山西省太原五中2012-2013学年高二10月月考 数学理试题
太 原 五 中
2012—2013学年度第一学期月考（10月）
高 二 数 学（理）
一、选择题：本大题共10小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案填在答卷纸上. 1.在空间，下列命题正确的是
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
2.如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那
么几何体的侧面积为
A ． 12
π B.
2 C. 4
D.4π
3．已知m 、n 为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的命题个数是 ①n m n m //,,,//则βαβα??； ②若βαββαα//,//,//,,则且n m n m ??
③βαβα⊥?⊥m m 则若,,； ④βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为
A ．12
B ．
32 C ．2
3 D ．6
5.在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围
是
A ．3
π
π（，） B ．
23ππ（，） C ．（0，2
π
） D ．23ππ（，）3
6.如图，ABCD -A
1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．
的是
A ．BD ∥平面C
B 1D 1 B ．A
C 1⊥BD
C ．AC 1⊥平面CB 1
D 1 D ．异面直线AD 与CB 1角为60°
7.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为 A ．
1
3
B
．
3
C
．
3
D ．
23
8.如图在正三棱锥A-BCD 中， E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF
⊥DE ,且BC =1，则正三棱锥A-BCD 的体积是
24
3D. 123C. 242B. 122.
A 9.一个几何体的三视图及长度数据如图， 则该几何体的表面积与体积分别为
A
、7 B
、8 C
、372+ D
、3
82
10.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 A ．
4
3
3 B ．33 C ． 43 D ．123
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案
填在答卷纸上.
11.已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →+OB →+OC →= mOG →
,则实数m= . 12.若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 13.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为
14.如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为2
3a ；⑤体积为
3
6
5a ．其中正确的结论是____________．（要求填上所有正确结论的序号）
太 原 五 中
2012—2013学年度第一学期月考（10月）
高二数学答卷纸（理）
11. ；12. ； 13. ； 14. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分10分）
如图，在三棱锥P ABC
-中，PA ⊥底面
,,60,A B C P A A B A B C B C A
?
?
=∠=
∠=， 点D ，E 分别在棱
,
PB PC上，且//
DE BC
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
16.(本小题10分)如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
2
,1=
=AD AB，
,
600=
=
∠AF ADC
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求点A到平面FBD的距离
17.(本题满分10分)
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H.已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.
（1） 求异面直线AF 与BG 所成的角的大小；
（2） 求平面APB 与平面CPD 所成的锐二面角的余弦值
18. （本小题满分12分）
如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===,
60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平
面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上. (1)求证:平面BCF ⊥平面ACFE;
(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论;
M F
E
C
D B
A
19.(本小题12分)如图， P 、O 分别是正四棱柱1111ABCD A B C D -上、下底面的中 心，E 是AB 的中点，
1AB kAA =.
（Ⅰ）求证：1A E ∥平面PBC ；
（Ⅱ当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ?的重心?
A 1
1
C
太 原 五 中
2012—2013学年度月考
高二数学答案
一、选择题 （每小题3分）
二、填空题（每小题4分） 11. 3 ；12.
π3
3
； 13. 316π ； 14. ①②⑤ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分10分）
如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ??=∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； 【解法1】（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA⊥BC .
又90BCA ?
∠=，∴AC ⊥BC .
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，
∴1
2
DE BC =
， 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC ，
∴DE⊥平面PAC ，垂足为点E.
∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA⊥AB，又PA=AB ， ∴△ABP
为等腰直角三角形，∴AD AB =
， ∴在Rt△ABC 中，60ABC ?
∠=，∴1
2
BC AB =
. ∴在Rt△A DE
中，sin 24
DE BC DAE AD AD ∠=
==
， ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为
4
2
【解法2】如图，以A 为原煤点建立空间直角坐标系A xyz -， 设PA a =，由已知可得 (
)()10,0,0,,,0,0,,0,0,0,222A B a C P a ????-
? ? ? ?????
. （Ⅰ）∵()10,0,,,0,02AP a BC a ??
== ???
，
∴0BC AP ?=
，∴BC⊥AP .
又∵90BCA ?
∠=，∴BC⊥A C ，∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴E 为PC 的中点，
∴111,,,0,,44242D a a a E a a ????
- ? ? ? ?????
， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC ，∴∴DE⊥平面PAC ，垂足为点E. ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，
∵111,,,422AD a a AE a ????
=-= ? ? ? ????? ，
∴cos 4AD AE DAE AD AE
?∠==
? .
∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为
4
2 16.(本题满分10分)
如图，已知平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2,1==AD AB ，
3,600==∠AF ADC .
（1）求证：AC ⊥BF ；
（2）求点A 到平面FBD 的距离.
解法1：由2,1==AD AB ,600==∠AF ADC 得3=CA ,故AD 2=AC 2+CD 2，,,所以CD ⊥CA
以CD 为x 轴,CA 为y 轴,以CE 为z 轴建立空间坐标系， （1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,3,0),F(0, 3,3),B(-1,3,0),
()0,3,0=,()
3,0,1=, ,BF AC ⊥=?,0
（2）),,(),1,0,0(z y x FBD n ==的法向量平面,()3,0,1=()
3,3,1-=
由⊥,⊥可得()
1,2,3--=, 点A 到平面FBD 的距离为d, )0,3,1(
-=AD
4632
233
==
=
d 46
解法2 ：（1）由2,1==AD AB ,600==∠AF ADC 得3=CA ,故BC 2=AC 2+AB 2，,,所以AC ⊥AB
因为ACEF 是矩形，AC ⊥AF ，所以AC ⊥平面ABF,故AC ⊥BF
（2）由ABD F FBD A V V --=，得=?=
FBD
ABD S S AF d 46
17. (本题满分10分)如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝BC ＝2，E 为PA 的中点，过E 作平行于底面的平面EFGH ，分别与另外三条侧棱相交于点F 、G 、H. 已知底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，∠BCD =135°. （3） 求异面直线AF 与BG 所成的角的大小；
（4） 求平面APB 与平面CPD 所成的锐二面角的余弦值. （5） 解 由题意可知：AP 、AD 、AB 两两垂直，可建立空
间直角坐标系A -xyz
由平面几何知识知：AD ＝4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ), C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1) (1)AF
→＝(1,0,1),BG →＝(－1,1,1) ∴AF →·BG
→＝0， ∴AF 与BG 所成角为π
2 . (2) 可证明AD ⊥平面APB ， ∴平面APB 的法向量为n ＝(0,1,0) 设平面CPD 的法向量为m ＝(1，y ，z)
由00
m CD m PD ?=??=?? ? ???y ＝1z ＝2 故m ＝(1,1,2)
∵cos
∴平面APB 与平面CPD 所成的锐二面角的余弦值为66.
18. （本小题满分10分）
如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===,
60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平
面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上. (1)求证:平面BCF ⊥平面ACFE;
(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论;
M F
E
C
（Ⅰ）在梯形ABCD 中，CD AB // ，
?=∠===60,ABC a CB DC AD ∴四边形ABCD 是等腰梯形，
且?
?=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA
?=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB BC AC ⊥∴
又 平面⊥ACFE 平面ABCD ，交线为AC ，
⊥∴BC 平面ACFE
∴平面BCF ⊥平面ACFE; （Ⅱ）解法一、当a EM 3
3
=
时，//AM 平面BDF ， 在梯形A B C D 中
，设N BD AC =?，连接FN
，则2:1:=NA CN
a EM 3
3
=
，而a AC EF 3==2:1:=∴MF EM ， AN MF //∴，∴四边形ANFM 是平行四边形，NF AM //∴ 又?NF 平面BDF ，?AM 平面BDF //AM ∴平面BDF 解法二：当a EM 3
3
=
时，//AM 平面BDF ，
由（Ⅰ）知，以点C 为原点，CF CB CA ,,所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
则)0,0,0(C ，)0,,0(a B ，)0,0,3(a A ，)0,21
,23(a a D -，
),0,0(a F ，),0,3(a a E ?AM 平面BDF ，
∴//AM 平面BDF ?→
AM 与→
FB 、→
FD 共面，
也等价于存在实数m 、n ，使→
→
→
+=FD n FB m AM ， 设→
→
=EF t EM .
)0,0,3(a EF -=→
，)0,0,3(at EM -=→
),0,3(a at EM AE AM -=+=∴→
→
→
B
又),2
1
,23(a a a FD --=→
，),,0(a a FB -=→，
从而要使得：),2
1
,23(
),,0(),0,3(a a a n a a m a at --+-=-成立， 需???
?
?
?
?
??--=-==-an am a an m a an at 21023
3，解得31=t
∴当a EM 3
3
=
时，//AM 平面BDF 18.(本小题12分)
19.(本小题12分)如图， P 、O 分别是正四棱柱1
ABCD A -心，E 是AB 的中点，1AB kAA =. （Ⅰ）求证：1A E ∥平面PBC ；
（Ⅱ当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ?
以点O 为原点，直线OA OB OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB =
则得1A 、(1,1,0)E 、(0,P 、(0,2,0)B 、(C (Ⅰ)证明 由上得1(1,1,A E =- 、(2,2,0)BC =-- 、 (0,2,PB = ，设1A E x BC y PB =?+? 得
(1,1,(2,2,0)(0,2,x y -=?--+? 解得1
12x y ==，， ∴112A E BC PB =+
BC PB B ?= ，1A E PBC ?平面 ∴1A E ∥平面PBC
（Ⅱ）解 由(Ⅰ)知PBC ?的重心G 为22,33?- ??
，则22(,33OG =- ，
A 1
1
C
若O在平面PBC内的射影恰好为PBC
?的重心，则有
OG BC
OG PB
??=
?
?
?=
??
，解得k=
∴当k=O在平面PBC内的射影恰好为PBC
?的重心.