附录1截面的几何性质
附录 截面几何性质(1)
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC
A1xC1 A2 xC2 A1 A2
105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm
140.9mm
yC
A1 yC1 A2 yC2 A1 A2
105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm
136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。
附录Ⅰ-常见截面的几何性质
取微面积dA=dzdy，则：Izy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
由 Iz 对 A y 2 称 dIy A 性 R IR z2 y ： 2 6D 44R ;2 由 y 几 2 d 何 y 关 R 4 4 系 2＝ ： 6 D y24 ;4 z2,
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
Байду номын сангаас
则截面对该轴的静矩为零。
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二、形心公式：
yc
SAz ;zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i1
z2dA;
A
圆形截面：Iy
Iz
D4 ;
64
几何关系： IP A2 d A A (y 2 z 2 ) d A I Z Iy .
四、惯性积：
Izy
zydA;
A
五、平行移轴公式：
Iz1za2A; y1 y b2A; Iz1y1 Izyab;A
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 o 角，即 形心主惯性轴。
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
材料力学(金忠谋)第六版答案-附录
材料力学(金忠谋)第六版答案-附录附录I 截面图形的几何性质I-1 求下列截面图形对z 轴的静矩与形心的位置。
解：（a ）)2)2((2)2(2h t h b t h ht t h bt s z ++=⋅++=hb h t h b h b t h t h b t A s y zc +++=+++==2)2()()2)2((22（b ）322332219211)}2)4()43()41()43(32(])4()43[(2{4442DD D D D D D D D D s z =--⨯-+⨯⨯-=ππDD D D D DAs y z c 1367.0])2()43[(2)44(219211223=-⨯+⨯==π（c ）]22)[(22)(2h t t b t h ht t t t b s z +⋅-=⨯+⨯⨯-=tb)(2)(2t b h h t t b A s y z c -++-==I-2 试求（1）图示工字形截面对形心轴 y 及 z 的惯性矩zI 与I y 。
（2）图示 T 字形截面对形心轴的惯矩zI 与I y 。
解(a)12)2)((12)2)((123333t h t b bh t h t b bh J z ---=---=12))2(2(12))(2(1222333t t h b t t t h tb J y -+=-+=(b) cmy c 643.9)520515(2)515(552522=⨯+⨯-⨯+⨯=(b433423231615121551252010186520)643.91025(12205515)5.2643.9(12515cm J cm J y z =⨯+⨯==⨯⨯--+⨯+⨯⋅-+⨯=I-3 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。
解：θθcos ,sin ⋅=⋅=a z b yθθd b dy cos = ⎰⎰--⋅==∴b bbbz zdyy dA y J 222322223224cos sin 2cos cos sin 2ab d abd b a b J bb z πθθθθθθθππ==⋅=⎰⎰--)(4)(42422333b a ab b a ab J J J b ab ab AJ i y z p zz +=+=+====ππππI-4 试求图示的41的圆面积（半径a ）对于z ，yyy 轴的惯性积zyI 。
《材料力学》课程讲解课件附录I平面图形几何性质
解：
y
d
S x
yd A
A
2 yb( y) d y
0
b(y)
C
xc
yc
d
2 y2
R2 y2 d y d3
0
12
x
d
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
b( y) 2 R2 y2
29
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
y
2、求对形心轴 xc 的惯性矩
Ix
πd 4 64 2
3、惯性积是对轴而言。
y
z
dA
4、惯性积的取值为正值、负值、零。
y
5、规律：
o
z
20
5、规律：
Izy
zydA
A
0
y
dA z z dA
y
y
z
o
两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则 图形这一对坐标轴的惯性积为零。
21
对比记忆 静矩、形心；惯矩和惯性半径；它们都是反映截
面面积关于坐标轴分布情况的物理量。 静矩=（面积）（形心坐标） 惯矩=（面积）（惯性半径）2
z
o
dA y
z
全面积对z轴的惯性矩: I z y2dA,
2 z2 y2
全面积对y轴的惯性矩: I y A z2dA
A
15
Iz y2dA, I y z2dA
A
A
y
z
dA
y
o
z
2、量纲：［长度］4；单位：m4、cm4、mm4。 2 z2 y2
3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。
A
材料力学 截面的几何性质
1、矩形截面 h
Iz
y2dA
A
2 h
y 2bdy
h
2
dy y
b y 3 2 1 bh3 3 h 12
2
同理
Iy
z2dA 1
A
12
hb3
b h z
y
26
2、实心圆截面
y
已知
IP
A2dA
D 4 32
D
z
则 I P A2 d A A y 2 d A A z 2 d I A z I y
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
z
y
o
A dA
z
y
惯性积
定义
Iyz
yzdA
A
z y
A dA
为图形对y、z轴的惯性积 。
z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
4.3 形心主惯性轴和形心主惯性矩
若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴(principal centroidal axis)。
图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 由于图形对于对称轴的惯性积等于零，而对称轴又过形心，所以，图形 的对称轴就是形心主惯性轴。
形心主惯性轴的特点可归纳为以下几点： ⑴形心主惯性轴是通过形心，由角定向的一对互 相垂直的坐标轴。
32
32
圆环形对y(或z)轴的惯性矩为
IyIz1 2Ip6 D4414
由于y轴为对称轴，故
Iyz 0
z
y
d D
材料力学 附录_2
267 104 mm4
附录I 截面的几何性质
于是有组合截面对于两主轴x轴和y轴的惯性矩分别为
I x I x1 2 I x2 3690 10 4 mm 4 2 2110 10 4 mm 4 7910 10 4 mm 4 I y I y1 2 I y2 431 10 4 mm 4 2 267 10 4 mm 4 965 10 4 mm 4
附录I 截面的几何性质
解：将原平面图形分成上中下三个矩形。过形心建立参考坐标 系
40 53 5 603 I x 2I x1 I x2 2 40 5 27.52 12 12 y 4 4 393333 mm 39.33cm I y 2 I y1 I y2
I yC 218.415 cm 形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm 等边角钢截面
4
A 20.30 cm 2 I xC I yC 149.22 cm 4
形心位置如图所示
附录I 截面的几何性质
组合截面的形心C在对 称轴x上。以两个角钢截面的 形心连线为参考轴,只需求组 合截面形心C以该轴为基准 的横坐标 x ：
a
x
附录I 截面的几何性质
例题
图示组合截面由一个 25c号槽钢截面和两个 90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面组成。 试求此截面分别对于形 心轴x和y的惯性矩Ix 和 Iy 。
附录I 截面的几何性质
解: 1. 求组合截面的形心位置
由型钢规格表查得：25c号槽钢截面 A 44.91cm 2， I xC 3 690.45 cm4
I x1 y1 dA
2 A
x1 x cos y sin y1 x sin y cos
附录1-截面的几何性质 杨大方
Ix
C
2 πd 4 2d πd 2 2d πd I x 128 3π 8 3π 8
2
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：
I x2 I x C
2d πd 2 a 3π 8
I p dA ( x y )dA
2 2 2 A A
O 二、惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。
A A
x 2dA y 2dA I x I y
图形对x轴的惯性矩: 图形对y轴的惯性矩:
11
I x y 2 dA
A
量钢：L4
I y x 2 dA
tg2 0 2I xCyC I xC I yC
⑥求形心主惯性矩
31
I xC0 I xC I yC I xC I yC 2 2 ( ) I xCyC 2 2 I yC0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)
附录Ⅰ 截面的几何性质
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
Ⅰ-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·
一、平行移轴定理： 以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图
y
y
yC x dA xC C b y x
xa xC yb yC
I x y 2 dA
A
a
( yC b) 2 dA
2
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 a 8 3π 8 128 3π
截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
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dI y1
d
Iy Iz
sin 2 2I yz cos 2
I z1
I
y
2
Iz
I
y
2
Iz
cos2
I
yz
sin 2
dIz1 d
Iy Iz
sin 2 2I yz cos 2
当＝0时，
dI y1
dIz1
0
d ＝0 d ＝0
Iz A 10
例：求图示矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性半径。
z
dz
z
C
y
h
b
I y z2 dA
A
h
2 -h
bz2dz
2
bh3 12
iy
Iy A
bh3 12bh
h 12
同理：
Iz
b3h 12
iz
Iz A
b3h 12bh
b 12
11
二、极惯性矩： z
y
dA
§Ⅰ-2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩和惯性半径：
z
对 y 轴的惯性矩 I y z2 dA
A
y
dA
对 z 轴的惯性矩 Iz y2 dA
A
大小：正。 z
量纲：[长度]4
O
y
Iy
A
i
2 y
对 y 轴的惯性半径 i y
Iy A
I z A iz2
对 z 轴的惯性半径 iz
则截面图形对其对称轴的静矩恒为0。
8
三、组合截面图形的静矩和形心
n
z
S y Ai zi i 1
n
Sz Ai yi i 1
n
yc
Sz A
Ai yi
i 1 n
Ai
i 1
n
zc
Sy A
Ai zi
i 1 n
Ai
i 1
10
[例Ⅰ-1] 试确定左图的形心。
A
大小：正，负，0。
量纲：[长度]3
7
二、截面图形的形心
截面图形的形心 = 几何形状相同的均质薄板重心
z
yc
C
yc
A
y dA A
Sz A
zc
zc
z dA
A
A
Sy A
O
y
S y A zc Sz A yc
结论：若Sy=0 zc=0 y 轴通过形心，反之亦成立。
若Sz=0 yc=0 z 轴通过形心，反之亦成立。
主惯性矩：I y0
I z0
Iy
Iz 2
I
y
2
Iz
2
I
2 yz
25
I y0z0
Iy
2
Iz
s in 2 0
I yz
cos 20
0
tan
2 0
2I yz Iy Iz
I
y1
I
y
2
Iz
I
y
2
Iz
cos2
I
yz
sin 2
y
Izc 2bSzc b2 A
I zc b2 A 16
z
y zc
b
y1
dA
C
O
z1 az
Iz Izc b2 A
同理： I y I yc a2 A
yc
I yz I yzc abA
y
在所有互相平行的轴中，截面图形对形心轴的惯性矩 最小。
17
[例Ⅰ-2] 求图示带圆孔的圆形截面对 y 轴和 z 轴的惯
z
100
解：(1)选参考系 y' z ，确定形心 C 的位置： n
① Cy
zc
Sy' A
Ai zi
i 1 n
Ai
y′
i 1
yc 0
②
20
20 100 80 20 140 0 33.3mm 20 100 20 140
160 140
(2)计算Iy
I y I y1 I y2
5 d 4
64 18
[例Ⅰ-3] 求图示圆对其切线AB的惯性矩。
z
d O
A
解：建立形心坐标如图,求图 形对形心轴的惯性矩。
Ip
d4
32
Iy Iz
2Iy
y
Iy
Iz
d4
64
B
I AB
Iy
d 2
2
A
d4
64
d4
16
5 d 4
64
19
[例Ⅰ-4] 求图示截面图形对水平形心轴 y 的惯性矩。
I yc0
I
zc0
I yc
2
I zc
I
yc
2
I zc
2
I
2 yczc
28
[例Ⅰ-7] 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形 的形心主轴。(b=1.5d)
z
解 ： 建立参考坐标系yOz：
d zC O
C
b
求形心位置：
2d
y1 y
yC
yC
弯曲构件：
My , w M
Iz
EI z
3
4
5
软土地区的新型无碴轨道系统：
钢轨嵌入式轨道结构的横截面——梯形箱型梁， 结构刚度很大，可以减少不均匀沉降和振动。
6
§Ⅰ-1 静矩和形心
一、静矩
z y
O
dA
z y
对 y 轴的静矩：
S y z dA
A
对 z 轴的静矩： Sz y dA
857.8
组合截面可以大大提高截面惯性矩。
22
§Ⅰ-4 惯性矩、惯性积的转轴公式
一、转轴公式 z1 z
y
dA
y1
z1
z
I y z2 dA Iz y2 dA
A
A
α逆时针转为正。
y1
I y1 z12 dA
A
Iz1 y12 dA
A
I yz yz dA
A
y zc
b
y1
Izc y12 dA I yc z12 dA
A
A
I yczc y1z1 dA
dA
C
z1 a z yc
A
Iz A y2dA A(b y1)2dA
A( y12 2by1 b2 )dA
O
zc为形心轴， Szc Ayc 0
y z0
z1
解：
Iz
4I z1
a 2
z0
2
A
a z 4 779 .53 150 4.312 31.502
4 (779 .53 668648 .1)
a
2677710 .52 cm4
单平个衡形项心惯惯性性矩矩
668648.1 779.53
zc
A1z1 A2 z2 A1 A2
120 10
C2
C yc , zc
C1
80
y
10 80 5 10 110 10 80 10 110
65
39.74
mm
yc
A1 y1 A2 y2 A1 A2
10 80 40 10 110 5 19.79 4 mm 10 80 10 110
I z1
I
y
2
Iz
I
y
2
Iz
cos2
I
yz
sin 2
转轴公式
I y1z1
Iy
2
Iz
sin 2
I yzcos2
I y1 I z1 I y I z 24
I
y1
I
y
2
Iz
I
y
2
Iz
cos2
I
yz
sin 2
I z1
I
y
2
Iz
I
y
2
Iz
[ 1 100 203 20 100 (80 33.3)2 ] 12
( 1 20 1403 20 140 33.32 ) 12
20
1210.7 104 mm4 1210.7cm4
[例Ⅰ-5] 计算图示箱式截面对水平形心轴z的惯性矩Iz
。
500
z’ 解：(1)选参考系 yz 确
dA dA yy
zz
O
z 轴为对称轴：I yz yz dA 0
A
y 图形对任一包含对称轴在内的一
y 对正交坐标轴的惯性矩为0。
n
组合图形的惯性积 I yz I yzi i 1
惯性矩是对一根轴而言的，惯性积是对一对轴而言的，
极惯性矩是对一点而言的。