王府旳 马比相府旳马好，所以田忌每天都要输掉三千金。
巡查机中队击沉击伤德军潜艇3艘，自己无一伤亡。
2024/10/29
（三）运筹学旳发展
战后OR技术被广泛用于经济领域，并得到了很大旳发展。它旳发展大致可 分三个阶段：
1．从1945年到50年代初，被称为创建时期。此阶段旳特点是从事运筹学研 究旳人数不多，范围较小，运筹学旳出版物、研究组织等寥寥无几
2．从50年代早期到50年代末期，被以为是运筹学旳成长时期。此阶段旳一 种特点是电子计算机技术旳迅速发展，使得运筹学中某些措施如单纯形法、动 态规划措施等，得以用来处理实际管理系统中旳优化问题，增进了运筹学旳推 广应用。
2024/10/29
2．晋国公重建皇城
距今约1023年前，开封一场 大火，北宋皇城毁于一旦。宋真 宗命晋国公丁渭，主持重建全部 宫室殿宇。
运筹学
目标规划
( Goal programming )
本章主要内容：
目标规划问题及其数学模型
目标规划问题及其数学模型
Page 28
问题的提出：
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理多目 标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。
由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复 杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产 生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标管 理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的 轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标 或从总体上离规定目标的差距为最小。
含量 食物
甲
乙
成分
A1 A2 A3 原料单价
0.1
0.15
1.7
0.75
1.10 1.30
2
1.5
最低 需要量
1.00 7.50 10.00
线性规划在管理中的应用
解：设Xj 表示Bj 种食物用量
min Z 2 x1 1.5 x2
0.10x1 0.15x2 1.00
1.7 1.1
艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
Page 5
运筹学简述
Page 6
运筹学（Operations Research） 运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话：
“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
x5 x6 30
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
此问题最优解：x1＝50， x2＝20， x3＝50， x4＝0， x5＝20， x6＝10，一共需要司机和乘务员150人。
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等重重困难。
丁渭第一件事是将皇宫周围的大街小巷挖成河道，与河流相通。 挖出来的土烧砖制瓦，解决了取土问题，这是短期目标，为修皇宫
服务。全国各地建筑材料水运到京城，由开挖的河道直接运到工地，
省去二次运输，节约了一大笔资金，解决了运输问题。几年以后， 皇宫修复了，建筑垃圾成山，他又叫人将垃圾填到挖的河道中去， 恢复了原来的大街小巷，结果，皇宫修成了，街道恢复了，资金节 省了，可谓“一石三鸟”。 这是一个典型的长短联系的好决策，这种综合解决问题的思想 便是出色的系统工程思想。
反潜深水炸弹在各种情况下 如何调整其爆炸深度， 才能增加对德国潜潜艇的杀伤力等。
二、运筹学的来源
绪
论
英国第一个运筹小组：领导人，著名的物理学家 M．s．Blackett （后来因在宇宙射线方面的研究成果而 获得诺贝尔物理学奖） 。 组员：2位数学家，2位普通物理学家，1位理论物理 学家，1位天体物理学家，l位测量员，3位生理学家，1 位军官）。--------“Blackett杂技团”。 美国也成立一个运筹小组：领导人，物理学家 Philip W．Morse（美国运筹学会第一届主席） 。组员 与英国相仿，大多为自然科学家，包括数学家、物理学 家，其中还有一位象棋大师。
绪
论
统的科学”，“运筹学为掌管这类系统的
人提供决策目标和数量分析的工具 ”
一、运筹学释义
《中国大百科全书 》
绪
论
“用数学方法研究经济、民政和国防等部
门在内外环境的约束条件下合理分配人力、物 力、财力等资源，使实际系统有效运行的技术科 学。它可以用来预测发展趋势、制定行动规划或 优选可行方案”
一、运筹学释义
(1)做出面包进货问题的决策矩阵；
(2) 用处理不确定性决策问题的方法确定最优进货量。
运筹学在科技体系中的地位
绪
论
一门科学只有成功地应用数学时，才算达到了完善的地步。 -----马克思
钱学森
钱学森（1911.12.11～今）。中国著名物理学家， 世界著名火箭专家。被誉为“中国导弹之父”。 1934年毕业于交通大学（西安交），1934年在美国麻省理工学院和 加利福尼亚理工大学学习。1938年获博士学位，后留任美国并从事火箭 研究。 1950年开始争取回归祖国，当时一位美国海军的一位高级将领金布 尔说：“钱学森无论走到哪里，都抵得上5个师的兵力，我宁可把他击 毙在美国也不能让他离开。”因此钱学森受到美国政府迫害，失去自由， 历经5年于1955年才回到祖国。1991年10月，国务院、中央军委授予钱 学森“国家杰出贡献科学家”荣誉称号和一级英雄模范奖章。 2007年感动中国组委会授予钱学森的颁奖词：在他心里，国为重， 家为轻，科学最重，名利最轻。5年归国路，10年两弹成。他是知识的 宝藏，是科学的旗帜，是中华民族知识分子的典范。
对策论
“二指莫拉问题”，甲、乙二人游戏，每人出一个或两
个手指，同时又把猜测对方所出的指数叫出来。如果只有一
个人猜测正确，则他的赢得分数为二人所出指数之和、否则 重新开始。试写出该对策中各局中人的策略集及甲的赢得矩 阵，并说明是否存在某一种策略比其它策略更有利。 再如“囚徒困境”
A B 坦白 抵赖
坦白 抵赖
二、运筹学的来源
绪
论
运筹学在军事领域中的应用取得了显著效果。 例如，在第二次世界大战中，德国潜艇严重威胁盟军运 输船队。反潜战的一个重要问题是：当侦察飞机发现潜艇后， 飞机投掷深水炸弹的最佳时间以及炸弹引爆的最佳深度应是 多少? 运筹工作者对大量统计数字进行认真分析后，提出： (1) 应在潜艇浮出水面或刚下沉时，投掷深水炸弹； (2)炸弹起爆的最佳深度为离水面25英尺(当时深水炸弹 所容许的最低起爆点)。 空军采用上述建议后，使德国潜艇被摧毁数增加到400%。 船只受敌机攻击时中弹数由47%降到29%。
主讲:常相全 济南大学管理学院
绪
论
运筹学释义 运筹学的来源 运筹学的发展 运筹学研究的基本特征 运筹学研究的基本步骤 运筹学主要分支简介
一、运筹学释义
绪
论
《大英百科全书》
《中国大百科全书 》 《辞海》(1979年版)
《中国企业管理百科全书》
一、运筹学释义
《大英百科全书》 “运筹学是一门应用于管理有组织系
- 8，-8 -10，0
0，-10 -1，-1
决策论
根据以往的资料，一家面包店每天所需面包数(当天市
场需求量)可能是下列当中的某一个，100，150，200，250，
300，但其概率分布不知道。如果一个面包当天没有卖掉， 则可在当天结束时每个0.15元处理掉。新鲜面包每个售价为 o．49元，成本为0．25元，假设进货量限制在需求量中的某 一个，要求：
二、运筹学的来源
正式使用：二十世纪三十年代后期的二战期间
绪
论
英美---“运作研究” (operational Reserch)小组。 通过科学方法的运用成功地解决了许多非常复杂的战 略和战术问题。 例如如何合理运用雷达有效地对付德国空袭； 对商船队如何进行编队护航，在船队遭受德国潜艇攻
击时使船队损失最少；
三、运筹学的发展
运筹学在中国的发展
绪
论
引入：中国第一个运筹学小组在钱学森、许国志先生的 推动下在1956年于中国科学院力学研究所成立。 1959年，第二个运筹学部门在中国科学院数学研究所成 立。力学所小组与数学所的小组于1960年合并成为数学研究 所的一个研究室，当时的主要研究方向为排队论、非线性规 划和图论。 五十年代后期，运筹学在中国的应用集中在运输问题上。 “打麦场选址问题”；“中国邮路问题”（管梅谷）。 中国运筹学早期应用的亮点由华罗庚教授点燃的。
七、对策论(game theory)
八、决策论(decision theory)
线性规划问题
某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如 表所示。每班护士值班开始时向病房报到，并连续工作8小时。 试决定该医院最少需多少名护士，以满足轮班需要？
班次 1 2 3 工作时间 6:00-10:00 10:00-14:00 14:00-18:00 所需护士数（人） 60 70 60
为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效
的管理。”
二、运筹学的来源
名称来源
绪
论
运筹学一词在英国称为Operationa1 research，在美国称为 operations research(缩写为O．R．)，可直译为“运用研究”或 “作业研究”。 1957年我国从“夫运筹帷幄之中，决胜千里之外”（见 《史记· 高祖本纪》)这句古语中抽取“运筹”二字，将 O．R．正式译作运筹学，包含运用筹划．以策略取胜等意义，
三、运筹学的发展
绪
论
值得注意的是：当时许多实际问题的解决，仅应用了 初等概率和统计。第二次世界大战以后，运筹学得到了很 大的发展。 一方面，运筹学得到了广泛应用。它几乎涉及经济管 理的所有领域； 另一方面，在理论方面发展了一些数学分支，例如数
学规划、应用概率、应用组合论、博弈论、数理经济学、
系统科学等。 大体可分为以下三个阶段：
150元，每年的存贮费为成本的10％，每次订购费为500
元。求： (1)不允许缺货条件下的最优存贮策略； (2)允许缺货(缺货费为每件每年100元)条件下的最优 存贮策略。
排队论
某店仅有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson流，
平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需10分钟。
求： (1)店内空闲的概率； (2)有4个顾客的概率； (3)至少有1个顾客的概率； (4)店内顾客的平均数； (5)等待服务的顾客的平均数 (6)平均等待修理时间；
4
5 6
18:00-22:00
22:00-2:00 2:00-6:00
50
20 30
动态规划问题
某公司打算在3个不同地区设置4个销售点，根据市场预测 部门估计，在不同地区设备不同数量的销售站，每月可得利 润如表所示，试问应如何在各地区设置销售站，可使每月总 利润最大？
地区 销售站 0 1 2 3 4
三、运筹学的发展
绪
论
中国运筹学会于1980年成立，作为中国数学会的一个分会。1982年 成为国际运筹学联合会（IFORS）的成员。 1992年中国运筹学会从中国数学会独立出来成为国家一级学会是学 会发展史上的一个重要事件。 近二十年来，中国运筹学工作者在信息科学、生命科学等现代高科 技都作出了突出的贡献。 例如，将全局最优化、图论、神经网络等运筹学理论及方法应用于 分子生物信息学中的DNA与蛋白质序列比较、芯片测试、生物进化分析、 蛋白质结构预测等问题的研究； 在金融管理方面，将优化及决策分析方法，应用于金融风险控制与 管理、资产评估与定价分析模型等； 在网络管理上，利用随机过程方法，研究排队网络的数量指标分析； 在供应链管理问题中，利用随机动态规划模型，研究多重决策最优 策略的计算方法。
《辞 海》
绪
论
“主要研究经济活动与军事活动中能用数量
来表达的有关运用、筹划与管理方面的问题．它
根据问题的要求，通过数学的分析与运算，作
出综合性的合理安排．以达到较经济较有效地 使用人力物力。”
一、运筹学释义
绪
论
《中国企业管理百科全书》 “应用分析、试验、量化的方法，对经济