山西省太原五中2012-2013学年高二10月月考 数学理试题

太 原 五 中2012—2013学年度第一学期月考（10月）高 二 数 学（理）一、选择题：本大题共10小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案填在答卷纸上. 1.在空间，下列命题正确的是A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行2.如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为A ． 12π B.2 C. 4D.4π3．已知m 、n 为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的命题个数是 ①n m n m //,,,//则βαβα⊂⊂； ②若βαββαα//,//,//,,则且n m n m ⊂⊂③βαβα⊥⊂⊥m m 则若,,； ④βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．1B ．2C ．3D ．44.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为A ．12B ．32 C ．23 D ．65.在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是A ．3ππ（，） B ．23ππ（，） C ．（0，2π） D ．23ππ（，）36.如图，ABCD -A1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1角为60°7.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为 A ．13B．3C．3D ．238.如图在正三棱锥A-BCD 中， E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF⊥DE ,且BC =1，则正三棱锥A-BCD 的体积是243D. 123C. 242B. 122.A 9.一个几何体的三视图及长度数据如图， 则该几何体的表面积与体积分别为A、7 B、8 C、372+ D、38210.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 A ．433 B ．33 C ． 43 D ．123二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在答卷纸上.11.已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →+OB →+OC →= mOG →,则实数m= . 12.若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 13.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为14.如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为23a ；⑤体积为365a ．其中正确的结论是____________．（要求填上所有正确结论的序号）太 原 五 中2012—2013学年度第一学期月考（10月）高二数学答卷纸（理）11. ；12. ； 13. ； 14. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分10分）如图，在三棱锥P ABC-中，PA ⊥底面,,60,A B C P A A B A B C B C A︒︒=∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC上，且//DE BC（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；16.(本小题10分)如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，2,1==AD AB，,600==∠AF ADC（1）求证：AC⊥BF；（2）求点A到平面FBD的距离17.(本题满分10分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H.已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.（1） 求异面直线AF 与BG 所成的角的大小；（2） 求平面APB 与平面CPD 所成的锐二面角的余弦值18. （本小题满分12分）如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===,60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上. (1)求证:平面BCF ⊥平面ACFE;(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论;M FECD BA19.(本小题12分)如图， P 、O 分别是正四棱柱1111ABCD A B C D -上、下底面的中 心，E 是AB 的中点，1AB kAA =.（Ⅰ）求证：1A E ∥平面PBC ；（Ⅱ当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ∆的重心?A 11C太 原 五 中2012—2013学年度月考高二数学答案一、选择题 （每小题3分）二、填空题（每小题4分） 11. 3 ；12.π33； 13. 316π ； 14. ①②⑤ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分10分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； 【解法1】（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA⊥BC .又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC .∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴12DE BC =， 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC ，∴DE⊥平面PAC ，垂足为点E.∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA⊥AB，又PA=AB ， ∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD AB =， ∴在Rt△ABC 中，60ABC ︒∠=，∴12BC AB =. ∴在Rt△A DE中，sin 24DE BC DAE AD AD ∠===， ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为42【解法2】如图，以A 为原煤点建立空间直角坐标系A xyz -， 设PA a =，由已知可得 ()()10,0,0,,,0,0,,0,0,0,222A B a C P a ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）∵()10,0,,,0,02AP a BC a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴0BC AP ⋅=，∴BC⊥AP .又∵90BCA ︒∠=，∴BC⊥A C ，∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴E 为PC 的中点，∴111,,,0,,44242D a a a E a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC ，∴∴DE⊥平面PAC ，垂足为点E. ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵111,,,422AD a a AE a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴cos 4AD AE DAE AD AE⋅∠==⋅ .∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为42 16.(本题满分10分)如图，已知平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2,1==AD AB ，3,600==∠AF ADC .（1）求证：AC ⊥BF ；（2）求点A 到平面FBD 的距离.解法1：由2,1==AD AB ,600==∠AF ADC 得3=CA ,故AD 2=AC 2+CD 2，,,所以CD ⊥CA以CD 为x 轴,CA 为y 轴,以CE 为z 轴建立空间坐标系， （1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,3,0),F(0, 3,3),B(-1,3,0),()0,3,0=,()3,0,1=, ,BF AC ⊥=⋅,0（2）),,(),1,0,0(z y x FBD n ==的法向量平面,()3,0,1=()3,3,1-=由⊥,⊥可得()1,2,3--=, 点A 到平面FBD 的距离为d, )0,3,1(-=AD4632233===d 46解法2 ：（1）由2,1==AD AB ,600==∠AF ADC 得3=CA ,故BC 2=AC 2+AB 2，,,所以AC ⊥AB因为ACEF 是矩形，AC ⊥AF ，所以AC ⊥平面ABF,故AC ⊥BF（2）由ABD F FBD A V V --=，得=⋅=FBDABD S S AF d 4617. (本题满分10分)如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝BC ＝2，E 为PA 的中点，过E 作平行于底面的平面EFGH ，分别与另外三条侧棱相交于点F 、G 、H. 已知底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，∠BCD =135°. （3） 求异面直线AF 与BG 所成的角的大小；（4） 求平面APB 与平面CPD 所成的锐二面角的余弦值. （5） 解 由题意可知：AP 、AD 、AB 两两垂直，可建立空间直角坐标系A -xyz由平面几何知识知：AD ＝4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ), C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1) (1)AF→＝(1,0,1),BG →＝(－1,1,1) ∴AF →·BG→＝0， ∴AF 与BG 所成角为π2 . (2) 可证明AD ⊥平面APB ， ∴平面APB 的法向量为n ＝(0,1,0) 设平面CPD 的法向量为m ＝(1，y ，z)由00m CD m PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒ ⎩⎨⎧y ＝1z ＝2 故m ＝(1,1,2)∵cos<m ,n >＝m ·n |m |·|n |＝66∴平面APB 与平面CPD 所成的锐二面角的余弦值为66.18. （本小题满分10分）如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===,60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上. (1)求证:平面BCF ⊥平面ACFE;(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论;M FEC（Ⅰ）在梯形ABCD 中，CD AB // ，︒=∠===60,ABC a CB DC AD ∴四边形ABCD 是等腰梯形，且︒︒=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA︒=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB BC AC ⊥∴又 平面⊥ACFE 平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE∴平面BCF ⊥平面ACFE; （Ⅱ）解法一、当a EM 33=时，//AM 平面BDF ， 在梯形A B C D 中，设N BD AC =⋂，连接FN，则2:1:=NA CNa EM 33=，而a AC EF 3==2:1:=∴MF EM ， AN MF //∴，∴四边形ANFM 是平行四边形，NF AM //∴ 又⊂NF 平面BDF ，⊄AM 平面BDF //AM ∴平面BDF 解法二：当a EM 33=时，//AM 平面BDF ，由（Ⅰ）知，以点C 为原点，CF CB CA ,,所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,,0(a B ，)0,0,3(a A ，)0,21,23(a a D -，),0,0(a F ，),0,3(a a E ⊄AM 平面BDF ，∴//AM 平面BDF ⇔→AM 与→FB 、→FD 共面，也等价于存在实数m 、n ，使→→→+=FD n FB m AM ， 设→→=EF t EM .)0,0,3(a EF -=→，)0,0,3(at EM -=→),0,3(a at EM AE AM -=+=∴→→→B又),21,23(a a a FD --=→，),,0(a a FB -=→，从而要使得：),21,23(),,0(),0,3(a a a n a a m a at --+-=-成立， 需⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-==-an am a an m a an at 210233，解得31=t∴当a EM 33=时，//AM 平面BDF 18.(本小题12分)19.(本小题12分)如图， P 、O 分别是正四棱柱1ABCD A -心，E 是AB 的中点，1AB kAA =. （Ⅰ）求证：1A E ∥平面PBC ；（Ⅱ当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ∆以点O 为原点，直线OA OB OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB =则得1A 、(1,1,0)E 、(0,P 、(0,2,0)B 、(C (Ⅰ)证明 由上得1(1,1,A E =- 、(2,2,0)BC =-- 、 (0,2,PB = ，设1A E x BC y PB =⋅+⋅ 得(1,1,(2,2,0)(0,2,x y -=⋅--+⋅ 解得112x y ==，， ∴112A E BC PB =+BC PB B ⋂= ，1A E PBC ⊄平面 ∴1A E ∥平面PBC（Ⅱ）解 由(Ⅰ)知PBC ∆的重心G 为22,33⎛- ⎝⎭，则22(,33OG =- ，A 11C若O在平面PBC内的射影恰好为PBC∆的重心，则有OG BCOG PB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得k=∴当k=O在平面PBC内的射影恰好为PBC∆的重心.。