流体力学4-1.2量纲分析.
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教学大纲-流体力学
《流体力学》教学大纲课程编号：081082A课程类型：专业基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0学分：2适用对象：安全工程先修课程：高等数学、大学物理、工程力学一、课程的教学目标通过本课程的教学与实践，使学生具备下列能力：目标1：掌握流体运动的一般规律和有关的概念，基本理论、分析方法、计算方法，并能在工程应用中熟练适用。
目标2：掌握流体静力学、流体动力学的基本原理和基本方程，能在解决复杂工程问题时熟练运用，注重学生分析问题和解决问题能力的培养，注重学生探索精神和创新意识的培养。
二、课程教学与毕业要求的对应关系2、课程教学过程与毕业要求的对应关系四、教学内容第一章绪论（1.2、2.1）1.1 概述流体力学定义、任务、研究方法；学习流体力学的意义；流体力学的发展简史1.2 流体的连续介质模型1.3 流体的主要物理性质惯性、重力特性、粘性、压缩性。
液体表面张力；表面张力系数，量纲，单位；毛细现象1.4作用在液体上的力课程的考核要求：了解流体力学研究任务、研究方法，理解连续介质假设，熟悉流体的主要物理属性，掌握流体力学对力的分类方法。
教学重点、难点：教学重点内容包括连续介质假设的内容，引入假设的优点；流体的粘性及牛顿内摩擦定律；作用于流体上的力。
第二章流体静力学（1.2、2.1）2.1 静止流体的应力特征压强定义；静止流体压强特性2.2静止流体的平衡微分方程欧拉平衡微分方程；欧拉平衡微分方程综合表达式；等压面2.3重力作用下的液体的压强分布水静力学基本方程；有关压强的基本概念2.4作用于平面上的静水总压力大小；方向；压力中心2.5作用于曲面上的静水总压力水平分力；铅垂分力，压力体；总压力；压力中心课程的考核要求：熟悉静水压强的两个特征；熟悉相对压强、绝对压强、真空压强的定义与相互关系；熟悉等压面的概念及等压面的特性；灵活运用水静力学基本方程及等压面概念求解静止流体中任一点的压强；会画静水压强分布图及压力体图；掌握平面及曲面静水总压力的计算方法教学重点、难点：静水压强分布图的绘制；平面上静水总压力的计算；曲面静水总压力的水平分力的压强分布图画法及其计算；曲面静水总压力的铅垂分力的压力体图画法及其计算。
工程流体力学教学课件PPT量纲分析与相似原理
•流速：dim v＝LT－1 •密度：dim ρ＝ML－3 •力： dim F＝MLT－2
对于任何物理量〔如以A表示〕，其量纲可表示为
diA m L TM
2.根本物理量：具有独立性，但不具唯一性
在工程流体力学中，假设不考虑温度变化，通常 取3个相互独立的物理量作为根本量。
根本量与导出量适当组合可以构成无量纲量。
初始条件和边界条件的相似是保证流动相似 的必要条件。
说明：
•几何相似是运动相似和动力相似的前提；
•动力相似是决定流动相似的主要因素；
•运动相似是几何相似和动力相似的表现。
§4-4 流动相似准那 么
流动相似的本质：原型和模型被同一物理方程所描述。这 个物理方程即相似准那么。
一、弗劳德准那么:重力相似
而这些变量中含有m个根本物理量，那么可组合这
些变量成为〔n - m〕个无量纲π数的函数关系，
即
(1 ,2 ,..n m .) ,0
§4-3 流动相似的根本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定的比尺关系。
•长度比尺：
l
lp lm
•面积比尺： A
Ap Am
l2
•体积比尺：V
Vp Vm
者对应的弗劳德数Frv/ gl 必须相等。
二、雷诺准那么：黏性力相似
要保证原型流动和模型流动的黏性力相似，那么根据动力相 似要求有：
FT FI
式中，黏性力比尺：
FT
(A
du dy
)
p
(A
du dy
)m
lv
l v
惯性力比尺:
FI
(Va) p (Va)m
l 3a
l 2v2
对于任何物理量〔如以A表示〕，其量纲可表示为
diA m L TM
2.根本物理量：具有独立性，但不具唯一性
在工程流体力学中，假设不考虑温度变化，通常 取3个相互独立的物理量作为根本量。
根本量与导出量适当组合可以构成无量纲量。
初始条件和边界条件的相似是保证流动相似 的必要条件。
说明：
•几何相似是运动相似和动力相似的前提；
•动力相似是决定流动相似的主要因素；
•运动相似是几何相似和动力相似的表现。
§4-4 流动相似准那 么
流动相似的本质：原型和模型被同一物理方程所描述。这 个物理方程即相似准那么。
一、弗劳德准那么:重力相似
而这些变量中含有m个根本物理量，那么可组合这
些变量成为〔n - m〕个无量纲π数的函数关系，
即
(1 ,2 ,..n m .) ,0
§4-3 流动相似的根本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定的比尺关系。
•长度比尺：
l
lp lm
•面积比尺： A
Ap Am
l2
•体积比尺：V
Vp Vm
者对应的弗劳德数Frv/ gl 必须相等。
二、雷诺准那么：黏性力相似
要保证原型流动和模型流动的黏性力相似，那么根据动力相 似要求有：
FT FI
式中，黏性力比尺：
FT
(A
du dy
)
p
(A
du dy
)m
lv
l v
惯性力比尺:
FI
(Va) p (Va)m
l 3a
l 2v2
流体力学第四章量纲分析与相似理论
a a a y = Kx1a1 x2 2 x3 3 ...xn n
2、其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式 其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式
3、将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 3、根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式，联立 根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式， 解出各变量的指数。 解出各变量的指数。 4、代入原假设的函数式中去，必要时整理简化，即得简明 代入原假设的函数式中去，必要时整理简化， 的反映该物理现象的公式。 的反映该物理现象的公式。
•无量纲数可以是两个同类物理量的比值
例如水力坡度是水头损失与流程长度之比， 例如水力坡度是水头损失与流程长度之比，即
hw J= l
lJw h
其量纲
[J ] =
[ L] = 1 [] [ L]
水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变， 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变，其 数值的大小也不会改变。 数值的大小也不会改变。
科学地组织实验
指导实验结果的整理
建立物理量之间的关系
4.1 量纲分析的概念和原理 4.1.1 量纲
描述流体运动的物理量： 描述流体运动的物理量： 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、压强等
属性量纲 量度单位
按性质不同分类 1、量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表示 用方括号将表示量纲的字母括起来 长度[L] 时间[T] 质量[M] [L]、 [T]、 长度[L]、时间[T]、质量[M] 采用dimq代表物理量q的量纲，则 采用dimq代表物理量q的量纲， dimq代表物理量 面积的量纲表示为dimA dimA＝ 面积的量纲表示为dimA＝L2
2、其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式 其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式
3、将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 3、根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式，联立 根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式， 解出各变量的指数。 解出各变量的指数。 4、代入原假设的函数式中去，必要时整理简化，即得简明 代入原假设的函数式中去，必要时整理简化， 的反映该物理现象的公式。 的反映该物理现象的公式。
•无量纲数可以是两个同类物理量的比值
例如水力坡度是水头损失与流程长度之比， 例如水力坡度是水头损失与流程长度之比，即
hw J= l
lJw h
其量纲
[J ] =
[ L] = 1 [] [ L]
水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变， 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变，其 数值的大小也不会改变。 数值的大小也不会改变。
科学地组织实验
指导实验结果的整理
建立物理量之间的关系
4.1 量纲分析的概念和原理 4.1.1 量纲
描述流体运动的物理量： 描述流体运动的物理量： 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、压强等
属性量纲 量度单位
按性质不同分类 1、量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表示 用方括号将表示量纲的字母括起来 长度[L] 时间[T] 质量[M] [L]、 [T]、 长度[L]、时间[T]、质量[M] 采用dimq代表物理量q的量纲，则 采用dimq代表物理量q的量纲， dimq代表物理量 面积的量纲表示为dimA dimA＝ 面积的量纲表示为dimA＝L2
流体力学-量纲化分析详解
第四步：对1， 解得：c1=1，b1=2，a1=0 对2：
解得：c2=0，b2=0，a2=1 对3： 解得：c3=1，b3=1，a3=1
第五步：归纳上述得：
，
，
故有关系式：G(1，2，3)=0
因为要求的是压强降p，故此可解出：
而函数 G1 的具体确定可通过试验进行。
流体力学里有几类主要问题：如封闭管道内的流动，带有自由表面的流动（如 河流），没有任何接触面的流动（如喷雾），以及通过物体的绕流（如飞行中的 飞机）等。而表征这些流动的无量纲参数将是非常有意义的。
1.1 量纲分析的提出
现代工程的流体力学问题，往往是十分复杂的。例如飞机与船舶的流体动力特性、 河流的水动力学特性等等。如何解决这些问题？途径有：
（a）进行原型的观察与测量，这需要耗费大量的资金及时间，以及人力与 设备。不仅如此，有时这种测量是无法做到的，例如在十二级台风中怎么到海上 去测量船舶的流体动力特性？同时，原型的实测有时是不符需求的，例如建造一 艘巨型的航空母舰，我们不能等建成之后才知道它的性能，很多产品必须在建成 之前能预见它的性能。
如果已知力 F 和物体质量 M 的量纲，那么加速度 a 的量纲必须满足上述公 式。即 F、M、a 中的二个可以自由选择，而第三个则必须根据已选定的二个物 理量量纲按照其间存在的定律推导出来。由此可见，在物理量中有些量的量纲是 基本的可以独立取定，而另外一些物理量的量纲则是根据物理定律推导出来的。 前者称为基本单位，后者称为导出单位。
在国际单位制(SI)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温 度、物质的量、 发光强度的量纲符号分别是 L、M、T、I、Q、N 和 J。
力学中基本单位的量纲有两个系统：
（1）表征长度的量纲[L]；时间的量纲[T]；质量的量纲[M]。（2）表征力 的量纲[F]；时间的量纲[T]；长度的量纲[L]。为了应用方便，根据第一个基本 单位的量纲系统将力学中经常遇见的一些物理量的量纲列表如下：
解得：c2=0，b2=0，a2=1 对3： 解得：c3=1，b3=1，a3=1
第五步：归纳上述得：
，
，
故有关系式：G(1，2，3)=0
因为要求的是压强降p，故此可解出：
而函数 G1 的具体确定可通过试验进行。
流体力学里有几类主要问题：如封闭管道内的流动，带有自由表面的流动（如 河流），没有任何接触面的流动（如喷雾），以及通过物体的绕流（如飞行中的 飞机）等。而表征这些流动的无量纲参数将是非常有意义的。
1.1 量纲分析的提出
现代工程的流体力学问题，往往是十分复杂的。例如飞机与船舶的流体动力特性、 河流的水动力学特性等等。如何解决这些问题？途径有：
（a）进行原型的观察与测量，这需要耗费大量的资金及时间，以及人力与 设备。不仅如此，有时这种测量是无法做到的，例如在十二级台风中怎么到海上 去测量船舶的流体动力特性？同时，原型的实测有时是不符需求的，例如建造一 艘巨型的航空母舰，我们不能等建成之后才知道它的性能，很多产品必须在建成 之前能预见它的性能。
如果已知力 F 和物体质量 M 的量纲，那么加速度 a 的量纲必须满足上述公 式。即 F、M、a 中的二个可以自由选择，而第三个则必须根据已选定的二个物 理量量纲按照其间存在的定律推导出来。由此可见，在物理量中有些量的量纲是 基本的可以独立取定，而另外一些物理量的量纲则是根据物理定律推导出来的。 前者称为基本单位，后者称为导出单位。
在国际单位制(SI)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温 度、物质的量、 发光强度的量纲符号分别是 L、M、T、I、Q、N 和 J。
力学中基本单位的量纲有两个系统：
（1）表征长度的量纲[L]；时间的量纲[T]；质量的量纲[M]。（2）表征力 的量纲[F]；时间的量纲[T]；长度的量纲[L]。为了应用方便，根据第一个基本 单位的量纲系统将力学中经常遇见的一些物理量的量纲列表如下：
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
11
四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
流体力学量纲分析(课堂PPT)
如质量力、表面力、动量等
几何
相似 流 应
运动
动
满 足
相似
相
的 条
动力 似 件
相似
3
一 几何相似（空间相似）
定义： 模型和原型的全部对应线性长度的 比值为一定常数 。
以上标“ ＇”表 示模型的有关量
L' L h
Cl
（4-1）
Cl :长度比例尺（相似比例常数）
4
面积比例尺: 体积比例尺:
图4-3 动力场相似
力的比例尺:
CF
Fp ' Fp
F 't Ft
W' W
FI ' FI
（4-9）
8
又由牛顿定律可知：
' l'3 v'
CF
t'
l 3
v
C
Cl2C
2 v
t
其中： C
'
为流体的密度比例尺。
力矩（功，能）比例尺:
CM
M' M
F'l' Fl
CFCl
Cl3Cv2C
压强（应力）比例尺:
图4-2速度场相似
时间比例尺: 速度比例尺:
t '1 t1
t'2 t2
t'3 t3
Ct
l'
Cv
v' v
t' l t
Cl Ct
（4-4）
（4-5）
6
加速度比例尺:
Ca
v' a' t ' av
t
Cv Ct
Cv2 Cl
（4-6）
体积流量比例尺:
CqV
几何
相似 流 应
运动
动
满 足
相似
相
的 条
动力 似 件
相似
3
一 几何相似（空间相似）
定义： 模型和原型的全部对应线性长度的 比值为一定常数 。
以上标“ ＇”表 示模型的有关量
L' L h
Cl
（4-1）
Cl :长度比例尺（相似比例常数）
4
面积比例尺: 体积比例尺:
图4-3 动力场相似
力的比例尺:
CF
Fp ' Fp
F 't Ft
W' W
FI ' FI
（4-9）
8
又由牛顿定律可知：
' l'3 v'
CF
t'
l 3
v
C
Cl2C
2 v
t
其中： C
'
为流体的密度比例尺。
力矩（功，能）比例尺:
CM
M' M
F'l' Fl
CFCl
Cl3Cv2C
压强（应力）比例尺:
图4-2速度场相似
时间比例尺: 速度比例尺:
t '1 t1
t'2 t2
t'3 t3
Ct
l'
Cv
v' v
t' l t
Cl Ct
（4-4）
（4-5）
6
加速度比例尺:
Ca
v' a' t ' av
t
Cv Ct
Cv2 Cl
（4-6）
体积流量比例尺:
CqV
流体力学 第四章 量纲分析
v l
F 3 l
3 Fp Fm3 300 20 2400000 N 2400 kN l
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表 比尺
名称
λυ=1 长度比尺λl 流速比尺λv λl λl-1
雷诺准则 λυ≠1 λl λυλl-1
弗劳德准则 λl λl1/2
加速度比尺λa
取m个基本量，组成(n－m)个无量纲的π项
F 1 , 2 ,, nm 0
例：求有压管流压强损失的表达式 解：步骤
a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系
f p, ,, l , d , , v 0
b.选取基本量
n7
常取：几何学量l（d），运动学量v，动力学量ρ
vp vm
up um
v λv——速度比尺
l t tm lm vm v
tp lp vp
时间比例尺 加速度比尺
v 2 a v t l
qV p qVm
流量比例尺 q 运动粘度比例尺 角速度比例尺
3 3 l 2l v lm tm t
Re
vl
雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
改成
FIm FIP FGP FGm
FG mg gl 3
FI l 2v 2
2 vm g p l p g m lm
v2 p
无量纲数
v2 Fr gl
佛劳德数——重力的相似准数 （3）欧拉准则——压力是主要的力
20 vm v p 300 6000km / h lm 1 lp
难以实现，要改变实验条件
流体力学-张也影-李忠芳 第4章相似和量纲分析
欧拉数
Eu
p
v 2
压力 惯性力
主要反映 粘性力相似
主要反映 重力相似
主要反映 压力相似
如果两个流动力学相似，则它们的上述三个准则数必须相等。
于是：
Fr Fr'
•
Eu Eu'
Re Re'
这三个等式称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。判断两个流 动是否相似，只要判断这三个准则是否相等。
v2 惯性力
Fr gl
重力
； v2 v '2 gl g 'l '
1
； v
2 l
基本比例尺为：
密度比例尺 和长度比例尺l 。
弗劳德模型法在水利工程上应用广泛。
图表示深为H=4m的水在弧形闸门下的流动，求（1） δρ=1, δl=10的模型上的水深。（2）在模型上测得流量、 收缩断面流速、作用在闸门上的力及力矩分别如下， 求各实物上的量。
能满足这三个关系，便是完全相似。实际上，
2 V
gl
p
2 v
很难同时满足。
l v
1
因为
g 1
代入第一式，得
V
2 l
从第三式可得
V
ν l
3
所以
2 l
3
即流体的运动粘度比例尺和线性比例尺要保持
2 l
显然不现实。因为一般来说模型和实物所用流体
压强[p] ML-1T-2
动力粘性 系数[µ]
ML-1T-1
运动粘性 系数[ν]
L2T-1
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1、定理内容
若某一物理过程包含n个物理量 f (q1 q 2 q3 q n ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量）则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲项 所表达的关系式来描述
2、解题步骤
F ( 1 n m ) 0
1）确定关系式 根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各 个物理量及其关系式
对于不可压缩流体运动， 任一物理量 q的量纲 [q］都 可用3个基本量纲的指数乘积形式表示
[q] M L T
分 类
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0 面积［A]= 速度 ［v] =LT –1 加速度 ［a] = LT –2 运动粘滞系数[ν]= L2T-1 L2
q1 q2 q3
1 1 1
qnБайду номын сангаас
a n 3 bn 3 cn 3 q1 q2 q3
q1 q2 q3
2 2
2
4）满足π为无量纲项， 定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci 5）整理方程式
1、简单表述：
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲 都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成 立。
2、重要性
一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方 程或经验公式的正确性和完整性 根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数 可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组织实验 过程、整理实验成果提供理论指导
C RJ
1 1/ 6 C R n
[C ] L T
0.5
1
m /s
n作为无量纲量处理P106
6
0.5
[n] L1/ 3T 1
第二节
量纲分析法
应用量纲和谐原理探求个物理量之间关系的方法 一、瑞利法（Rayleigh）——量纲和谐原理的直接应用 1、 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量； f ( q1 , q 2 , q 3 , · · · · · · , qn ) = 0 2、 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：
基本量纲：具有独立性，不能由其他量纲推导出来 导出量纲：可由基本量纲导出的量纲 力学的基本量纲体系[M- L-T]: 取质量M，长度L、时间T。 七种量纲构成所有物理量 （对应国际单位制中m 、kg、s、A、K、mol、cd ） [ F ]= MLT -2 3 ［A］= L2 ［ρ］= ML-3
4、量纲公式:
2 3
N K Q H
a b
2 2 a 3 1 b
c
基本量纲（M、L、T）表示各物理量量纲
ML T (ML T ) ( L T ) ( L)
量纲和谐原理求量纲指数 a=1，b=1，c=1
c
N KQH
M：1=a L: 2= -2a+3b+c T : -3= -2a-b
8
二、布金汉定理Buckingham（定理）
qi
a b Kq1 q 2
a
p q n 1
b
3、 根据量纲和谐原理，等式两端的量纲应该相同
4、将量纲式中各物理量的量纲表示为基本量纲的指数 乘积形式，并根据量纲和谐原理，确定物理量指数 a， b，……，p，代入指数方程式即得各物理量之间的关系 a b c 式
qi q1 q2 qn1
f (q1q2q3 qn ) 0
9
2）确定基本量：从n个物理量中选取m个基本物理量 对于不可压缩流体流动 m=3 ，即几何、运动和动力 学量各选用一个，用q1、 q2、 q3表示 管流———d，， 明渠流———H， ， 。 3）基本量依次与其余物理量组成π 项，即 q5 q4 2 a b c …… n 3 1 a b c
长度：物理属性是线性几何量，量度单位……
2
2、量纲与单位的区别
量纲：物理量的实质，不含有人为的影响 单位：大小是人为规定的，含有人的意志影响 无量纲量：不具量纲的量，称为数，如圆周率等。 有量纲量：由量纲和单位两个因素共同决定，含有人的
意志的影响。
3、基本量纲与导出量纲 ——根据物理量的量纲间关系
3、特点：
Re
2 1 1 LT
无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性 不受运动规模的影响，模型与原型常用同一无量纲数 在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用 无量纲量。 V2 W p1V1 ln 5 V1
三、量纲和谐原理Theory of Dimensional Homogeneity
第四章
学习要点：
量纲分析和相似原理
1. 量纲和量纲和谐原理。
2. 量纲分析方法：瑞利法和定理。 3. 相似概念、相似准则：
雷诺准则Re、弗劳德准则Fr、欧拉准则Eu
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第一节 量纲分析(因次分析) Dimensional Analysis 一、量纲和单位
1、概念
单位Unit ：量度各种物理量数值大小的标准， 取用标准不同，被量度的物理量具有不同量值； 如长度单位为m或cm等。——“量”的表征 量纲Dimension：撇开单位的大小，表征物理量的性质 和 类别。 如长度量纲为[L]。 ——“质”的表征 物理量 自身的物理属性——量纲 为量度物理属性而规定的量度标准——单位
[ q] M L T
p
7
应用范围：一般情况下，要求相关物理量个数 n 不超过
4个，待求量纲指数不超过3个。 ——简单问题
例1求水泵输出功率N(单位时间水泵输出能量)表达式
找出同N 有关的物理量，包括流量Q、扬程H，容重 γ(单位体积水的重量) f ( N , , Q, H ) 0 指数乘积关系式
力[F ]= MLT-2 应力[p]= M L-1T-2 动力粘滞系数[μ]=ML-1T-1
4
二、无量纲量
2、产生途径
[q] M L T
1、定义 当量纲公式中各量纲指数α=β=γ=0时，
则［q］= 1，此时q为无量纲数，即为纯数 由两个具有相同量纲的物理量相比得到 线应变ε=⊿l/l 相对粗糙度ks/d 水力坡度J=hf /l 底坡i 几个有量纲量乘除组合得到 1 2/gh ，弗劳德数 Fr =v d ( LT ) L 雷诺数
若某一物理过程包含n个物理量 f (q1 q 2 q3 q n ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量）则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲项 所表达的关系式来描述
2、解题步骤
F ( 1 n m ) 0
1）确定关系式 根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各 个物理量及其关系式
对于不可压缩流体运动， 任一物理量 q的量纲 [q］都 可用3个基本量纲的指数乘积形式表示
[q] M L T
分 类
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0 面积［A]= 速度 ［v] =LT –1 加速度 ［a] = LT –2 运动粘滞系数[ν]= L2T-1 L2
q1 q2 q3
1 1 1
qnБайду номын сангаас
a n 3 bn 3 cn 3 q1 q2 q3
q1 q2 q3
2 2
2
4）满足π为无量纲项， 定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci 5）整理方程式
1、简单表述：
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲 都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成 立。
2、重要性
一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方 程或经验公式的正确性和完整性 根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数 可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组织实验 过程、整理实验成果提供理论指导
C RJ
1 1/ 6 C R n
[C ] L T
0.5
1
m /s
n作为无量纲量处理P106
6
0.5
[n] L1/ 3T 1
第二节
量纲分析法
应用量纲和谐原理探求个物理量之间关系的方法 一、瑞利法（Rayleigh）——量纲和谐原理的直接应用 1、 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量； f ( q1 , q 2 , q 3 , · · · · · · , qn ) = 0 2、 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：
基本量纲：具有独立性，不能由其他量纲推导出来 导出量纲：可由基本量纲导出的量纲 力学的基本量纲体系[M- L-T]: 取质量M，长度L、时间T。 七种量纲构成所有物理量 （对应国际单位制中m 、kg、s、A、K、mol、cd ） [ F ]= MLT -2 3 ［A］= L2 ［ρ］= ML-3
4、量纲公式:
2 3
N K Q H
a b
2 2 a 3 1 b
c
基本量纲（M、L、T）表示各物理量量纲
ML T (ML T ) ( L T ) ( L)
量纲和谐原理求量纲指数 a=1，b=1，c=1
c
N KQH
M：1=a L: 2= -2a+3b+c T : -3= -2a-b
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二、布金汉定理Buckingham（定理）
qi
a b Kq1 q 2
a
p q n 1
b
3、 根据量纲和谐原理，等式两端的量纲应该相同
4、将量纲式中各物理量的量纲表示为基本量纲的指数 乘积形式，并根据量纲和谐原理，确定物理量指数 a， b，……，p，代入指数方程式即得各物理量之间的关系 a b c 式
qi q1 q2 qn1
f (q1q2q3 qn ) 0
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2）确定基本量：从n个物理量中选取m个基本物理量 对于不可压缩流体流动 m=3 ，即几何、运动和动力 学量各选用一个，用q1、 q2、 q3表示 管流———d，， 明渠流———H， ， 。 3）基本量依次与其余物理量组成π 项，即 q5 q4 2 a b c …… n 3 1 a b c
长度：物理属性是线性几何量，量度单位……
2
2、量纲与单位的区别
量纲：物理量的实质，不含有人为的影响 单位：大小是人为规定的，含有人的意志影响 无量纲量：不具量纲的量，称为数，如圆周率等。 有量纲量：由量纲和单位两个因素共同决定，含有人的
意志的影响。
3、基本量纲与导出量纲 ——根据物理量的量纲间关系
3、特点：
Re
2 1 1 LT
无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性 不受运动规模的影响，模型与原型常用同一无量纲数 在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用 无量纲量。 V2 W p1V1 ln 5 V1
三、量纲和谐原理Theory of Dimensional Homogeneity
第四章
学习要点：
量纲分析和相似原理
1. 量纲和量纲和谐原理。
2. 量纲分析方法：瑞利法和定理。 3. 相似概念、相似准则：
雷诺准则Re、弗劳德准则Fr、欧拉准则Eu
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第一节 量纲分析(因次分析) Dimensional Analysis 一、量纲和单位
1、概念
单位Unit ：量度各种物理量数值大小的标准， 取用标准不同，被量度的物理量具有不同量值； 如长度单位为m或cm等。——“量”的表征 量纲Dimension：撇开单位的大小，表征物理量的性质 和 类别。 如长度量纲为[L]。 ——“质”的表征 物理量 自身的物理属性——量纲 为量度物理属性而规定的量度标准——单位
[ q] M L T
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应用范围：一般情况下，要求相关物理量个数 n 不超过
4个，待求量纲指数不超过3个。 ——简单问题
例1求水泵输出功率N(单位时间水泵输出能量)表达式
找出同N 有关的物理量，包括流量Q、扬程H，容重 γ(单位体积水的重量) f ( N , , Q, H ) 0 指数乘积关系式
力[F ]= MLT-2 应力[p]= M L-1T-2 动力粘滞系数[μ]=ML-1T-1
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二、无量纲量
2、产生途径
[q] M L T
1、定义 当量纲公式中各量纲指数α=β=γ=0时，
则［q］= 1，此时q为无量纲数，即为纯数 由两个具有相同量纲的物理量相比得到 线应变ε=⊿l/l 相对粗糙度ks/d 水力坡度J=hf /l 底坡i 几个有量纲量乘除组合得到 1 2/gh ，弗劳德数 Fr =v d ( LT ) L 雷诺数