山西省太原五中2012-2013学年高二10月月考 数学理试题

太 原 五 中

2012—2013学年度第一学期月考(10月)

高 二 数 学(理)

一、选择题:本大题共10小题.每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.答案填在答卷纸上. 1.在空间,下列命题正确的是

A.平行直线的平行投影重合

B.平行于同一直线的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行

D.垂直于同一平面的两条直线平行

2.如右图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形,俯视图是一个圆,那

么几何体的侧面积为

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A . 12

π B.

2 C. 4

D.4π

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3.已知m 、n 为两条不同的直线,βα,为两个不同的平面,下列四个命题中,正确的命题个数是 ①n m n m //,,,//则βαβα??; ②若βαββαα//,//,//,,则且n m n m ??

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③βαβα⊥?⊥m m 则若,,; ④βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m

A .1

B .2

C .3

D .4

4.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为

A .12

B .

32 C .2

3 D .6

5.在正三棱锥中,相邻两侧面所成二面角的取值范围

A .3

π

π(,) B .

23ππ(,) C .(0,2

π

) D .23ππ(,)3

6.如图,ABCD -A

1B 1C 1D 1为正方体,下面结论错误..

的是

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A .BD ∥平面C

B 1D 1 B .A

C 1⊥BD

C .AC 1⊥平面CB 1

D 1 D .异面直线AD 与CB 1角为60°

7.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE SD ,所成的角的余弦值为 A .

1

3

B

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3

C

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3

D .

23

8.如图在正三棱锥A-BCD 中, E 、F 分别是AB 、BC 的中点,EF

⊥DE ,且BC =1,则正三棱锥A-BCD 的体积是

24

3D. 123C. 242B. 122.

A 9.一个几何体的三视图及长度数据如图, 则该几何体的表面积与体积分别为

A

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、7 B

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、8 C

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、372+ D

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、3

82

10.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是 A .

4

3

3 B .33 C . 43 D .123

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案

填在答卷纸上.

11.已知点G 是△ABC 的重心,O 是空间任一点,若OA →+OB →+OC →= mOG →

,则实数m= . 12.若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面,则该圆锥的体积为 13.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体外接球的表面积为

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14.如图,设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作截面,对正方体的所有顶点都如此操作,所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体,则关于此多面体有以下结论:①有12个顶点;②有24条棱;③有12个面;④表面积为2

3a ;⑤体积为

3

6

5a .其中正确的结论是____________.(要求填上所有正确结论的序号)

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高二数学答卷纸(理)

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11. ;12. ; 13. ; 14. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分10分)

如图,在三棱锥P ABC

-中,PA ⊥底面

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,,60,A B C P A A B A B C B C A

?

?

=∠=

∠=, 点D ,E 分别在棱

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,

PB PC上,且//

DE BC

(Ⅰ)求证:BC⊥平面PAC;

(Ⅱ)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值;

16.(本小题10分)如图,已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,

2

,1=

=AD AB,

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,

600=

=

∠AF ADC

(1)求证:AC⊥BF;

(2)求点A到平面FBD的距离

17.(本题满分10分)

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,E为PA的中点,过E作平行于底面的平面EFGH,分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H.已知底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,∠BCD=135°.

(1) 求异面直线AF 与BG 所成的角的大小;

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(2) 求平面APB 与平面CPD 所成的锐二面角的余弦值

18. (本小题满分12分)

如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===,

60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平

面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上. (1)求证:平面BCF ⊥平面ACFE;

(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论;

M F

E

C

D B

A

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19.(本小题12分)如图, P 、O 分别是正四棱柱1111ABCD A B C D -上、下底面的中 心,E 是AB 的中点,

1AB kAA =.

(Ⅰ)求证:1A E ∥平面PBC ;

(Ⅱ当k 取何值时,O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ?的重心?

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A 1

1

C

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2012—2013学年度月考

高二数学答案

一、选择题 (每小题3分)

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二、填空题(每小题4分) 11. 3 ;12.

π3

3

; 13. 316π ; 14. ①②⑤ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分10分)

如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ??=∠=∠=, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC (Ⅰ)求证:BC ⊥平面PAC ;

(Ⅱ)当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值; 【解法1】(Ⅰ)∵PA ⊥底面ABC ,∴PA⊥BC .

又90BCA ?

∠=,∴AC ⊥BC .

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∴BC⊥平面PAC.

(Ⅱ)∵D 为PB 的中点,DE//BC ,

∴1

2

DE BC =

, 又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC ,

∴DE⊥平面PAC ,垂足为点E.

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∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角, ∵PA ⊥底面ABC ,∴PA⊥AB,又PA=AB , ∴△ABP

为等腰直角三角形,∴AD AB =

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, ∴在Rt△ABC 中,60ABC ?

∠=,∴1

2

BC AB =

. ∴在Rt△A DE

中,sin 24

DE BC DAE AD AD ∠=

==

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, ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为

4

2

【解法2】如图,以A 为原煤点建立空间直角坐标系A xyz -, 设PA a =,由已知可得 (

)()10,0,0,,,0,0,,0,0,0,222A B a C P a ????-

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? ? ? ?????

. (Ⅰ)∵()10,0,,,0,02AP a BC a ??

== ???

∴0BC AP ?=

,∴BC⊥AP .

又∵90BCA ?

∠=,∴BC⊥A C ,∴BC⊥平面PAC. (Ⅱ)∵D 为PB 的中点,DE//BC ,∴E 为PC 的中点,

∴111,,,0,,44242D a a a E a a ????

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- ? ? ? ?????

, ∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC ,∴∴DE⊥平面PAC ,垂足为点E. ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角,

∵111,,,422AD a a AE a ????

=-= ? ? ? ????? ,

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∴cos 4AD AE DAE AD AE

?∠==

? .

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∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为

4

2 16.(本题满分10分)

如图,已知平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,2,1==AD AB ,

3,600==∠AF ADC .

(1)求证:AC ⊥BF ;

(2)求点A 到平面FBD 的距离.

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解法1:由2,1==AD AB ,600==∠AF ADC 得3=CA ,故AD 2=AC 2+CD 2,,,所以CD ⊥CA

以CD 为x 轴,CA 为y 轴,以CE 为z 轴建立空间坐标系, (1)C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,3,0),F(0, 3,3),B(-1,3,0),

()0,3,0=,()

3,0,1=, ,BF AC ⊥=?,0

(2)),,(),1,0,0(z y x FBD n ==的法向量平面,()3,0,1=()

3,3,1-=

由⊥,⊥可得()

1,2,3--=, 点A 到平面FBD 的距离为d, )0,3,1(

-=AD

4632

233

==

=

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d 46

解法2 :(1)由2,1==AD AB ,600==∠AF ADC 得3=CA ,故BC 2=AC 2+AB 2,,,所以AC ⊥AB

因为ACEF 是矩形,AC ⊥AF ,所以AC ⊥平面ABF,故AC ⊥BF

(2)由ABD F FBD A V V --=,得=?=

FBD

ABD S S AF d 46

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17. (本题满分10分)如图,四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,PA =AB =BC =2,E 为PA 的中点,过E 作平行于底面的平面EFGH ,分别与另外三条侧棱相交于点F 、G 、H. 已知底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,AB ⊥AD ,∠BCD =135°. (3) 求异面直线AF 与BG 所成的角的大小;

(4) 求平面APB 与平面CPD 所成的锐二面角的余弦值. (5) 解 由题意可知:AP 、AD 、AB 两两垂直,可建立空

间直角坐标系A -xyz

由平面几何知识知:AD =4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ), C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1) (1)AF

→=(1,0,1),BG →=(-1,1,1) ∴AF →·BG

→=0, ∴AF 与BG 所成角为π

2 . (2) 可证明AD ⊥平面APB , ∴平面APB 的法向量为n =(0,1,0) 设平面CPD 的法向量为m =(1,y ,z)

由00

m CD m PD ?=??=?? ? ???y =1z =2 故m =(1,1,2)

∵cos=m ·n |m |·|n |=66

∴平面APB 与平面CPD 所成的锐二面角的余弦值为66.

18. (本小题满分10分)

如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===,

60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平

面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上. (1)求证:平面BCF ⊥平面ACFE;

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(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论;

M F

E

C

(Ⅰ)在梯形ABCD 中,CD AB // ,

?=∠===60,ABC a CB DC AD ∴四边形ABCD 是等腰梯形,

且?

?=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA

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?=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB BC AC ⊥∴

又 平面⊥ACFE 平面ABCD ,交线为AC ,

⊥∴BC 平面ACFE

∴平面BCF ⊥平面ACFE; (Ⅱ)解法一、当a EM 3

3

=

时,//AM 平面BDF , 在梯形A B C D 中

,设N BD AC =?,连接FN

,则2:1:=NA CN

a EM 3

3

=

,而a AC EF 3==2:1:=∴MF EM , AN MF //∴,∴四边形ANFM 是平行四边形,NF AM //∴ 又?NF 平面BDF ,?AM 平面BDF //AM ∴平面BDF 解法二:当a EM 3

3

=

时,//AM 平面BDF ,

由(Ⅰ)知,以点C 为原点,CF CB CA ,,所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,

则)0,0,0(C ,)0,,0(a B ,)0,0,3(a A ,)0,21

,23(a a D -,

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),0,0(a F ,),0,3(a a E ?AM 平面BDF ,

∴//AM 平面BDF ?→

AM 与→

FB 、→

FD 共面,

也等价于存在实数m 、n ,使→

+=FD n FB m AM , 设→

=EF t EM .

)0,0,3(a EF -=→

,)0,0,3(at EM -=→

),0,3(a at EM AE AM -=+=∴→

B

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又),2

1

,23(a a a FD --=→

,),,0(a a FB -=→,

从而要使得:),2

1

,23(

),,0(),0,3(a a a n a a m a at --+-=-成立, 需???

?

?

?

?

??--=-==-an am a an m a an at 21023

3,解得31=t

∴当a EM 3

3

=

时,//AM 平面BDF 18.(本小题12分)

19.(本小题12分)如图, P 、O 分别是正四棱柱1

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ABCD A -心,E 是AB 的中点,1AB kAA =. (Ⅰ)求证:1A E ∥平面PBC ;

(Ⅱ当k 取何值时,O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ?

以点O 为原点,直线OA OB OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB =

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则得1A 、(1,1,0)E 、(0,P 、(0,2,0)B 、(C (Ⅰ)证明 由上得1(1,1,A E =- 、(2,2,0)BC =-- 、 (0,2,PB = ,设1A E x BC y PB =?+? 得

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(1,1,(2,2,0)(0,2,x y -=?--+? 解得1

12x y ==,, ∴112A E BC PB =+

BC PB B ?= ,1A E PBC ?平面 ∴1A E ∥平面PBC

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(Ⅱ)解 由(Ⅰ)知PBC ?的重心G 为22,33?- ??

,则22(,33OG =- ,

A 1

1

C

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若O在平面PBC内的射影恰好为PBC

?的重心,则有

OG BC

OG PB

??=

?

?

?=

??

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,解得k=

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∴当k=O在平面PBC内的射影恰好为PBC

?的重心.

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