研究生流体力学第4章-求解
吴望一《流体力学》第四章习题参考答案
流线：
dx dy dx dy 2 2 ，解得 by + 2axy − cx = const 。 = ⇒ = u v ax + by cx − ay K ∂v ∂u K − )k = c − b = 0 ⇒ c = b ∂x ∂y
（2）若流动无旋， rotV = (
此时流线方程为 b y 2 − x 2 + 2axy = const 。 9． （1）由题意可得 ω = r n , vθ = r n +1 , vr = 0 ，
15．初始流体静止，因而流体初始无旋。该流动满足理想、正压、体力有势条件，根据涡旋 不生不灭定理，初始无旋则永远无旋。 16． 流动满足理想、不可压缩、体力有势条件，根据亥姆霍兹方程有：
K K K dΩ − ( Ω ⋅∇ ) V = 0 。 dt K K K K K K ∂V ∂V 设流动在 x − y 平面上，则涡度 Ω = Ωk ，且 = 0 ，于是 ( Ω ⋅∇ ) V = Ω =0 ∂z ∂z K dΩ 所以 = 0 ，即沿轨迹涡度不变。 dt
吴望一《流体力学》第四章习题参考答案
1. 解： （1）单一方向均匀流动，无旋。 （2）逆时针方向（设 c > 0 ）绕 z 轴的刚性旋转运动， rotv = 2c ，有旋。 （3）关于 z 轴对称的平面辐射性流动，无旋。 （4）平面偶极子诱导的流动，无旋，流线图参见吴书下册图 7.9.5。 2. （1）在三维空间中，该流动为无限长涡丝诱导的旋转流动， 涡丝与 z 轴重合， 流动关于 z 轴 对称，无旋。该流动亦可描述为 x − y 平面上位于原点的点涡诱导的平面流动，原点处是奇 点。在 x − y 平面上作无限小的圆周包围该奇点，涡量场在该圆周外的双连通区域连续。 该流动在极坐标系下速度为 V =
流体力学第四章
图4-2 雷诺实验
图4-3 层流、紊流及过渡状态
Vc
Vc′
图4-2 雷诺实验
(2) 调节阀C逐渐开大，水流速度增大到某一数值时颜色水的直 线流将开始振荡，发生弯曲，如图4-3(b)所示。 (3) 再开大调节阀C，当水流速度增大到一定程度时，弯曲颜色 水流破裂成一种非常紊乱的状态，颜色水从细管E流出，经很短 一段距离后便与周围的水流相混，扩散至整个玻璃管内，如图 4-3(c)所示。这说明水流质点在沿着管轴方向流动过程中，同 时还互相掺混，作复杂的无规则的运动，这种流动状态称为紊 流（或湍流）。 如果将调节阀C逐渐关小，水流速度逐渐减小，则开始时玻璃管内 仍为紊流，当水流速度减小到另一数值时，流体又会变成层流， 颜色水又呈一明显的直线。但是，由紊流转变为层流时的流速要 比由层流转变为紊流时的流速小一些。我们把流动状态转化时的 流速称为临界流速，由层流转变为紊流时的流速称为上临界流速， Vc′ 表示。由紊流转变为层流时的流速称为下临界速， 以 以 Vc 表示。则 V c < V c′
• 流动损失分类
实际流体在管内流动时，由于粘性的存在，总要产生能量损失。 实际流体在管内流动时，由于粘性的存在，总要产生能量损失。 产生能量损失的原因和影响因素很复杂， 产生能量损失的原因和影响因素很复杂，通常可包括黏性阻力 造成的黏性损失 hf 和局部阻力造成的局部损失 h j 两部分。 两部分。 一、沿程阻力与沿程损失 • 粘性流体在管道中流动时，流体与管壁面以及流体之间 粘性流体在管道中流动时， 存在摩擦力，所以沿着流动路程， 存在摩擦力，所以沿着流动路程，流体流动时总是受到摩 擦力的阻滞，这种沿流程的摩擦阻力，称为沿程阻力。 擦力的阻滞，这种沿流程的摩擦阻力，称为沿程阻力。 • 流体流动克服沿程阻力而损失的能量，就称为沿程损失。 流体流动克服沿程阻力而损失的能量，就称为沿程损失。 • 沿程损失是发生在缓变流整个流程中的能量损失，它的 沿程损失是发生在缓变流整个流程中的能量损失， 大小与流过的管道长度成正比。 大小与流过的管道长度成正比。 • 造成沿程损失的原因是流体的黏性，因而这种损失的大 造成沿程损失的原因是流体的黏性， 小与流体的流动状态（层流或紊流）有密切关系。 小与流体的流动状态（层流或紊流）有密切关系。
流体力学第四章
2
适用于有限大流束的伯努利方成为：
U2 z const 2g p
（13）2Fra bibliotek或U p U z1 1 z2 2 2 2g 2g
p1
2
（14）
方程适用条件：
（１）理想流体，定常流动；
（２）只有重力的作用；
（３）流体是不可压缩的；
（4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断 面间不必要求为渐变流动。
v2 U F (t ) 2 t p
（4 - 4）
为书写简单，引入 0 F (t )dt 将Φ 对ｘ，ｙ，ｚ求偏导数，仍为速度的投影
vx x x
vy y y
t
vz z z
引入Φ 后，式（４-４）可改写成：
则欧拉方程可写成
v x U p ( ) vx vy x x x v y U p ( ) vx vy y y x v x vz y v y vz y v x z v y
z
（1） （2） （3）
v z v z v z U p ( ) vx vy vz z z x y z
v2 U 2 t p
（４-5）
若流体的质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上， 有U＝－ｇｚ，故
v2 gz 2 t p
或
v2 1 z 2g g t p
(4-7)
上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。
对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数
讨论：
1.关于渐变流动（缓变流动）过流断面上 的压力分布，是否与静止流体的压力分布 相同？
2.为什么在急变流动的过流断面上， (Z+P/) 项不保持常数？
[理学]流体力学 第4章-基本方程
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控制体净输出
的动量矩流量
控制体内的动 量矩变化率
作用于控制 体的总力矩
(r )
( A)
dA
t
V
(r
)
dV
M
24/57
角动量方程 推导
应力张量就是对称的 zy yz , xz zx , yx xy
7/57
质量守恒定律 推导
质量守恒原理指 物体质量在运动中保 持不变，换言之，物 体质量随时间的变化 率为零。
如右图所示，在 考察的物质系统内， 围绕任意点取一无限 小体积。
图3.2 流动流体的物质体积
8/57
质量守恒定律 推导
对于系统，由质量守恒定律有：
d dV 0
dt V r ,t
取如右图所示系 统，函数 (r, t) 在 整个系统区域上是连 续的、单值的、可微 的。
图3.1 流体实体容积
4/57
输运定理
推导
r,t dV r,t dV
V r,t t
V r ,t t
d
dV
lim
1
r, t t dV r,t dV
0
质量守恒定律的微分形式：
t
div v dV
0
div 0
t
或 grad div 0
t
对不可压缩流体， 0 ，则方程简化为
t
divv 0
11/57
质量守恒定律
柱坐标形式
流体力学学习课件第四章流体动力学
x y z
dt
dt
dt
1、公式推导前提条件：恒定流（条件之一）即
p 0, u 0 ux uy uz 0
t
t
t t t
因为恒定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz与时间 dt 的比为速度
分量，即有：
ux
dx dt
uy
dy dt
uz
dz dt
则：①
dux dt
dx
duy dt
y dt
单位质量流体的惯 性力在X、Y、Z坐 标轴上分量
Z 1 p duz
z dt
（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于其加
速度。 （2）适用条件：a.无粘性流体。
b.可压缩流体及不可压缩流体 c.恒定流及非恒定流
二、粘性流体运动微分方程
1、以应力表示的实际流体运动微分方程 （1）方程推导依据：
g 2g
g
h pA pB u2
g g 2g
理论流速： u 2 pA pB 2gh
实际流速： u 2gh
μ：修正系数，数值接近于1，由实验确定，μ =0.97 ； h：为两管水头差。
四、实际液体元流能量方程
实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动
时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固
dy
duz dt
dz uxdux
uyduy
uz duz
1 d (u 2 ) 2
因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二
②
p dx p dy p dz dp
x y z
（3）
则（1）式
( Xdx Ydy Zdz) 1 (p dx p dy p dz)
流体力学第4章课后习题答案
第一章习题答案选择题（单选题）1.1 按连续介质的概念，流体质点是指：（d ）（a ）流体的分子；（b ）流体内的固体颗粒；（c ）几何的点；（d ）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。
1.2 作用于流体的质量力包括：（c ）（a ）压力；（b ）摩擦阻力；（c ）重力；（d ）表面张力。
1.3 单位质量力的国际单位是：（d ）（a ）N ；（b ）Pa ；（c ）kg N /；（d ）2/s m 。
1.4 与牛顿内摩擦定律直接有关的因素是：（b ）（a ）剪应力和压强；（b ）剪应力和剪应变率；（c ）剪应力和剪应变；（d ）剪应力和流速。
1.5 水的动力黏度μ随温度的升高：（b ）（a ）增大；（b ）减小；（c ）不变；（d ）不定。
1.6 流体运动黏度ν的国际单位是：（a ）（a ）2/s m ；（b ）2/m N ；（c ）m kg /；（d ）2/m s N ⋅。
1.7 无黏性流体的特征是：（c ）（a ）黏度是常数；（b ）不可压缩；（c ）无黏性；（d ）符合RT p=ρ。
1.8 当水的压强增加1个大气压时，水的密度增大约为：（a ）（a ）1/20000；（b ）1/10000；（c ）1/4000；（d ）1/2000。
1.9 水的密度为10003kg/m ，2L 水的质量和重量是多少？ 解： 10000.0022m V ρ==⨯=（kg ）29.80719.614G mg ==⨯=（N ）答：2L 水的质量是2 kg ，重量是19.614N 。
1.10 体积为0.53m 的油料，重量为4410N ，试求该油料的密度是多少？ 解： 44109.807899.3580.5m G g V V ρ====（kg/m 3） 答：该油料的密度是899.358 kg/m 3。
1.11 某液体的动力黏度为0.005Pa s ⋅，其密度为8503/kg m ，试求其运动黏度。
流体力学第4章
第4章 流动阻力与水头损失4.1 解：输入水时：s m d Q v 2732.110001.0104422=⨯⨯⨯==ππ s m t t 242210015119.05000221.050337.0101775.0000221.00337.0101775.0-⨯=⨯+⨯+=++=ν20008421510015119.01.02732.1Re 4>=⨯⨯==-νvd管中水流是紊流流态。
输入油时：s m d Q v 4979.18501.0104422=⨯⨯⨯==ππ 200013141014.11.04979.1Re 4<=⨯⨯==-νvd管中油流是层流流态。
4.4 解：22092.3%8.042.08.91000m N m N gRJ =⨯⨯⨯==ρτ m m Jl h f 6.12008.0=⨯==％4.6 解：（1）先求管段的沿程水头损失：对安设水银压差计的管段1－1、2－2列能量方程：m m h gp g p gv g p z g v g p z h f 008.108.06.126.12)2()2(212222221111=⨯=∆=-=++-++=ρραραρ（2）再求管段的沿程阻力系数：s m d Q v 2635.215.0104044232=⨯⨯⨯==-ππ 由达西公式gv d l h f 22λ=得：0289.02635.2208.9215.0008.1222=⨯⨯⨯⨯==lvg d h f λ （3）最后判别管中水流流态：s m t t 2622103060.110000221.0100337.0101775.0000221.00337.0101775.0-⨯=⨯+⨯+=++=ν2000259975103060.115.02635.2Re 6>=⨯⨯==-νvd管中水流是紊流流态。
4.10 解：2296.08.02.1m m bh A =⨯==m m m h b 8.28.022.12=⨯+=+=χm m AR 3428.08.296.0===χs m s m R n C /7572.59/3428.0014.01121216161=⨯==∵s m J s m m RJ AC Av Q /13428.0/7572.5996.03612=⨯⨯===42-Q22g d f 8.921.02⨯h j 22=H =4.16 解：g v h =221h h j w =g v h 212=要使测压管液面差最大，必须满足一阶导数等于零的条件：02212=-=gv v dv dh 得：212v v =代入连续性方程：2442121d Q d Q ππ= 得：122d d = 此时：gv g v v v h 4212221max=-=4.17 解：（1）当管为两级放大时：()()gv v g v v h j22232221-+-= 要使所产生的局部水头损失最小，必须满足一阶导数等于零的条件：()()0232132212=-+-=-+--=gv v v gv v gv v dv dh j即：当2312v v v +=时，两级扩大的局部水头损失j h 最小。
流体力学第四章参考答案
流体力学第四章参考答案流体力学是研究流体运动和力学性质的学科，它在工程学、物理学和地球科学等领域中具有重要的应用价值。
第四章是流体力学中的一个重要章节，主要讨论了流体的运动方程和流体的动力学性质。
在本文中，将对流体力学第四章的参考答案进行详细的论述和解释。
首先，我们来讨论流体的运动方程。
流体的运动方程是描述流体运动的基本方程，它包括连续性方程、动量方程和能量方程。
连续性方程描述了流体的质量守恒，即单位时间内通过某一截面的质量流量等于该截面内质量的减少量。
动量方程描述了流体的动量守恒，即单位时间内通过某一截面的动量流量等于该截面内动量的减少量。
能量方程描述了流体的能量守恒，即单位时间内通过某一截面的能量流量等于该截面内能量的减少量。
其次，我们来讨论流体的动力学性质。
流体的动力学性质包括粘性、密度、压力和速度等。
粘性是流体的一种性质，它描述了流体内部分子之间的摩擦力。
密度是流体的另一种性质，它描述了单位体积内的质量。
压力是流体的一种性质，它描述了单位面积上受到的力的大小。
速度是流体的运动状态，它描述了单位时间内流体通过某一截面的体积。
在解答流体力学问题时，我们需要根据具体情况选择合适的运动方程和动力学性质。
首先，我们可以根据问题中给出的条件和要求选择适当的运动方程。
例如，如果问题中要求求解流体的速度分布，则我们可以选择动量方程。
其次，我们可以根据问题中给出的条件和要求选择适当的动力学性质。
例如，如果问题中给出了流体的密度和压力分布，则我们可以选择密度和压力作为动力学性质。
在解答流体力学问题时，我们还需要运用一些基本的解题方法和技巧。
首先，我们可以利用物理规律和数学方法建立数学模型。
例如，我们可以利用连续性方程、动量方程和能量方程建立流体的运动方程。
其次，我们可以利用数学工具和计算方法求解数学模型。
例如，我们可以利用微积分和偏微分方程求解流体的运动方程。
最后，我们可以利用实验和观测数据验证数学模型和解题结果。
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或
L 滞留时间 U L [ St ] 特征时间 t Ut
对于非定常问题需引入
（2）弗劳德数：
Fr
U gl
1 2 2
U u u L x 惯性力 [ Fr ] 重力 g g
ui ui 2 ui h 1 p uj g v t x j x i xi x j x j ui 0 xi
定义无量纲量：
xi ui
xi L ui U
h p
h d (d ) L L p p0
t
t t0
式中 L 、U、t0、 p0 为特征量
U ui U 2 ui h p0 p U 2ui u j g v 2 t0 t L x j xi L xi L x j x j ui 0 xi
两边除以 U2/ L（迁移惯性力）得无量纲N-S方程：
2 u p ui L ui gL h p v i 0 u j 2 2 Ut 0 t x U x U x UL x x j i i j j
PHOENICS软件 PHOENICS是世界上第一个投放市场的CFD商用软件(1981)，可以 箅是CFD商用软件的鼻祖。这一软件中所采用的一些基本算法， 如SIMPLE方法、混合格式等。正足由该软件的创始人 DBSpalding及其合作者SVPatmLkar等所提出的。
FLUENT软件 FLUENT软件针对每一种流动的物理问题的特点，采用时也使它 的数值解法在计算速度、稳定性和精度方面达到最佳。可以计 算流场、传热和化学反应。其思想实际上就是做很多模块，这 样只要判断是哪一种流场和辩解就可以拿已有的模型来计算。
u x U [u x ] [U ] UL x L [Re] [ ] 2 U ux [ ] [ ] 2 L2 x
(a)小雷诺数绕流（蠕动流—即惯性力<<粘性力） 惯性力全部忽略—Stokes解 Re 1 D 6 aV 惯性力部分忽略—Oseen 解 Re 2
2 ui u ui 1 h p 1 i St u Eu j 2 t x Fr x x Re x x j i i j j
3. 无量纲数的物理意义 （1）斯特劳哈数：
L St Ut 0
u U 局地惯性力 t t L [ St ] 2 迁移惯性力 u u U Ut x L
1. 完整的方程组 矢量形式 u
t u 0
1 2 (u )u f p v u
张量形式
ui ui 2 ui 1 p uj fi v t x j xi x j x j ui 0 xi
2. 定解条件
（1）初始条件（非恒定问题） 给出初始时刻的速度场及压强场
p L p 2 2 U U L
体现了压力对流动的影响
（4）雷诺数：
Re
UL
u x ux 惯性力 x [Re] 2 粘性力 u x x 2
u x u x ux U 线性化 x x
(b)大雷诺数绕流—即惯性力>>粘性力 如果粘性力全部忽略—Euler 解
1 u (u )u f p t u 0
ui ui 1 p uj fi t x j xi ui 0 xi
（6）马赫数：
U Ma c
当地流速 U [ Ma] 声速 c
4. 相似准则 当两种流动的无量纲数及定界条件相同时 （动力相似），则方程组给出相同的解。
ui ui 2ui 1 pd uj v t x j xi x j x j
ps : 静力压强 p ps pd 力压强） pd：静力压强修正值（动
自由表面系统、分层流不能吸收
4.2 不可压缩粘性流动的无量纲数
1.流动相似 两个流动相似必须满足几何相似、运动相似、动 力相似及热力相似。
第4章
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
均质不可压缩流体的运动
完整的方程组及求解的一般分析 不可压缩粘性流动的无量纲数 恒定层流平行直线运动 （精确解） 恒定同心圆流动 （层流精确解） 线性化的蠕动流（小雷诺数近似解） 无粘性流动 （大雷诺数近似解）
4.1 完整的方程组及求解的一般分析
1 2
U gL
1 2
体现了重力对流动的影响，作为 明渠等有自由表面系统相似判据
（3）欧拉数：
Eu
p0 U 2
1 p 压强梯度力 x [ Eu] 惯性力 u u x x x
法向unl1 ung 2 切向utl 1 utg 2
动力学边界条件:（液体） 切向应力为零
法向 nnl p 切向 ntl 0
2u x 2u x 2u x 1 p X v( 2 2 2 ), x x y z u y u y u y u y ux uy uz t x y z 理论上，N — S方程 2 2 2 u u uy 1 p 组可解 y y Y v( 2 2 2 ), y x y z 求解困难：二阶、非 线性、偏微分方程组 u z u z u z u z ux uy uz t x y z 1 p 2u z 2u z 2u z Z v( 2 2 2 ), x x y z u x u y u z 0 x y z
•
N-S方程组中，重力项吸收（封闭系统）
ui ui 2ui h 1 p uj g v t x j xi xi x j x j
h 1 p 1 其中 g ( gh p ) xi xi xi 1 1 pd ( gh ps pd ) xi xi
几何相似：两个系统相应的几何尺寸成比例。 运动相似：几何相似的两个流动的时空对应点上的运动 要素相似。 动力相似：两个运动相似流动的时空对应点上 受力相似。 （重力，粘性力，压力，惯性力等） 热力相似：两个动力相似流动的时空对应点上温度相似。
2.无量纲N-S方程 流动满足动力相似的判据可由量纲相似原理或无 量纲方程推求得出。
(4)实验解法
• SIMPLE算法: “Semi-Implicit Method for PressureLinked Equations”，是求解压力耦合的质 量/动量/能量传递方程的半隐式方法。
自从S.V.Patankar(帕坦卡)和 D.B.Spalding(斯伯丁)于1972年提出SIMPLE算法 后，它实际上已经成为许多工程流动、传热以及 反应体系的数值模拟的最重要的方法。许多商业 CFD软件，如cfx与fluent,其核心也都基于SIMPLE 算法。
4. N-S方程组中，重力项的特殊处理 质量力只有重力作用下的N-S方程组
f i xi
gh
h fi g xi
ui ui 2 ui h 1 p uj g v t x j x i xi x j x j ui 0 xi
u u ( x, y , z , t 0 ) p p ( x, y , z , t 0 )
（2）边界条件
边界条件（结合具体问题确定） (a)对于固体壁面
u uw
法向un uw n不可入 切向ut uwt 无滑移
壁面静止
法向un 0不可入 切向ut 0无滑移
(b)对于两种不相混流动的分界面（两种液体） 运动学边界条件: 界面速度相等 动力学边界条件:
法向u nl1 u nl 2 切向utl 1 utl 2
法向 nnl 1 nnl 2 切向 ntl 1 ntl 2
应力相等
(c)对于两种不相混流动的分界面（液体和气体）
运动学边界条件: 切向速度不等
SIMPLE算法的计算步骤：
(猜测-修正) （1） 假定一个速度分布u0,v0，以此计算动量离散方 程中的系数及常数项； （2） 假设一个压力场p* ； （3） 利用p*依次求解动量方程得u*,v* ； （4） 对压力加以修正得p’ (u*,v*满足连续性方程)； （5） 据p’, u*,v* 改进速度值u0,v0 ； （6） 利用改进后的速度场求解那些通过源项物性等与 速度场耦合的变量，如果 变量并不影响流场， 则应在速度场收敛后再求解； （7） 利用利用改进后的速度场重新计算动量离散方程 的系数，并利用改进后的压力场作为下一层次迭 代计算的初值。 重复上述步骤，直到获得收敛的解。
STAR—CD软件 STAR—CD是全球第一个采用完全非结构化网格技术和有限体 积方法来研究上业领域中复杂流动的流体分析商用软件包， 是由英 Computational Dynamics Ltd．公司推出 ，软件 名称是由Simulation of turbulent flow in Arbitrary Regions在加上公司名称Computational Dynamics的缩写 组合而成。 CFX软件是CFD领域的重要软件平台之一，在欧洲适用广泛。 FIDAP软件 这是英语Fluid Dynamics Analysis Package 的缩 ，系 第一个使用有限法的CFD软件．
u x u u u ux x u y x uz x t x y z
• 线性方程就是指方程中未知数的次数是一 次的多项式方程,非线性方程是指方程中未 知数的次数高于一次的方程.
比如一微分方程，系数是常数，就是线性。
3. 主要解法 （1）层流精确解 （2）近似解