附录 截面的几何性质(材料力学)
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材料力学 附录_2
2
267 104 mm4
附录I 截面的几何性质
于是有组合截面对于两主轴x轴和y轴的惯性矩分别为
I x I x1 2 I x2 3690 10 4 mm 4 2 2110 10 4 mm 4 7910 10 4 mm 4 I y I y1 2 I y2 431 10 4 mm 4 2 267 10 4 mm 4 965 10 4 mm 4
附录I 截面的几何性质
解：将原平面图形分成上中下三个矩形。过形心建立参考坐标 系
40 53 5 603 I x 2I x1 I x2 2 40 5 27.52 12 12 y 4 4 393333 mm 39.33cm I y 2 I y1 I y2
I yC 218.415 cm 形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm 等边角钢截面
4
A 20.30 cm 2 I xC I yC 149.22 cm 4
形心位置如图所示
附录I 截面的几何性质
组合截面的形心C在对 称轴x上。以两个角钢截面的 形心连线为参考轴,只需求组 合截面形心C以该轴为基准 的横坐标 x ：
a
x
附录I 截面的几何性质
例题
图示组合截面由一个 25c号槽钢截面和两个 90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面组成。 试求此截面分别对于形 心轴x和y的惯性矩Ix 和 Iy 。
附录I 截面的几何性质
解: 1. 求组合截面的形心位置
由型钢规格表查得：25c号槽钢截面 A 44.91cm 2， I xC 3 690.45 cm4
I x1 y1 dA
2 A
x1 x cos y sin y1 x sin y cos
267 104 mm4
附录I 截面的几何性质
于是有组合截面对于两主轴x轴和y轴的惯性矩分别为
I x I x1 2 I x2 3690 10 4 mm 4 2 2110 10 4 mm 4 7910 10 4 mm 4 I y I y1 2 I y2 431 10 4 mm 4 2 267 10 4 mm 4 965 10 4 mm 4
附录I 截面的几何性质
解：将原平面图形分成上中下三个矩形。过形心建立参考坐标 系
40 53 5 603 I x 2I x1 I x2 2 40 5 27.52 12 12 y 4 4 393333 mm 39.33cm I y 2 I y1 I y2
I yC 218.415 cm 形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm 等边角钢截面
4
A 20.30 cm 2 I xC I yC 149.22 cm 4
形心位置如图所示
附录I 截面的几何性质
组合截面的形心C在对 称轴x上。以两个角钢截面的 形心连线为参考轴,只需求组 合截面形心C以该轴为基准 的横坐标 x ：
a
x
附录I 截面的几何性质
例题
图示组合截面由一个 25c号槽钢截面和两个 90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面组成。 试求此截面分别对于形 心轴x和y的惯性矩Ix 和 Iy 。
附录I 截面的几何性质
解: 1. 求组合截面的形心位置
由型钢规格表查得：25c号槽钢截面 A 44.91cm 2， I xC 3 690.45 cm4
I x1 y1 dA
2 A
x1 x cos y sin y1 x sin y cos
附录1-截面的几何性质 杨大方
Ix
C
2 πd 4 2d πd 2 2d πd I x 128 3π 8 3π 8
2
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：
I x2 I x C
2d πd 2 a 3π 8
I p dA ( x y )dA
2 2 2 A A
O 二、惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。
A A
x 2dA y 2dA I x I y
图形对x轴的惯性矩: 图形对y轴的惯性矩:
11
I x y 2 dA
A
量钢：L4
I y x 2 dA
tg2 0 2I xCyC I xC I yC
⑥求形心主惯性矩
31
I xC0 I xC I yC I xC I yC 2 2 ( ) I xCyC 2 2 I yC0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)
附录Ⅰ 截面的几何性质
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
Ⅰ-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·
一、平行移轴定理： 以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图
y
y
yC x dA xC C b y x
xa xC yb yC
I x y 2 dA
A
a
( yC b) 2 dA
2
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 a 8 3π 8 128 3π
第4章(截面的几何性质)重要知识点总结(材料力学)
【陆工总结材料力学考试重点】之（第4章）截面的几何性质1、静矩与形心？答：图形几何形状的中心称为形心。
对于图示的任意平面图形，任取一微元dA，设其坐标为（y，z），则定义：平面图形对于z轴的静矩：S z=∫ydAA平面图形对于y轴的静矩：S y=∫zdAA定义平面图形对于坐标轴（y，z）的惯性积：I yz=∫yzdAA根据积分的性质可知：当选取的y、z轴不一样时，则惯性积I yz也不一样。
若对于某对坐标轴y0、z0使得I y=0，则该对坐标轴y0、z0称为主轴，过0z0形心的主轴称为形心主轴（注：求主轴非常麻烦，大家只需记住以下结论）。
结论：1）圆截面的任何两条过圆心的且互相垂直的直径都是形心主轴；2）矩形截面的两条对称轴就是形心主轴；3）若截面有2跟对称轴，此两轴即为形心主轴，若截面只有一根对称轴，则该轴必为形心主轴，令一形心主轴为通过形心且与该对称轴垂直的轴。
2、简单截面的惯性矩与极惯性矩？答：（1）惯性矩与极惯性矩的定义如图，任意图形的面积为A，在其上任取微元dA，坐标为（y，z），则定义：平面图形对于z轴的惯性矩为：I z=∫y2dAA平面图形对于y轴的惯性矩为：I y=∫z2dAA平面图形对坐标原点O点的极惯性矩为：I p=∫ρ2dAA式中：ρ为该微元dA到原点的距离，由图可知：y2+z2=ρ2则：I p=I y+I z。
（2）常用截面的惯性矩和极惯性矩①实心圆截面（注：直径为d，对于形心主轴（即y、z轴过圆心O））I p=πd432，又：I p=I y+I z，故：I y=I z=πd464②空心圆截面（注：外径为D，内径为d，空心比α=dD，对于形心主轴）I p=πD432（1−α4），又：I p=I y+I z，故：I y=I z=πD464（1−α4）③矩形截面（注：设z轴方向宽度为b，y轴方向高度为h，对于形心主轴）I y=ℎb312I z=bℎ3123、组合截面的惯性矩与平行移轴公式？答：（1）组合截面惯性矩的计算对于图所示的组合截面（从圆截面中挖掉一个正方形后剩下的阴影部分），则根据负面积法求组合截面对轴的惯性矩：Iz组=Iz圆−Iz矩（2）惯性矩的平行移轴公式I z1=I z+Aa2式中：A为平面图形的面积，a为z轴与z1轴之间的距离。
材料力学公式
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
平面极值应力： σ max/min =
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
σx +σ y
2
± (
σ x −σ y
2
2 )2 + τ x
τ max/min = ± (
tan 2α 0 = −
σ x −σ y
τ = Gγ
γ
--切应变
Hale Waihona Puke 第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 正应力
σ=
F A
斜面上的应力：
σ α = σ 0 cos2 α
τα = σ0
2 sin 2α
σ0 = F / A σ max = 2τ max = σ 0 σ s --屈服极限
断面收缩率：ψ =
α 为法线与水平线夹角
σ p --比例极限
延伸率： δ =
第九章 复杂应力状态强度问题
εy = εz =
主应力与主应变的关系： ε1 =
ε2 = ε3 =
1、最大拉应力理论（第一强度理论） ： σ 1 ≤ [σ ] 2、最大拉应变理论（第二强度理论） ： σ r 2 = σ 1 − μ (σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ ] 3、最大切应力理论（第三强度理论） ： σ r 3 = σ 1 − σ 3 ≤ [σ ] 4、畸变能理论 （第四强度理论） ：σ r4 =
两端固定 μ =0.5
一段铰支一段固定
μ =0.7
临界应力： σ cr =
Fcr π 2 E I π 2 E = = A ( μl )2 A λ 2
材料力学课件4第四章弯曲内力4-3(附录I)
h
O
x
b
dA=b· dy
y dy y
O
h
x
b
bh I x = y dA= y bdy A h / 2 12
2 h/2 2
3
( 公式熟练掌握：宽×高3/12） 同理：
hb I y = x dA= x hdy A b / 2 12
2 b/2 2
3
例I-4：计算如图的惯性矩Ix , Iy,。 y d
将有关尺寸(mm)标在图中 y' C2
250
C1
O'
x
98 .3 26 .7
C3
26 .7
19 .21
y 0
A 24.1mm A x 4491(19.21 26.7) 2 2030 0 x
i i
.
4491 2 2030
将有关尺寸标在图中，标形心轴x-y轴 y y' 24 .1
Sx A
组合图形计算形心坐标的公式(I—2a)为：
x
A
xdA A
Sy A
S A
y ,i
Ax A
i i
y
A
ydA A
Sx Sx ,i A i yi A A A
(I—4)
形心坐标的公式(I—2a) 可改写为：
Sy Ax
常用，掌握
Sx Ay
(2) 由
Sx Ay
Sy Ax
2
y
bh h bh Sx Ay 2 3 6
h
C
b
h/3 x
补例：计算如图(a)的静矩Sz ,Sy, 图(b) Sz 。
材料力学截面性质
二 零次矩 一次矩
S y = xdA
A
次
矩 极惯性矩
I p = ( x 2 + y 2 )dA
A
惯性矩
I x = y 2dA
A
惯性积
I xy = xydA
A
定义
A = dA
A
∫
∫ ∫
∫ ∫
S x = ydA
A
I y = x dA
2 A
Байду номын сангаас
∫
∫
符号 单位
轴过 形心 关于 形心 计算
恒正
m2
可正可负
m3
恒正
A A 2 2 2 极惯性矩 I p = ∫ ( x + y )dA = ∫r dA A A
惯性积 I xy = ∫ xy dA
A
常用图形的惯性矩
I xy = I x′y abA ′ +
平行移轴公式 转轴公式
+ I x = I x′ a 2 A
+ I y = I y ′ b 2 A
I xy = ∫ xy dA
A
3 7 = 3a 2 · – a + 3a 2 · –a = 15a 3 Sy 2 2 A = 2 · 3a 2 5 ∴ yc = – a 2
极惯性矩 ( polar moment of inertia )
I p = ∫ ( x 2 + y 2 )dA = ∫r 2 dA
1 性矩为 Ix = — π D 4(1–α 4 ) ，极惯性矩为 64
α 为内径与外径之比。 重要结论 坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。
三、平行移轴定理 ( parallel-axis theorem )
材料力学 截面的几何性质
O1 O 2
O
x
O3
x 1
C
课堂练习
I.
&
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
B
A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴 在图示开口薄壁截面图形中，当（ 为一对主轴。
y
）时，y-z轴始终保持
A. y轴不动，x轴平移； B. x轴不动，y轴平移； C. x轴不动，y轴任意移动；
y b C 1x C 2x O a x
æ 1 öæ 2 ö æ 1 öæ h ö = ç bh ÷ç h ÷ + ç ah ÷ç ÷ è 2 øè 3 ø è 2 øè 3 ø
h 2 = (a + 2 b ) 6
形心位置
h
x = 0
h 2 (a + 2 b ) h a + 2 b S x y = = பைடு நூலகம்· = 6 A h 3 a + b (a + b ) 2
主惯性矩:
图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩
形心主轴:
过形心的主轴称为形心主轴
形心主矩:
图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩
课堂练习
I.
&
在下列关于平面图形的结论中，（
）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零； D.使静矩为零的轴必为对称轴。 在平面图形的几何性质中，（
y
dA y
ü2、惯性矩和极惯矩永远为正，
惯性积可能为正、为负、为零。
x 1
ü3、任何平面图形对于通过其形
材料力学 附录 截面的几何性质
(Properties of Plane Areas) 三、组合截面的静矩和形心 (The first moments ¢roid of a composite area)
由几个简单图形组成的截面称为组合截面.
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截 面对于同一轴的静矩.
(Properties of Plane Areas)
§1-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of
an area)
一、静矩(The first moment of the area ）
截面对 y , z 轴的静矩为
z
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
dA z
静矩可正，可负，也可能等于零.
1
矩形 2
A2 10 80 800mm2
y2
10
80 2
50mm
z2 5mm
所以 y A1 y1 A2 y2 23mm A1 A2
z A1z1 A2z2 38mm A1 A2
y1
z1
2 z2
10
O y2
y
90
(Properties of Plane Areas)
方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
yC , zC￣ 过截面的形心 C 且与 y, z轴平行
的坐标轴(形心轴）
z
Iy , Iz , Iyz — 截面对 y, z 轴的惯性矩和惯性积.
zC
IyC , IzC , IyCzC￣ 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩
n
Ai zi
z
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b b( y ) ( h y ) h
b(y )
S x A y d A 0
b bh2 (h y ) y d y h 6
h
dy
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 试确定图示截面心 C 的位置。 解：将截面分为 1，2 两个矩形。 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合 y
10
1
x1
C( y, x )
y1
o
2
y2
10
x2
80
x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
思考： 求下图所示截面的形心位置
50
10 A1
z
60
A2
10
y
12
yc1 A1 yc 2 A2 yc A1 A2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 半径为r的半圆：求半圆的形心。 解 在距 z 轴任意高度 y 处取狭长条 作为微面积，即
分别称为截面图形对于z轴和y 轴的惯性矩。 惯性矩的数值恒为正，常用单位为m4 。
14
dA
y x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
二、极惯性矩
y
I p 2 dA
A
称为截面图形对O点的极惯性矩。
x
dA y x
2 x2 y 2
I p 2dA x 2 y 2 dA x 2dA y 2dA I y I x
A
y
z y A o
A
A
y
dA z
y
ydA S A z A A
求静矩的另一公式：
Sy x A
5
Sx y A
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
结论： 静矩的值与所选的坐标有 关,可正、可负，也可为零。 A
z
C
y
结论 ： 截面图形对通过其形心的轴的静矩为零； 反之，若截面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。
（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对
形心轴的惯性矩最小.
26
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
o
二、组合截面的惯性矩
z A1 A2 A3
I z y dA
2 A A1 n A1 A
y
y 2dA1 y 2dA2 y 2dA3 I xi
i 1
I z I zi ( I zCi a Ai )
y dA z
x
A
xdA A
,
y
A
A
ydA A
A
定义：
S x ydA
A
S y xdA
o
y
分别称为截面图形对于z轴和y 轴的静矩。 静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零，单位为m3。
4
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
二、形心（平面图形面积的几何中心称为形心。）
zdA S z
yC轴和zC轴为一对通过形心 的形心轴,图形对形心轴的惯性 矩、惯性积分别记为： a
z
y
zC dA C b yC z
y
I yC z C 2 dA
A
24
I zC yC 2dA
A
I yC z C yC zC dA
A
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
截面图形对于y轴和z轴的惯性矩和惯性积为:
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
三、组合图形的静矩与形心
由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的 各组成部分对同一轴的静矩的代数和:
S z ydA ydA1 ydA2 ydAn
A A1 A1 A
y 1 A1 y 2 A2 y n An y i Ai
A1 yC1 A2 yC 2 yC A1 A2 (0.14 0.02 0.08 0.1 0.02 0) m3 (0.14 0.02 0.1 0.02) m 2 0.0467 m
yC
20
2 O 100
zC z
应用平行移轴公式分别计算出矩形1、2对zC轴的惯性矩
31
h a
I z1 I Z 0
h 2 A( ) 2
z2 z2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 试求图a 所示截面对于对称轴x的惯性矩。
y
解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。 （1）矩形对x的惯性矩：
40
d 2a 80 2003 I x1 12 12
3
a =100
a + 2d 3
C 100
x
5333 104 mm4
（2）一个半圆对其自身形 心轴xc的惯性矩（见前例）
2 π d 2 d π d 2 I xc I x ( yc ) Ix 8 3π 8 2 2
A A A A
即截面图形对任意一对正交坐标轴的惯性矩之和，等 于它对该两轴交点的极惯性矩。
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
z y y' A
且
2 z2 y2
A
dA
z'
I P 2 dA ( z2 y2 )dA
A
z
I y I z
y
o
I y Iz
29
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
2 I z1 I a zC 1 1A 1 C
y
20 1 140 C
1 0.02 0.143 m4 0.03332 0.02 0.14 m4 12 7.69 106 m4
2 I zC2 I zC 2 a2 A2
F A Fl l EA
T IP
T m ax WP
Tl GI P
M Wz
弯曲变形：
My Iz
m ax
A, IP, WP, Iz, Wz——表征截面几何性质的量
3
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
Ⅰ-1
对单位厚度的均质薄 板，其形心坐标为：
静距和形心
一、静矩（或一次矩） z
10
x1
1
A 1 x1 A2 x 2 x A1 A2 Ai
i 1 n i 1
Ai x i
n
y1
o
y2
2 10
y
A1 y1 A2 y 2 A1 A2
x2
80
x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
矩形 1
A1 10 120 1200 mm
2
y
10
x1 5mm
i 1 i 1 2 i
27
n
n
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
下列计算是否正确？
I x 2 I x1 Aa
不正确！
2
a
x1
x2
因为x1和x2都不是形心轴!
28
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例
计算T型截面对其形心轴zC轴的惯性矩IZC。
y
20 1 140 C
解：先截面看成由矩形1和矩形2 组成，选Z轴为参考坐标轴,首先 确定截面的形心坐标C(0,yC)
即：对O点极惯矩等于对过O点同一平面内任意一对 相互垂直轴的惯矩之和。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
所以
I P 只与原点O有关，即
I y I z const
I z 0, I y 0
I p恒 0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
三、惯性半径
2 I x Aix 2 I y Ai y
30
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 已知矩形截面对z1轴的惯性矩
对z2轴的惯性矩Iz2 。 解：设z0为矩形截面的形心轴。
I z1
行的另一轴z2轴，二者间距为a0，用平行移轴公式计算图形
bh3 ，现有与z1轴平 3
b z1
0
I z2 I Z 0
h 2 A(a 0 ) 2
h 2 h 2 I z 2 I Z 1 A( ) A(a0 ) 2 2 3 bh3 bh 2 2 bh(a0 h a0 ) (h 2 3a0 h 3a0 ) 3 3
y1 60mm
矩形 2
1
x1
A2 10 70 700 mm
70 45mm x 2 10 2
y1
2
2
o
y2
10
x2
80
x
y 2 5mm
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
所以 y
A1 x 1 A2 x 2 x A1 A2 37500 20 mm 1900 A y A2 y 2 y 1 1 A1 A2 75500 40 mm 1900
h
C
x
bh Ix 12
3
b
(b)
20
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例5 求圆形截面的惯性矩。
y
已知 则 而 所以
I P 2 dA
A
d4
32
d x
I y Ix I p I y Ix
1 d4 I y Ix I p 64 2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
常见截面的惯性矩和惯性半径
h b
z
d
z
D
d
z
矩形
圆形
圆环
bh 3 Iz 12 h iz 2 3
22
d 4 Iz 64 d iz 4